MÉMOIRE

Par A. BARRÉ DB SAINT-VKNANT, ingéoieur dai Ponts «i Ch«u88éai.

c Tous les phénomènes terrestres dépendent de ce genre a de forces {Us forces aitractiues et répulsives qui ne sont u sensibles qu'à des distances imperceptibles) ^ comme les « phénomènes célestes dépendent de la gravitation univer- « setie. Leur considération me paratt être maintenant le u principal objet de la philosophie mathématiî]ue. Il me « semble même utile de l'introduire dans les démonstrations « de la mécanique, en abandonnant les considérations de u lign4>s sans masse, flexibles ou inflexibles, et de corps u parfaitement durs. Quelques essais m'ont fait voir qu*en u se rapprochant ainsi de la nature, on pouvait donner à « ces démonstrations autant de simplicité et beaucoup plus c( de clarté que par les méthodes usitées jusqu'à ce jour. »

(Laplacb, Mécanique céleste^ fin du chap. I^r du livre XII; 1885).

t. AiTaiit-propos. — G^est en méditant ces paroles de Tauleur de la Mécanique céleste^ ainsi que les travaux des géomètres qui ont répondu à son appel*, ou qui Tavaient même devancé', que j ai été conduit à me livrer à des recherches dont je présente la résultat au jugement de TÂcadémie.

Aujourd'hui les corps sont considérés comme des systèmes de points matériels maintenus à de petites distances par des forces attractives et répulsives» et les liaisons imaginées par les

4. Voy. différents mémoires de MM. Navier, Poisson, Cauchy, tomes 6, 7, 8, 9 de rinstitut et 20« cah. du Journal de l'Ecole polytechnique, les Exercices de math, de M. Cauchy, l'ouvrage de M. Coriolis intitulé : du Calcul de l'effet des machines, ch. III, et le Cours de mécaniaue fait à Metz par M. PoDcelel.

d. Mémoire lu en 1821 par M. Navier, T. 7, de l'Institut et Soc. philom. — Mémoire lu en 1822 à la Société philomatique par M. Cauchy.

terminant les positions des points, et par conséquent non applicable lorsqu'il y a des frottements et d'autres forces émanant de points extérieurs qui ont un certain mouvement. M. Navier a généralisé le théorème des Forces vives et en a beaucoup étendu Tutilité en faisant entrer, dans son énoncé, la mention

des produits Fdp et de leurs sommes fPdp^ qui sont ce qu'on

a successivement appelé moments, énergies, puissances, mécaniques, quantités d'action, travail des Forces. Nous emploierons cette dernière dénomination proposée par M. Coriolis,ainsi

que celle de Force vive qu'il donne, non plus à mv", ^mt>*, mais aux moitiés -7- ' S ~;r ^® ^^^ quantités, *

Enoncé, Le théorème des Forces vives, dans toute sa généralité, consiste donc en ce que la Force vive * acquise par wi système mobile^ pendant tin temps déterminé^ est égale au travail qui a lieu, pendant le même temps^ sur les points matériels dont ce système se compose. '

1. On appelle aujourd'hui force vive les quantités wi;* ou Cmv*. Leurs

moitiés, — , ^ — qui entrent dans l'équation des forces vives et du tra-

vail s'appellent la demi force vive ou la puissance vive ; cette dernière dénomination a été proposée par Bélanger (F.).

2. Avec la signification admise actuellement pour les mots force vive, il faudrait dire ici : la demi- force vive ou la puissance vive acquise, etc. Pour éviter toute ambiguïté nous ajouterons désormais au texte, devant le mot force vive, le mot demi entre parenthèses (F.).

3. Depuis la présentation de ce Mémoire à TAcadémie, la communication qui m'a été donnée des feuilles lithographiées du Cours fait à l'Ecole des Ponts et Chaussées par M. Coriolis, ingénieur en chef, de 1832 à 1833, m*a fait reconnaître que ce savant avait déjà exprimé, alors, que le principe des forces vives, pour un système quelconque, résuite simplement et immédiatement de l'addition des équations aux forces vives posées pour chacun des points matériels dont ce système se compose, en tenant compte des attractions et répulsions mutuelles de ces points, sauf à effacer du second membre (voy. ciaprès, art. 7) les termes affectés des actions réciproques des points dont les | distances mutuelles n'ont pas sensiblement changé pendant le mouvement.

M. Coriolis, dans un Mémoire sur le mouvement moyen de rotatiori présenté le 25 novembre 1833 à l'Académie, qui en a voté l'insertion aux Savants étrangers, a encore établi que la démonstration du principe des forces vives peut être dégagée de toute conception rationnelle sur la nature des liaisons qui existent entre les parties d'un système, en regardant tout système comme

MÉMOIRE DE SALNT-VENANT xm

4. Antre démonstration du théorème de» Forée* Tlve«; — £n partant de ce principe unique, que la vitesse Vi d'un point m sollicité par diverses forces P, P',...est, après un instant dt^ la résultante géométrique de la vitesse Vq qu'il possédait au commencement de cet instant et des vitesses élémen*

taires — , — .... que chacune des forces P, P',,.. lui eût

communiquées en agissant seule sur lui pendant le même instant, on peut donner une démonstration du théorème des Forces vives qui ne s'appuie sur aucune considération trigonométrique, et qui ne suppose aucune autre notion d'analyse infinitésimale que celles qui résultent de la simple définition des infiniment petits du 1" et du 2* ordre.

La résultante géométrique en question n'est, en effet, autre chose que le dernier côté d'un polygone dont les autres côtés sont égaux et parallèles respectivement à chacune des composantes de vitesse que Ton suppose avoir été communiquées Tune après l'autre au point m. Or, abaissons une perpendicu-

un assemblage de points exerçant les uns sur les autres des actions qui peuvent même varier avec le temps sans que le principe cesse d^être vrai.

M. Poncelet a eu la même idée; car, à la première page de Tavant-propos de son Cours de Mécanique indtutrielle publié en 1829 et dont l'édition est épuisée, il dit que le Principe général des forces vives^ qu'il ne faut pas confondre avec l'ancien théorème de la Conservation des forces vives a lieu toujours et sans reetriction quand on ne néglige aucune des actions qui s'exercent entre les corps du système, ni aucune des forces qui feraient changer les conditions de leur liaison. li paraît que dans une partie de son cours qui n'est que lithographiée, M. Poncelet obtenait l'équation générale des forces vives pour un système en additionnant les équations relatives à chaque point, méthode qui lui paraissait suffisamment exacte pour un cours fait à des ouvriers et qui, dans mon opinion, est plus rigoureuse et meilleure que toute autre.

Enfin M, du Buat (fils), capitaine de génie^ a, dans un ouvrage peu connu quoique rédigé avec beaucoup de talent, publié en 1821 sous le titre Mémoires sur la Mécanique, obtenu aussi l'équation générale des forces vives sans s'appuyer ni sur le principe des vitesses virtuelles^ ni sur le principe de d'Âiembert,par la simple addition des équations qui ontlieu pour les divers points, en démontrant ensuite fort simplement: i^ que quand les liaisons sont indépendantes du temps elles ne donnent rien dans l'équation générale ; 2,^ que quand elles dépendent du temps on peut toujours les remplacer par des forées.

Je suis heureux de m'étre rencontré avec ces savants. Cela me confirme dans lopinion à laquelle mes réflexions m'ont conduit depuis plus de six ans, que cette manière simple de démontrer les théorèmes généraux de la statique et de la dynamique peut être introduite avec avantage dans l'enseignement.

laire do Texlrémité de cette résultantes, sur le premier côté du polygone, qui est la vitesse initiale Vq ; soit $ la longueur de cette perpendiculaire infiniment petite et soient dp, dp\.. les projections, sur les directions respectives des forces, de l'espace Vodt parcouru par le point m pendant Tinstant dt en vertu

. . Plit

de la vitesse Vq : la projection du côté — du polygone sur v^

Pdt sera égale à — multiplie par le rapport de dp à v^dt, ce qui

donne — pour la longueur de cette projection. On aura des

expressions analogues pour les projections des autres côtés infiniment petits du polygone sur t^o- Donc, on a :

OU, en développant le carré, supprimant les infiniment petits du second ordre, et multipliant par - :

-^ =- "2^ + (prfp + ^dp' +....;.

En posant des équations semblables pour la vitesse après un second instant, comparée à r,, pour la vitesse après un troisième instant, comparée à celle-là, etc., jusqu'à ce qu'on arrive à la vitesse v acquise par le point m au bout du temps <, et en faisant de même pour tous les points mobiles dont un système se compose, on aura, si Ton additionne toutes ces équations ensemble, Téquation (c) qui sert d'expression au théorème général des Forces vives.

6. Réunion des terme» fournis par les forées rieures. — Des réductions auront toujours lieu dans le second membre de Téquation (c).

De même qu'il n'existe pour nous que des mouvements relalifSy ou des changements des distances mutuelles des points matériels que nous pouvons observer, de même, et probablement par cela seul, il n'y a pour nous dans le monde physique que des Forces réciproques ou d'attraction et de répulsion.

Toujours l'action que Ton regarde comme exercée par un

MÉMOIRE DE SAINT-VENANT xv

point sur un autre point est égale à la réaction du second sur le premier.

Les termes Pdp relatifs aux actions qui ont lieu entre les points du système se réuniront donc deux à deux en termes uniques de la forme P(rf/?i + dp^). Or, pendant l'instant dtj la direction de la ligne de jonction, finie ou infiniment petite, qui mesure la distance des deux points exerçant Tun sur Tautre l'action et la réaction P, n'éprouvera qu'une variation angulaire infiniment petite : donc cette ligne sera, à la fin de Tinstant, égale à sa projection sur la direction primitive ; et la variation linéaire que la distance des deux points aura éprouvée sera précisément égale à la somme algébrique dpi -\-dp^ des projections des déplacements de ces points sur la force P.

D'où il suit que, pour tenir compte du travail des forces intérieures, il suffira de faire entrer, dans la somme oP^j^ ^^s

quantités de travail à un instant quelconque, les produits de chacune de ces forces par la variation de longueur qu^ éprouve^ au même instant, la distance de ses deux points d'application.

U. Obnervationii sur les Forces extérieureii à centre fixe et h centre mobile. — Les travaux des forces extérieures (en appelant ainsi celles qui s'exercent entre un point du système et un point qui n'en fait pas partie et que l'on nomme centre d'action de cette force) sont exprimés par des produits tout à fait semblables, quand leurs centres d'action sont fixes relativement aux points ou aux plans auxquels on rapporte le mouvement du système mobile ; en effet, dp représente précisément, pour chacune de ces forces, Taugmentalion ou la diminution de la distance du point d'application mobile au centre d'action fixe.

Il n'en est pas de même pour les forces dont les centres d'action extérieurs changent de position à chaque instant. Le principe des Forces vives, tel qu'on l'a énoncé art. 3, subsiste quand il y a de pareilles forces extérieures ; mais seulement si l'on veut, alors, que tous les coefficients infiniment petits qui affectent les forces dans le second membre de l'équation (c) représentent les variations des dislances de leurs deux points d'application, il faut regarder comme forces intérieures ces forces à centre mobile ou comprendre leurs centres au nombre

xvi MÉCANIQUE GÉNÉRALE

des points du système, et introduire par conséquent, dans le premier membre, les variations des forces vives de ces centres attractifs et répulsifs dont les forces sont censées émaner.

Il est des forces extérieures dont on n'a pas besoin de tenir compte, bien que l'intensité en puisse être considérable : ce sont les forces qui impriment à tout un système le même mouvement qu'aux plans ou aux axes coordonnés que Ton a choisis pour y rapporter les distances et les vitesses de ces points. Telles sont les attractions des astres sur les systèmes terrestres de peu d'étendue, dont on rapporte les mouvements à des axes pris sur la terre.

£n tout cas (et c'est encore une loi générale fournie par l'observation), les forces sont fonctions des distances des points qui en sont mutuellement animés. On se tromperait si l'on pensait que le mouvement d'un centre d'attraction ou de répulsion influe sur l'intensité des actions qu'il exerce, autrement que par la variabilité que ce mouvement donne aux distances dont les attractions et les répulsions dépendent.

V. Réduction» dont l'équation des Forces vives est susceptible dans chaque cas. — Beaucoup de réductions, autres que celles dont on a parlé, art. 5, pourront être faites dans l'équation (c) appliquée à des problèmes particuliers. Ainsi, les attractions de tous les points de la terre pouvant être remplacées par une force fictive unique, appelée pesanteur et mesurée directement, leurs travaux s'exprimeront par un seul terme ; il en sera de même des travaux des actions intérieures d'un ressort; on pourra les remplacer par le travail d'une seule force réciproque, appliquée à ses deux extrémités et dont Texpérience aura fait connaître l'intensité et la loi, sans qu'on ait besoin, ordinairement, de s'inquiéter de la manière dont cette force se compose d'actions moléculaires individuelles.

Des réductions analogues auront lieu toutes les fois que les expériences qui peuvent seules, dans tous les cas, fixer la valeur des données, auront porté sur l'ensemble d'un grand nombre de termes Pdp au lieu d'avoir été relatives à chacun d'eux.

On doit encore rapporter à l'expérience les suppositions

MEMLUKH DK SAI.NT-VHNAM xvii

que certains corps solides sont invariables quant aux distances mutuelles des points qui les composent, que certains fils ne changent pas de longueur, que certaines surfaces sont parfaitement fixes, elc.Tous les travaux des actions intérieures de ces corps et de ces fils peuvent évidemment èlre effacés du second membre de Téqualion (c), car les déplacements relatifs dp ou dpi + dpi de leurs divers points sont nuls et les actions P de ces points n'ont pas une valeur infinie puisqu'elles sont contrebalancées par des forces finies : il en est de même des travaux des actions mutuelles de divers corps du système, supposés les uns et les autres parfaitement solides, bien que leurs surfaces puissent rouler les unes contre les autres, car il résulte de la loi de variabilité des forces, en fonction des distances de leurs points d'application réciproque, que le travail total de Taclion mutuelle de deux points est nul quand chacun d'eux ne fait que passer dans la sphère d'activité sensible de l'autre sans y rester, pourvu qu'on tienne compte de toutes les forces vives, même vibratoires, des oscillations partielles et des déformations permanentes. Des réunions nombreuses pourront, dans tous les cas, être opérées dans le premier membre de réquation (c), en sorte qu'elle se réduira souvent à un très petit nombre de termes.

Mais ces suppressions ou réunions ne sont jamais permises que lorsque les hypothèses d'invariabilité, d'immobilité, etc., qui les motivent et qui ne sont jamais exactes, ne conduisent pas, pendant la durée du mouvement dont on s'occupe, hors des limites de l'approximation qu'on s'est imposée.

Cette dernière observation s'applique au cas de liaisoiu variant avec le temps, de changements réputés brusques, etc., pour lesquels on pensait autrefois que le théorème des forces vives était en défaut. Ce théorème est général, mais les suppositions de liaisons invariables, etc., propres à en simplifier l'application pratique, doivent être faites avec discernement et sans oublier qu'elles ne sont jamais vraies qu'approximativement.

Dans tous les cas, l'équation générale et complète (c) rappellera ce qu'on néglige et rendra compte tout naturellement

XYiii MÉCANIQUE GÉNÉRALE

des anomalies que l'on croira trouver dans les résultais ^

9. Théorème de« foreeii viveii dues aax monvementii décomposé» «aidant de» dlreetionii fixes queleonqaeii.

— En multipliant par vcosa Téquation {a) de lart. 2, et en rintégrant, on a, u et u^ désignant les valeurs actuelle et initiale de cette composante t7cos a de la vitesse :

(a) -5 5- = J P . M cosot.a^

ce qui donne un ihéorème nouveau qu'on peut énoncer ainsi : Entre deux i?ista?Us quelconques, r accroissement de la {demi) force vive due au mouvement du7i point matériel, estimé ou décomposé suivant une direction quelconque, est égal au travail des forces qui le sollicitent^ dû à ce mouvement décomposé.

En ajoutant ensemble un nombre quelconque d'équations (rf), on a :

ce qui donne le même théorème pour tout un système mobile. Les directions de décomposition doivent être constantes pour chaque point, mais elles peuvent être différentes d'un point à l'autre. Le second membre de Téquation (e) éprouvera les réductions dont il est parlé art. 5, mais non pas, en général, celles qui résultent, dans l'équation ordinaire des forces vives, des hypothèses plus ou moins permises de lignes invariables, de mouvements obligatoires, etc., dont on a parlé art. précédent *.

La force vive effective et le travail effectif sont égaux à la somme des forces vives ou des travaux dâs aux mouvements décomposés suivant trois directiom rectangulaires. La somme des forces vives dues aux mouvements estimés suivant trois

1. Les forces intérieures pourront èlre supprimées pour des mouvements qui leur feront produire des travaux négligeables.

2. Ces hypothèses n*anéan tissent les travaux des actions intérieures que dans le cas où les mouvements sensibles peuvent s'exécuter sans qu'elles résistent.

MÉMOIRE DE SAIiNT-VËNANT xnt

axes rectangulaires est égale h la force vive efTective due au mouvement uou décomposé, et la somme des travaux dus à ces mêmes mouvements est égale au travail efleclif : cela résulte de ce que le carré de la diagonale d\in parallélépipède rectangle est égal à la somme des carrés des côtés, et de ce que la projection de cette même diagonale sur une ligne quelconque est toujours égale à la somme algébrique des projeclions des côtés ' .

Autre démonstration du principe des Forces vives. L'addition de trois équations comme Téquation (e) donne donc une troisième démonstration du principe des Forces vives dues aux vitesses non décomposées.

•. Prineipe de» vlteiises virtuelle». — Le principe des vitesses virtuelles se tire immédiatement de la somme des équations {a) appliquées à tout un système, en y supposant nuls les changements âf(t?cos a) que les forces font éprouver aux vitesses estimées dans une direction quelconque quand elles ne se foot pas équilibre. Cette hypothèse donne, en appelant ^p les projections, sur les forces P, d'une ligne infiniment petite et parallèle à la direction suivant laquelle on a estimé les vitesses :

équation que Ton peut obtenir directement d'une manière simple par le raisonnement de Tart. 1" ou de Fart. 3 réduit au cas où les vitesses communiquées sont nulles : il est facile de voir que les hypothèses indiquées aux art. 6 et 7 la réduisent à l'équation des vitesses virtuelles relative aux divers cas abstraits que Ton considère dans la statique ordinaire, pourvu qu'on prenne les directions et grandeurs de ip de manière qu'il n'y ait pas variation sensible de distance. Ces hypothèses et abstractions ne sont jamais qu'approximativemeiit conformes à la nature, ainsi que nous l'avons observé.

i. Ce théorème n*e8t pas inutile si on regarde les corps comme sans liaison ; c'est un résultat tout fait.

XX MKCAMQL'E GÉNIÎRALE

11 est bon de remarquer aussi que Téquilibre n'existaul jamais dans la nature, le second membre de Téqualion (/) des vitesses virtuelles a toujours une valeur finie, de la forme

^miidn, qui peut être quelquefois assez grande pour influer

sur les résultais, dans les questions même qui sont ordinairement regardées comme du domaine de la statique. Cette remarque peut trouver son application dans la théorie de la stabilité des constructions.

tO. Tiiéorèiiie du mouvement du eentre de nrravité.

— Le théorème du Centre de (yrâfuzVé? s'obtient en ajoutant ensemble toutes les équalions (a) relatives à divers points d'un système, en supposant que les lignes fixes de décomposition sont toutes parallèles entre elles. On a ainsi :

C^ d{c cos a) p, ^

Le centre de gravilé n'est qu'un point idéal dont la distance à un plan quelconque esl, à chaque instant, une moyenne entre toutes les distances^ au même plan, des points matériels du système, considérés comme partages en petites masses égales à la commune mesure de leurs masses. Soit donc U la vitesse de ce point, estimée parallèlement aux lignes de décom-

position, on a u == — z > a ou :

(A) g m = S P cos X.

Cette équation, dans laquelle il n'entre aucune des Forces intérieures du système, puisque leurs composantes égales et opposées deux à deux ont disparu de son second nombre, montre que le Mouvement du Centre de gravité^ estimé dans une direction quelconque, et par conséquent le mouvement absolu de ce centre, est le même que s il possédait la masse entière du système et si toutes les forces extérieures y étaient appliquées.

On peut appeler ce principe : Comervation des quantités de mouvement dans un sens déterminé. Quelque simple qu'il soit il a beaucoup embarrassé les géomètres. Les démonstrations qu'ils en ont données contiennent une pétition de principe,

MÉMOIRE DE SAINT-VENANT xxi

d'après M. de Prony ; c'est qu'on ne peut le démontrer sans avoir égard aux forces intérieures.

fi. Théorème des aires. — Si l'on pose l'équation (a) de l'art. !•' en prenant successivement deux lignes de décomposition se coupant rectangulairement, et si l'on représente par X et y les coordonnées du point m du système, comptées suivant ces deux lignes fixes, on a, a et aj étant les angles qu'elles font avec la force P :

iw ---== P cos a , m-î^ = Pcosai.

dt^ dl*

Retranchant la seconde de ces équations, multipliée par x de la première multipliée par y, on a, en observant que yd^x — xd^i/ = d{ydx — arrfy), et en faisant la somme de toutes les équations semblables, relatives aux divers points du svstème :

(î) g m (y^^^y^^y) ^ g p (y cos a — X cos a/j dt.

On n*aura à faire figurer, dans cette équation, aucune force située dans un même plan que Taxe, ou intérieure; car les moments du second membre seront nuls pour les forces de la première espèce et se détruiront deux à deux pour celles de la deuxième.

Cette équation exprime, comme Ton sait, le théorème des aires dans toute sa généralité.

19. Equation «:éiiérale de la dyiiaiiiique. — Quel que soit le mouvement d'un point matériel pendant un instant quelconque, la somme des travaux des forces qui le sollicitent est égale au travail de la résultante de ces forces, C(î principe connu de statique, qui peut être tiré de l'équation (a) ou (A), est une conséquence encore plus immédiate de ce que la résultante et les composantes, représentées en grandeur et en direction par des lignes droites, forment toujours un polygone fermé dont le dernier côté, qui est la résultante,a évidemment pour projection, sur une ligne quelconque de mouvement, la somme algébrique des projections des autres côtés 3ur la même ligne.

Or, la résultante de toutes les forces qui agissent sur un point m dont les coordonnées, parallèles h trois axes rectangulaires, X, y, Zj a respectivement pour composantes, dans le sens

de ces trois axes, d'après les lois énoncées à l'article 2, m — ?

m jj> m — • Donc, si Ton représente par ^x, Sy, iz, et par

S/?, S/>'... les projections respectives, sur les mêmes axes et sur les directions des forces P, P'^... d'un petit mouvement hypothétique qu'on attribuerait au point m, on aura, en ajoutant ensemble les équations exprimant, pour chacun des points du système, l'égalité des travaux des forces données P et de» composantes rectangulaires dont on vient de donner la valeur :

C'est l'équation que Lagrange * a obtenue en combinant le principe des vitesses virtuelles avec le principe de d'Alembert et dont il a tiré toute la dynamique.

Les termes PS/? provenant des forces intérieures se réuniront toujours deux à deux, dans le second membre de cette équation, comme les termes ^dp de l'art. 5, en termes uniques et égaux aux produits de ces forces par les variations infiniment petites des distances mutuelles de leurs deux points d'applicalion. Mais les réductions provenant de la supposition que certaines distances sont invariables, que certains points se meuvent sur des surfaces fixes (art. 7), etc., n'auront lieu que lorsque les mouvements fictifs seront choisis de manière à ne pas faire varier ces distances, à ne pas écarter ces points des surfaces sur lesquelles on suppose qu'ils doivent rester, etc.

18. Antre équation irénérale — L'équation [a] n'a lieu, en général, que lorsque la ligne faisant les angles a,.... et a avec les forces P.... et avec la vitesse v que l'on décompose suivant sa direction, reste fixe pendant toute la durée du mouvement dont on s'occupe.

Considérons maintenant une ligne dont la direction change