POINT ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIONS
les puissances supérieures à la troisième la durée des oscillations s'exprime par la formule * :
90. Pendule eonique. — A la même approximation nous déterminerons le mouvement du même point pesant, supposé s'écarter très peu de la verticale, mais animé d'une vitesse initiale quelconque, tangente à la sphère sur laquelle il doit se mouvoir.
Soit comme plus haut (fig. 83) le point fixe à distance invariable duquel est assujetti à se mouvoir le point mobile M, soit B la position initiale et BY la vitesse initiale de ce point. Menons la verticale OA et projetons le mouvement sur un plan horizontal. Soit a la projection de la verticale OA, m et ô les projections des points M, B. L'accélération du point M, résultante d'une accélération verticale g et d une accélération variable en grandeur, mais passant constamment parle point 0, sera toujours contenue dans le plan vertical passant par M et par OA. La projection de cette accélération, qui est Taccélération du mouvement projeté, sera constamment dirigée vers le point a. Il en résulte que les aires décrites par le rayon vecteur am sont proportionnelles aux temps.
Si nous supposons, en outre, que le point mobile M s'écarte assez peu de la verticale pour que sa vitesse à chaque instant puisse être considérée comme horizontale, ou ce qui est la même chose, pour que sa trajectoire puisse être considérée
4. On trouvera, en particulier, dans le traité de Résistance des Matériaux qui fait partie de V Encyclopédie, page 437, la démonstration de cette formule (iO) lorsque l'on peut négliger les puissances de a supérieures à la troisième.
comme égale à sa projection horizontale, il en sera de même a chaque inslant de son accélération. Or, si à un instant quelconque nous opérons, comme plus haut, la composition des accélérations ^ et L dans le plan contenant à C6t instant la verticale AO et le point mobile M, c'est-à-dire si nous projetons ces deux accélérations sur la tangente MT menée à la sphère dans ce plan, nous aurons, pour la composante de l'accélération dirigée suivant MT, et par suite pour sa projection hori*
zontale dirigée suivant ma, la valeur ^ sin a = -j- ma.
Ainsi l'accélération dans le mouvement projeté est constamment dirigée vers un centre fixe a et elle est proportionnelle à la distance du point mobile à ce centre. Nous avons vu, n* 69, page 145, que dans ce cas le point m décrit une ellipse, dont le point a est le centre.
Le mouvement de la projection du point M étant ainsi déterminé, celui de ce point lui-même Test aussi.
fNI« Pendule eyeloïdal. — Supposons qu'au lieu d'être astreint à se mouvoir sur unarcdecercle^comme au n® 88, lo point mobile considéré soit assujetti à parcourir une cy cl oïde contenue dans un plan vertical. Soit AB (fig. 84) cette cy-
Fig. 84.
clolde engendrée par un point M d'une circonférence EF roulant sur l'horizontale ÂB. Prenons le point le plus bas C de la courbe pour origine des coordonnées, l'axe des x horizontal et l'axe des y vertical. Si nous appelons aie diamètre EF du cercle générateur, l'équation différentielle de la cycloïde sera (n37 ;4o):
ou
ds
§ 2. — POINT ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIOiNS 185
OU bien h
(2) 5 = 2 \^, s* = kay,
en appelant s la longueur de Tare CM.
L'accélération du point mobile se compose de Taccélération ^ constante ^, parallèle aux y, dirigée vers les y négatifs, et de raccélération L, inconnue, dirigée suivant la normale MI à la courbe ; d'autre part, en appelant v la vitesse du point, p le rayon de courbure de la trajectoire, les composantes de Taccé-
lération totale sont — suivant ME et - suivant MI, nous avons
at p
donc, comme précédemment, Téquipollence
Projetons encore sur les deux directions i^ectangulaires ME, MI ; nous aurons :
(4) — . -- = ^ sin MEj:, -= — g cos MEa: + L.
La dernière équation nous donnera L en fonction de a et de V lorsque nous connaîtrons la loi du mouvement qui nous sera fournie par la première. En mettant pour sin MEo? sa valeur, celle-ci devient
multipliant le premier membre par vdl^ le second par ds
='\/^dy qui lui est égal, il vient, en changeant les signes : ^ y
(^) vdv = — ffdy,
OU, en intégrant, et désignant par y^ l'ordonnée du point de départ du mobile :
i86 CHAP. IV. — DÉTERMINATION DU MOUVEMENT DTN POINT
On aurait pu écrire immédiatement cette équation en appliquant le théorème du n^ 79, puisque la somme intégrale de à / des produits géométriques des accélérations par les éléments d$ du chemin parcouru se réduit à g (y^ — y), Taccélération L étant constamment normale k ds et donnant toujours un produit géométrique nul.
Mettons dans cette équation, au lieu de y et j^q, leurs valeurs en s et s^; nous aurons
OU bien
(9) dt ^—K/fH *
S yiso* — «•
Intégrant et remarquant qu'il n'y a pas à ajouter de constante puisque s=Sq pour t^O, il vient
(<0) r==\/!?arcco8L.
D'où
(tt) s = s, cos /
La durée totale de la demi-oscillation s'obtiendra en faisant *•= — «0 ou le cosinus égal à w, ce qui donne
fia
et cette durée est indépendante de Sq. Toutes les oscillalions du point mobile s'effectuent dans le môme temps que celles d'un pendule simple dont la longueur serait le double du diamètre du cercle générateur.
