0D OA

OD r '

co.OD.

D'où

On voit que pour une valeur donnée de o la vitesses devient maximum lorsque la manivelle OA coïncide avec OD, c'est-àdire est perpendiculaire à OB; elle s'annule, au contraire, lorsque la manivelle se trouve dans la direction même de OB.

lOO. Monveinent d'an nyiitèiiie invariaMe parallèle^ ment à an plan Orne. — Un système invariable se meut pa-

rallëlement à un plan fixe lorsque tous ses points décrivent des trajecloires parallèles à ce plan fixe. Tous les points situés dans ce plan ou dans un plan parallèle restent donc dans le même plan, et comme la position du système est définie par la position de trois points non en ligne droite, on voit que le déplacement d'un système invariable parallèlement à un plan fixe peut être obtenu par une rotation autour d'un axe perpendiculaire à ce plan. S'il s'agit d'un déplacement infiniment petit. Taxe de rotation porte le nom d'axe instantané ; les vitesses des divers points sont proportionnelles aux distances de ces points à Taxe, etc. Tout ce qui a été dit du mouvement d'une figure plane dans son plan s'applique au mouvement d'un système parallèlement à un plan.

toi. llouveinent crune flipurc sphérique sur une spbère. — Considérons une figure invariable, tracée sur une sphère et se déplaçant sur cette sphère. Le système invariable formé par cette figure et par le centre de la sphère a sa position définie par celle de trois de ses points, c'est-à-dire, puisque le centre est fixe, que la position de la figure sphérique sur la sphère sera définie par celle de deux de ses points ; ces deux points étant d'ailleurs à distance invariable l'un de l'autre et du centre, il existe entre leurs six coordonnées trois relations nécessaires.

En d'autres termes, trois conditions sont nécessaires et suffisantes pour déterminer les coordonnées des points de la figure sphérique.

En raisonnant absolument de la même manière que plus haut, pour le déplacement d'une figure plane dans son plan, on reconnaîtra que :

Une figure sphérique peut être amenée d'une position quelconque à une autre, sur la surface de la sphère, par une rotation autour d'un pôle convenablement choisi ;

Le mouvement élémentaire le plus général est une rotation autour d'un pôle instantané de rotation. Les vitesses des divers points sont proportionnelles aux distances de ces points à l'axe passant par le pôle et par le centre de la sphère.

§ l. — MULVEMKNTS ÉLÉMti.NTAlHKS 205

tOM. Mouvement d'an nyslènie invariable qui a un peint Urne. — Si Ton considère le déplacement d'un système invariable qui a un point fixe, si Ton coupe ce système par une sphère ayant son centre au point fixe, et si sur cette sphère on prend deux points invariablement liés au système mobile, la position de ces deux points définira celle du système. Ces deux points déterminent un arc de grand cercle qui se déplace sur la surface de la sphère ; par conséquent :

Un système invariable qui a un point fixe peut être amené d'une position à une autre quelconque, au moyen d'une rota-* tion autour d'un axe passant par le point fixe.

Le mouvement élémentaire le plus général d'un système invariable dont un point est fixe, est une rotation autour d'un axe instantané de rotation.

Il y a donc, k chaque instant^ dans le mouvement continu d'un système invariable qui a un point fixe, une infinité de points en ligne droite dont les vitesses sont nulles.

103. Mouvement le plu» général d'un «y«tème in« variable. — Étudions maintenant le mouvement le plus général d'un système invariable dans l'espace.

On peut toujours amener ce système d'une position à une autre au movcn d'une trajislation et d'une rotation.

Les positions de ce système sont définies par celles de trois de ses points: soient A, B, C (lig. 96) les positions initiales, À', B', C les positions finales de trois points quelconques. Joignons AA' et imprimons au système une translation égale et A /x n parallèle à AA', c'est-à-dire telle

^^"^ 7' "^^-^^^^^ que tous ses points décrivent des

^ "^^ ^ ^~Ar ^^v;--} '^C trajectoires égales et parallèles à

7 V^/'' * A A': le point A viendra en A', B ^ ^^ viendra en B, et C en Ci. Et pour

pig 9g passer de la position A' Bj C| à la

position définitive A' B' C le système devra se déplacer de manière à conserver un de ses points A' fixe, c'est-à-dire que son déplacement pourra être obtenu par une rotation autour d'un axe A'X passant par A' ; ce qui démontre le théorème énoncé. Ou reconnaît d'ailleurs que la translation peut être suivie ou

précédée de la rotation ou que ces deux mouvements peuvent être simultanés.

Projetons les déplacements AA', BB\ CC etc. des divers points du système, sur la direction A'X de Taxe de la rotation. La projection BB' du déplacement d'un point quelconque B sera la somme des projections des lignes BBj et B,B\ Or cette dernière, arc de cercle décrit dans la rotation autour de A'X, est située dans un plan perpendiculaire à cet axe et a une projection nulle ; la projection de BB' se réduit ainsi à la projection de BBi égale et parallèle à AA'. Les déplacements de tous les points ont donc même projection sur Taxe A'X. Remarquons d'ailleurs que cette direction est la seule pour laquelle cette propriété subsiste, car pour toute autre, la projection du déplacement BB' se composerait toujours de la projection de BBi, égale à celle de A A' et de la projection de BjB' qui n'est nulle que sur la direction A'X.

Comme on peut faire le même raisonnement en partant de tout autre point, B, C,... au lieu du point A, on reconnaît que quel que soit le point duquel on est parti pour effectuer la translation, la direction de Taxe de la rotation est la même. On peut voir aussi que l'angle de la rotation est le même quelle que soit la translation que Ton aura faite d'abord.

Projetons les mouvements sur un plan perpendiculaire à la direction de l'axe A'X (fig.

97). Dans la translation A A', le point B vient d'abord en Bi puis en B' par une rotation autour de A'X ; les projections a, é, viennent respectivement en a', Aj, b\ Si l'on imprime au système une translation parallèle à BB', amenant le point B à sa ^'K. w. position définitive, A viendra en

A, et devra être amené en A' par une rotation autour d'un axe BX parallèle à AX ; les projections a, b viendront respectivement en a„ a' et en b\ Or, *'a, est égal et parallèle à Aa, et il en est de même de A,a', la figure btb'a^a^ est un parallèle*

gramme et les angles bxdh\ dVa^ qui mesurent les rotations effectuées dans les deux cas sont égaux, ce qu'il fallait démontrer. On voit aussi que le sens de la rotation est toujours le même.

t04. Ane Instontené de rotation et de fl^linsemeiit.

— Parmi toutes les translations qui peuvent accompagner la rotation pour amener le système invariable dans sa position définitive, il y en a une qui est parallèle à la direction de Taxe de la rotation.

Imprimons en effet au système une translation, parallèle à Taxe de la rotation et égale à la projection , égale p(Tur tous les points, de leurs déplacements sur cet axe. Dans le mouvement qui restera à effectuer pour amener le système à sa position définitive, les déplacements à attribuer aux divers points devront avoir une projection nulle sur Taxe, c'est-à-dire qu'ils devront se mouvoir dans des plans perpendiculaires à l'axe. Ce second mouvement sera, par conséquent, parallèle à un plan fixe et pourra être obtenu par une rotation perpendiculaire à ce plan fixe, ou parallèle à la direction de la translation. On voit en même temps que la position de Taxe de la rotation qui accompagne la translation parallèle à sa direction est déterminée dans l'espace.

Cet axe porte le nom d'axe de rotation et de glissement.

Si, au lieu de considérer des déplacements finis, on considère des déplacements infiniment petits, les trajectoires des divers points dans le mouvement qui vient d'être décrit auront toujours mêmes cordes que les trajectoires dans le mouvement réel et par suite, à la limite, mêmes vitesses. Or, dans le mouvement de rotation et de glissement, la vitesse d'un point quelconque est la somme géométrique des vitesses dans les deux mouvements simultanés ou successifs dont il se compose. Dans le mouvement de glissement, c'est-à-dire dans la translation parallèle à l'axe, les vitesses de tous les points sont égales et si Y est le glissement, ou le déplacement parallèle à

Taxe, cette vitesse a pour expression — . Dans le mouvement

de rotation, la vitesse de chaque point est égale à la vitesse an-

208 CFIAP. V. — SY:^TÊAÎKS A L ÉTAT DE MoUVEMt.XT

gulalre, la même pour tous les points et que Ton peut écrire -r- en appelant 6 langle de la rotation, multipliée par la distance r du point à Taxe inslaulané. C'est donc r 7-. La vitesse

d'un point quelconque aainsi pour expression i/ l-l\ j^yt (—V

car ces deux vitesses simultanées sont rectangulaires. La direction de cette vitesse, diagonale du rectangle construit sur les deux vitesses composantes, est celle de la tangente à une hélice tracée sur un cylindre circulaire de rayon r et dont le pas est le même pour tous les points du système en mouvement.

On exprime ce résultat en disant que le mouvement le plus général d'un système invariable est un mouvement hélicoïdal autour d'un axe instantané de rotation et de glissement. II est facile, d'après cela, de résoudre le problème suivant : Etant données les vitesses de trois points d'un système invariable, trouver celle d'un quatrième point quelconque.

Observons d'abord que les trois vitesses données ne peuvent être arbitraires : deux quelconques d'entre elles doivent avoir même projection sur la droite qui joint leurs points d'application. Cela posé, soient A,B,, AjBj, A3B3 (fig. 98) les vitesses données des trois points A,, A^, A3. Ces trois vitesses ont même projection sur l'axe instantané de rotation et de glissement. Si donc par un point quelconque on mène trois lignes y ^ 0«i, 0«2 7 Oa^ respectivement équi-

poUentes aux trois lignes représentant les vitesses, et si du point on A a^ abaisse la perpendiculaire OP sur

j^ -^^ le plan déterminé par les trois '^« Q^ ^ points fl|, ffi, ^^3, la direction OP

sera celle de Faxe instantané, et la projection sur cette direction de la vitesse cherchée d'un quatrième point A quelconque sera égale à OP. Si, par les trois points Aj, Aj, A3, nous menons des parallèles à OP, ces lignes AiXi, ÂjXa,

§ î. - MOUVEMENTS CONTINUS 209

A3X3, déterminent, avec les trois vitesses correspondantes, trois plans qui sont tangents aux cylindres ayant pour axe Taxe instantané, qui se trouvera par conséquent à Tintersecliondes trois plans menés par A,Xi, AjX,, A3X3 perpendiculairement aux trois plans BiAiXi,.... et ces trois plans doivent

se couper suivant une même ligne droite parallèle à A,Xi

L'axe instantané étant déterminé en position, les composantes des vitesses suivant les lignes A,Yi, A^Yi,... menées par A,, Aj... dans les plans BiAjXi,... devront être proporlionnelles aux distances à cet axe des points A^, Ag, A3. Le rapport commun de ces composantes aux distances correspondantes donnera la vitesse angulaire de la rotation qui, multipliée par la distance du point A à Taxe, fera connaître la vitesse de ce point dans le mouvement de rotation. En composant cetle vitesse avec celle de glissement, représentée par OP, on aura la vitesse du point A dans le mouvement du système.

!•&. Ollsftenieiit de deaiL courbes Tune «ur raatrc.

— On dit que deux courbes glissent Tune sur l'autre lorsqu'elles se déplacent d'une façon quelconque, mais de manière à avoir toujours un point commun. Le glissement est angulaire si les deux courbes font entre elles un angle quelconque à leur point d'intersection ; il est tangentiel lorsqu'elles sont tangentes Tune à l'autre. Le glissement est simple lorsque le point commun reste le même sur l'une des courbes; il est mixte dans le cas contraire.

On appelle glissement élémentaire la distance dont se sont écartés, au bout d'un temps infiniment petit, les deux points qui étaient en coïncidence au commencement de cet intervalle, et vitesse de glissement le rapport du glissement élémentaire à l'élément de temps.

Considérons le glissement d'une courbe mobile sur une courbe iixe. Le glissement élémentaire est encore la distance à laquelle se trouvent l'un de l'autre, au commencement d'un

Fig. 99.

2i0 CHAF. V. - SYSTÈMES A L'ÉTAT DE MOUVEJVIENT

intervalle de temps infiniment petit, les deux points qui vien*

dront en coïncidence à la fin de cet intervalle. Soit (A) (fig. 99)

la courbe fixe, (B) la courbe mobile qui est venue en (B') après

un intervalle de temps infiniment petit. On peut Tamener à

. . /-^A cette nouvelle position par une trans- (B) AjiOKp) i^^i^j^ jç (Bj ^^ (B ) gj ^^^ r^^.

tion autour du nouveau point commun b. Si b' est la position du point qui était primitivement en coïncidence avec A, le glissement élémentaire sera Ab\ Prenons sur la courbe (B) la longueur BB' = b'bj le point B' sera celui qui, après le déplacement, viendra au point b, en coïncidence avec le point a de la courbe (A) ; et je dis que le glissement élémentaire peut être représenté par B'a.On voit, en effet, que les deux longueurs B'«, AA' ne diffèrent, géométriquement, que du petit arc bib\ infiniment petit du second ordre puisque le rayon et Tangle, dont le produit mesure sa grandeur, sont tous deux infiniment petits. Le glissement élémentaire peut donc être représenté en grandeur, direction et sens par Wa et la vitesse de glissement par la limite du rapport de Wa à A/. Mais la ligne B'a est dans le plan des deux cordes BB' et Aa, c'est-à-dire que la vitesse de glissement est située dans le plan tangent commun aux deux courbes.

D'ailleurs la ligne B a est, à chaque instant, la différence géométrique de ka et de BB'. Si donc la loi du mouvement du point commun sur les deux courbes est connue, ou si Ton sait que le point A se déplace sur la courbe (A) suivant la loi définie parréquationÀ=/'(^), et si de même la loi du déplacement du point B sur la courbe (B) est exprimée par Si=fi{t) les

vitesses v =-=/'(/) et «, = -—= f^{t) seront connues et

Ton aura, en désignant par Vg la vitesse de glissement :

La vitesse de glissement est la différence géométrique des

§ 2. — MOUVEMENTS COiNTIM'S 211 '^

vitesses du déplacement du point commun sur chacune des des deux courbes.

Si le glissement est tangentiel, simple ou mixte, les deux vitesses v et Vi ont la même direction et la différence géométrique devient une différence algébrique :

IMI. Roulement de deux eonrbes l'une sur l'autre.

— Lorsque la vitesse de glissement est nulle Vg = 0, il faut que Ton ait v (=) lu, c'est-à-dire que les deux courbes doivent être tangentes et que les arcs décrits pendant le même temps par le point de contact doivent être égaux sur les deux courbes.

11 n'y a plus alors de glissement : on dit que les deux courbes roulent Tune sur Taulre.

Le roulement de deux courbes lune sur l'autre est donc caractérisé par ce fait que les courbes restent tangentes et que le point de contact s'y déplace de longueurs égales dans le même temps. Si l'une des deux courbes est fixe, et l'autre mobile, celle-ci porte le nom de roulante et la première s'appelle la base de la roulante, la trajectoire décrite par un point quelconque invariablement lié & la roulante s'appelle la roulette de ce point et le mouvement porte souvent le nom de mouvement épicycloîdal.

Si l'on considère le point B de la courbe mobile qui était en contact avec la courbe fixe, lorsque le point de contact s'est déplacé d'un arc infiniment petit, dç même longueur sur les deux courbes, ce point B ne s'est déplacé que d'une quantité infiniment petite du second ordre ; par conséquent sa vitesse, au commencement de l'intervalle de temps considéré, était identiquement nulle, d'après ce que nous avons dit au n"* 53, page 112-113. Le mouvement du système constitué par la courbe mobile, tel que la vitesse d'un des points de ce système soit nulle, ne peut donc être qu'une rotation autour d'un axe passant par ce point.

Si^ en particulier il s'agit de deux courbes planes roulant Tune sur l'autre, le point de contact est le centre instantané de rotation autour duquel tourne la courbe mobile.

212 CHAP. V. — SYSÏliMES A L'ÉTAT UE MuUVEMKNÏ

101. Prolilènic •!© t^civary. — Les propriétés du cenlre inslantané de rotation permeUcnt de déterminer facilement, dans le mouvement de roulement d'une courbe sur une autre, le rayon de courbure de la trajectoire d'un point quelconque lié à la courbe mobile. C'est le problème do Savary.

On suppose données, bien entendu, les deux courbes qui roulent Tune sur l'autre, c'est-à-dire connus leurs rayons de courbure.

Soient (Cj (fig. 100) la courbe lixe, (C) la roulante, C et C

leurs centres de courbure situés sur la normale commune au point de contact Â. Appelons R et R' les rayons de courbure AC et AC et proposons nous de trouver le centre de courbure de la trajectoire d'un point quelconque M invariablement lié à la courbe G'.La normale à la trajectoire du point M passe par le centre instantané de rotation A, c'est donc sur la ligne MA prolongée que -^ se trouve le centre de courbure >-Jierché 0. Désignons par m la ^ dislàrwîe connue AM et par tn " la dislaiir.e inconnue AO; le problème sera résolu si nous déterminons m\ Appelons encore i l'angle connu MAC qui, avec m, définit la position du point M, et ds l'arc infiniment petit AB=AB' décrit par le point de contact sur chacune des deux courbes, lorsque le contact aura lieu au point B. Alors le point M aura décrit un arc infiniment petit MM', par une rotation autour du point A comme centre, et l'anglo de cette rotation, dont la courbe mobile aura tourné, aura pour valeur l'angle que forment actuellement les deux normales CB, C'B' qui seront venues en prolongement l'une dc"^ l'autre. Or l'angle de ces deux normales est égal à la somme des angles en C cl eu C, lesquels ont respectivement pour

Fig. iOO.

mesure ^ et — ; l'angle de la rolalion est donc d* (ô + ^/) î

Il R \R R /

c'est Tangle MAM', lequel, extérieur au triangle OAM', est égal à la somme des angles en et en W. Abaissons du point A une perpendiculaire AI sur OW, nous aurons :

AI = AB cos BAI = ds cos i ;

les deux angles eu et en M' auront respectivement pour mesure - et — ,, leur somme sera ds cos i \ — | — : ]; en égalant

cette somme à la précédente et supprimant le facteur commun dSj on a la formule :

dans laquelle tout est connu à Texception de m\

Celte formule est susceptible d'une construction géométrique simple. M étant le point donné (fig. 101), lié à la courbe

mobile C\ et A le point de contact, menons MA sur laquelle devra se trouver le centre de courbure cherché. Joignons M au centre de courbure C de la courbe roulante, prolongeons MC jusqu'à sa rencontre en S avec la perpendiculaire AS élevée on A à la droite AM, et joignons le point S, ainsi déterminé, au cenlre de courbure C de la courbe lixe. Le point 0, interseclion de CS et de AM prolongé sera le centre de courbure de la roulette du point M. Conservons en effet les notations précédentes et prenant les deux droites rectangulaires AM, AS pour axes des x et des y, écrivons 1^ équations des droites MS, SO, en exprimant qu'elles r2ncontrent les axes aux points M, S, 0, ces équations seront :

ar V X y