VI

c'est une parabole du degré g. Cette même équation permet

de calculer la déviation vers test du point qui tombe, c'est-àdire la quantité x dont il s'écarte de la verticale apparente prise pour axe des z.

En faisant z= 158"^,5, > = 5i% on trouve a;= 0",0276 ; dans les expériences faites avec ces données à Freyberg, M. Reech a trouvé 0",0283.

Il serait d'ailleurs facile, au moyen des formules (1) du n* i21 qui donnent les composantes de l'accélération complémentaire, d'écrire les équations exactes du mouvement du point considéré, quel que soit d'ailleurs ce mouvement.

Si l'on représente par a?, y^ z ses coordonnées à une époque

dx dy dz , . ,

quelconque ^, et par ^ , ^. , iî les composantes suivant les

trois axes de sa vitesse relative à cet instant, il suffit de remarquer que si Ton mène par Torigine des coordonnées une ligne parallèle à l'axe polaire et d'une longueur (o, les projec* tions de cette ligne sur les trois axes coordonnés que nous avons choisis, c'est-à*dire les trois composantes de la rotation ui suivant ces axes, sont :

p = , q = — (ocos>. , r = a)SÎnX,

et que, par suilc, les composantes de raccélération centrifuge composée, égales et de signe contraire à celles de l'accéléra* tion complémentaire dont les valeurs sont données au n*^ 121 sont :

2<i>sin)^~ +2<oCOsX j^f — 2<ùsm>.-^, — 2<«)C0s>. j-^

et si Ton appelle toujours^ la résultante de raccélération réelle et de raccélération apparente due au mouvement d'entrainement, cette accélération g étant parallèle à Taxe des z^ le mouvement du point par rapport aux axes Xy y, z entraînés dans le mouvement de rotation de la terre, à laquelle ils sont supposés invariablement liés, sera défini par les équations:

rf'jc - . ^ dy ^ dz

— -=2 G> sinX tt+wcosXt; ,

d^z dx

La comparaison de ces équations exactes avec les précé-

dx du dentés, approximatives, montre que Ion a négligé -^ et -^^

c'est-k-dire les composantes horizontales de la vUesse du point mobile. \

Ces équations pourront servir à déterminer la lor-^u mouvement d'un point mobile dans des conditions quelconques à la surface de la terre, il suffira de les intégrer en tenant compte des condilions initiales du mouvement du point. ENes pourront, en y ajoutant les composantes des autres accéléra^ lions dont serait animé le point pesant, servir à détermineV son mouvement dans les circonstances les plus variées. Si, par exemple, le point était assujetti à parcourir une courbe oa une surface donnée, nous avons vu que cette obligation se traduisait, analytiquement, par l'addition d'une certaine accé- ^

lération, dont on ajouterait les composantes aux seconds \

membres des équations précédentes.

tt«. Pendule de Foueault. — Appliquons ces équations à Tétudc du mouvement relatif du pendule simple par rapport à la terre supposée animée seulement de son mouvement diurne.

L'obligation,, pour le point mobile, de rester toujours à une distance l d'un point fixe, que nous pouvons prendre pour origine des coordonnées, équivaut àl'addilion dune accélération Ly dirigée du point mobile vers le point fixe et dont les projectionâ sur les trois axes sont par conséquent

ces composantes ajoutées aux premiers membres des équations précédentes donneront les équations différentielles du mouvement du point :

-=-L-+2<o8in).-+2a.co8î.-,

d*z T ^ . ex àx

-=-L-+5r-.2o>cosX-;

auxquelles nous joindrons la suivante

exprimant que le point mobile reste à une distance / de l'origine. Ces quatre équations détermineront en fonction du temps, les quatre inconnues x, y^ z et L.

Leur résolution exacte n'a guère qu'un intérêt analytique.

Si nous supposons, comme nous l'avons déjà fait, que les oscillations du pendule soient assez petites pour qu'il puisse être considéré comme ne s'écartant pas sensiblement du plan

*^ . dz

,0 '. horizontal, on pourra négliger — , et alors l'élimination de L

entre les deux premières équations donnera

,, d*x d'y - . / dx dy\

<3> 2'.7-^7^• = 2<oSln>.(«.^-^-y^J),

ou bien

d [ dx dy\ • -V ^ / j I 8\

ou encore, en intégrant et désignant par C une constante (4) j,^^^^^sin>(z« + y») + C.

Cette équation donne la loi du mouvement de la projection u du pendule sur le plan des xy. En effet, si

;jn wî (fig. 115)est cette projection, rapportonsla à des coordonnées polaires Om = r et mOx = 6 ; nous aurons

j:=rcos9, y==rsin6, J!^*H-.y*==r*,

dx dy ^dO

yTt~^âi^~^ dt'

et par suite, l'équation (4) devient

(5) — r' - = r» G) sin }^ + C.

Si Ton suppose qu'à une certaine époque r soit nul, c'est-àdire que le point mobile passe par la verticale du point fixe, on a alors C = et l'équation, en la divisant par r', se réduit à

(6) — — = (0 sin >.

6 = — G) sin X. ^ + const.

Le plan d'oscillation du pendule tourne autour de la verticale avec une vitesse angulaire égale à co sin 1.

On peut arriver, d'une manière plus directe, à démontrer Téquation (5) sans la déduire des formules générales.

Si nous considérons la vitesse relative du point m dans le plan des xy, le moment de cette vitesse, par rapport au point O ou

par rapport à l'axe Oz, a pour valeur — ^^ "T.y ^^ '* dérivée par

rapport au temps de ce moment doit être égale au moment, par rapport au même axe, de l'accélération du point. L'accélération y, parallèle à Taxe, donne un moment nul. Si Ton dé-

compose la vitesse relative en deux composantes : l'une •— , sui-

//fi vant le rayon Om ; l'autre r j perpendiculaire à ce rayon, Tac-

célération centrifuge composée due à cette dernière composante, lui étant perpendiculaire, aura un moment nul par rapport à 02,et le moment de l'accélération se réduira ainsi à celui de Taccélération centrifuge composée due à la première corn-

dr dv

posante -r > laquelle a pour valeur 2o> t- sin X et pour bras de levier r. On aura ainsi Féquation

d / . dB\ ^ dr .

qui, intégrée, donne bien Téquation (S).

La dernière forme (8) de cette équation nous permet d'ailleurs^ avec ce que nous avons appris précédemment, de trouver quelque chose de plus pour la loi du mouvement de la projection du pendule sur le plan horizontal, pour le cas plus général où le mobile ne passerait pas par la verticale du point fixe. Cette équation (8) peut se mettre sous la forme

ir»x ^d^B ^ drdB . dr . ^ ^

^ ^ dt* dt dt dt

ou bien, en posant

(10) ç = 6 + (0 f sin X

ce qui donne

d^$ d*a> df dB ' . ^

tt=t; et -i==-+Ci> smX ,

dl« d/* dt dt

ou encore

soit

(13) '^ ? "^ constante.

Si donc, au lieu de rapporter le point m, dans le plan xy, aux coordonnées r, 8, on le rapporte aux coordonnées r, <p qui

sont des coordonnées polaires donl Faxe pris pour origine des angles (p est animé d'un mouvement de rotation avec une vitesse angulaire o sin>. autour du point 0,on voit que la vitesse aréolaire du point m dans ce système de coordonnées mobiles est constante, c*est-à-dire que Taccélération du point m passera constamment par le point 0.

Mais nous savons^ d*autre part (n^ 89), que la composante de l'accélération dirigée vers le point est proportionnelle à la distance du point m à ce point fixe, ou proportionnelle àr; il en résulte que le point mobile, rapporté au système de coordonnées mobiles r et (p, décrit une ellipse dont le centre est au point 0. En d'autres termes, le point mobile décrit, dans le plan horizontal, une ellipse dont Taxe tourne autour du centre Oavec une vitesse angulaire w sin "k,

La détermination de la grandeur des axes de cette ellipse en fonction des conditions initiales est une pure question d'analyse, à laquelle nous ne nous arrêterons pas.

On sait que les résultats précédents ont été vérifiés expérimentalement par Foucault, au Panthéon. A la latitude de Paris, la durée de la révolution complète du plan d'oscillation du

pendule, égale à — r-r , est de 31 heures 47 minutes 30 secon-

fit) sin A

des, et le sens de la rotation est est-sud-ouest-nord, c'est-àdire celui des aiguilles d'une montre.

tt7. Mouvement d'an peint pesant «nr une eourlie animée d'an meavement de rotation. — Par les exemples prc^cédents et principalement par celui du n"* 125, on voit le peu dMnfluence du mouvement de rotation de la terre sur les points qui se meuvent à sa surface : le mouvement relatif par rapport à des axes mobiles entraînés dans la rotation de la terre, le seul que nous puissions observer, diffère extrêmement peu du mouvement qu'auraient les mêmes points si ces axes étaient fixes ou la terre immobile sur son axe. Cela tient à la faible valeur de la vitesse angulaire de cette rotation qui n'esta comme nous l'avons vu, que de (>)== 0,0000729. A plus forte raison l'influence de la rotation de la terre autour du soleil est encore négligeable et l'on peut, sans erreur appré*

g 2. - DE L'ACCÉLÉRATION

ciable, considérer tous les mouvements qui se produisent à la surface de la terre comme si celle-ci était absolument fixe dans l'espace.

Nous pouvons, des lors, étudier le mouvement relatif d'un

point pesant par rapport à des axes mobiles suivant une loi

déterminée, le mouvement de ces axes étant rapporté à la terre

supposée fixe.

Soit, par exemple, un point pesant M (fig. 116), c'est-à-dire

animé d'une accélération g constante et verticale, astreint à rester sur une courbe donnée AB, entraînée dans un mouvement de rotation autour d'un axe vertical 0^ que nous prendrons pour axe des coordonnées z. Par un point de cet axe, nous mènerons deux horizontales Ox^ Oy, perpendiculaires Pune à ^*^' **^' l'autre, qui seront les axes des coordon-

nées â? et 1/ entraînés avec la courbe dans le mouvement de rotation. Appelons o la vitesse angulaire de ce mouvement que nous supposons uniforme, et soit M la position du point sur la courbe. Nous admettrons, comme nous Pavons fait aux n""* 88 et suivants, que la condition imposée au point do suivre la courbe AB est équivalente à une accélération constamment normale à cette courbe ; nous désignerons cette accélération par L et ses projections sur les axes par Ljc, L^, L^.

Alors l'accélération y» dans le mouvement du point par rapport aux axes mobiles sera, d'après le n** 122, la somme géométrique des accélérations réelles ^ et L et des accélérations apparentes : savoir une accélération égale et contraire à celle du mouvement d'entraînement, et l'accélération centrifuge composée. Le mouvement d'entraînement est une rotation uniforme &> autour de l'axe 0:; ; l'accélération du point M dans ce mouvement est dirigée de M vers P ; elle a pour valeur G>*MP. La première des accélérations apparentes est donc dirigée de M vers E et elle a cette valeur w^MP = o ^jx^ H- y'. Ses projections sur les axes des x et des y sont respectivement bi^x et <ù®y, et sa projection sur l'axe des z est nulle. Quant à 1 accélération centrifuge composée, ses projections surlesaxos

nous seront données par les formules (1) du n"" 121, changées de signe, en y faisant p = r = et g=<ù. Et, alors, les trois projections j\^xy Â.^» Jr,z de Taccélération relative sur les trois axes, qui sont les sommes des projections, sur les mêmes axes» des accélérations tant réelles qu'apparentes dont la somme géométrique constitue Taccélération relative, auront pour valeurs :

(*) { ;H.y = ^ = o)*y+Ly,

h.z='^^=g + Lz + 2isij^.

Si nous joignons à ces trois équations celles qui définissent la forme de la courbe :

(2) noo,y,z) = 0, fi{x,y,z) = 0,

et celle qui exprime que L est contenue dans son plan normal :

(3) La: (te+Lj, dy+L, dz=0,

nous obtenons six équations qui nous suffiront pour exprimer, en fonction du temps, les six quantités variables x, y, Zj L^^ Lj,, L;, dont les trois premières définissent la loi du mouvement, et les dernières donnent la valeur de l'accélération L.

Ce qui précède s'applique, bien entendu, au cas où la courbe est plane ; il suffit, dans les équations (1) et (3) d'annuler y et ses dérivées, ainsi que Ly. Les deux équations (2) se réduisent à une seule entre x et z, et Ton a ainsi les quatre équations :

(4) ;^ = o>'a: + L.-2a>- , -=j + L,+2co-,

(5) f{ûP,z) = Q , Lxdx+Udz=0.

Proposons-nous, par exemple, de déterminer une courbe telle que le point dont il s'agit puisse y être placé partout sans vitesse et y reste en repos, c'est -à-dire ne prenne aucune accé-

léralion; les composantes -rnr ^ de la vitesse relative sont

nulles ainsi que celles de Taccélération relative, et Ton a alors :

(6) ù>'a:+liaj=0 , g^Lz = , L«(te + L^dz = 0, ou bien, en éliminant L^. et L^ :

(7) <ù^xdx-\-gdz=:0;

ce qui donne, en appelant C une constante arbitraire :

équation d'une parabole dont Taxe coïncide avec Taxe de la rotation. Cette propriété de la parabole a été utilisée, notamment dans le régulateur Farcot.

Les théorèmes généraux des numéros 74 à 79 sont d'ailleurs applicables à la détermination du mouvement relatif d'un point, à la condition, si Ton considère la vitesse ou Taccélération relative, d'ajouter toujours aux accélérations réelles les accélérations apparentes. Ainsi, par exemple, pour applir quer au mouvement que nous venons d'étudier le théorème du n" 79, qui s'exprime par l'équation :

(9) l{v'-v,') = f^ j{X)ds.

il faudrait, en désignant par Wr et Vr,o les valeurs de la vitesse relative en deux points {x^ y, z), {Xq, i/q, Zq) de la position du mobile^ mettre dans le second membre, pour j, l'accélération relative ou toutes les accélérations réelles ou apparentes dont elle est la somme géométrique. Le produit géométrique y(X)cîi est, d'ailleurs, égal à la somme des produits algébriques :

jxdx+jydy-hjzdZj

et il suffira, pour évaluer le second membre, d'y remplacer y». ./»» /z parle urs valeurs (1). Remarquons que dans le pro-

duity (x) ds l'accélération L ne donne rien, puisqu'elle est constamment perpendiculaire à ds, ce qui se vérifie, d'ailleurs, la somme des trois termes provenant de L étant nulle d'après (3). De m^.me, Taccéléralion centrifuge composée ne donne rien puisque sa direction est perpendiculaire à celle de la vitesse relative ou de ds ; on le vérifie aussi en constatant que la somme des deux termes qui proviennent des composantes de cette accélération est nulle. Toutes ces réductions faites, il reste :

= 2 (^'+y')— Y(^o'+»o*)+ff(--2o)

ou bien, en appelant respectivement r et Tq les distances Va?'4-yS V'^T+y? ^^ point mobile à Taxe dans les deux positions considérées :

t^R* — Tr,,» =2g{z — Zo) + w* (r* — n*).

or et (ùVo sont les valeurs de la vitesse d'entraînement dans ces deux positions ; on peut les représenter par t?E« t\^i et alors cette équation devient :

Vt,^ — t\/ = 2g(z—z,} + VB^ — v^/ .

Sous cette forme, elle est employée dans la théorie des turbines hydrauliques*