MM' , , MM. , . MM. ^ , ^ M',M
-JF (=^ "F ^+^ ir ^'^^ ir
et si l'on désigne par V la vitesse dans le mouvement réel, par t^ftla vitesse dans le mouvement relatif et par t;B la vitesse dans le mouvement d'entraînement, on pourra écrire rigoureusement, puisque les limites des quatre termes de cette équipol- Icnte sont respectivement t;, v», Ve et zéro :
222 CHAK VI. — MOUVEMEiNïS SIMULTANÉS ET RELATIFS
On peut imaginer que le premier système d'axes mobiles soit rapporté à un second système d axes également mobiles, rapporté lui-même à un troisième, et ainsi de suite; le dernier seul étant toujours supposé rapporté à des axes fixes. Le mouvement qui résulte du mouvemeut relatif du poiut par rapport aux premiers axes et du mouvement d'entraînement de ceuxci étant rapporté au second système d'axes, constitue un mouvement relatif par rapport à ce nouveau système dont le mouvement est le mouvement d'entrdnemenl, et ainsi de suite Le point est dil alors animé de plusieurs mouvements simultanés. En raisonnant de proche en proche, on voit que la vitesse absolue ou réelle du point mobile dans l'espace est à chaque instant la somme géométrique des vitesses dans les divers mouvements composants ; quels que soient le nombre et la nature de ces divers mouvements.
C'est ce que nous avons déjà énoncé au numéro 61, page 129.
11 y a toutefois une différence capitale entre les mouvements simultanés que nous avons considérés alors et ceux que nous étudions maintenant. Les premiers étaient des mouvements fictifs, de pures abstractions, en vertu desquelles on considérait à chaque instant le déplacement du point mobile comme la somme géométrique des déplacements d'un certain nombre d'autres points imaginés se mouvoir simultanément. Aussi y avait-il naturellement égalité rigoureuse entre le déplacement réel et la résultante des déplacements fictifs composants, puisque ceux-ci avaient été choisis pour cela. Au contraire, les mouvements simultanés qui font l'objet de ce chapitre ont quelque chose de réel ; le rôle de l'imagination consiste simplement à les isoler l'un de l'autre et à les envisager séparément. De plus, le mouvement d'entraînement n^est plus sim- * plement le mouvement d'un point, c'est celui d'un système invariable, de sorte que le point qui y participe ne subit pas le même déplacement, n'a pas la même vitesse (à moins que ce mouvement ne soit une simple translation) suivant la position qu'il occupe par rapport à ce système. 11 en résulte que l'égalité entre le déplacement réel et la résultante des déplacements composants n'est plus exacte qu'aux infiniment petits du second ordre près, et que si cette approximation laisse subsister
le théorème relatif à la composition des vitesses, il n'en sera plus de même, comme nous le verrons, pour l'accélération, dans l'évaluation de laquelle entrent précisément des quantités infiniment petites du second ordre.
Réciproquement : un point animé dans l'espace d'un mouvement réel ou absolu quelconque, peut être rapporté à un système quelconque d*axes mobiles et sa vitesse réelle sera, à chaque instant, la somme géométrique de sa vitesse relative par rapport à ces axes, et de la vitesse A' entraînement qu'il aurait s'il se déplaçait en leur restant invariablement lié. On peut ainsi décomposer un mouvement réel quelconque en un certain nombre de mouvements simultanés, la vitesse dans le mouvement absolu étant, à chaque instant, la somme géométrique des vitesses dans les mouvements composants.
Nous avons déjà fait remarquer l'analogie évidente entre cette décomposition d'un mouvement réel en plusieurs mouvements simultanés et la projection de ce mouvement sur diverses directions fixes ou mobiles. Un point mobile, dont le mouvement par rapport à trois axes fixes est représenté par trois équations:
x=f{t), y^fiit), z^f,{t),
peut être considéré comme animé simultanément de. trois mouvements : un mouvement relatif sur une parallèle à l'axe des z, par exemple, exprimé par z=fi{t); cette trajectoire rectiligne étant entraînée parallèlement à Taxe des y suivant la loi y = /i (/), décrivant aussi un plan des zy, entraîné lui-même parallèlement à Taxe des x suivant la loix= f{t).
Un point rapporté, dans un plan, à des coordonnées polaires r, 6. peut être considéré comme animé simultanément de deux mouvements: un mouvement relatif, rectiligne, le long du rayon vecteur, exprimé par r = ç (/), et un mouvement d'entr^nement qui est alors une rotation du rayon vecteur autour du p6le ; rotation dont la loi est 0=fi (/).
Tout ce que nous avons dit de la projection des mouvements et des vitesses s'applique donc à la composition des mouve* ments simultanés d'un point.
J>24 CHAP. VI. — MOlVEMEiNTS SIMULTANÉS KT RELATIFS
On peut imaginer, de même, un système de points animé de plusieurs mouvements simultanés. 11 suffit d'appliquer à chacun des points du système ce qui vient d'être dit pour Tun d'eux.
ttâr CJoitipOfiition des mouvements simultanés des systèmes invariables. — La composition des mouvements simultanés des systèmes de points ne présente d'intérêt que lorsqu'il s'agit de systèmes invariables. D'ailleurs, les mouvements d'entraînement sont toujours des mouvements de systèmes invariables, puisque l'on y suppose les points invariablement liés aux axes mobiles.
Lorsque tous les mouvements composants sont des translations, le mouvement résultant du svstème invariable est luimême une translation. En effet, les vitesses de tous les points, dans chacun des mouvements composants, sont équipollentes; il en sera de même dans le mouvement résultant, puisque pour obtenir la vitesse réelle de chaque point on devra faire la somme géométrique de lignes équipollentes. Toutes ces sommes géométriques seront donc elles-mêmes équipollentes, c'est-à-dire que le mouvement résultant sera une translation. Pour composer les rotations, soit entre elles, soit avec les translations, nous conviendrons de représenter ces divers mouvements par des lignes. Une translation sera représentée par une ligne égale en grandeur, direction et sens à la vitesse de l'un quelconque des points du système, celte ligne étant d'ailleurs en une position quelconque de l'espace.
Une rotation sera représentée par une ligne droite OA (fig. 107) proportionnelle à la vitesse angulaire, portée sur la directf\ tion même de l'axe xy de la rotation dans
^ un sens tel que l'observateur placé sur cette
s. ligne, de manière qu'elle le traverse des pieds
-W^^^ à la tête, voie la rotation s'effectuer de sa gau- -.V.J che vers sa droite, c'est-à-dire dans le sens Z^^^ ^^^ aiguilles d'une montre. La ligne qui rc- /^ présente une rotation est donc définie, nonseulement en grandeur^ direction et sens, \x mais encore en position dans l'espace, puis-
Fij,'. 107. qu'elle doit coïncider avec Taxe de la rotation.
s 1. — DE LA VITKSSE 225
D'après cela, la vitesse linéaire d'un point quelconque M du système, étant égale à la vitesse angulaire co multipliée parla distance MP de ce point à Taxe, sera représentée, puisque OA représente d), par le double de la surface du triangle OMx\ obtenu en joignant ce point M aux deux extrémités de la ligne qui représente la rotation.
Elle sera en grandeur, direction et sens, le moment, par rapport au point mobile, de la ligne qui représente la rotation.
Ce mode de représentation permet de simplifier la composition des mouvements en Tassimilant à la composition des systèmes de lignes. Il suffit, pour cela, de démontrer les deux propositions suivantes, 115 et 116 :
fis. Moavements de rotation autour d'amen ooncoa»
ranta. — Le mouvement résultant do deux rotations autour
d'axes concourants est un mouvement de rotation représenté
^par la somme géométrique des lignes représentant les deux
rotations composantes.
Soit un système invariable animé simultanément de deux mouvements de rotation autour d'axes OA, OB (fig. 108), concourants en 0, et soient OA, OB les lignes représentant ces rotations, d*après la convention précédente. Formons le parallélogramme OABC ^2 et menons la diagonale OC, qui sera la somme géométrique des deux lignes OA, OB. D'abord, le mouvement du système est un mouvement de rotation; en effet, la vitesse du point 0, somme géométrique des vitesses de ce point dans les deu!( mouvements composants, est nulle comme ces deux vitesses elles-mêmes. Dans le mouvement de rotation OA, la vitesse du point C, représentée par le double de la surface du triangle COA, est perpendiculaire au plan de ce triangle et dirigée en arrière du plan de la figure. Dans la rotation OB, la vitesse du même point C, représentée pai* le double de la surface du triangle COB, est perpendiculaire au plan de ce triangle et dirigée en avant de ce plan. Le point C, animé simultanément de deux vitesses dont la somme géométrique est nulle, est donc en repos ; il en est de même de
la
tout autre point de la ligne OC ; le mouvement résultant est ainsi une rotation autour de OC. Quant à la vitesse angulaire de cette rotation, nous Tobtiendrons en considérant ia vitesse d'un quelconque des points du système, du point A par exemple. Dans la rotation OÂ, la vitesse de ce point est nulle. Dans la rotation OB, la vitesse du point A est représentée par le double du triangle AOB, elle est perpendiculaire au plan de ce triangle et dirigée en avant. La vitesse résultante ou absolue de ce point est ainsi celle due à la rotation OB, et elle doit être obtenue par une rotation autour de OC. La vitesse angulaire de cette rotation devra donc être telle que, portée sur OC, la surface du triangle obtenu en joignant le point A à ses deux extrémités soit égale à celle du triangle OAB ou à la moitié du parallélogramme OABC. II faut, pour cela, que la grandeur de cette vitesse angulaire soit représentée par OC, et Ton voit de même que le sens de la rotation sera bien celui qu'indique la direction OC. Ce qui démontre la proposition énoncée.
lie. Couple de roiatleiM. — Le mouvement résultant de deux rotations égales et de sens contraires autour d*axes parallèles est une translation représentée par Taxe du couple des lignes qui représentent les rotations.
Soient deux rotations égales et de sens contraires, autour d'axes parallèles, projetés en 0, 0' (fig 109); la vitesse d'un
point quelconque A, situé dans \ / 1^ pl&i^ des deux axes, sera la
Q '5' ^ somme géométrique des vitesses
rt de ce point dans les deux mouve- ^*8- *^^- ments composants. Sa vitesse,
dans la rotation 0, est égale à la vitesse angulaire tù multipliée par la distance AO, et elle est dirigée perpendiculairement au plan 00' de haut en bas ; sa vitesse, dans la rotation 0\ est égale à la même vitesse angulaire (ù multipliée par la distance AO' et elle est dirigée, comme la première, perpendiculairement au plan 00', mais de bas en haut, La somme géométrique de ces deux vitesses sera donc la différence iù X OA — (0 X O'A, c'est-à-dire o) X 00' et elle sera dirigée perpendi-
§ i. - DE LA VÏTESSE 22l
Gulairement au plan des deux rotations. Cette vitesse sera la même en grandeur, direction et sens pour tous les pointSr tels que A, contenus dans le plan 00', elle sera donc aussi la même pour tous les autres points du système qui sera ainsi animé d'un mouvement de translation.
La vitesse de cette translation, égale à co X 00' et perpendiculaire au plan des doux axes, est bien égale au moment du couple des deux lignes qui représentent les rotations, et il est facile de vérifier que son sens est aussi celui de Taxe de ce couple.
La translation, dont nous représenterons la vitesse par v = (ùX 00\ est donc, au point de vue du mouvement du système, identique ou équivalente au couple des rotations. Si à ce mouvement, exprimé de Tune ou de Tautre manière, nous ajoutons un nouveau mouvement, c'est-à-dire si nous considérons le système comme animé simultanément de ce premier mouvement et d'un autre mouvement quelconque, le mouvement résultant sera le même quel que soit le mode de définition du pre* mier. Or, attribuons au système, en même temps que le premier mouvement, une rotation autour de Taxe 0', égale mais de sens contraire à celle que nous avions supposée autour de cet axe, c'est-à-dire égale et de même sens que celle qui s'effectue autour de Taxe 0. Le mouvement résultant se composera, dans le premier cas, de la seule rotation puisque les deux rotations égales et de sens contraire autour de Taxe ' donnent,.à chaque instant et pour chaque point, une vitesse résultante nulle ; et, dans le second cas,de la translation v et de la rotation o> autour de l'axe 0'.
Ainsi, au point de vue du mouvement du système^ la rotation (ù autour de l'axe Oest équivalente à une rotation égale et de même sens autour d'un axe parallèle 0' accompagnée d'une translation égale à la vitesse angulaire a> multipliée par la distance des deux axes, dans une direction perpendiculaire au plan des deux axes et dans un sens tel que l'observateur, placé sur le premier axe et regardant le second, la voie dirigée de sa gauche vers sa droite.
tl7« Ck>iiiposition d'un nombre quelconque de rota- Alono et de tranolatfono. — On peut donc toujours trans-
porter l'axe d\me rolaliou parallèlcmenl k lui-même en un point quelconque de Tespace, à la condition d'ajouter à la nouvelle rotation une translation détinie comme il vient d'être fait, c'est-à-dire un couple de rotations. En nous reportant au chapitre P', n'' 21, nous reconnaîtrons que tout ce que nous avons dit de Téquivalence des systèmes de lignes s'applique lorsque ces lignes représentent des rotations, les axes des couples représentant des translations. Remarquons aussi que toute translation pouvant être remplacée par deux rotations, il suffit de s'occuper de la composition des rotations.
Pour composer un ensemble de rotations quelconques, on pourra transporter tous les axes parallèlement à eux-mêmes en un certain point de l'espace et le mouvement résultant sera une rotation exprimée par la somme géométrique des lignes qui représentent les rotations composantes, accompagnée d'une translation qui sera elle-même la somme géométrique de toutes les translations que l'on aura dii ajouter aux rotations pour transporter leurs axes.
Tout ce qui a été dit au chapitre P' de la composition des systèmes de lignes s'applique à la composition des rotations ; ainsi, par exemple, les résultats de la composition dos rotations de même sens ou de sens contraire autour d'axes parallèles s'obtiendront en composant, d'après les règles qui ont été données, les lignes qui représentent ces rotations.
On reconnaîtra aussi, sans qu'il soit nécessaire de reproduire les raisonnements du chapitre P% que le mouvement résultant d'un nombre quelconque de translations et de rotations pourra toujours être réduit à une rotation et à une translation dirigée suivant l'axe même de la rotation, c'est-à-dire à un mouvement hélicoïdal ; que de toutes les manières de composer le mouve* ment en une rotation et une translation, c'est celle-ci, pour laquelle la translation est dirigée suivant Taxe de la rotation, qui correspond à la translation la plus faible ; et que dans tontes les solutions du problème de la composition des mouvements, la rotation résultante reste la même.
fis Eixprei»»iaiift leMplun f^iiéralefi des projeeti#u« sur les trois axein de lo vitesse d*an point apporte*
§ i. — DE LA VITESSE 229
nt ii un «yAtëme invariable. — L'analogie que nous avons conslatée entre les mouvements simultanés et les mouvements projetés nous permet d'établir les formules suivantes exprimant les composantes, suivant trois axes rectangulaires, de la vitesse d'un point appartenant à un système invariable animé simultanément d'une translation et d'une rotation autour d'un axe passant par l'origine des coordonnées.
Soient u=Vx^ v = Vy^ w^=Vz^ les Irois composantes de la vitesse du point M (fig. HO), dont les coordonnées sont x, y, z, ou, ce qui est la même chose, les trois projections de la vitesse de ce point sur les trois axes coordonnés. Désignons par a, &, c, les projections, sur les mêmes axes, de la vitesse de la translation du système, supposée connue, et par (Oa;=J», *^9y = 9f ^z = ^ les trois projections de la ligne qui représente la rotation, ou les composantes de la rotation suivant les trois axes, ou encore les trois rotations simultanées qui sont équivalentes à la rotation unique donnée.
La vitesse dans le mouvement résultant sera la somme géométrique des vitesses dans la translation et les trois rotations composantes, c'est-à-dire que ses trois projections seront les sommes algébriques des projections de ces vitesses.
La projection sur l'axe des x de la translation est représentée par a. La projection sur l'axe des x de la vitesse due à
la rotation tùx autour de l'axe des x est
nulle, puisque cette vitesse est conte-
]^ nue dans un plan parallèle aux yz. La
! projection sur l'axe des x de la vitesse
j — 7-5 due à la rotation iùy pourra s'évaluer en
!/ remarquant que celte vitesse est le moment
par rapport au point M de la ligne wy et
Fig. no. qyç^ pai» conséquent, sa projection sur
Taxe des r», ou sur une parallèle MP à cet axe menée par le
point M,est le moment, par rapport à cette parallèle MP,de la
ligne (i)y, c'est-à-dire Wj^2:==y5.
La projection sur l'axe des x de la vitesse due à la rotation Or est, de même, le moment, par rapport à la ligne MP de la ligne (,);, c'est-à-dire — (ox.y.= — ry.
La projection f/= Wr, sur l'axe des a?, de la vitesse dans le
mouvement résultant sera ainsi la somme. des quatre projections.
On aura, en faisant cette somme et les sommes semblables pour les projections sur les deux autres axes :
iu — a-^qz — ry, V =b +rx — pZy tv=c-+-pi/ — qx.
Si Ton connaît, à une époque quelconque, les valeurs de a, h, c, p^ q, r, ou bien si Ton connaît les expressions de ces six quantités en fonction du temps, on pourra connaître à chaque instant la vitesse d'un point quelconque (x, ;(/, z) du système invariable en mouvement, c'est-à-dire la loi de ce mouvement.
Six fonctions du temps, exprimant les trois projections de la vitesse de translation et les trois projections de la rotation sur trois axes rectangulaires, sont donc nécessaires et suffisantes pour définir le mouvement d*un système invariable dans l'espace.
Lorsque ce syslème a un point fixe, et qu'on prend ce point pour origine des coordonnées, les composantes a, b, c de la vitesse de translation sont constamment nulles et les formules se réduisent simplement à :
w = y2 — ry = scoy — y<o„ (2) ^ v=irx — pz = Xîùg — z<ùg^^
w=py—qx = y(ù^—X(ùy.
Binômes analogues à ceux qui expriment les moments d'une ligne par rapport aux trois axes.
