Mécanique analytique, 2® partie, sect. II

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continuellement; soient ^,... et b lesangles qu'elle forme avec les forces P,... et avec la vitesses; soite/c la variation angulaire qu'éprouve la direction de cette ligne pendant Finstant dt, cetle variation étant estimée dans un plan parallèle à la fois à cette même ligne et à la vitesse v. Posons Téquation {a) en prenant, pour ligne fixe de décomposition, celle qui coïncide avec la ligne variable au commencement de Finstant dt : l'accroissement (/(vcos a) qu'éprouvera, pendant cet instant, la composante de la vitesse suivant la ligne fixe, sera égal à l'accroissement total d[v cos b) de la composante suivant la ligne variable, moins l'accroissement de vco%b dû à la seule variation de de la direction de cette ligne : or ce dernier accroissement est t; [cos [b + de) — cos b] -= — v sin b . de. Substituant dans {a) on aura :

(/t) m [d {v cos b)+v sin b de] =(P cos p + F cos p'+.. .) dt.

En ajoutant toutes les équations semblables, relatives aux divers points du système, après les avoir multipliées par des indéterminées \ qui peuvent être différentes d'un point à l'autre ainsi que les directions des lignes arbitraires et variables suivant lesquelles v cos b et Pcos ^ sont les composantes de v et de P, on aura :

De cette équation (/), aussi générale que l'équation (7) de l'article précédent, on déduit presque immédiatement toutes celles que nous avons données ci-dessus, et d'autres en* core, en attribuant diverses valeurs aux indéterminées \ et diverses directions aux lignes arbitraires et variables suivant lesquelles les décompositions s'effectuent.

«4. Applleationa de eette équation. — Par exemple, si 6 = 0, \=^vdt^ on a l'équation qui, intégrée, donne le théorème des Forces vives.

Si X est la longueur de la perpendiculaire abaissée, de chaque point du système, sur un axe fixe et si Ton prend pour lignes de décomposition les tangentes aux cercles qui ont ces

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perpendiculaires pour rayon el leur pied pour centre, il n'est pas difficile de von- qu on aura - i= — r :-n:'' ^ O" •

(m) g mrf (7; V cos 6) — g X P cos p dt ;

ou, en représentant par p la dislance de la force P à Faxe fixe, par y l'angle de cette force avec un plan perpendiculaire à cet axe, enfin par A la projection, sur le même plan, de Taire décrite à partir d'un instant quelconque par une ligne joignant le point m à un point de Taxe fixe, et en remarquant que

P cos p = p cos y ^ , dA = \v cos bat ;

On arrive ainsi au théorème des aires d'une manière un pr'u plus directe qu'à Tart. il.

15. Principe relatif aux résiiltautea et aux eonipo* saules de vitesses. — Supposons qu'un mobile, en partant deTétat de repos, prenne une vitesse v au bout du temps t, étant soumis à des forces que nous appellerons P; supposons qu'après l'avoir réduit de nouveau au repos, on le soumette à d'autres forces P'qui lui fassent acquérir'une vitesse i?' après le temps t; que, de même, sous Tinfluence d'autres forces P", il prenne, toujours au bout du temps /, une vitesse v", etc. Supposons maintenant qu'après avoir anéanti de nouveau sa vitesse, on le soumette à la fois à toutes les forces P, P', P", etc., dont nous venons de parler. Il est évident, d'après les lois de la dynamique, rappelées au commencement de l'art. 2, qu'au bout du temps /, le mobile, ainsi sollicité, aura acquis une vitesse qui sera la résultante des vitesses v, v\ t?",.-- prises par lui après le même temps lorsqu'il a été sollicité séparément par les forces P, par les forces P , par les forces P",.-- De même, après un nouveau laps de temps t', sa vitesse sera la résultante de celles qu'il aurait possédées successivement si les forces P ,P', . . . qui agissent maintenant ensemble sur lui , avaient continué à agir séparément pendant ce même temps sur le corps, déjà animé de chacune des vitesses r, v\ v\ etc,

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Donc, tous les éléments qui établissent des relations entre les vitesses des points duh système, considérées à deux ins' tants déterminés et les forces qui ont sollicité ces points entre les deux mêmes instants, ont également lieu pour les résultantes de ces vitesses et d'autres vitesses quelconques, pourvu qu'on ajoute^ aux Forces données^ de nouvelles Forces capables de communiquer au système les variations subies par les nouvelles vitesses entre les deux instants que Ton considère.

Oq peut donner, à ce principe général, l'énoncé particulier qui suit, en remarquant que la résultante w d'une vitesse v et d'une vitesse — u n'est autre chose que la vitesse qui, composée avec + w, donnerait v :

Tous les théorèmes qui établissent des relations entre les vitesses v que prennent les points d'un système, et les forces qui les sollicitent^ ont également lieu pour des composantes quelconques w de ces vitesses ^pourvu qu'on ajoute des forces égales et contraires à celles qui sont capables de produire les variations des autres composantes u qui, avec w, donneraient les vitesses effectives v pour résultantes.

Ce principe, presque évident par lui-même sous sa première forme, peut fournir de nombreuses conséquences :

En l'appliquant, sous sa seconde forme, au théorème des Forces vives, on a celui de M. Coriolis *, consistant en ce que si [on décompose les mouvements des points d'un système en un mouvement commun à tous et en mouvements relatifs à chacun d'eux^ le théorème des forces vives a lieu pour ces derniers mouvements, pourvu qu on ajoute, au système, des forces égales et contraignes à celles qui produiraient les variations du mouvement commun. Ces forces sont nulles quand le mouvement commun est uniforme et rectiligne.

Si l'on applique le même principe, encore sous sa seconde forme, à l'équation ;wrft;=(P cos a + P'cosa H-...) dt qui n'est que l'équation (6) de l'art. 4, et si la composante de vitesse qu'on substitue à la vitesse effective v est v cos b, b étant l'angle de v avec une ligne variable qui fait les angles p, ^Vavec P, P'... on obtiendra l'équation générale (k) de l'art. 13.

i. Mécanique de M. Poisson, seconde édition, 693, et T. III des SavmU ftrangens.

En effet, la force qui produit les changements de grandeur de la deuxième composante t; sin b a une projection nulle sur la direction de vcosb, et il est facile de voir que la force qui

de produit les changements- de direction de v sinb est mv sin h ^.

16. Théorèmes aor les forces vives et les travaux dus aux mouvements des projeetions du centre de g^ravité et des projections des autres points par rapport & ce centre. — Si u représente la vitesse d'un point m d'un système, et U celle du centre de gravité de ce système, estimées l'une et l'autre suivant une même direction, on a

(arl. 10) : U= -^ , ou Sm (u — U)=0. Mais on a ideotiquo-

mcnl u'=U»H-2U(u — U)+(tt — U)'. Donc:

ce qui prouve que la force vive due aux vitesses des points d'un système, décomposées toutes suivant une même direction, est égale à la force vive que le même système possèderait si ces points aoaient des vitesses égales à la composante de la vitesse du centre de gravité suivant cette même directiony plus la force vive qui serait due aux différences entre les vitesses de chaque point et la vitesse du centre de gravité également décomposées.

Si l'on multiplie l'équation (A) du même article 10 par Urf/ et si Ton intègre, on a, Uo représentant la valeur initiale deU-:

ip) ^^m-^^m=J^Vco^^.\]dt.

c'est-à-dire que F accroissement ^ pendant un temps quelconque de la {demi) force vive que posséderait un système si tous ses points avaient des mouvements égaux au mouvement du centre de gravité, décomposé suivant wne direction fixe quelconque^ est égal au travail des forces, dû aux mêmes mouvements.

En combinant ces deux équations avec l'équation (rf) du n^ 8, gn a :

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équation qui montre que F accroissement ^ pendant un temps quelconque^ de la (demi) force vive que posséderait un système si ses points avaient des mouvements égaux aux diffèrences entre les tnouvemenls effectifs de chaque point et le mouvenieni du centre de gravité, décomposés les uns et les autres suivant une direction fixe, est égal au travail que produiraient ^ en vertu des menues mouveme7îts, les forces appliquées au système.

Théorèmes sur les forces vives et les travaux diis aux mouvements translatoires et non-translatoires. Si Ton forme trois équations comme chacune des équations (o), ip), (q) en faisant les décompositions de mouvement suivant trois droites rectangulaires, on aura, en les ajoutant, trois nouvelles équations qui, d'après ce qu'on a dit à la fin de Tart. 8, donneront, pour les Forces vives effectives et pour les travaux effectifs, des théorèmes semblables à ceux qu'on vient de trouver pour les Forces vives et pour les travaux dûs aux mouvements décomposés. En appelant mouvements de translation ou trafislatoires, des mouvements égaux el parallèles à celui du centre de gravité, ci mouvements nontranslatoires ceux qui, composés avec les premiers, donnent les mouvements effectifs des points du système, le théorème fourni par la somme des trois équations (o) pourra être énoncé ainsi :

La Force vive d'un système, à un instant quelconque y est égale à la somme de celles qui agiraient lieu en vertu des seuls mouvements de translation et en vertu des seuls mouvements non-translatoires. Il est dû, à ce qu'il paraît, à M. Coriolis*.

Et les théorèmes fournis par les deux sommes que donnent les équations (/>) et {q) peuvent être réunis en un seul énoncé :

IJ accroissement (positif ou négatif) qu'éprouve^ pendant un temps quelconque, la {demi) force vive d'un système^ due aux seuls mouvements translatoires ou aux seuls mouve-