Application an mouvenieiit des eorp« céleste

Si, par exemple, ainsi que l'observation Ta montré pour les corps célestes, un mobile parcourt une ellipse de manière que les aires décrites par le rayon vecteur mené à l'un des foyers soient proportionnelles aux temps, c'est-à-dire que Taccélé-

§ i. — LOIS GÉNÉRALES 171

ration totale soit constamment dirigée vers ce foyer, Téquation de la trajectoire étant, en désignant par e Texcentricité et par p le paramètre de Tellipse

On a :

ou

1 1 — e cos

1— g COSÔ

. . \r] f cose ,

et par suite, le premier membre de l'équation précédente

(3) i+'l(^=l=zrv!!l.

D'où,

(4) <f'ir) = -yi. •

L'accélération est donc dirigée vers le foyer (à cause de son signe — ) et elle est inversement proportionnelle au carré de la distance.

Si a et 6 sont les axes de Tellipse, onap ==-, Taire deTel-

lîpse est -^zab et si T représente la durée totale d'une révolution, la vitesse aréolaire dont nous avons représenté le double

nab par c sera — et nous aurons :

Mettant dans Texpression précédente, pour p et c ces valeurs, il viendra

comme nous l'avions déjà trouvé par des considérations purement géométriques au numéro 71.

Inversement, on déduirait facilement de la loi ©' (r) = q= —;

que le mobile dont Taccélération varie en raison inverse du carré de sa distance à un point fixe parcourt une conique dont ce point est le foyer.

L'équation différentielle de la trajectoire est alors

(7) ^ + !(l)-^'< el son ôqiialion finie est

(8) . = d: - + A sîn e+B cos 0,

qui représente une conique rapportée à son foyer. Les constantes A ol B sont à déterminer par les conditions initiales.