POLNT ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIONS W

nomëne biencoanu sur lequel nous revieudrons d'ailleurs dans la troisième partie.

99. Point assujetti à ne mouvoir mur une surfaee donnée. — Ce que nous venons de dire s'applique avec quelques modifications au cas d'un point assujetti à se mouvoir sur une surface donnée. Soit :

Téquation de la surface. Conservons aux letlres J et L les mêmes signiticalious que précédemment ; nous aurons encore les trois équations :

(2) '^' = Ja + L^. ,

dt^

et nous n'aurons enlre les six quantités inconnues que ces qualre relations nécessaires. Deux autres conditions sont donc indispensables pour faire cesser toute indétermination. On les trouve ordinairement en exprimant que l'accélération L est contenue dans le plan renfermant la normale à la surface et la tangente à la trajectoire et qu'elle fait avec la normale un angle déterminé.

Les cosinus directeurs de la normale à la surface sont -fy

j, -^, ceux de la tangente à la trajectoire sont comme tout à

riieure —, -^, -p. Pour exprimer que la droite Lest située dans

le même plan que ces deux lignes, il faut, comme on le sait, annuler le déterminant :

rf/

dti

7is

A cette condition, on ajoutera celle qui exprime que la di-

rection de L fait un angle donné avec la normale à la surface ou avec la tangente à la trajectoire

(i) \jj4jo 4- Lyfi^y -h h^dz = Lcfe cos 0.

On a alors six équations (1), (2), (3) et (i) qui suffisent à déterminer les sis inconnues x, y, z, L^, Ly, L^ en fonction du temps.

Pour la surface comme pour la courbe, on admet très souvent que Taccélération L ne peut être que normale ; alors les deux conditions (3), (4) se réduisent aux suivantes, exprimant qu'il y a égalité entre les cosinus directeurs de L et ceux de la normale à la surface :

L'accélération réelle du point mobile est toujours, par définition, égale à la somme géométrique de J et de L. Projetons ces lignes sur la direction de la normale à la surface, appelons Jn la projection de J. L'accélération du point, projetée sur la normale principale à la trajectoire, a pour valeur

- , et par suite, sa projection sur la normale à la surface sera

égale à — multipliée par le cosinus de l'angle des deux normales que nous désignerons par cos (p, n), car la projection sur cette direction de l'accélération tangentielle est nulle. Nous aurons ainsi

(6) --cos(p,M)=J» + L,

(7) L=--cos(p,w)— Jn,

ce qui donne encore la valeur de L.

Si, dans cette dernière hypothèse la plus ordinaire, où L est normale à la surface, nous supposons que l'accélération désignée par J soit nulle, c'est-à-dire que par suite des conditions extérieures dans lesquelles se trouve le point mobile il

g 2. — POINT ASSUJETTI A CKHTALXES CONDITIONS 179 î

ne reçoive cTucune accélération, les équations (2) dans lesquelles les composantes de J seront nulles, exprimeront que l'accélération réelle du point, dans son mouvement, coïncide avecL, ou qu'elle est due uniquement à l'obligation imposée au point de parcourir la surface, c'est-à-dire qu'elle est normale à la surface. Or cette accélération est contenue, (n* 65, page 139) dans le plan osculaleur de la trajectoire, lequel contient ainsi la normale à la surface. La trajectoire est donc alors une ligne géodésique de la surface donnée et le point mobile suit la ligne la plus courte que Ton puisse tracer, sur la surface, entre deux quelconques de ses positions. Comme d'ailleurs l'accélération est toujours normale à la trajectoire, sa composante langentielle est constamment nulle et la vitesse du point mobile est constante.

Le mouvement de ce point présente ainsi la plus grande analogie avec celui d'un point libre qui n'a aucune accélération, et qui, conservant la même vitesse, parcourt une ligne droite.

88. Application au pendule simple. — Appliquons les formules précédentes à la détermination de la loi du mouvement du pendule simple.

Pour simplifier, nous désignerons ^wt point pesant un point qui prendrait l'accélération que prennent tous les corps pesants à la surface de la terre.

Considérons donc un point pesant M (fig. 82) ayant une accélération extérieure constante en grandeur et en direction,

^ verticale et dirigée de haut en

\ bas, et que nous désignons par

1 \ Çy assujetti à rester à une dis-

\ \ tance invariable d'un point fixe

0. Appelons / la distance OM qui est la longueur du pendule, et supposons pour simplifier que le point mobile ait été aban*donné, sans vitesse initiale, à Fig. 82. partir de son point de départ

B, défini par Tangle AOB = ao que forme le rayon OB avec

180 CHAP. IV. — DÉTERMINATION DU MOUVExMENT D'UN POINT

la verticale OA. Soit M la position du mobile à l'époque t, cetle position étant définie de même par l'angle AOM = a.

Le point mobile assujetti à rester à une distance constante du point se trouve, en fait, assujetti à rester sur une sphère dont ce point est le centre. Si nous supposons que raccélération L, corrélative à cette obligation, soit constamment normale à la sphère, c'est-à-dire passe toujours par le point 0, l'accélération du mobile, résultante de L et de g^ rencontrera constamment la verticale OA; et, puisque la vitesse initiale est nulle, le mouvement s'effectuera dans un plan vertical passant par OA et le point de départ B. Le mobile décrira un arc de cercle, et la loi du mouvement sera définie si nous arrivons à exprimer oc en fonction de /.

Soit V la vitesse du mobile au point M. Son accélération réelle a une composante tangentielle, dirigée suivant MT et

égale à — , et une accélération normale dirigée suivant MO et

égale à -T. La résultante de ces deux accélérations doit être la

même que celle des deux accélérations g et L. Nous exprimerons cette égalité par Téquipollence :

laquelle équivaut à deux égalités algébriques que Ton obtiendra en projetant les lignes dont il s'agit sur deux directions rectangulaires. Choisissons les directions MO, MT et effectuons les projections, nous aurons :

(2) -=5rsma , j = — ^cosa + L.

La dernière équation nous donnera L en fonction de a et de t;, c'est-à-dire de t lorsque nous connaîtrons la loi du mouvement, qui nous sera donnée par la première quand nous y aurons exprimé v en fonction de a.

Or la vitesse v est toujours la dérivée, par rapport au temps, de l'espace parcouru par le mobile, et cet espace a pour oxprossion /(a^ — a); nous avons alors

(3) ^-^-ij,^ el d^ = ~'dr.*

g 2. — POINT ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIONS 181 ou bien, en subslituani :

équation cherchée entre a et / et qu'il suffit d'intégrer pour avoir la loi du mouvement. Elle donne d'abord, en muiti-

pliant le premier membre par 2-^ dt, le second par 2dcL et intégrant :

\di) "^i (cosa— cosao).

ce qui montre que l'angle a ne peut jamais d(^passer a^. Elxtrayant la racine carrée des deux membres, séparant les variables et remarquant que doL est désigne contraire à di puisque a décroit quand / augmente, nous avons :

{«) di

(fa

^ Vcos « — cos «0

L'intégrale du second membre ne peut pas s'obtenir en ter* mes finis. Si l'on suppose que les augles x et Oq soient assez petits pour que l'on puisse remplacer leurs cosinus respective-

ment par 1 — — » et 1 --> l'intégration devient facile. On a:

0) dt

et par suite :

t == i/ 1 arc cos — ou a == «o cos K/L , t.

Va oco y l

La valeur de l'angle « varie périodiquement de ao à — Oq, c'est-à-dire que le point mobile oscille du point B au point symétrique B', et qu0 la durée T d'une demi-oscillation, ou le

temps nécessaire pour que le mobile passe de B en B' ou inversement, est donnée par C0Bi/?.T = — 1 ou :

Elle est indépendante de Tangle a ; les oscillations de ce mobile sont donc isochrones, ou de même durde quelle que soit leur amplitude, à la condition bien entendu que cette amplitude soit assez petite pour que Ton puisse en négliger les puissances supérieures à la seconde.

Ce résultat aurait pu être déduit immédiatement de celui qui a été énoncé au n^ 75 ci-dessus, en remarquant que laccé-

lération tangentielle j du point mobile est, si Ton néglige les

puissances de a supérieures à la seconde, exprimée par — ya, c'est-à-dire proportionnelle à la longueur de Tare de la trajectoire compris entre le point A et la position du point mobile.

Il s'en suit que la loi du mouvement du point, dans retendue où les puissances supérieures de a sont négligeables, est celle du mouvement périodique ou oscillatoire défini au n"* 75, qu'il est, comme celui-là, isochrone, c'est-à-dire que la durée de ses oscillations esl indépendante de leur amplitude.

Puisque Ton a :

dv g j

la constante k des équations de c(5 n'* 75 est alors dgale à

? et la durée d'une demi -oscillation esl bien égale à :

On trouvera dans les traités d'analyse le calcul de la durée de l'oscillation lorsque l'angle initial ocq n'est pas très petit. Nous ne donnerons pas ces calculs qui sont des exercices d'analyse ; nous nous bornerons à dire que lorsque l'amplitude initiale «q est assez petite pour qu'on puisse négliger seulement