POINT ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIONS

Cette propriété de la cycloi'de lui a valu le nom de courbe tautochrone .

Nous aurions pu, comme plus haut, déduire cette propriété de la valeur de la composante tangentielle de Taccélération,

laquelle exprimée par ^ i/? est égale, en remplaçant y par sa

valeur --, àf-. s.

L'accélération tangentielle est donc proportionnelle aux arcs de la trajectoire comptés à partir du point C ; il en résulte (n^ 75) que le point mobile exécutera, de part et d'autre du point C, des oscillations isochrones dont la durée sera

/Ta

pour chaque demî-oscillatîon, et que l'équation du mouvement sera

So COS tt/ If

ce qui est précisément ce que nous avons trouvé autrement.

•t. Mouvement d'un point pesant sur une droite inelinée. — Etudions encore le mouvement d'un point pesant sur une droite inclinée faisant un angle a avec la verticale (fig. 85), et supposons, comme nous l'avons fait d^ailleurs dans les deux exemples qui précèdent, que l'accélération qui équivaut k l'obligation pour le point de parcourir la droite donnée soit toujours normale à cette trajectoire. Le rayon de

courbure de celle-ci étant infini, l'accélération normale -sera

P toujours nulle, et l'équipollence que nous avons déjà écrite

plusieurs fois se réduira h

188 CHAP. IV. — DÉTERMINATIOxN DU MOUVEMENT D'UN POINT

ou, en projetant sur la direction de la trajectoire AM et sur la direction normale MN :

(2) j=yco8«; L= — gsinoL»

La dernière donne L, qui est constante.

La première, intégrée, devient en appc- ^^ lant t'o la vitesse initiale :

(3) r=ro + y/cosa.

*^' ^' Et, en appelant x la longueur parcourue

AM, à partir d'un point donné A où le mobile est supposé se

trouver à Tépoque /=0,et en remarquant que «=--:

W x = vt + - gl^ cos a.

Supposons que ronaitt;o=0,ouque le mobile ait été abandonné sans vitesse au point A, ces équations deviennent :

y a:=- gr^«cos a.

V gt cos a

D'où

^tgx cos «.

Si le point, au lieu de parcourir la droite inclinée AM avait suivi la verticale AC, sa vitesse au point P, situé à une hauteur A =jr cos a, c'est-à-dire dans le même plan horizontal

que My aurait été égale à \'2gh = ^2gxcos a.

La vitesse du point mobile est donc la même que s'il était tombé librement de la même hauteur verticale, et cela quelle que soit Tinclinaison de la droite qu'il a été astreint à suivre.

Ce résultat est une conséquence évidente du théorème du no 79 exprimé par Téquation

1 ipt ,;^î) = £j (X) ds.

L'accélération L, étant normale à la trajectoire, ne donne rien dans le produit géométrique du second membre qui se réduit ainsi à la somme des produits g (X) dx ou gdx cos a, laquelle est bien éirale n gh quel que soit l'angle x.

J 2. — POINT ASSUJETTI A CEHTAliNES (JUNDiïlONS 189

Au point M élevons MC perpendiculaire à AM, et soit C son point d'intersection avecla verlicalc ; nous avons x=ACcosa;

donc AC = 'gl^y ou encore

Cette expression ne dépendant que de AC montre que te mobile partant du repos en A mettra le même temps à parcourir toutes les cordes issues de ce point et limitées aux pieds des perpendiculaires abaissées du point C, c'est-à-dire à la circonfjérence de cercle décrite sur la verticale AC comme diamètre.

Il est facile de vérifier que le temps nécessaire au mobile pour parcourir la droite inclinée AM est le même que celui qu'il mettrait à parcourir la droite perpendiculaire MCen partant du repos en M ; et cola, quel que soit Tangle a.

Supposons maintenant, contrairement à ce que nous avons fait jusqu'ici, que Taccéléralion due à la droite AM soit oblique à cette droite, et fasse, du côté opposé au sens du mouvement, avec la normale à celle ligne, un angle que nous désignerons par <p. Le problème se traite toujours de la mémo manière et Téquipollence

donne, en remarquant que L fait alors Tangle <p avec la normale MN :

— = ûr cos a + L sin © , = y sin a + L cos o.

D'où, en éliminant L :

dfû cos (g -t- y)

dt ^ cos ff

Le mouvement du point est encore uniformément accéléré ; seulement l'accélération, au lieu d'être comme dans le cas pré-

cos (ctr^ 9)

cèdent égale à g cos a, n'est plus que g '- — = y cos a —

g sin a tang ç. Elle est donc diminuée si, comme nous le supposons, les angles a et (p sont inférieurs à 90 degrés.

Lorsque a + 9 = - on a cos (a + ç) = et par suite 57 = 0,

le mouvement est uniforme, ou bien, si la vitesse initiale Vq était nulle, le point resterait immobile.

Si Ton avait a + <p > - , le cosinus deviendrait négatif ainsi

que T- . La vitesse initiale irait donc en diminuant jusqu'à zéro

et alors le point s'arrêterait. Il ne se remettrait pas en mouvement ensuite, puisque par hypothèse l'accélération L, étant dirigée en sens contraire du mouvement, changerait de sens avec le mouvement lui-même.

•t. Braehlfitoelirone d'an point pesant. — Revenons à rhypothèse la plus simple où laccélération attribuée à la courbe que doit suivre le point pesant dans son mouvement est constamment normale à cette courbe, et proposons-nous alors de déterminer la forme que doit avoir cette trajectoire pour que la durée du trajet du point mobile partant du repos entre deux points fixes donnés Â^ B (fig. 86), soit minimum.

Remarquons d'abord que, quelle que soit la forme de la trajectoire, la vitesse du point, lorsqu'il arrivera à un plan horizontal MC à une hauteur verticale AC au-dessous du point A, sera toujours la même. En effet, le théorème du n' 79 nous ^^ ^ donnera toujours :

et le produit géométrique du second membre de cette équation est, quelle que soit la forme de la trajectoire AM entre les points A et M, égale au produit de l'accélération constante g en F>«- 86. grandeur et en direction par

la projection AG de l'espace parcouru.

Supposons nulle la vitesse initiale t?^, nous aurons toujours

t»' = 2^XAC

8 2. — POliNT ASSUJETTI A CERTAINES CONDltlONS 191

quel que soit le chemin suivi entre le point A et le plan horizontal CM.

n résulte d'abord de là que la courbe cherchée, dite brachistochrone du point pesant, sera contenue dans le plan vertical passant par les deux points donnés A et B. En effet, une courbe quelconque, joignant ces deux points, est plus longue que sa projection sur ce plan et comme chacun de ses éléments sera parcouru avec la même vitesse que l'élément correspondant de sa projection, celle-ci exigera une durée totale moindre pour le parcours entre les deux extrémités communes.

Prenons donc le plan vertical mené par les points A et B pour plan de la figure, le point le plus haut A pour origine. Taxe des x horizontal et Paxe des y vertical dirigé de haut en bas. Divisons la courbe par des lignes horizontales équidistantes dont l'intervalle sera rfy, considérons trois points consécutifs Ml, M, M' de la courbe cherchée, désignons par v la vitesse du point mobile dans le premier intervalle, deM, à M, w H- (fo cette vitesse dans le second, de M à M', et par i et i + di les angles formés avec la verticale MN par les éléments MM| et MM'. D'après le théorème de Fermât * nous devons avoir :

1. Ce théorème peut s'énoncer ainsi : si un point doit aller de A en B,

fig. 87y en traversant un plan MM', et s'il se meut de chaque côté de ce plan

avec des vitesses constantes v, t/, le trajet exigeant le moins de temps est

composé de deux droites AC, GB contenues dans le plan normal à MM^ et

. , , ,., j 1 . .# I sin * sin t' faisant avec la normale ISN des angles t et % tels que — = .

On voit d'abord, en raisonnant comme plus haut, que le trajet exigeant le moins de temps se trouve dans le plan mené par AB^ normalement au plan MM^ Soit alors ACB ce trajet cherché. Prenons un point 0/ à une distance infiniment petite dx du point G et considérons le trajet AG'B, menons GD, C'D' perpendiculaires à AC et GB ; la durée du trajet de A en G' dépasse

11 , 1 , ^ , (ia?sini

celle du trajet de A en G de — — ; au

contraire, celle de G' en B est moindre que

(te sin t' celle de G en B de la quantité — .Par

conséquent, la durée du trajet total, de A

192 CHAP. IV. — DÉTKKMLNATlaN DU MOUVEMtNT b'\jfi POINT.

sin I sin (t + «'O

r v-\- de

. . dx

ou bien, puisque nous avons t* = \l^9yi

dx 1

- — -z^ = const.

ou bien encore, en désignant par a une longueur constante à déterminer

Equation différentielle d'une cycloîde comme on peut le voir on la comparant à celle du n"* 37, 1'*. Elle donne d'ailleurs, en

mettant pour dx sa valeur yjds^ — rfy' :

ds =

et en intégrant et remarquant, pour déterminer la constante d'intégration, que 5 et ^ s'annulent en même temps :

s = 2a—2 va (a — y)

ou bien, en transportant Torigine au point s = 2a^ f/ = a:

s' = i ay,

équation, dans sa forme ordinaire, d'une cycloîde dont le cercle générateur a pour diamètre la constante inconnue a.

On détermine cette constante en exprimant que la courbe passe au point B, dont les coordonnées sont supposées connues.

en B, en passant par le point C^, dilTère de celle du trajet passant par le point

^ , , . , , /sin 1 sin t'\ C de la quantité dx i ;- j .

Si le point C correspond & un minimum, celte didërenlielle de la durée du trajet doit être uulfe, ce qui démaatre le théorème éaoQcé.