SI

•s. Héflaitlon des systènies invariableft. — Le titre de ce chapitre indique que nous étudions le mouvement des systèmes invariables non pas dans ses lois, c'est-à-dire dans la manière dont il se modifie avec le temps, mais simplement dans les propriétés de ses éléments statiques. En d'autres termes, nous nous bornerons à comparer. les vitesses des divers points sans nous occuper de leurs accélérations.

On appelle système invariable un système de points assujettis à rester à des distances invariables les uns des autres. Il résulte de cette ddiinition que les angles formés par les différentes lignes droites réunissant deux à deux les points du système sont également invariables et que, par suite, la forme du système est toujours la même. C'est ce qui justifie son nom.

La position d'un système invariable, dans Tespace, est déterminée quand on connaît celle de trois de ses points non en ligne droite. En effet, la position d'un quatrième point quelconque sera déterminée par Tintersection des trois sphères décrites des trois points donnés comme centres avec des rayons égaux à leurs distances à ce quatrième point. Ces trois sphères ont deux points communs ; mais il ne peut y avoir d'ambiguïté sur celui de ces deux points qu'il convient de choisir, si Ton considère que des deux tétraèdres formés en joignant ces deux points aux trois autres, l'un seulement est superposable à celui qui serait obtenu de la même manière avec les positions primitives des points ; l'autre, symétrique, ne saurait convenir à la question.

Ânalytiquement, la position de trois points dans l'espace exige la connaissance des neuf coordonnées de ces points ; mais comme il y a, entré ces quantités, trois relatioas données exprimant que les distances de ces trois points sont invariables, il suffira de six relations entre les coordonnées des points du système pour déterminer sa position. Si donc n est le nombre de ces points, la condition d'invariabilité de forme équivaut à 3n — 6 relations entre leurs 3w coordonnées.

Le mouvement d'un système invariable dans l'espace sera donc défini par six équations de la former:, ou y, ou z = f{t)^ donnant à chaque époque les valeurs de six des SfT coordonnées des points de ce système. Nous allons en donner des exemples.

fl4. Mouvement de translation. — On dit qu'une droite est animée d'un mouvement de translation lorsqu'elle se déplace en restant constamment parallèle à elle-même. To7iS ses points restant à des distances invariables les uns des autres, ont à chaque instant mente vitesse et même accélération et

8 i. — MOUVEMENTS ÉLÉMENTAIRES.

Pig. 88.

décrivent des trajectoires géométriquement égales ou super-

posables. Si, en effet, A,B (fig. 88) sont deux pM^ points quelconques de la droite mobile, Ai, A|,

M A, B|, B|... leurs positions successives^ les

J,^ ^ droites AiB,, AgBt,... sont égales et parallèles à AB, les figures qu'elles forment avec AB sont des parallélogrammes, et les côtés AAt, A1A3... sont respectivement égaux et parallèles k BBj,

BiBt« ce qui, en passant k la limite, démontre

la proposition qui vient d'être énoncée.

Si deux droites concourantes, menées dans un système in« variable, ont un mouvement de translation, il en est de même de toute autre droite du système qui est dit, lui-même, animé d'un mouvement de translation. Cela est évident pour toute droite rencontrant les deux premières ; en effet, chacun des points de celles-ci a même vitesse et même trajectoire que leur point commun, et cette troisième droite ayant deux de ses points qui ont même vitesse et même trajectoire a un mouvement de translation. S'il s'agit d'une droite ne rencontrant pas les deux premières, en la projetant sur le plan de celles-ci, sa projection les rencontrera et sera par suite animée d'un mouvement de translation, et il en sera de même de la droite dont elle est la projection qui fait avec elle un angle constant.

Lors donc qu'un système invariable a un mouvement de translation, tous ses points décrivent des trajectoires égales et ont à chaque instant même vitesse et même accélération. 11 en est de même, par conséquent, du centre de gravité du système.

M. Mouvement de rototlen. — Lorsqu'un système invariable se déplace de manière que deux de ses points restent fixes, il est dit animé d'un mouvement de rotation. Il est évident, d'abord, que tous les points de la droite qui joint les deux points fixes sont également fixes ; en effet, ils ne pourraient s'écarter de la droite qui les joint sans ^écarter de l'un d'eux au moins, ce qui est impossible puisque le système est invariable. Cette droite immobile porte le nom à!axe de la rotation.

Si Ton considère un point M quelconque en dehors de Taxe, el si, de ce point, on abaisse uiîe perpendiculaire sur l'axe, celle ligne, dans le mouvement du syslème, restera perpendiculaire à Taxe et de Ionf*:ueur constante. Le point M quelconque décrira donc une circonférence de cercle dont le plan sera perpendiculaire à Taxe et dont le rayon est la distance de ce point à Taxe. Le plan mené par ce point et par Taxe porte le nom de méridien du point M. Tous les points situés dans un même plan méridien restent dans ce même plan pendant le mouvement; Tangle de deux plans méridiens restant invariable, chacun de ces plans décrit des angles égaux dans le même temps.

La position d\m point du système définit alors celle du système entier, et cette position d'un point est déterminée si Ton connaît, à chaque instant, Tangle 6 que fait son plan méridien avec la position initiale de ce même plan. Cet angle est le même pour tous les plans méridiens. Une équation de la forme

déiinit donc le mouvement de rotation d'un système invariable. Un point quelconque, à une distance /• de Taxe, a son mouvement défini par Téquation 5=5o + ?'6 = 5a+rç(/), puisque

sa trajectoire est déterminée. Sa vitesse est y = r j- et elle est

dirigée suivant la tangente à la trajectoire, c'est-à-dire norma-

• . . . . rfO

lemeut au plan méridien. La vitesse angulaire j-^ç' (/) étant

la même pour tous les points, on voit que les vitesses des points sont proportionnelles aux distances de ces points à Taxe.

Quant à Taccélération, sa composante tangenlielle j a pour

valeur r — =.r <p (/), et sa composante normale est — ou

■r j ■ La dérivée seconde, cp"(<)r=-. -—, est l'accélération angulaire, la même pour tous les points.

I 1.— MOUYEMKNTS ÉLÉMENTAIRES

. Ml. Mouvement d'ane fleure plane dans son plan.

— L'étude du mouvement des systèmes invariables est facilitée par celle du mouvement d'une figure plane dans son plan, dont nous allons nous occuper.

. Une figure plane est un système invariable, et si elle se meut dans son plan, sa position est délcrminée lorsque Ton connaît celle de deux de ses points. Si Ton rapporte ces points à deux axes de coordonnées rectangulaires dans le plan, la connais* sance de la position de deux points exigera celle de leurs quatre coordonnées ; mais comme il y a, entre ces quantités, une relation nécessaire, exprimant que la distance do deux points est invariable, il suffira de trois équations de la forme X ou yz=zf[t) pour définir à chaque instant la position de la figure plane dans son plan. Si, en général, n est le nombre de points delà figure, les 2n coordonnées de ces points pourront être calculées lorsque Ton connaîtra trois d'entre elles ; la condition d'invariabilité de la forme de la figure équivaut donc à 2n — 3 relations entre les coordonnées de ses points.

•9. Centre IniitonCané de rotation. — Une figure plane peut être amenée d*une position à une autre quelconque, dans son plan, au moyen d'une rotation autour d'un point du plan. La position de la figure dans le plan, étant définie par celle de deux de ses points, soient A, B (fig. 89j ces deux points dans leur position initiale, Aj, B^ leur position finale. Menons

A Aj , BBi et, aux milieux I et K de ces deux lignes, élevons des perpendiculaires IC, KC, qui se rencontrent en C. Le point C est celui autour duquel la figure doit tourner pour passer de la position définie par AB, à celle d(?finie par A, B,. Joignons-le, en effet, aux quatre points A, B, Ai, B, ; les doux triangles ABC, Aj B, C (^tant égaux comme ayant leurs trois côtés égaux cl ayant un sommet C commun, si Ton fait tourner le triangle ABC autour de ce sommet jusqu'à ce que l'un des côtés CA, par exemple, vionne coïncider avec CA,, AB coïncidera alors avec Aj B, ;

Fig. 89.

c'est-à-dire que la figure plane aura été amenée de sa première à sa seconde position au moyen d'une rotation autour du point C.

Cette rotation peut différer et diffère en général du mouvement réel dont la figure a pu être animée pour passer d'une position à l'autre, et les trajectoires de ses divers points qui, dans le mouvement de rotation, sont des arcs de cercle décrits du point C comme centre, difTerent en général des trajectoires réelles de ces mêmes points ; mais si l'on ne considère que les cordes AÂi, BBi, ... elles sont les mêmes dans le mouvement de rotation et dans le mouvement réel.

Cela est vrai quel que soit le déplacement de la figure et subsiste lorsque le déplacement devient infiniment petit. Les cordes AAi, BBi... deviennent alors les tangentes aux arcs de cercle du mouvement de rotation et aux trajectoires du mouvement réel, et les quotients des longueurs de ces cordes par le temps infiniment petit pendant lequel s*effectue le déplacement deviennent les vitesses dans les deux mouvements ; et l'on voit quelles sont les mêmes. On en déduit immédiatement les conséquences suivantes :

Les normales aux trajectoires de tous les points dune figure plane qui se déplace d'une manière quelconque dans son plan passent à chaque instant par un même point.

Les vitesses de ces différents points sont, à chaque instanty proportionnelles à leurs distances au point de concours des normales.

Ce point porte de nom de centre instantané de rotation. Cette dénomination rappelle que le point dont il s'agit ne joue le rôle de centre de rotation que pendant un intervalle de temps infiniment petit, après lequel le centre de rotation prend une autre position dans le plan, et ainsi de suite. *

Il n'est pas inutile de faire remarquer que les cercles décrits du centre instantané comme centre et tangents aux trajectoires des différents points de la figure n'ont, en général, avec ces trajectoires, qu'un contact ordinaire ou du premier ordre, c'està-dire qu'ils s'en écartent, au bout d'un temps infiniment petit du premier ordre, d'un infiniment petit du second ordre. Telle est la valeur de l'approximation que Ton fait, en substituant au

il. — MOUVEMENTS ÉLÉMENTAIRES 190

moavement réel le mouvement de rotation autour du centre instantané.

On peut d'ailleurs vérifier facilement que si, à une certaine (époque, deux points mobiles coïncident et s'ils ont même vitesse en grandeur, direction et sens, ils ne se sont écartés, après un temps infiniment petit du premier ordre, que d'un espace infiniment petit du second ordre. Il est inutile d'insister sur la démonstration.

Lorsque la figure plane, qui se déplace dans son plan, est une courbe, il existe toujours, comme on sait, une courbe enveloppe de ses positions successives, et cette enveloppe, lieu des intersections de deux courbes infiniment voisines, est tangente à chacune des courbes.

La normale à la courbe mobile à son point de contact avec Tenveloppe, c'est-à-dire la normale commune à Fenveloppe et à Fenveloppée passe, à chaque instant, par le centre instantané de rotation.

Si en effet MN (fig. 90) est la courbe mobile dans une de

ses positions, C le centre instantané de rotation correspondant, CP la normale abaissée de ce point sur la courbe MN, considérons deux points A et B situés sur la courbe de part et d'autre du point P ; dans le mouvement de rotation autour du point C ces deux points viendront respectivement en A' et en B', de part et d'autre de la courbe MN ; le point d^intersection de cette courbe et de sa nouvelle position passant par A'B' sera donc situé entre A' et B', c'est-à-dire, à la limite, lorsque AA', BB' sont infiniment petits, au point P, puisque l'on peut prendre les points A et B aussi voisins de ce point qu'on le veut. Ce point P, intersection de deux positions successives de la courbe mobile est donc un point de Tenveloppë qui y est tangente à la courbe MN et par suite normale à CP. Ce qui démontre le théorème énoncé.

Les propriétés du centre instantané de rotation permettent de résoudre divers problèmes; en particulier celui qui consiste, étant données les vitesses de deux points de la figure mobile,

à Irouver celle d'ua autre point quelconque. AA', BB' (fig. 91)

étant les vitesses données des deux points A, ■>A B, il suffit évidemment d'élever en A, B, sur

yv^^ ^ leurs directions, les perpendiculaires AC, BC

/ ^ pour avoir, au point C d'intersection de ces li-

/ gnes, le centre instantané de rotation corrcs-

/x\ pondant ; et alors la vitesse d'un autre point

X^'^ ^M' quelconque M s'obtiendra en joignant ce point

au point C, et en portant sur la perpendicu-

Fig. 91. \^\xçt à MC une ligne MM' telle que Ton ait