Applle«Cloii an moairemeiK parabolique den
eorps pesants* — Soit à déterminer la loi du mouvement d'un point dont l'accélération serait verticale, constante, et représentée par y =9^,8088, c'est-à-dire égale k l'accélération des corps pesants à la surface de la terre ; le mouvement de ce point sera celui d'un corps pesant rapporté à la terre supposée immobile et en faisant abstraction de la résistance de l'air. D'après ce qui vient d'être dit, le mouvement de ce point s'effectue dans un plan mené par la vitesse initiale parallèlement à la direction de l'accélération, c'est-à-dire vertical. Prenons ce plan pour plan des xy (fig. 80), l'axe des x étant horizontal
et l'axe des y vertical de bas en
haut.
L'accélération du point mobile
M étant verticale^ dirigée de haut
Fig. 80. en bas et égale à y, ses projections
sur les deux axes sont respectivement et — y, et les équations générales du mouvement du point mobile sont :
Intégrons une première fois, et désignons par C, Cj deux constantes à déterminer, nous aurons :
La première de ces équations montre que la projection, sur Taxe des «r, de la vitesse du mobile est constante, et que la projection sur Taxe de y diminue proportionnellement à Taccroissement du temps, ce que nous aurions pu déduire immédiatement du second des théorèmes généraux (n® 76). Il en résulte que les constantes C et Ci sont les projections sur les axes de la vitesse initiale, ou bien ont pour valeurs, si Vq est celte vitesse et a Tangle que forme sa direction avec l'horizontale, VqCos a et Vosina.
Les équations précédentes s*écrivent donc:
. dx dy .
(2) — =t?oC08a , ~=«oSma— y/.
Intégrons encore une fois et remarquons que si nous avons pris pour origine des coordonnées la position initiale du mobile, il n'y a pas lieu d'ajouter de nouvelles constantes, nous obtiendrons :
(3) x=t;o/co8a , y = Vo'sina — ry^*;
équations qui donnent la loi du mouvement, et entre lesquelles l'élimination de t fournit celle de la trajectoire:
(4) y=^tanga-iy;^.
On peut, au moyen de ces équations, résoudre djvers pro^ blêmes. On peut, par exemple, UouYer la portée du jet^ c'est-
M. — LOIS GKNKHALES 163
à-dire la distance à laquelle le point mobile rencontrera l'horizontale du point de départ; il suffit de faire y = 0, ce qui donne :
(5) j:=0 et x= sinxcosa = -^ sm 2 a,
et montre que la portée est maximum pour a = 45®.
On peut aussi se proposer de déterminer une relation entre la grandeur et la direction de la vitesse initiale pour que le point mobile passe par un point dont les coordonnées a, b sont données; il suffit d'exprimer que Téquation de la trajectoire est satisfaite par ces coordonnées, c'est-à-dire écrire :
(6) b = almgx-lff;^^^^
OU bien, en exprimant cos a en fonction tang a et résolvant par rapport àtanga:
ce qui donne, en général, pour Tangle a, deux valeurs pour une valeur donnée de v^.
Pour que tang a soit réelle, il faut que la quantité sous le radical soit positive, ou que les coordonnées a, b satisfassent à la condition :
L'équation :
obtenue en égalant à zéro cette quantité est celle d'une parabole ayant pour axe la verticale Oy et qui limite les points du plan susceptibles d'être atteints par le mobile animé d'une vitesse initiale v^. On l'appelle parabole de sécurité. Il est facile de vérifier qu'elle est l'enveloppe des paraboles trajectoires du
IW CHAP. IV. -^ DÉTKHMLNATION \)[: MOUVI^MliNÏ D'UN POINT
mobile lancé avec la même vitesse iniliale r» et dans toutes les directions, c*est-à dire pour toutes les valeurs possibles de Tangle a.
Les équations précédentes comprennent, comme cas particulier, celui où la vitesse initiale est verticale, c'est-à-dire où a = 90* ou 270"*. On a alors v^ cos a = et Vo sin a = dt t\. Le mouvement est recliligne suivant la verticale Oy et son équation est :
(9) !/=±vJ-\gt\
Nous croyons inutile d'insister sur cet exemple ; la solution des problèmes auxquels il peut donner lieu étant, une fois connues les équations du mouvement, affaire d'analyse plutôt que de mécanique.
Si. C^s (général du mouvement reetilif^ne. — Etudiions maintenant le mouvement rectiligne qui se produit lorsque, Taccélération étant constamment parallèle à une droite iixe, la vitesse initiale elle-même est parallèle à la direction fixe de Taccélération. Supposons que Taccélération soit une fonction ou bien du temps seul, ou bien de la position variable du mobile, ou bien de sa vitesse. Nous aurons à résoudre Tune ou Tautre des trois équations :
(3) f=AW.
La première (1) donne successivement :
-ouv = t;o+ / f[t)dt — f^{t),
§ 1. - LOIS OKNI£RALES 105
La seconde (2) :
^ d^x dx y ^ ^ , ,
ou
équation que l'eu aurait pu poser immédiatement, d*après le quatrième des théorèmes généraux^ et qui devient :
^ = V/t%^ + 2/;/.(.r)rfa- = <p.(^),
dx
(G) di =
Enfin, la troisième (3) n'est autre chose que :
(8) -=/•,(«) ou rff=— ,
qui donne :
d'où:
c'est-à-dire :
dx . , .
ou bien :
^=/! j^io^^+^o.
On voit que, dans les trois hypothèses, le problème se résout par des quadratures.
8)9. Moawemeiit TCPtical d'un corps pesant dans an milieu résistant. — Comme exemple de ce dernier cas, étudions le mouvement d'un point dont Taccéléralion serait verticale et égale à y, comme celle des corps pesants à la surface de la terre ; mais serait, en outre, augmentée ou diminuée d'une accélération aussi verticale, dirigée en sens contraire du mouvement et proportionnelle au carré de la vitesse du mobile, la vitesse initiale de celui-ci étant supposée verticale.
Cet exemple est celui du mouvement des corps pesants dans un milieu résistant, comme l'atmosphère.
Considérons d'abord le mouvement ascendant, et soit v^ la vitesse initiale ; k désignant un coefficient supposé donné et v la vitesse à une époque quelconque, l'accélération à cette
même époque sera .9 { 1 + 7; ) et l'équation du mouvement, si
les X sont comptés de bas en haut à partir du point de départ :
qui donne :
gdl = — k
OU, en intégrant et observant que pour ^ = 0, on a t?
(2) j = arc tang. p — arc tang. - • D'où:
(3) v=k tang. (arc tang. p — |- ) ,
V0 sm — + ifc sin — k k
Remplaçant v par — et intégrant une seconde fois, on trouve, eu égard à ce que a: = pour ^ = : '
(») .= 'jw.(?-f+c„s2).
On voit que, — étant toujours négative, le mouvement se ra-
lentit de plus en plus et la vitesse s'annule au bout du temps /i donné en égalant à zéro Texpression (3) de la vitesse :
(5) /,= -arctangp,
et si Ton porte cette valeur de t^ dans l'expression de ar, on aura la hauteur h atteinte par le mobile :
(6) ,^ilLog(l + "^y
A partir de cet instant ^i, l'accélération de la pesanteur continuant de se produire, la vitesse devient négative, le mouvement change de sens, et il en est de même aussi de la quantité dont est accrue Faccélération et qui représente la résistance du fluide.
Si nous considérons alors le mouvement descendant, en prenant toujours l'origine au point de départ, les x positifs de haut en bas et la vitesse initiale égale à v^ mais dirigée de haut en bas, l'équation du mouvement sera :
ou
, h ( dv dv \
OU en intégrant et remarquant que pour { = on a t7=t;,:
1(58 CHAP. lY. — DKTKHMINATION \)V MOUVKMEM DXN PUINÏ ou bien, o\^ résolvant par rapport à v :
ift (jt
r„coli - +Asih-- (9) r = -- z:^ A'. •
r^ sili — -f A- cou — ^ &' A"
Remarquons que le numérateur de cette expression est, à .un facteur constant près, la dérivée de son dénominateur ; nous aurons, en intégrant une seconde fois :
(.0) .= i'Lo.(^U,'J+c„.,|')
c'est-à-dire une formule identique à la précédente (4), avec celte seule différence que les fonctions Irigonom^^triques sont remplacées par les fonctions hyperboliques.
Il suffira de faire ^0=0 dans l'équation (10) pour l'appliquer à la continuation du mouvement étudié dans le premier cas.
Lorsque / devient très grand, sih—et coh ^-tendent tous deux
t T 1 1 . , ^'t /^• + Vo\
vers - e * > et alors, v tend vers keix vers kl H — Log ( "tt" )•
La vitesse tend, comme on voit, vers la valeur fixe k dont elle s'approche, en augmentant ou en diminuant suivant qu elle était d'abord plus petite ou plus grande. Quant au point mobile, sa position tend vers celle d'un autre point placé à une distance constante - Log ( " ^ M d'un troisième mobile, parti de
l'origine en même temps que le premier et animé d'une vitesse constante égale à k.
SS. Cas d^ane aceélératlon centrale. — Si l'accélération passe constamment par un point fixe, et si, de plus, elle cslfo7iclion fie la seule distance du point mobile au point fixe, on l'appelle souvent alors accélération centrale et le problème se traite aussi facilement.
Si est le point fixe (fig. 81), M le point mobile et MM'=rfv
un élément de la trajectoire, l'accélération j élant dirigée suivant la droite OM, le produit géométrique y {x)ds ou j.dscos (j^ds), qui figure dans le second membre de Téqnation (2) du n^ 79, a ^'^* ^'- pour expression j.dr, en appelant r le
rayon vecteur OM et rfr son accroissement MMj ; en effet, ds cos (j,d$) n'est autre chose que MM» ou dr. Et alors, si Taccélération j est exprimée en fonction de la seule distance r,
en désignant par <p' celle fonction qui peut toujours être considérée comme la dérivée d'une certaine fonction 9, Téqualion (2) du n^ 79 devient
5 (v* — ro*) = / ?' W dr =- o (r) — 9 (n,), ou bien
(2) V' — 2 ç (r) = Vo' — 2 <p (^o) == une constante A.
D'un autre côté, Faccélération passant constamment par un point fixe, la vitesse aréolaire est constante^ c'est-à-dire que si désigne l'angle variable formé par le rayon vecteur OM avec une direction fixe Ox, on aura
(3) — r- = une autre constante c.
^ ' dt
Ces deux équations (2) et (3) vont nous donner la solution du problème.
La première (2) peut s'écrire .
(4) .^=A+2ç(r)=y =—irou bien, en éliminant d( au moyen de (3),
dr*' + r^de* , , ^ , v
équation différentielle de la trajectoire du mobile. On pont
l'écrire
dr« 1 fc-h2y(r)
OU
L dB J
iy ft + 2^(r)
Afin de retrouver ]a fonction donnée ç'C)» diflférentions cette dernière équation par rapport à 6, en considérant dans le
premier membre - comme la variable, nous aurons
de dô» ^^ r d$ c« dO'
ou bien, en remplaçant, dans le premier membre, —jjp par
1 dr
sa valeur ; 37 et la mettant en facteur commun :
r' dd
2 dr A ^*(;n 2y^(r) dr r« dô V "*" dO« ^ c* dO '
2dr
Supprimant le facteur — commun aux deux membres et
de
multiplant par j on a enfin
fXr)
équation qui, intégrée, donnera celle de la trajectoire du mobile ou inversement.
