CONDITIONS

SS. Définitton des oondlttouii auxquelles •!! nuppofie anAuJeltl le mouvement. — Lorsqu'un point, animé d'un certain mouvement, parcourt une trajectoire déterminée, c'est que l'ensemble des conditions auxquelles il est assujetti l'astreint à la décrire, et, dans son mouvement, son accélération dépend, à chaque instant, et de la variation de sa vitesse et de la forme de cette trajectoire. Sans chercher, pour le moment, & nous rendre compte des circonstances dans lesquelles se produit ou se modifie le mouvement (étude réservée à la troisième partie de cet ouvrage), puisqu'il existe une corrélation entre le fait qu'un point mobile suit une trajectoire déterminée et la valeur de son accélération, nous pouvons, pour simplifier le langage, attribuer à la courbe elle-même la modification d accélération que subit le point en passant d'une trajectoire à une autre.

§ Z. — POJiVr ASSUJETTI A CEUTAINKS CONDITIONS 173

Un point libre sera alors celui dont le mouvement sera défini par une certaine accélération donnée et supposée inhérente aux conditions dans lesquelles se trouve ce point.

Si, ces conditions restant les mêmes, le point est astreint à parcourir une trajectoire déterminée, à rester sur une surface donnée, nous dirons que Taccéléralion qu'il est nécessaire d'ajouter géométriquement à la précédente, pour obtenir celle qu'il a dans son mouvement réel, est produite par la courbe ou par la surface ; ou bien, ce qui revient au même, nous admettrons que le point dont il s'agit conserve l'accélération donnée, inhérente atix conditions dans lesquelles il se trouverait si son mouvement n'était assujetti à aucune restriction, mais que la courbe ou la surface sur laquelle il est astreint à se mouvoir donne naissance à une autre accélération qui, composée avec la première, a précisément pour résultante Taccélération réelle qu'il possède dans son mouvement sur cette surface ou sur cette courbe.

Prenons par exemple un point que nous imaginerons être dans les mêmes conditions qu'un corps pesant à la surface de la terre, c'est-à-dire tel que son accélération soit constante en grandeur et en direction. Nous avons vu plus haut qu'un pareil point décrit, lorsqu'il est libre, une parabole à axe vertical dont nous avons déterminé les éléments. De même que le corps pesant peut, à la surface de la terre, sans cesser d'être soumis à l'action de la pesanteur, être astreint à décrire des trajectoires diverses, nous pourrons admettre que le point mobile décrive une courbe quelconque sans cesser d'avoir une accélération extérieure , cousismiG en grandeur et en direction; mais comme son accélération réelle sera alors différente, nous attribuerons à l'obligation de parcourir la courbe donnée, ou plus simplement à cette courbe elle-même, la composante qui représente la différence.

Cette hypothèse, comme il vient d'être dit, ne préjuge rien sur les causes réelles de la production ou de la modification du mouvement^ il faut y voir, moins une supposition formelle, qu^une forme de langage destinée à simplifier certains énoncés et la solution de certains problèmes.

Voici, en effet, comment on peut encore envisager cette question.

Deux points mobiles A, B, partant d'un même état initial (même position et même vitesse initiale) ont des mouvements différents : l'un d'eux, A, a une accélération exprimée par une fonction simple du temps ou des coordonnées, il a, par exemple, une accélération constante en grandeur et en direction, l'autre, B, parcourt une trajectoire connue ou donnée, suivant une loi à déterminer d'après certaines autres conditions. On peut, dans bien des circonstances, simplifier la résolution de ce problème en comparant le mouvement du second point à celui du premier. Que l'on imagine, à chaque instant, l'accélération j de ce second point décomposée en deux, l'une J égale à celle qu'aurait le premier et que nous venons d'appeler extérieure ou inhérente aux conditions dans lesquelles se trouve ce point, l'autre L dépendant seule de la loi inconnue de son mouvement et de la forme connue de sa trajectoire, l'on pourra considérer le mouvement du second point comme étant celui du premier modifié par l'adjonction de cette nouvelle accélération L, et l'on conçoit que par cet artifice on puisse, par la superposition de deux mouvements relativement simples, obtenir la loi cherchée du mouvement qui, sans cela, se présenterait sous une forme plus compliquée.

Cette décomposition 'de l'accélération dans le mouvement à déterminer est d'ailleurs souvent une conséquence naturelle de la façon dont le problème est posé lorsque, par exemple, Ton connait l'une des composantes de l'accélération du point et la trajectoire de ce mobile.

Quelle que soit, d'ailleurs, la raison qui nous déterminera à faire cette décomposition, \e point libre que nous avons défini plus haut est le point A dont l'accélération est exprimée par une fonction simple et dont le mouvement nous sert à étudier celui de l'autre.

Nous dirons que ce second point B est assujetti à se mouvoir sur une courbe fixe donnée, sa trajectoire, que nous supposons connue.

Nous attribuons alors à cette obligation hypothétique, que nous considérons comme imposée au second point, la composante L de son accélération par laquelle son mouvement diffère de celui du point libre et nous dirons que lorsqu'un point est

s 2. — POINT ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIONS 176

assujetti à se mouvoir sur une courbe fixe, cette obligation équivaut à une certaine accélération qui s'ajoute à celle qu'aurait le point s'il était libre, et que nous regardons comme due à la courbe fixe.

90. P«liit assujetti h se mouToir aur une eourbe donnée* — Cela posé, considérons un point qui parcourt une courbe donnée par ses deux équations :

(1) /(^iy,'2)=o , fi{^,yyz) = o .

Désignons par Jx, Jy, Jz les composantes, parallèles aux trois axes, de l'accélération J extérieure ou inhérente aux conditions dans lesquelles se trouverait le point si son mou- 'vement était libre, et par L^, Ly, Lz les composantes, parallèles aux axes, de l'accélération L que nous attribuons à la

courbe. Les composantes de l'accélération réelle du mouve-

d}x d}y rf*3 ,, ment sont toujours ;j;i » -rr: , "17% ^^i d après ce que nous ve-

€kL (ZI dv

nons de dire, cette accélération réelle est la somme géométrique de l'accélération J et de l'accélération L due à la courbe ; nous avons ainsi les trois équations :

La détermination de la loi du mouvement comporte toujours la connaissance de trois relations entre x, y, z et t, et pour y arriver, nous avons les cinq équations (1) et (2) qui comprennent, outre les trois inconnues a:, y, z, les trois quantités La;,Ly,Lz également inconnues. U y a donc indétermination et suivant que l'on attribuera à l'une de ces trois dernières quantités une valeur arbitraire quelconque, on obtiendra des mouvements différents pour le point mobile.

Ordinairement, on fait disparaître cette indétermination en admettant que l'accélération L attribuée à la courbe fait avec la tangente à cette courbe un angle donné 6. Si efe est un élément de la courbe dont les projections sur les trois axes sont dxj dy^ dz, les cosinus directeurs de la tangente au point con-

176 CHAP. IV. — DKTEHMINATION DU MOUVEMENT D'UN PULXT sidéré sont -7» T» T» ^^ 1^ condition qui vient d'être énoncée

as as as ^

s*exprimera par l'équation :

(3) Lxdx + Ly dy->r\jzdz=\jds cos H.

Au moyen des six équations (1), (2) et (3) on peut alors déterminer x^ y, Zj hx, Ly, Lj en fonction du temps, c est-à-dire trouver la loi du mouvement et la manière dont varie à chaque instant Taccélération due à la courbe.

Très souvent on admet que Faccélération attribuée à la courbe est contenue dans son plan normal, c'est-à-dire que Ton fait cos 9 = 0, et alors Téquation (3) devient :

(4) Lj; dx-^h^dy+hz dz = 0,

ou, plus simplement, d'après (4) du u!" 3, page 41,

(5) L{x)ds=^0.

Considérons alors la composante normale in de Taccélération J, c'est-à-dire la projection de cette accélération sur le plan normal à la courbe décrite par le point mobile. La composante normale de l'accélération du point dans son mouve-

ment réel est - en désignant par v sa vitesse et par p le rayon

de courbure de la trajecloire. Les trois accélérations Jn, L et —

sont situées dans le plan normal à la courbe et la dernière est la résultante des deux autres, on a alors :

ce qui donne immédiatement la valeur de L.

Lorsque J, est nulle, on a L (=) -, la courbe produit sur le

point mobile une accélération centripète égale à -; elle tend à

l'empêcher de s'écarter de son centre de courbure, ce que ferait ce point s'il était libre. Cette tendance centrifuge d'un point •que l'on astreint à parcourir une courbe donnée est un phé-