CHAPITRE IV

SOMICAIRB:

1 1. -— Lois générales : 73. Problème général de la détermination du mouvement d'un point. — 74. Premier théorème générai. — 75. Exemple d'un mouvement périodique. — 76. Second théorème général. —77. Troisième théorème général. — 78. Théorème des aires. — 79. Quatrième théorème général. — 80. Application au mouvement parabolique des corps pesants. —81. Cas général du mouvement rectillgne. —82. Mouvement vertical d'un point pesant dans un milieu résistant. — 83. Cas d'une accélération centrale, — 84. Application au mouvement des corps célestes.

2 3. — Mouvement d'un point assujetti à certaines conditions : 85. Définition des conditions auxquelles on suppose assujetti le mouvement. — 86. Point assujetti à se mouvoir sur une courbe donnée. — 87. Point assujetti à se mouvoir sur une surface donnée. — 88. Application au pendule simple. — 89. Pen ule conique. — 90. Pendule cycloïdal. — 91. Mouvement d'un point pesant sur une droite inclinée. — 93. Brachistochrone d'un point pesant.

98. Problème g^énéral de la déiermination du mouvemeiit d'au point. — La position d*un point dans l'espace est déterminée par ses trois coordonnées a?, y, z par rapport à trois axes par exemple ou par tout autre système de coordonnées par rapport à des repères fixes. Le point qui

occupe, à un certain moment, la position M ainsi définie, peut y être en repos ou en mouvement ; sa vitesse peut être plus ou moins grande et avoir telle ou telle direction. L'étal du point que nous considérons et qui se trouve en M à Pépoque t est donc déterminé par la grandeur et la direction de sa vitesse, ou, ce qui revient au même, si nous supposons le point rapporté à trois axes de coordonnées rectangulaires, par les valeurs des trois dérivées

dx dy dz

Tt ^ Tt ^ dt

de ses coordonnées par rapport au temps. En eifet, sa vitesse V a pour valeur

' dzV

^=WS)"+(^)+Q

et pour direction celle de la diagonale d'un parallélépipède construit sur ses trois projections.

Ces six quantités, a?, y, z, -j;, -j, ^ qui définissent la position et Tétat d'un point à une époque quelconque t sont dites éléments staUques. Elles sont, par exemple, les conditions initiales données du mouvement d'un point, c'est-à-dire la définition de sa position et de son état à l'époque prise pour origine du temps.

Si la vitesse reste la même, c'est-à-dire s'il n'y a pas d'accélération, la position du point changera ; il décrira une ligne droite d'un mouvement uniforme, mais son état ne changera pas : dans chacune de ses positions, il sera animé d'une vitesse égale en grandeur et en direction à sa vitesse initiale.

L'état du point considéré ne change que lorsqu'il a une ao célération qui modifie sa vitesse. L'accélération constitue ainsi réiément dynamique du mouvement. Sa connaissance résulte de celle de ses trois projections sur les trois axes, dérivées secondes par rapport au temps des trois coordonnées :

Le problème du mouvement d'un point consiste donc, étant donnée à chaque instant son accélération, à déterminer com-r ment varient avec le (emps sa position et son état, à partir d'une position initiale et d'un état initial également donnés.

Envisagé sous sa forme la plus générale, le problème de la détermination du mouvement d'un point, élant donnée son accélération, peut se mettre en équation de la manière suivante. L'accélération peut être fonction du temps, des coor-> données du point, et quelquefois aussi, de sa vitesse, c'est-à-

• 1 , dx dy dz

dire des quantités que nous avons appelés I, x, y» -^5 t' t' t' Il en est de même, par conséquent de ses projections sur les

trois axes qui sont exprimées P*r;7;ï'"n' 1 — ^^ équations différentielles du problème sont ainsi :

rf'a? / dx dy dz\

d*y I dx dy dz\

(dx dy dz\

Les fonctions 9, ffi, <ps étant supposées données, le problème consiste k intégrer ces trois équations du second ordre, ce qui introduira six constantes arbitraires k déterminer par les conditions initiales, c'est-à-dire en exprimant que pour f =«0, les

quantités x, y » ^> T ' j^' 3; ^^^ des valeurs données.

Sous cette forme générale, le problème est compliqué, mais lés théorèmes généraux que nous allons démontrer, par leurs conséquences immédiates, en facilitent souvent la solution et permettent de poser des équations plus simples.

94. Premier théorèuie général. *- La première et la plus ordinaire définition de l'accélération (la vitesse acquise rapportée à l'unité de temps) permet d'établir des relations impoilantes entre la vitesse du point mobile, aux divers points de sa trajectoire, .et Taccélé ration. .

On a démontré d*abord la relation :

(1) 51 =À > ^" dv=j\di.

js étant la composante tangentielle de Taccélération. Si Ton intègre cette équation entre deux époques quelconques ^o et t et si l'on appelle Vo et t; les vitesses correspondantes, oïl aura :

(2) ^ v-v, = f^j,dt.

Le gain de vitesse est dû uniquement à Taccélération tangenlielle et Ton voit que V accroissement de la vitesse dun point mobile est égala la somme intégrale des produits de f accélération tangentielle par les éléments du temps.

9ft. Exemple d^an mouvement périodique. —

On déduit de là une conséquence importante : quelle que soit la forme de la trajectoire d'un point mobile, si son accélération tangentielle est exprimée par une même fonction du temps, il en sera de même de sa vitesse, à une constante près, et par saile la loi de son mouvement restera la même.

Considérons, par exemple, un point mobile sur une droite Ox (fig. 77), de telle manière que son accélération soit constamment dirigée vers un point fixe et proportionnelle à la

■ ■ . . , distance OM ==x du point mobile

/\ ^ " '^ au point lixc. Représentons, en

^**- '^' conséquence, l'accélération / du

point mobile en M par — k^x, le signe — exprimant que cette

accélération est dirigée de M vers et A:' étant une constante

positive; nous aurons, pour la loi du mouvement :

équation dont l'intégrale générale est :

(2) x=A sin kt+B cos kt,

A et B étant des constantes arbitraires à déterminer d'après les conditions initiales.

m CmAP. IV. - DÉTERMINATION DU MOUVEMENT D'UN POINT

Si nous supposons, par exemple, que le point mobile soit

parli sans vitesse d'un point A situé à une distance OA=a,

dx nous devrons avoir, pour /=0, x=a et -jr =0, ce qui donne

A=0 et B==:a ; la loi du mouvement devient alors

(3) X = a cos kt.

Le mouvement du mobile est oscillatoire ou périodique et s'efiectue entre les deux points A et A' placés symétriquement par rapport au point ; ce mouvement est celui de la projection d'un point qui parcourrait avec une vitesse constante la circonférence décrite sur AA' comme diamètre. La durée de la période T du mouvement, c'est-à-dire le temps nécessaire au mobile parti du point A pour y revenir, sera donnée par cos kT= 1 ou

La même loi du mouvement s'observera pour tout point mobile dont Paccélération variera proportionnellement à la longueur de l'arc $ compris entre ce point et un point fixe de sa trajectoire, queUe que soit la forme ou la courbure de celle-ci.

Le caractère principal de cette loi est l'isochronisme ou l'égalité de durée des oscillations ; cette durée, indépendante de l'amplitude a, ne dépend que de la valeur du coefficient k exprimant le rapport entre l'accélération et la distance du point mobile au point fixe.

VU. Seeond théorèitte irénéral. — Si ToiNponsidère le mouvement projeté sur un axe quelconque^ pris pâ^r axe des

X, la projection de l'accélération /«est exprimée par^^; par conséquent : \

/j\ d*x . d.vx . . - ^

(*) d?=J'^ ^" -dr^^=^*-

La projection de F accélération d\m point mobile sur un axe

ixe

quelconque est égale à la de'rivée, par rapport au temps, de la projection de la vitesse de ce point sur le même axe. Intégrant entre les époques to et /, le premier membre

a, comme intégrale générale, Vx ou ^ et Ton a

en affectant de l'indice la valeur de ^ pour /=0. Donc,

t accroissement de la vitesse projetée sur un axe est égal à la somme intégrale des produits^ par les éléments du temps y de la projection de C accélération totale sur le même axe.

Nous pouvons déduire, de ce théorème les conséquences suivantes :

Lorsque F accélération est constamment parallèle à un plan fixe, la projection de la vitesse du point sur une normale au plan fixe est constante, et par conséquent le mouvement estimé suivant cette normnle est uniforme. Et si la vitesse elle-même est, à un instant quelconque, contenue dans un plan parallèle au plan donné, sa projection sur la normale est nulle, et le point reste constamment dans ce plan.

Lorsque taccélération est constamment parallèle à une droite fixe^ le mouvement est plan. Si nous considérons, en effet, le plan mené par la vitesse à un instant quelconque, et parallèle^ ment à la direction constante donnée de Taccélération, la projection de la vitesse sur la normale à ce plan sera constamment nulle.

Si, dans ce dernier cas, la vitesse initiale est parallèle à la direction constante de l'accélération, le mouvement est rectiligne.

Nous avons déjà dit que lorsque taccélération passe constamment par un point fixe^ le mouvement est plan.

Vlf.Vr^Ifllèiiie théorème général. — Prenons maintenant les composantes de Taccélération sur deux des axes coordonnés rectangulaires,. soit

fj) ^'^; ^lï — i

\^i 5ïr — /« » di^—J^'

Multiplions respectivement par — y el par x ces deux équations et ajoutons-les» nous aurons :

d*t/ d}x d / dy dx\

(2) ^.j,-y.i. = x^.-y^. = 5j. (xj-^-y^^j.

Or, le premier membre esl le moment, par rapport à Taxe des z^ de Taccélération lolaley ou M^j; la parenthèse du dernier membre est le moment, par rapport au même axe, de la vitesse v, ou Mx.v. L'équation précédente peut donc s'écrire

(3) Mi/ = 5; ^iV ou d. Mg. v = mjt.jdi.

Elle nous donne cet important théorème :

Le moment de C accélération dun point par rapport à un axe quelconque est la dérivée^ par rapport au temps, du moment de la vitesse de ce point par rapport au même axe.

Intégrons encore entre les mêmes limites, nous aurons

(4) M^t? ■■,«,= / Mjdt.

V accroissement du moment de la vitesse d'un point par rapport à un axe quelconque est égal à la somme intégrale des moments^ par rapport aux mêmes axes^ des produits de faceération totale par les éléments du temps.

Ce troisième théorème général peut s'énoncer autrement. Si nous portons sur l'axe 0:^, à partir du point fixe 0, une ligne 0^2 égale au moment de la vitesse ^tv, et si nous considérons l'extrémité nif de cette ligne comme un point mobile,

la vitesse de ce pomt sera . = —rr- , c est-a-dire le moment, par rapport à Taxe des 2, de l'accélération/. Ainsi, le moment de faccélération d'un point, par mpport à un nxe^ est représenté par la vitesse de l'extrémité de la ligne qui représente le momerity par rapport au même axe, de la vitesse de cepoifit.

Considérons trois axes rectangulaires menés par le point (fig. 78), et portons sur chacun de ces axes Ox, Oy, Oz^ U

moment de la vitesse du point mobile par rapport à cet axe. Le .moment de cette vitesse par rapport au point sera, comme nous le savons (n^ 15), la résultante de ces trois moments par rapport aux axes ; et si nous construisons Taxe Om

de oe moment, le point m, extrémité de celte ligne, considéré comme mobile dansTespa^ce lorsque la vitesse v variera, aura toujours pour projections les extrémités mx, m«, mz des

Fig. 78.

lignes représentant les moments par rapport aux trois axes ; et la vitesse du point m dans l'espace sera, à chaque instant J a résultante des vitesses des points »»«, m^, m^, c'est-à-dire, d'après ce qui précède, la résultante des moments par rapport aux trois axes de l'accélération J. Or cette résultante n'est autre chose que le moment de l'accélération/ par rapport au point 0.

Par conséquent :

Le moment de t accélération d'un point mobile par rapport à un point fixe quelconque est égal en grandeur, direction et sens, à la vitesse de ^extrémité de la ligne qui représeiUe le moment, par -rapport au même point fixe, de la vitesse du poifU mobile.

HH. Vliéorèiiie de» alre«. — Remarquons que le moment de la vitesse d'un point, par rapport à un axe, est égal au double de la vitesse aréolaire de la projection de ce point sur un

plan perpendiculaire. En effet, par définition (n"" 13) le moment de la ligne MV (fig. 79) par rapport à l'axe O^r est égal au moment de la projection mv de cette ligne sur un plan perpendiculaire à l'axe, par rapport au pied de celui-ci, c'est-à-dire au produit mvX Fig. 79. Qp.Si M et M' sont deux posî-

lions infiniment voisines du point mobile, m, m' les positions correspondantes de sa projection, mv est égal à --n-, et la

surface du triangle mOm\ aire décrite par la projection du point sur un plan perpendiculaire à Taxe, est égale à

^ mm'xOp. Et si nous appelons Va,z 1& vitesse aréolaire de la

projection du point, c'est-à-dire le rapport de Taire mOm' au temps employé à la décrire, nous aurons :

1 mm' 1

ou bien, conformément à ce que nous avons énoncé

On peut donc mettre 2va,z au lieu de M^t; dans Téquation précédente, et modifier Ténoncé en conséquence. Cette modification n a dlntérèt que lorsque Taccélération y rencontre constamment l'axe des z,par rapport auquel on prend les moments. On aura alors constamment

et par suite

t;^^j=:const.

Lorsque F accélération dun point mobile rencontre constammeîU un axe, fixe, les aires décrites par le rayon vecteur , joignant le pied de cet axe à la projection du point mobile sur U7i plan perpendiculaire à Faxe^ sont proportionnelles aux temps.

Le théorème des aires que nous avons démontré plus haut, dans le cas du mouvement plan, n'est qu'un cas particulier de celui-ci.