EiKpreasioii de la Tltesse relative d'an point

— Nous avons vu qu'à chaque instant la vitesse, dans le mouvement réel ou absolu d'un point ou d'un système, était la somme géométrique des vitesses dans le mouvement relatif et dans le mouvement d'entraînement, en nous plaçant dans l'hypothèse la plus simple de deux mouvements simultanés seulement. Il arrive parfois que l'on connaît le mouvement

réel et le mouvement d'entraînement et que Ton veut en déduire le mouvement relatif : de Téquipollence

V (=) t?» (+) Vb on déduit évidemment

Va (=) t? (— ) t>B,

que Ton peut écrire :

c'est-à-dire que la vitesse dans le mouvement relatif est la somme géométrique de la vitesse dans le mouvement absolu et d'une vitesse égale et contraire à la vitesse d'entraînément.

C'est un résultat dont on peut se rendre compte facilement par la remarque suivante. Le mouvement relatif d'un point ou d'un système, par rapport à des axes mobiles, est défini uniquement par les coordonnées du point ou du système par rapport à ces axes, coordonnées qui restent les mêmes si l'on attribue en même temps, aux axes et au système qui y est rapporté, un mouvement commun quelconque. Si nous attribuons aux axes mobiles un mouvement égal et directement contraire à leur mouvement d'entraînement, et si nous attribuons ce même mouvement au système mobile, le mouvement relatif du système par rapport aux axes ne sera pas modifié.

Mais, alors, les axes seront ramenés au repos et le mouvement du système, relativement à ces axes, n'aura pas cessé d'être ce que nous avons appelé son mouvement relatif. Ce mouvement relatif, qui se trouve alors défini par rapport à des axes rendus fixes, est ainsi la résultante du mouvement , absolu et d'un mouvement égal et directement contraire au mouvement d'entraînement. D'où résulte le théorème qui vient d'être énoncé pour la valeur de la vitesse relative.

U est inutile de rappeler que, lorsque les vitesses relative et d'entraînement sont dirigées suivant la même droite, ou simplement parallèles, la somme géométrique qui précède devient une somme algébrique.

Nous avons défini et étudié plus haut le glissement et le roulement de deux courbes et de deux surfaces l'une sur Tautre, el, dans le but de simplifier cette étude, nous avons supposé fixe Tune des deux courbes ou surfaces. D*après ce que l'on vient de dire, le mouvement relatif d'une courbe ou d'une surface par rapport à l'autre sera obtenu, lorsque les deux seront mobiles, en attribuant à Tensemble des deux systèmes un mouvement égal et directement contraire à celui de Tun d'eux, et on ne changera pas ainsi le mouvement relatif, lequel sera, par conséquent, la résultante du mouvement réel de l'une des deux courbes ou surfaces et d'un mouvement égal et directe- 1

ment contraire à celui de Tautre. i

La vitesse de glissement que nous avons exprimée (page '

210) par I

sera, si Tune des deux courbes est rendue fixe, la somme géo- >

métrique des deux vitesses v et ( — Vi), dont se trouvera ainsi animée simultanément l'autre courbe. C'est la vitesse relative du point commun de l'une des courbes par rapport à Tautre. Tout ce qui a été dit du glissement et du roulement des courbes ou des surfaces, dans Thypothëse où l'une d elles est fixe, s'applique donc au cas où elles sont toutes deux mobiles, à la condition de considérer leur mouvement relatif.

190. Composition de» aeeélérations. — En ce qui concerne l'accélération, la composition ne se fait pas comme pour les vitesses : laccélération dans le mouvement réel n'est pas la somme géométrique des accélérations dans les mouvements relatif el d'entraînement. Nous avons déjà fait prévoir ce résultat au n^ 113 en remarquant que nous négligions les infiniment petits du second ordre, quantités dont il faut tçnir compte lorsqu'on s'occupe des accélérations.

g 2. — DE L'ACCÉLÉRATION 233

Soil M (fig. lli) un point mobile, MR sa trajectoire relative, et D le point où il serait parvenu sur cetle trajectoire après un temps infiniment petit ^f. Portons sur la tangente MA à celte

trajectoire une longueur MA = i^r . A/, en désignant par r» la vitesse relative; raccéïération,dans le mouvement relatif, sera

en la représentant par j^ : /r = lim — ^ .

Soit, de même, ME la trajectoire d'entraînement, MB sa tangente en M : au bout du temps A/, le point mobile sera venu en Ml, et si, t7j, étant la vitesse et ^'^ Taccéiéralion dans le mouvement d'entraînement, nous prenons MB = Ve - A/» nous au-

rons/e = lim -— p . Construisons sur MA et MB le parallélogramme MABC, la diagonale MC sera la direction delà vitesse absolue du point M ; elle sera tangente à la trajectoire réelle MS, la longueur MG sera égale k v. ^t si v est la vitesse absolue du point M; et si M' est la position de ce point sur sa trajectoire au bout du temps A/, Taccélération j dans le mouve-