MO

et MF = AD — = AD — . Il suffira, pour avoir celte derpière,

de mener la droite OD que l'on prolongera jusqu'à sa rencontre avec MF. La direction de la tangente MT à la conchoîde sera celle de la diagonale du rectangle construit sur MK et sur MF* On peut d'ailleurs remarquer que la vitesse de glissement

-r et la vitesse angulaire — étant les mêmes pour les deux dt dt

courbes, la sous-normale, qui est le rapport de ces deux vitesses, est aussi la même, ce qui conduit à une construction plus simple de la tangente.

•4. Relation entre les vitessea de tons leif pointa d'une droite. — La propriété que nous venons de reconnaître, dans ce dernier exemple, de l'égalité des projections, sur la droite OM, des vitesses de deux de ses points A et M, se rattache à une autre, plus générale, que nous allons faire connaître.

Soient deux points mobiles A, B, (fig. 68), parcourant deux

trajectoires quelconques AA', BB' ; soient A', B ' leurs positions et rf5= AA' , rf<s'=BB ' les espaces parcourus après un instant infiniment petit dt. Représentons par r=f(f) la distance variable AB. la distance A' B' sera r + dr. Projetons en Ai, Bi sur AB les nouvelles positions A',B' et désignons Fig. 68. par a, a' les angles formés avec AB par les

deux arcs infiniment petits AA', BB'.

Nous aurons AA, = flfecosa et BBi =ds'cosoL. L'angle de A'B' avec AB étant inhniment petit, son cosinus ne difftre de lunilé que d'un infiniment petit du second ordre, négligeable, et Ton a :

A,Bi=A'B'=r + rfr.

Mais Ton a aussi :

(1) y =t? cos a — 1>' cosa

AA, — BBj = A,Bi — AB, c'est-à-dire :

e/scosoc — (fo'cosa'=r + rfr — r = rfr; ^

. ds d^

ou, en divisant par dt et désignant par v et v' les vitesses -r, —

des points A et B :

dr dt

Si la distance des points A et B est invariable, r est constant,

T- est nul, et alors dt *

(2) «cosa = «'cosa',

c'est-à-dire que les vitesses de tous les points d'ttne droite ont même projection sur sa direction; ce que Ton exprime autrement en disant que les vitesses de tous les points d'une droite estimées suivant sa direction sont égales ; en appelant vitesse estimée suivant une direction donnée, la projection de cette vitesse sur la direction dont il s'agit.

Cette propriété peut quelquefois, comme on Ta vu par l'exemple de la conchoîde, être utilisée pour déterminer la grandeur de la projection de la vitesse sur une certaine direction, et par suite pour tracer la tangente à une courbe par la méthode de Roberval.

I. Aceéléra(l«n. — Lorsqu'un point se meut dans l'espace, sa vitesse peut changer, à chaque inslant, en grandeur

i38 CHAP. III. — MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE

et en direction. Considérons ce point dans deux de ses positions M et M' (fig. 69) distantes de MM' = A5 et appelons A/ l'intervalle de temps corres-

pondant. Soient MV=t; et M'V'=t;'-+-Av les /**\^ vitesses du mobile dans ces deux positions. X.^^"'^^ Si par un point A quelconque nous menons A deux droites ÂB, ÂB' respectivement équipol-

Fig. 69. lentes à MV et M'Y', la ligne AB' sera la

somme géométrique de AB et de BB\ cette ligne BB' sera donc la vitesse qu*il faudra ajouter géométriquement à v pour obtenir t?'; ce sera le yain géométrique de la vitesse, ou la vitesse gagnée ou acquise par le mobile en passant de M en M'. Cette vitesse gagnée ou acquise, rapportée à Tunité de temps, c'est-à-dire le rapport de BB' à A/ est ce que Ton appelle Vaccélération moyerme du mobile pendant le temps A', et la limite de ce rapport lorsque A/ décroit indéfiniment est Vaccélération du mobile au point M.

L'accélération est donc une vitesse acquise rapportée à l'unité de temps, de même que la vitesse est un espace parcouru, ou acquis, rapporté à Tunité de temps.

L'accélération, quotient d'une vitesse par un temps, est une quantité d'une nature particulière qu'il y aurait avantage à exprimer au moyen d'une accélération-unité que l'on pourrait choisir arbitrairement. Mais à défaut de cette unité spéciale, on estime l'accélération en indiquant les unités de longueur et de temps qui ont servi à la déterminer : c'est ainsi que l'on dit que l'accélération due à la pesanteur est à Paris de 9",8088, la seconde étant prise pour unité de temps.

Si, en général, j' représente la valeur numérique d'une accélération exprimée avec cerlairïes unités de longueur et de temps, et si on prend de nouvelles unilés respectivement >.fois et T fois plus petites, le nombre/ exprimant la même accélération, dans ce nouveau système d'unités, sera comme il est facile de le voir en raisonnant comme au n° 54 :

C'est ce que l'on exprime en disant que l'accélération est de degré 4 en longueur et de degré — 2 en temps.

8 2. ^ DE L'ACCÉLÉRATION • 43fl

IM. Accélération tançciiticllc. Accélération nor« maie. — Si nous supposons connues la trajectoire du mobile et la loi de son mouvement, exprimée par Téquation s=f(t)y nous pourrons exprimer facilement son accélération en un point M quelconque.

Pour cela, reprenons la figure précédente et transportons le triangle ABB', qui peut être placé en un point quelconque de l'espace, de manière que le côté AB (fig. 69) soit placé en AM (fig. 70) dans le prolongement de MV, c'est-à-dire menons à

partir du point M une ligne MA égale et opposée à MV, puis à partir du point A une ligne AMi égale et parallèle à M'V. Sur la direction MM,, prenons MD égal

au rapport -f-^ ; la limite de la

Fig. 70. ^^ ^^

ligne MD, lorsque àt tendra vers zéro, représentera l'accélération 7 du mobile au point M.

Remarquons d'abord que la ligne MM, ou MD se trouve dans le plan mené par la tangente MV à la trajectoire parallèlement à la tangente infiniment voisine M'V : \ accélération est donc contenue dans le plan oscillateur de la trajectoire.

Menons, dans ce plan, à la trajectoire, la normale MN, qui sera ainsi la normale principale et projetons, sur MV et sur MN, l'accélération MD et la ligne MM, ; les projections MT, MN de l'accélération sur ces deux lignes s'appellent respectivemeot Taccéléralion tangentielle et l'accélération normale du point M, et pour éviter toute confusion on donne à Taccélération MD le nom d'accélération totale. L'accélération totale sera connue si Ton connaît ses deux projections ou composantes MT et MN) qui sont respectivement, en vertu de la similitude des triangles, les limites des rapports, à A^ des projections MT,, MN, de la ligne infiniment petite MM,. Si nous désignons respectivement l'accélération tangentielle MT et l'accélération normale MN par j, et /net si nous appelons e l'angle de contingence MAM,, nous aurons

,. MT, ,. ATi — AM ,. AM, cos £ — AM .. (v-\-^v) cos e—

il = Jim =: lim n: lim =- Iim

' A* A/ M àt

140 CHAP. III. — MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE et par suite

. __,. MN, ,. M<T, ,. (c + At))sini .. c+Ao sini f A*

;»=liin ~-i izzlina -1-i = lim ^—2- — = lim —2— .v. — -- • -

A/ A/ M V t as àt

et, en observant que la limite de — est l'inverse du rayon de

courbure p de la trajectoire et que celle de r; n'est autre que ds

L'accélération tangentielle /< est la dérivée de la vitesse ou ]a dérivée seconde ^ de l'espace 5 par rapport au temps ;

elle peut èlre positive ou négative et Taccéléralion totale se trouve alors soit en avant, soit en arrière de la normale MN par rapport au sens du mouvement.

L'accélération normale — est essentiellement positive et elle

est dirigée vers le centre de courbure. On l'appelle quelquefois, pour celte raison, accélération centripète.

Lorsque le mouvement est rectiligne, le rayon de courbure p est constamment infini, l'accélération normale est nulle et

l'accélération totale se réduit à l'accélération tangentielle j.

dU ou r-.'

Lorsque le mouvement s'effectue sur une trajectoire courbe avec une vitesse constante, c'est-à-dire lorsque le mouvement est uniforme, l'accélération tangentielle est constamment nulle

et Taccélération totale se réduit à l'accélération normale — et

f varie en raison inverse du rayon de courbure. Si, en particulier, la trajectoire est une circonférence de cercle de rayon r, parcourue d'un mouvement uniforme, l'accélération totale est

constante, égale à et dirigée vers le centre de cette courbe.

§ 2. — DE L'ACCÉLÉRATION 14 i

•7. iteeélération dans les ntouvementM projetés ou sinoltanés. — Si Ton projette sur un plan ou sur un axe la figure précédente en considérant la projection du point M comme un nouveau mobile, les projections des lignes MV« M'Y' seront les vitesses de ce mobile aux points correspondants à M et à M', et si Ton en construit l'accélération, de la même manière que sur cette figure, la ligne représentant l'accélération totale sera la projection de la ligne MD, et cela aura lieu que la projection soit orthogonale ou oblique. On exprime ce résultat en disant que Taccélération de la projection d'un point mobile est la projection de l'accélération de ce point.

On en déduit, comme on Ta fait pour les vitesses, que l'accélération d'un point mobile dans l'espace est la résultante des accélérations de ses projections sur trois axes coordonnés.

Prenons encore trois axes rectangulaires et supposons le mouvement du point mobile M défini par les valeurs, à chaque instant, de ses trois coordonnées, c'est-à-dire par les équations

qui peuvent être considérées comme définissant le mouvement rectiligne, sur chacun des axes, des projections du point M. Les accélérations totales de ces trois projections seront, en les désignant respectivement par jx^ jy, j j puisque les mouvements sont rectilignes

(2)^=|7=rw. y»=S=r.(o, y.=g=r.w;

et l'accélération totale du point M dans l'espace aura pour valeur

La direction de cette accélération sera déterminée par ses

trois cosinus directeurs qui sont respectivement -^, -r. 4.

Ceci s'applique, bien entendu, au cas d'un mouvement plan rapporté à deux axes rectangulaires. 11 suffit de faire i et jt ou

"— égaux à zéro.

Si, comme au n"" 61, nous considérons un point mobile comme animé de plusieurs mouvements simultanés, la vitesse réelle sera, au commencement et à la fin d'un certain intervalle de temps A^ la résultante des vitesses dans les mouvements composants, au commencement et à la fin du même intervalle. Or, dans chacun de ces mouvements, la vitesse finale est la somme géométrique de la vitesse initiale et du produit, par A^, de l'accélération du mouvement.

La vitesse finale dans le mouvement réel, qui est la résulsante de toutes ces vitesses finales, conprendra donc la somme géométrique de toutes les vitesses initiales, c'est-à-dire la vitesse initiale du mouvement réel, augmentée géométriquement de la somme géométrique des produits par A/ de toutes les accélérations des mouvements composants. Or la différence géométrique entre la vitesse finale et la vitesse initiale dans le mouvement réel, n'est autre chose que le produit par A/ de l'accélération dans ce mouvement, laquelle est ainsi égale à la somme géométrique des accélérations dans les mouvements composants.

C'est ce qu'on exprime quelquefois en disant que les aceélérations se composent comme les vitesses. C'est ce que nous venons du reste de vérifier pour le cas de mouvements projetés.

G§. IJsaye de Taecélératiou pour déterminer le rajon de eourburc. — Les propriétés de l'accélération peuvent servir quelquefois à déterminer le rayon de courbure des courbes. Si en effet l'on connaît, en un point de la trajectoire d*un mobile, sa vitesse v et son accélération normale jn, on en déduira immédiatement la valeur du rayon de courbure p de la trajec-

toire par Téquation p = —•

Soit, par exemple, le mouvement d'un point, dans un plan vertical, rapporté à deux axes coordonnés Oa?et Oy (fig. 7i)i

s 2. — DE L'ACCÉLÉRATION

Y un horizontal el l'autre vertical, défini par les deux équatio s :

x = at, y = bt— -gt\

Ce mouvement est, comme nous le verrons, celui qu aurait un point pesant lancé dans le vide à la surface de la terre, avec

une vitesse initiale OV = V'a*+é*. La trajectoire de ce point,

obtenue par l'élimination de / entre les deux équations, est la parabole : ,

dont le paramètre est - . La distance AF, du sommet A au

foyer F est donc égale à -- . Désignons par a l'angle variable

de la langenle MT avec l'horizontale MH, ou de la normale MN avec la verticale MI : nous avons :

dt '

et par suite, cos a = - = -; d'oîi v = — .

*^ V V cos a

La projection de la vitesse sur l'axe des x est constante et égale à a.

144 CHAP. III. — MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÈNÉR-\LË Les composantes yji;,7ty de raccélération sont:

L'accélération totale se réduit donc à sa composante parallèle aux y ; elle est constante en grandeur et en direction.

L'accélération normale /n s'obtiendra en projetant l'accélération totale dirigée suivant MI, sur la normale MN ; nous aurons ainsi :

y» ==y cos a =yy cos « = — g cos a,

et par suite, le rayon de courbure p = r sera, en valeur absolue, en mettant pour v et pour jn leurs valeurs en fonction de a:

fl«

or, la sous-normale HK est égale au paramètre ou à — . Donc

De là, une construction facile : menons KL perpendiculaire à MK, jusqu'à la rencontre de l'ordonnée MI, puis par le point L l'horizontale LG ; le point G sera le centre de courbure.

09. Exemple de l'applieation des lois des meuve* ments projetés- — Les propriétés des mouvements projetés sur un plan permettent quelquefois de déterminer facilement les lois de certains mouvements.

Nous avons dit plus haut (p 140) que si un point M parcourt, d'un mouvement uniforme, une circonférence de cercle (fig.72)

son accélération totale est constamment dirigée vers le centre et

V* égale à —, en appelant V la vitesse du mobile et a le rayon de

la circonférence. Si nous désignons par (o la vitesse angulaire, qui sera constante^ ainsi que V,la vitesse Y sera égale à (oaet

Pig. 72.

Projetons ce mouvement sur un plan quelconque, et soit m

la projection du point M. Ce point m parcourra une ellipse.

Les aires décrites par le rayon vecteur om, joignant le point m au centre de Tellipse, seront les projections de celles décrites dans le même temps par le rayon vecteur OM ; si donc ces dernières sont proportionnelles aux temps, les autres le seront aussi et, par suite, la vitesse aréolaire du point m sera constante et

égale au produit de - coa' par le cosinus de Tangle des deux

plans.

L'accélération du point/Ttestengrandeur, direction et sens.la projection de celle du point M, laquelle est égale à (o^MO. L'accélération du point m est donc dirigée suivant mo et a pour valeur <o'.»io=c<>V, en désignant par r le rayon vecteur variable om.

Si donc un point mobile parcourt une ellipse, de t.elle manière que les aires décrites par le rayon vecteur joignant ce point au centre de Tellipse soient proportionnelles au temps (ce qui suffit pour définir le mouvement), Taccélération totah* du mobile sera constamment dirigée vers le centre de Tellipse et proportionnelle au rayon vecteur.

On verrait de même, en remontant du mouvement projeté au mouvement circulaire, que si un mobile parcourt une ellipse et si son accélération est constamment dirigée vers le centre de cette courbe, cette accélération est nécessairement propor^ tionnelle au rayon vecteur correspondant, et les aires décrites par le rayon vecteur sont proportionnelles au temps.

Cette dernière propriété n*est d ailleurs qu'un cas particulier d'une loi plus générale que nous allons établir.