CM'(=) CH (+) HF (+) FM
multiplions chacun de ses termes par — et passons à la limite en rendant A/ infiniment petit, nous aurons
; (==);« (+);b (+} 2<ot?a sin (û),Vr),
Le ilernier terme de cette équipollence s'appelle Taccélération complémentaire ; désignons-le par j'c en écrivant
nous obtiendrons définitivement
j(=) À (+);.(+) Je;
ce que Ton exprime en disant que Taccélération dans le mouvement réel est égale à la somme géométrique de trois accélérations: l'accélération du mou\rement relatif, l'accélération du mouvement d'entraînement et l'accélération complémentaire. Cette dernière est égale au double produit de la vitesse relative par la vitesse angulaire du mouvement de rotation d'entraînement et par le sinus de l'angle formé par la vitesse relative avec l'axe de cette rotation. On voit d'ailleurs que pour l'observateur placé sur l'axe de la rotation d'entraînement dans le sens conventionnel ordinaire, celte dernière accélération complémentaire, perpendiculaire au plan de cet axe et de la vitesse relative, est dirigée vers la droite.
191. RepréMeatation et eiipressien de raeeélération eomplémentaire. — On peut donner, de cette accélération complémentaire, un autre mode de représentation quelquefois plus simple. Sur la direction M,E de la vitesse relative, portons une longueur MiK = 2Vt^ égale au double de cette vitesse, et attribuons à cette ligne MjE le mouvement de rotation d'entraînement autour de l'axe MiX. La vitesse linéaire du point K sera perpendiculaire au plan KMiX, c'est-à-dire parallèle à l'accélération complémentaire ; elle sera dirigée dans le même sens, et sa valeur sera égale à o) . MiK . sin (KMiX) = 2(i)t?ft sin ((Oyt;^)» c'est-à-dire précisément à l'accélération complémentaire»
Ainsi cette accélération s'obtiendra en grandeur, direction et sens en portant sur la direction de la vitesse relative une longueur égale au double de cette vitesse, et en attribuant à cette ligne le mouvement de rotation d'entraînement. La vitesse linéaire de l'extrémité de cette ligne sera, en grandeur, direction et sens égale à l'accélération complémentaire.
On voil que lorsque le mouvement d*eniraiDcment est une simple translation, l'accélération complémentaire est nulle, puisqu'alors o = 0. Il en est de même lorsque l'on considère le repos relatif d'un point, c est alors la vitesse relative ^r qui est nulle.
Si le mouvement du point M considéré est rapporté à un système d'axes de coordonnées rectangulaires Ox^ Oy, Oz participant au mouvement d'entraînement, et si x, y y z sont les
coordonnées de ce point à une époque quelconque, ;j:> ;J7> y seront les composantes suivant les trois axes de sa vitesse par rapport à ces axes, c'est-à-dire de sa vitesse relative. Si Ton imagine,menés par le point mobile M, trois nouveaux axes VLx'j My , Ms' parallèles aux premiers et une ligne égale au double de la vitesse relative, les coordonnées de Textrémité de cette ligue,
L ^ . c^^ c^^y ty^t
par rapport a ces nouveaux axes, seront 2 y, 2 y, 2 y.
Menons parle même point une parallèle à Taxe de la rotation d'entraînement (0, et soient/)^ ^, r les projections de cette rotation sur les trois axes ar, y, z, ou œ\ y' , z\ En vertu des équations (2) du n" 118, les composantes, suivant les trois axes x, y, z de la vitesse, due à la rotation o, du point dont les coordonnées viennent d'être écrites, c'est-à-dire les composantes de l'accélération complémentaire seront :
/j\ • a/^^s dy\ . ç.f dx dz\ . / dy dx\
t9M. Aecéléretlon dans le mouTeiiieiit relatif. — Aeeélératlous apparentes* — Si l'on connaît le mouvement absolu d'un point, )t le mouvement d'entraînement des axes mobiles auxquels ce mouvement est rapporté, on peut déterminer l'accélération dans le mouvement relatif. On a en effet
OU bien
L'accélération dans le mouvement relatif est la somme géomé-
trique de l'accélération dans le mouvement absolu, d'une accélération égale et contraire à celle du mouvement d'entraînement, et d'une accélération égale et contraire à l'accélération complémentaire. Cette dernière accélération s'appelait autrefois et s'appelle encore souvent accélération centrifuge composée. On peut la représenter par jcc ou écrire jcc (=) — /c.
L'accélération centrifuge composée a ainsi la grandeur et la direction de l'accélération complémentaire ; mais elle est de sens contraire, c'est-à-dire qu'elle est dirigée vers la gauche de la vitesse relative, tandis que l'accélération complémentaire est dirigée vers la droite.
Les deux accélérations (— Jb) Q^Jccj que Ton doit ainsi ajouter géométriquement à Taccéléralion réelle pour obtenir laccélération dans le mouvement relatif, portent souvent le nom ai accélérations apparentes.
Les accélérations apparentes sont ainsi l'accélération du mouvement d'entrainement prise en sens contraire et l'accélération centrifuge opposée.
193. Aoeélératlou d'an pi»iut rapporté à des eoor« données polaires dans an plan. — Cherchons, au moyen ce qui précède, à exprimer l'accélération d'un point M, hg. 112, rapporté à des coordonnées polaires r, dans un plan, en regardant le mouvement de ce point comme résultant de deux mouvements simultanés : le mouvement relatif r =f{t) sur le rayon vecteur, et le mouvement d'entrainement 6 = o{t) de rotation de ce rayon vecteur autour du pôle.
La vitesse relative Vr est ici —
at
et, puisque le mouvement relatif
est rectiligne, l'accélération rela-
tive/a est-—, et toutes deux sont
Fig. 112. dirigées suivant MA.
L'accélération dans le mouvement d'entrainement est la ré-
sultante de deux accélérations, l'accélération tangentieller —
dirigée suivant MB et l'accélération normale ou centripète di-
238 CHAP. Vt.— MOUVEMENTS SIMULTANÉS ET RELATIFS
-r I , mais que
nous affecterons du signe — si nous convenons de compter les accélérations positives dans le sens MA.
En&n, l'accélération complémentaire s'obtiendra en prenant MA = 2vt,f en attribuant à cette ligne un mouvement de rotation égal au mouvement d'entraînement, c'est-à-dire d'uner vitesse angulaire •- , et en prenant la vitesse du point A dans ce
mouvement. Cette vitesse sera 2t?R -r et elle sera dirigée dans
le sens de MB.
Les composantes de Taccélération dans le mouvement absolu^ dans le sens du rayon ou suivant MA, et dans le sens perpendiculaire ou suivant MB, seront respectivement les sommes des composantes que nous venons de trouver dans les mêmes directions pour les trois accélérations. Nous aurons ainsi : pour la composante suivant le rayon
d*r /dô\«
pour la composante suivant MB
Cette dernière composante, /q, peut se mettre sous une autre forme plus simple. On a
d*B ^drdB 1 / , d«6 ^ dr dB\ 1 d/ ^d$\
Comme nous f avons vu plus haut (n* 62) la quantité r* —
est le double de la vitesse aréolaire.
Si celte vitesse est constante, sa dérivée par rapport au temps est nulle; jq est constam.nent nulle^ c'est-à-dire que laccélération du point mobile est dirigée suivant le rayon, et réciproquement. Nous retrouvons ici le théorème des aires que nous avons démontré plus haut d'une façon toute différente. Si l'accélération d'un point mobile passe constamment par un
point fixe, les aires décrites par le rayon vecteur joignant le point mobile au point fixe sont proportionnelles au temps et réciproquement.
194. Repos relatif d'un point pesant à la «nrfaee de la terre. — Appliquons encore les considérations précédentes à Tétude du repos relatif d'un point pesant à la surface de la terre.
Nous appelons point pesant un point qui, à la surface de la terre, prendrait l'accélération que prennent tous les corps pesants abandonnés librement à eux-mêmes, par rapport à des points de repère invariablement liés à la terre : l'expérience montre que cette accélération est de O^^^SOSS par seconde à la latitude de Paris et au niveau de la mer, et nous la représentons par g suivant Tusage. C'est l'accélération du point dans son mouvement relatif par rapport à la terre, ou l'accélération relative y» d'après les notations précédentes. Nous supposons, pour simplifier, que la terre est rigoureusement sphérique.
Nous faisons également abstraction de son mouvement autour du soleil et nous supposons qu'elle tourne sur elle-même autour d'un axe fixe dans Tespace.
Cela posé, désignons par G Taccélération encore inconnue que prend le point pesant que nous considérons, dans son mouvement réel, accélération que l'on observerait par rapport à des axes immobiles dans l'espace. Supposons que cette accélération soit dirigée exactement vers le centre de la sphère à laquelle nous assimilons laterre.
C'est l'accélération réelle y.
SoitM(fig.ll3) le point considéré, PP' la ligne des pôles, le centre de la terre. L'ac* célération G dans le mouvement absolu étant supposée passer par le centre de la terre, représentons-laparMG. D'après ce qui précède, l'accélération relative ^ est égale à la somme géométrique de l'accélération absolue G et des accélérations
apparentes. Or, si nous considérons un point en repos relatif, sa vitesse relative est nulle et il en est de même de Taccélération centrifuge composée ; nous avons donc simplement alors :
ou bien
Nous devons ajouter géométriquement à Faccélération absolue G une accélération égale et directement opposée à celle du mouvement d'entrainement. Pour le point M, ce mouvement est une rotation autour de Taxe PP' avec une vitesse
angulaire uniforme <o= q^tôi = 0,0000729. L'accélération
dans le mouvement d*enlrainement, dans lequel le point M décrit une circonférence de cercle ayant le point A pour centre, est dirigée de M vers A et a pour valeur w'X MA; ou bien, si R désigne le rayon de la sphère et X la latitude du point M ou le complément de Tangle MOP, cette accélération sera o'Rcos>.. Portons en sens contraire, c'est-à-dire de M verse, une longueur égale à (o^RcosX; nous aurons représenté Taccélération apparente qui doit être ajoutée géométriquement à Taccélération réelle G, pour donner Taccélcralion relative g. Construisons donc le parallélogramme McgG, sa diagonale Mg sera précisément l'accélération relative g qui est connue. Nous allons en déduire la valeur de G.
Abaissons du point g la perpendiculaire ^B sur GM; les deux lignes MG, Mg étant très voisines l'une de l'autre, la ligne Mg =g peut être considérée comme égale à sa projection MB et Ton a alors simplement :
G = flf+ Mccos >.=5f-j-w'Rcos*>.; et, par suite :
g==G — (o'Rcos*X.
La première de ces équations donnera la valeur de G, étant connues g et la latitude du lieu correspondant. Nous avons
dît, par exemple, qu'à Paris, où 1 = 48^30' 13', ^ = 9"*,8088, on en déduit G=9"»,8234.
Si, en conséquence des hypothèses simplificatives que nous avons faites, nous supposons que G soit constant en tous les points de la terre, la seconde équation servira à calculer la valeur de ç dans un lieu déterminé.
Par suite de la forme aplatie de la terre, la loi réelle de la variation de g est un peu différente de celle que donne celte formule, ou du moins les constantes y ont des valeurs qui secartent un peu de celles que nous venons de trouver. Les recherches de Laplace montrent que Ton a, à peu près :
^=9", 8301 — 0,0o07i cos^X.
La direction de y, qui est celle de la verticale apparente, ne passe pas par le centre de la terre supposée sphérique. L'écart,
mesure par 1 angle yMB, a pour expression -r. =
=^ sin 2X ; il* a son maximum, en supposant g constant,
pour>.= 45°; il est nul pour X=0 et x = 90°, c'est-à-dire à Téquateur et aux pôles. Le maximum est inférieur à 0^13' en supposant la terre sphérique. Il est, en réalité, un peu plus considérable, et la différence est due à la forme aplatie du sphéroïde.
tf &• Déviation ver» Teiit ileM eorpM qui toiiibent li« breiueut à la «urfaee de la (erre. — Eludions le mouvement relatif ou apparent du même point pesant à la surface de la terre, et considérons d'abord le mouvement de ce point abandonné à lui-même sans vitesse initiale. Appelons Vj^ sa vitesse relative au bout du temps t, son accélération relative à cette époque se composera de la somme géométrique de l'accélération réelle G, de l'accélération égale et contraire à celle d'entraînement, et de l'accélération centrifuge composée. Nous avons désigné par ^ la somme géométrique des deux premières et il suffit d'y ajouter géométriquement l'accélération centrifuge composée pour avoir Taccéléralion relative.
2tà CHAP. VI. — MOUVEMENTS SIMULTANÉS ET RELATIFS
. L'accélératioQ centrifuge composée est représentée par la vitesse prise en sens contraire de Textrémité d'une ligne égale au double de la vitesse relative supposée animée du mouvement de rotation d'entraînement. Nous pouvons , pour la calculer, admettre à une première approximation que la vitesse relative est dirigée suivant la verticale apparente et qu'elle est égale à giyCe qui aurait lieu si Ton faisait abstraction du mouvement de rotation dont il s'agit d'évaluer Tinfluence. Alors, si l'on considère une ligne égale à 2^/, menée à partir du point M
(fig. 114) dans la direction M^, et si l'on suppose que cette ligne MF tourne autour d'un axe mené par le point M parallèlement à Taxe polaire, d'un mouvement de rotation uniforme égal à <o, son extrémité F prendra une vitesse qui sera égale et directement opposée à l'accélération centrifuge composée cherchée.
Si le point M est dans l'hémisphère ^' nord, le mouvement de rotation
ayant lieu de l'ouest à l'est, on voit que le point F, supposé situé dans le plan de la figure 114, viendra en avant de ce plan et que la vitesse lui sera perpendiculaire; l'accélération centrifuge composée, dans les limites de l'approximation que nous avons admise, sera horizontale et dirigée de l'ouest vers Test ; sa grandeur sera la vitesse du point F, qui décrit avec la vitesse angulaire d) un cercle dont le centre est sur la ligne parallèle à l'axe polaire menée par le point M. Cette vitesse est donc 2(o^/cosX.
Si maintenant nous rapportons le mouvement relatif du point mobile à trois axes rectangulaires, la position initiale de ce point étant prise pour origine, l'axe des z étant dirigé suivant la verticale apparente My, l'axe des x suivant l'horizontale, de l'ouest à Pest, et Taxe des y perpendiculaire aux deux premiers, on voit que les deux accélérations, dont la somme géométrique doit donner l'accélération relative, étant toujours parallèles aux axes des z et des x, leur projection sur celui des f/ sera toujours nulle ; par conséquent, le mou-<
§ a, — DE L'ACCÉLÉRATION 243
vement s'effectuera dans le plan des zx. Nous avons, d'ailleurs, pour ces deux composantes de Taccélération relative :
dr^=9 ' - = 2coff^cos)..
Intégrant deux fois et remarquant qu'il n'y a pas de constante à ajouter, puisque le point part de l'origine sans vitesse initiale, nous obtenons :
z='gt* , x='(ùÇCos\.r.
Telles sont les équations du mouvement relatif. La trajectoire, obtenue en éliminant ^, a pour équation :
x=' (i> cos X
