CA CB
atu: tempsy Ton a CAxOP=CBxOQ ou bien qq= Qp^ les
triangles BCA et POQ sont semblables^ par suite Tangle CAB est égal à l'angle PQO ou à PCO, et AB est parallèle à CO ; la limite de AB est parallèle à OM ; raccélération est dirigée suivant la ligne OM, c'est-à-dire passe constamment par le point fixe 0.
Ce théorème, très important en mécanique, est un cas par* ticulier du théorème des aires que nous démontrerons plus loin. Il a de très nombreuses applications.
7 t. Applietition au mouTeinent de» planètes aa« tour du Moiell. — On sait, par exemple, que les planètes décrivent autour du soleil des ellipses dont le soleil occupe un des foyers et que les aires décrites par les rayons vecteurs menés de chaque planète au soleil sont proportionnelles aux temps. On sait, dp plus, que les carrés des durées totales des révolutions sont proportionnels aux cubes des grands axes de ces ellipses (Lois de Keppler).
On peut en déduire la loi .suivant laquelle varie Taccélération. D'abord, d'après ce qui vient d'être démontré, Taccélération totale est constamment dirigée vers le foyer de 1 ellipse occupé par le soleil.
148 CHAP. ni. — MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE
Soit T la durée de la révolution complète d'une planële, a le
grand axe et b le petit axe de son orbite ; d*aprës la dernière
a* loi qui vient d'être rappelée, le rapport ^ est constant. La surface de Tellipse étant ^ab, la vitesse aréolaire est -^ i ^t si,
comme plus haut^ on appelle v la vitesse à une époque quelconque, p la distance du soleil à la direction de cette vitesse, on
^nn^vp^-Y* ^r '* vitesse aréolaire s'exprime par r vp.
Elle s'exprime aussi par - wr* si o représente la vitesse angu*
laire du rayon vecteur; on aura donc
(1) ^'^TT" «t "='T;rî
ce qui fera connaître la vitesse linéaire ou la vitesse angulaire en chaque point. La vitesse v étant inversement proportionnelle à /?, si l'on désigne par ;9' la distance, à sa direction, de l'autre foyer de l'ellipse, on sait, d'après les propriétés de cette courbe, que Ton ajo/)'=A' et par suite
2nab 2ira6 , 2ir a ,
(2) '^ = -Tr = -T6ri' = TT^'
c'est-à-dire que la vitesse est proportionnelle à la distance du second foyer de l'ellipse à sa direction.
Si l'on considère deux points m, m' infiniment voisins (fig. 75), F étant le foyer occupé par le soleil et F Tautre foyer de Tellipse, les vitesses aux points m, m' seront respectivement proportionnelles aux distances Fp, F/;' de l'autre foyer à leurs directions. Prolongeons ces longueurs de quantités égales jusqu'en 7i, n'y c'est-à-dire prenons p^î==pF, //w'=/>'F; nous savons que les points n, n' sont sur la circonférence dé* crite du point F comme centre avec 2a pour rayon ; et, par construction, nous avons
on aurait de même, en appelant v' la vitesse au point m\
ira
Les deux lignes Fn, P»', qui font entre elles le même angle que les vitesses v et v\ leur sont aussi proportionnelles ; elles
Fig, 73.
peuvent, à la direction près, servir à trouver Taccélération qui sera le rapport au temps dt de la ligne nn' réduite dans le même rapport que les vitesses elles-mêmes ; en d'autres termes^ Faccélération j du mouvement de la planète aura pour expression
na
^=di-""-r6-
Or, (i) étant la vitesse angulaire du rayon vecteur autour du foyer F^nn'=sii>.Fn.dt ou bien, en substituant, mettant pour Fn sa valeur 2a, puis, pour o> sa valeur (1) :
^ ira 2nah ^ T6 Tr*
Tb T* f«
Ainsi l'accélération de la planète^ dirigée vers le soleil, varie en raison inverse du carré de sa distance à cet astre, et,
puisque le rapport — est le mêmepour toutes, les accélérations
de deux planètes quelconques sont en raison inverse des car-
450 CHAP. m. - MOUVEMENT D'UN POINT. ÉTUDE GÉNÉRALE
rés de leurs dislances respectives, c'est-à-dire que la loi qui régit ces accélérations est la même pour toutes les planètes.
9t. Autre déllnitioii de raeeélération. — L'accélération, ou la vitesse acquise rapportée à l'unité de temps, peut recevoir une autre définition ou expression, qu'il est quelquefois plus commode d'employer.
Remarquons d'abord qu'un point mobile, partant du repos, c'est-à-dire sans vitesse initiale et soumis à une accélération
j constante en grandeur et en direction, aura parcouru, au
bout d'un temps /, un espace égal à -//'; par conséquent l'ac-
célération peut être mesurée par cet espace, divisé par-, ou
multiplié par -. Et si l'accélération est variable, on pourra encore, en considérant un intervalle de temps infiniment petit
rf/, définir l'accélération par le rapport, à —, de l'espace infi-
niment petit parcouru, en admettant toujours que le point mobile soit parti du repos, sans vitesse initiale.
Considérons maintenant un point mobile, parcourant une Cf rtaine trajectoire. Soit v = MV sa vitesse au point M, et soit M' le point oti il est parvenu après le temps infiniment petit A^ Si, à partir du point M (fig. 76), il avait conservé la
même vitesse v en grandeur et en direction, il serait venu en Mj à une distance ^. MMj = v^t. La dislance M|M' de sa po-
^ N sitîon réelle à la position qu'il aurait oc-
Fig. 76. cupée s'il avait conservé la même vitesse,
porie le nom de déviation du mobile.
Or, s'il était parti du point M sans vitesse initiale, il aurait, en vertu de l'accélération seule, parcouru un espace MM'i ; on peut admettre que cet espace MM'i est égal à la déviation M,M' en grandeur, direction et sens ; et alors l'accélération,
d'après ce qui vient d'être dit, est la limite de — 7-.
Cette démonstration, toutefois, n'est pas rigoureuse.
Pour en vérifier l'exactitude, projetons, sur trois axes rec-
g 2. - DE L'ACCÉLÉRATION 151
tangulaires, les trois lignes MMi ou vi^i, MM' ou A5 et la déviation MiM' dont la projection sera égale à la différence des deux autres. Si le mouvement du point M est défini par trois équations :
nous pourrons exprimer, au moyen de la formule de Taylor les projeclions Âor, Ayt àz de MM' sur les trois axes ; nous aurons :
en mettant, dans les derniers termes, àl^ en facteur commun et désignant par A Tensemble des termes qui le multiplient, avec deux expressions analogues pour Ay et Az.
Or, f* (i) est la projection de la vitesse v sur Taxe des x^ par suite, Lt.f{t) est la projection de MMi sur cet axe. La projection de Taccéléralion j sur le même axe est f' (I), le second
terme— . /^'(I) est ainsi la projection dej^, La projection
de MiM' ne diffère donc de celle de/ -r que d'infiniment petits du 3* ordre, et comme cela est vrai pour les trois axes, on en conclut qu'on a bien exactement :
(2) ; = limiM'.
La nouvelle définition de l'accélération se trouve ainsi justifiée.
