AM^AS ' ^^ AO^AS

Ecrivons mainlenanl que la première droil« passe par le

point C dont les coordonnées sont R' cosi et R' sini, et que la seconde passe par le point G dont les coordonnées sont — R cos t et — R sin /, nous aurons :

R' cos t R' sin t

R cos t R sin t

Divisant la première de ces équations par R', la seconde par R et ajoutant membre à membre, nous obtenons :

. /l i \ il

ce qui^ comparé à la formule (1) montre que AO = ?w'.

La formule de Savary (i) est générale el s'applique au cas où les centres de courbure G et G' seraient du même côté des points de contact A, c'est-à-dire au cas où les deux courbes seraient intérieures Tune à Taulre. Il faudrait alors changer le signe de R', maïs la construction graphique pourrait toujours s'appliquer sans modification.

i09. Application à la eycloïde et à l'épieyeloide.

— Appliquons cette construction à trouver le rayon, le centre de courbure et la développée d'une eycloïde engendrée par un point M (fig. 102) d'une circonférence de cercle qui roule sur une droite XX. Joignons le point M au centre instantané de

rotation A, ce qui nous donnera la normale MA à la eycloïde, lieu du point M. Joignons MC que nous prolongerons jusqu'à sa rencontre en S avec la perpendiculaire AS élevée en A à la normale "X AM ; puis joignons le point S ainsi déterminé au centre de dfturbure de la base de la roulante. Gomme cette ligne est droite, son centre de courbure est à l'infini sur une quelconque de ses normales, et en Fig. i02. menant SO perpendiculaire à XX,

nous aurons en le centre de courbure cherché. Le ravon de

courbure MO est double do la normale MA, car les deux angles en M et en étant égaux, le triangle MSO est isoscèle et la perpendiculaire SA abaissée du spmmet sur la base partage celle-ci en deux parties égales. Si, au-dessous de XX, nous construisons une nouvelle circonférence égale à la première et dont le centre, C\ soit placé symétriquement à C par rapport à XX, le point se trouvera sur cette circonférence.

Si Ton considère le sommet H de la cycloïde, c'est-à-dire le point où sera arrivé le point M lorsque la circonférence mobile C aura son point de contact en E, à une distance AE du point A égale à Tare AS ou à MD, et si Ton prend le point F situé sur la ligne YY et sur la même perpendiculaire HE à XX, Tare BO sera égal à la longueur BF, c'est-à-dire que le point se trouvera sur la cycloïde décrite par le point du cercle C roulant sur la ligne YY. La développée de la cycloïde est donc une cycloïde égale.

Cherchons maintenant le rayon de courbure et la développée d'une épicycloïde engendrée par un point d'une circonférence de rayon r qu' roule à Textérieur d'une autre circonférence de rayon R. Soient C et C (fig. 103) les centres de ces deux

circonférences, A leur point de contact et M le point qui décrit Tépicycloïde. Pour appliquer la construction de Savary,on mènera la normale MA à cette courbe au point M, c'est-à-dire que l'on joindra le point M au centre instantané de rotation A de la figure mobile; on élèvera AS perpendiculaire à AM et Ton joindra MC que l'on prolongera jusqu'à son intersection en S avec AS. On mènera ensuite SC qui, par son inter- ^^^' *^^' section avec MA prolongée, don-

nera en le centre de courbure de l'épicycloïde au point M. Construisons, à l'intérieur de la circonférence C, une autre circonférence, tangente en A aux deux premières et passant

par le point ; soit AB le diamètre de cette circonférence, menons BO qui sera perpendiculaire à MO et par suite parallèle à AS. Les arcs AS, BO de ces deux circonférences sont entre eux comme les distances AC, BC des points A et B au point C, Et si, du point C comme centre, on décrit une nouvelle circonférence avec C'B pour rayon ; si, sur les deux circonférences C'A, C'B, on prend les deux points E, F, situés sur le rayon C'H joignant le point C au sommet H de Tépicycloïde, Tare AS étant égal à Parc AE, Ton aura de même Tégalilé des arcs BO et BF. Il en résulte que le point se trouve sur une épicycloïde engendrée par un point de la circonférence AB, roulant sur la circonférence de rayon C'B. La développée de Tépicycloïde est donc une autre épicycloïde. On a de plus, entre les rayons r et R des circonférences engendrant la première et ceux r et R' des circonférences engendrant la seconde, les relations évidentes :

^«L et R' + 2r' = R.

ton. Crllssement et roulement des surfaces. — Tout ce qui vient d'êlre dit du glissement et du roulement de deux courbes Tune sur Tautre s'applique au glissement et au roulement de deux surfaces. On dit que deux surfaces glissent Tune sur Tautre lorsqu'elles se déplacent en restant constamment tangentes en un point commun. Si l'on considère le lieu du point de contact sur les deux surfaces, on a deux courbes qui glissent Tune sur Tautre, et suivant que le glissement de ces courbes est angulaire, tangentiel, simple ou mixte, il en est de même du glissement des deux surfaces. Le glissement élémentaire et la vitesse de glissement ont la même déiinition que dans le cas de deux courbes. Les deux surfaces roulent Tune sur l'autre lorsque les deux courbes dont il s*agit roulent elles mêmes Tune sur Tautre. Le roulement d'une surface sur une aulre est ainsi une rotation autour d'un axe instantané passant par le point de contact.

Si les surfaces se touchent en deux points, Taxe instantané doit passer par ces deux points et tous les points qui se trouveraient sur la mémo ligne droite devraient, au même ins*

lanl, avoir une vitesse nulle. Cela peut se présenter, en particulier, dans le roulenient de deux surfaces réglées et développables Tune sur l'autre : un cylindre ou un cône roulant sur un plan; deux cônes de même sommet roulant l'un sur Tautre, etc.

tl#. Mou ventent continu d^uue flcrUFe plane dans aon plan. — Un mouvement continu quelconque d'une iigure plane dans son plan peut être obtenu par le roulement d'une courbe mobile sur une courbe fixe : celle-ci étant le lieu des centres instantanés de rotation dans le plan, et la courbe mobile étant le lieu des mêmes centres rapportés à une position particulière de la figure.

Soient, en effet, A|B,, AjBs... (fig. 104) les positions successives infiniment voisines de la ligne droite qui suffit pour représenter la figure mobile; Ci,C2,C8...1es centres de rotation autour desquels elle a tourné successivement. Rapportons ces centres à

la position AiB, de la figure, c'est-à-dire prenons des points Yi,y3,Y4- • • placés par rapport à A|Bi comme C2 Test par rapport à AjB2,C3 par rapport à A3B3. . ; lorsque lafigure mobile AjBi viendra occuper une position quelconque, A3B3 par exemple, si Ton suppose Jy* la courbe des y liée invariablement avec >,^ elle, le point y^ viendra coïncider avec le

'' c^ point correspondant C3 de la courbe des Fig. 104. C. Ces deux courbes rouleront donc l'une

sur l'autre pendant le mouvement de la figure mobile,et réciproquement leur roulement produira le mouvement dont il s*agit.

Un exemple bien connu est celui du mouvement d'une droite de longueur constante AB (fig. 105) dont les deux extrémités parcourent les deux côtés d'un angle droit YOX. Si AB est une position quelconque de la droite, le

*' ^^ ^" centre instantané de rotation C corres-

Fig. 105. pondant à cette position s'obtient en

élevant aux points A et B des normales aux trajectoires de ces

points. Il en résulte que, lafigurc OACB étant un rectangle, ses deux diagonales sont égales, 0C = AB: le lieu du point G dans le plan est une circonférence de cercle décrite du point O comme centre avec AB pour rayon.

Si, au contraire, nous considérons le point G dans sa position relative à la droite AB, nous voyons que l'angle AGB étant toujours droit, le point G se trouve toujours sur la circonférence décrite sur AB comme diamètre. Et le mouvement de la droite AB s'obtiendra en faisant rouler la petite circonférence à Tintérîeur de la grande.

fit. Mouvement coiitinn d'un systénte invariable.

— On reconnaîtrait de la même manière que le mouvement continu d un système invariable, parallèlement à un plan fixe, peut être obtenu par le roulement de deux surfaces cylindriques Tune sur Tautre ; et le mouvement continu d'un système invariable, qui a un point fixe, par le roulement de deux cônes l'un sur l'autre ; la surface fixe étant le lieu dans l'espace des axes instantanés de rotation, et la surface mobile étant le lieu de ces mêmes axes dans le système invariable.

Enfin, le mouvement continu quelconque, ou le plus général, d'un système invariable, qui peut toujours être obtenu par une translation et une rotation, pourra être produit parle roulement d'un cône sur un autre, accompagné d^une translation des deux cônes ; ou bien, en assimilant ce mouvement le plus général à une succession de mouvements hélicoïdaux élémentaires, il pourra être obtenu par le roulement d'une surface réglée sur une autre surface réglée, accompagné d'un glissement le long de la génératrice de contact.

Le premier mode consistant à obtenir ce mouvement par une translation et une rotation est de beaucoup le plus usité en mécanique. Ces deux mouvements pour reproduire absolument le mouvement réel, doivent être simultanés: pendant que l'une des surfaces coniques roule sur sa conjuguée, le sommet commun des deux cônes se déplace.

Gela nous conduit à nous occuper des mouvements simultanés et des mouvements relatifs qui y sont étroitement liés.

SOMMAIRE

S 1. — Le la vitesse : 112 Mouvement absolu, relatif, d'entratnement. — 118. Composition et décomposition des vitesses. — 114. Composition des mouvements simultanés des systèmes invariables. — 115. Mouvements de rotation autour d'axes concourants. — 116. Couple de rotations. — 117. Composition d'un nombre quelconque de translations et de rotations. — 118. Expressions les plus générales des projections, sur les trois axes, de la vitesse d'un point appartenant à un système invariable. — 119. Expression de la vitesse relative d'un point.

8 2. — Z>e Vaccélératton : 1^. Composition des accélérations. — 121. Représentation et expression de l'accélération complémentaire. ^ 122. Accélération dans le mouvement relatif. Accélérations apparentes. — 128. Accélération d'un point rapporté & des coordonnées polaires dans un plan. — 124. Repos relatif d'un point pesant à la surface delà terre. — 1%. Déviation vers Test d'un corps qui tombe librement à la surface de la terre. — 126. Pendule de Foucault. —127. Mouvement d'un point pesant sur une courbe animée d'un mouvement de rotation.

fit. Mouvement absolu, relatif, d'entraînement. —

Supposons que le syslëme d'axes auquel on rapporle le mouvement d'un point mobile soil lui-même en mouvement dans l'espace ; le mouvement rM ou absolu de ce point, tel qu'on le déterminerait par rapport à des axes fixes, différera nécessairement de celui qui sera défini par rapport aux axes mobiles et que l'on appelle mouvement relatif au point dont il s'agit. Le mouvement des axes mobiles est appelé mouveitient (Tentraînement.

Le point mobile peut alors être considéré comme animé si-

220 CHAP. Vr. — MOUVEMENTS SIMULTANÉS ET RELATIFS

multanément de ces deux mouvements, relatif et d^entraînemenl, car son mouvement réel résulte de la coexistence de ces deux mouvements composants.

On voit en effet que le déplacement de ce point, pendant un temps infiniment petit, est toujours la somme géométrique des déplacements qu'il aurait subis s'il s'était déplacé dans Tes* pace, par rapport à des axes fixes, comme il Ta fait par rapport aux axes mobiles, et s*il s'clait déplacé en restant invariablement lié à ces axes ; c'est-à-dire s'il avait été animé simultanément du mouvement relatif et du mouvement d'entraînement.

Soit M (fig. 106) la position du point mobile à une certaine époque, M, la position qu'il aurait occupée après un intervalle de temps A/ s'il avait (^lé animé seulement du mouvement re-

Fif?. lOG.

latif, c'est-k-dire s'il s'était déplacé, par rapport à des axes fixes, comme il l'a fait par rapport aux axes mobiles, la trajectoire MR qu'il parcourrait ainsi est la trajectoire relative. Si, au contraire, il avait été lié invariablement aux axes mobiles, il se serait déplacé, dans l'espace, suivant une certaine trajectoire ME qui est la trajectoire d'entraînement ; au bout du temps A^, il serait venu en Mj sur cette trajectoire. En réalité, il a parcouru la trajectoire MA, et il est venu, après le temps A/, en un certain point M'. Si nous supposons que la trajectoire relative, MR, elle-même, soit liée aux axes mobiles et se déplace avec eux. elle sera venue à la même époque dans une nouvelle

position MiK, passant par les points M^ et M'; et la distance M,M' de ces deux points, sur cette trajectoire, sera égale à celle des deux points MMi sur la trajectoire MR, puisque les points Mj, M' ne sont autres que les points M, Mj déplacés en même temps que les axes mobiles et la trajectoire relative qu'on y suppose invariablement liée.

Pour venir de sa position initiale MR à sa position définitive MjR', la trajectoire relative peut avoir été animée de deux mouvements successifs : une translation parallèle à MM2, par suite de laquelle elle serait venue prendre la position M2R1) le point M, venant en M/ ; et une rotation autour du point M, dans laquelle le point M/ aurait décrit le petit arc de cercle H'iM'. La corde MM' du déplacement réel est ainsi la somme géométrique de la corde MMi du déplacement relatif, de la corde M,M'i équipollenle à MMj et de la corde M'iM', laquelle est infiniment petite du second ordre et négligeable par rapport aux deux autres, car Tare qu'elle soustend a son rayon et son angle au centre infiniment petits du même ordre que MMi; on peut donc, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, dire qu'à chaque instant le déplacement infiniment petit réel du point mobile est la somme géométrique des déplacements infiniment petits qu'il aurait eus dans les mouvements composants.

lis* Compesition et ilécomposltiondes vitesNes. —

Si, sur les directions de MM„ MMj, MM' on porte des longueurs Mui, Mt?i, MV, respectivement égales aux quotients des premières par A/, on aura toujours l'équipoUence