MM' AA' BB

— ^^ AT "^ RT^ ligne MM sera la vitesse du point M.

On voit que les vitesses A A' et BB' des deux points A et B ne peuvent être quelconques : elles doivent satisfaire à la condition qui vient d'entre écrite, c'est-à-dire qu'elles doivent être proportionnelles à leurs distances au point C. Nous avons vu, d'un autre côté, que les vitesses des divers points d'une droite AB avaient même projection sur cette droite ; il est facile do vérifier que ces deux conditions sont équivalentes.

Il suffit, comme nous l'avons dit, de trois conditions pour définir la position de la figure dans le plan, ou de trois équations pour définir son mouvement ; or, donner les grandeurs et les directions des vitesses de deux points, c'est donner quatre conditions qui ne peuvent, par conséquent, être choisies arbitrairement. On ne peut se donner que la grandeur et la direction de l'une des deux vitesses avec la grandeur ou la direction de l'autre, et ces trois données suffisent pour résoudre le problème.

9H. Uffait^e du centre Siistaulané de rotation pour tracer lc« tangentes aux courbes. — Chaque vitesse AA', BB', MM'... étant tangente à la trajectoire du point correspondant, on voit que la connaissance des tangentes aux trajectoires de deux points de la figure permet de construire la tangente à la trajectoire d'un autre point quelconque. Nous allons en donner des exemples.

Une droite de longueur constante se meut, dans un plan, de manière que ses extrémités A et B (fig. 92) se trouvent con$-

iamment sur deux courbes données. Si Ton mène les normales à ces deux courbes, elles concourront au cenlre instantané de

rotation qui sera ainsi on C, et si un point quelconque M est lié d'une manière invariable à la droite AB, la normale à sa trajectoire passera par le point C, c'est-àdire que la tangente au lieu géométrique décrit par le point M sera la ligne MT, perpendiculaire à CM.

^'»- ^- On sait, par exemple, que si les deux

courbes données sont des lignes droites et si le point M se trouve sur la droite AB, 1er lieu dont il s'agit est une ellipse, à laquelle on peut ainsi construire la tangente.

Une droite se déplace dans un plan de manière à ce qu'un de ses points A parcoure une courbe donnée et qu'elle reste toujours tangente à une autre courbe donnée (fig. 93). Cette seconde courbe peut être ^^.--3*-»C considérée comme l'enve-

loppe des positions de la droite, et alors la normale au point de contact B de TenVeloppe et de Tenvelop- Fig. 93. pée passe au cenlre instan-

tané de rotation, lequel se trouve aussi sur la normale à la trajectoire connue du point A. Il se trouve donc en C, au point de concours de ces deux normales, et la normale à la trajectoire d'im point quelconque M, invariablement lié à la droite mobile, sera la droite CM, ce qui donne la tangente MT à celle trajectoire.

Ce dernier exemple comprend, comme cas particulier, le cas où la droite mobile, au lieu d'être constamment tangente à une courbe fixe, passe constamment par un point fixe que l'on peut considérer comme un cercle d'un rayon infiniment petit. L'une des deux normales, servant à déterminer le centre instantané de rotation, est alors la perpendiculaire élevée à la droite mobile par le point lixc par lequel elle est astreinte il passer. On retrouve ainsi, en particulier, Tune des deux constructions que nous avons données plus haut pour la tanerenle à la conchnlde.

99. Appllcatloa à la détermination da rapport des vitesse» de divers points. — Les propriétés du centre instantané de rotation permettent aussi de trouver les rapports entre les vitesses des différents points d'une figure mobile. Considérons, par exemple, deux manivelles OA, O'A' tournant autour d'axes parallèles 0, 0' et reliées par une bielle ÂA'. On se propose de trouver la relation qui existe, à un instant quelconque, entre les vitesses angulaires c»^ <ù' de rotation de ces deux manivelles.

La bielle AA', de longueur constante, se meut de manière que ses extrémités parcourent les circonférences et 0', le centre instantané de rotation de cette bielle est donc au point C, intersection' des rayons OA, O'A' prolongés. Les vitesses v

Fig. 94.

et v' des deux points A et A' sont proportionnelles à leurs distances à ce point et, d'autre part, ces vitesses sont égales aux vitesses angulaires de rotation des manivelles, multipliées par le rayon correspondant. Si r et r représentent les rayons décès manivelles, on a ainsi :

r GA r«

v=ro>, u=ra>, et ;r' = ^ =7r;-

Par Tun des deux centres 0', par exemple, menons une parallèle O'B h Tautre manivelle OA jusqu'à son intersection en B avec la bielle prolongée, les deux triangles semblables CAA', O'BA' nous donneront :

GA O'B ,. rw O'B

TTir, = ;;7r/ ou bien -r-/ = — r ;

GA' O'A' r'« r' '

d OÙ -/ = rr

w' OA

et comme OA est constant, le rapport des vitesses varie proportionnellement à O'B.

Si, en particulier, les deux rayons deviennent égaux et parallèles, les longueurs O'B, OA sont constamment les mêmes : les vitesses angulaires sont égales.

Et si Ton prolonge la ligne AA' jusqu'à sa rencontre en K avec la ligne des centres 00', on aura :

«'"" OA "OK* Les vitesses angulaires des deux manivelles sont, à chaque instant, en rapport inverse des distances des axes au point K.

^ \ On trouverait,de mê-

f \ me, la relation entre la

^ vitesse angulaire d'une

manivelle OA (fig. 95) reliée par une bielle AB à la tige BB' d'un piston animé d'un mouvement rectiligne. Le Q centre instantané de ro-

Fig. 95. tation de la bielle AB

est au point C, intersection du rayon OA prolongé et de la perpendiculaire élevée au point B à la direction BB'. Si cette direction prolongée passe par le point 0, on a, en menant OD parallèle à CB jusqu'à la rencontre de BA prolongée, et en désignant par r le rayon OA, par o sa vitesse angulaire et par V la vitesse linéaire du point B:

ca'