CHAP. VIII. — LOIS PHYSIQUES DU MOUVEMENT

point, et à toute époque, des fonctions parfaitement déterminées de Yétat du système à cette époque, c'est-à-dire des seules coordonnées x, y, z, de chacun des points, puisque l'observation nous montre qu'elles sont indépendantes des vitesses.

Voici comment M. Boussinesq ' déduil, des faits d'observation, l'importante conclusion qu'il s'agit d*établir.

Il est naturel d'admettre que l'une quelconque des composantes d'accélération ne peut, tout au plus, dépendre que de la vitesse du point auquel elle s'applique, car, durant l'instant «f/, les vitesses des autres points ne modifient pas sensiblement leurs positions, ni par suite Vetat du système, par rapport au point que Ton considère. Mais je dis en outre que la composante d'accélération ne dépendra pas non plus de la vitesse de ce point. Imprimons en effet, à tous les points du système, au lieu de leurs vitesses effectives, une vitesse égale et parallèle à celle du point considéré, celte modification de la vitesse des autres points ne changera pas, comme nous venons de le dire, l'accélération que nous avons en vue. Le système sera alors, tout entier, animé d'un mouvement de translation, c'est-à-dire que les composantes des vitesses de ses points, par rapport à un système d'axes parallèles auK axes fixes, mais animés du même mouvement de translation, seront nulles. Et dans ce cas l'expérience nous apprend que les déplacements des points, par rapport aux axes mobiles, sont les mêmes que ceux qui auraient lieu par rapport aux axes fixes si tous les points du système étaient actuellement sans vitesse. Dans ce système de points immobiles, par rapport aux axes fixes, la composante de l'accélération ne dépend que des coordonnées des points, puisque les vitesses sont nulles ; il en est donc de même de la composante réelle de l'accélération du point du système en mouvement, puisqu'elle n'a pas été modifiée par les changements de vitesse que nous avons fait subir à tous les autres points.

Ainsi, les accélérations des points du système ne dépendent que des positions de ces points et non de leure vitesses. Cette conclusion peut, au premier abord, sembler contredite

1. Recherches sur les principes de la Mécanique, Journal de mathémaliques pures et appliquées, Tome XVIII, 1873.

j 1. - PRODUCTION DU MOUVEMENT 3li

par certains faits d'expérience ; mais un examen plus attentif montre que la contradiction n'existe pas. Ainsi, lorsqu'un corps solide est lancé, avec une certaine vitesse, dans un ûuide immobile, sa vitesse diminue, et l'observation montre que la perle de vitesse, ou Taccélération négative, est à chaque instant proportionnelle à une certaine puissance de la vitesse, c'est- à-dire fonction delà vitesse. Examinons le phénomène de plus près. Lorsqu'un solide se meut dans un fluide, il ne peut le faire qu'en écartant les molécules de ce fluide, lesquelles se trouvent ainsi obligées de prendre, les unes par rapport aux autres, un arrangement différent. Leurs distances respectives, et relatives à celles du solide, se trouvent par suite modifiées et l'accélération des points du solide est une fonction des nouvelles coordonnées ou de ces nouvelles distances. Or, cette modification des distances respectives est fonction de la vitesse : il est évident que plus la vitesse du solide est grande, plus grand est le trouble apporté dans l'état d'équilibre du fluide; et ro})servation, qui ne peut porter sur ces changements de distance imperceptibles, les élimine et rattache directement les quantités mesurables : l'accélération et la vitesse.* Mais l'accélération ne se trouve exprimée par une fonction de la vitesse que parce que toutes deux sont des fonctions inconnues des modifications des distances relatives entre les particules du solide et celles du fluide.

tUft. Comparaison des witOMe» 9;agnée» par des eorps mis en rapport mutuel. — Revenons aux circonstances dans lesquelles se produit le mouvement, et considérons en particulier celui qui résulte du choc d'un corps en mouvement sur un corps s en repos. L'observation nous montre que la vitesse du premier change en même temps que celle du second, mais en sens inverse, de manière que les gains de vitesse sont toujours de sens opposé. Il en est de même lorsque les deux corps sont en mouvement. Si, par exemple, les vitesses sont dirigées suivant la même ligne droite avant comme après le choc, la vitesse du corps heurtant a diminué, pendant que celle du corps heurté a augmenté, de telle sorte que les vitesses gagnées, définies comme

312 CH.VP. VllI. — LOIS PHYSIQUES DL' MOUVEMEiNï

nous l'avons fait plus haut, sont de sens contraires. La même chose se remarque lorsque les vitesses changent sans gu^i y ait choc : par exemple, si deux barreaux aimantés sont sus* pendus à une petite distance Tun de l'autre, quand le premier se porte vers le second, celui-ci se porte aussi vers le premier, et si le premier fuît le second, le second fuit en même temps le premier. Si, de même, on lâche simultanément les deux extrémités d'un ressort comprimé ou dilaté, ces extrémités s'éloignent ou se rapprochent en se mouvant ensemble en sens opposé.

De plus, si les deux corps qui se heurtent sont de même matière et de même volume, on trouve, en mesurant leurs vitesses avant et après le choc, que la vitesse gagnée par Fun est toujours égale à celle de sens opposé qui a été gagnée par r autre.

Les vitesses dont il s'agit ici sont, bien entendu, celles des points matériels auxquels nous assimilons les solides, c'està-dire celles de leurs centres de gravité. Ce sont les vitesses moyennes de toutes les particules du solide, lesquelles peuvent être animées de vitesses individuelles très différentes.

Si les deux corps diffèf*ent par la matière ou par le volume, les deux vitesses gagnées par le choc sont inégales, mais constamment dans le même rapport, quelles que soient leurs grandeurs.

Ce rapport est inverse des volumes si les deux corps sont de même matière.

Enfin, si des corps quelconques k, B, C,.... sont mis succèssèment deux à deux en relation, soit par le choc, soit dans les autres circonstances où le mouvement se produit, telles que l'électrisation, l'effort musculaire, la détente d'un ressort faisant partie de l'un d'eux, etc., les vitesses quils se communiquent inutuellement sont dam des rapports marqués par des nombres comtnnts^ affectés à chacun deux. Si, par exemple, dans le choc de A et de B, les vitesses gagnées opposées ont été entre elles dans le rapport de 1 pour A à 2 pour B, et si dans le choc de A et C, elles ont été dans le rapport de 1 à 3, ollos seront dans le rapport do 2 à 3 et non antroment dans le

I 4. ^ PRODUCTION DV MOUVliMENT. :i!:$

choc de B el de C. Un même ressort, se déleadaiii, imprimera à B et à C des vitesses qui seront encore dans ce même rapport de 2 à 3, et il en sera de même de toutes les autres Qirconstances où se produira le mouvement de ces deux corps.

!••• Déflnitioii de la maftse. — Chaque corps, chaque point matériel a ainsi, au point de vue du mouvement^ une sorte d'équivalent mécanique^ coefficient numérique inversement proportionnel à la vitesse qui lui est imprimée dans des circonstances données. Ce coefficient, parfaitement déterminé pour chaque corps, lorsque Ton a choisi pour unité celui qui s'applique à un corps donné, porte le nom de masse du corps ou du point matériel.

D'après ce qui vient d'êlre dit (163), deux corps de même matière ont leurs masses proportionnelles à leurs volumes. Si donc Ton considère wn corps dont la masse est représentée par n et si on le divise en n parties égales, la masse de cha^ cune des parties sera égale à Tunité, c'est-à dire que mise en relation, par le choc ou autrement, avec le corps choisi pour unité, elle recevra une vitesse égale et opposée à celle qu'elle lui communiquera. Le nombre n peut être fractionnaire et alors c'est avec les parties aliquotes du corps choisi pour unité que la comparaison doit être faite. On peut ainsi définir la masse d'un corps par le rapport de deux nombres exprimant combien de fois ce corps et un autre, arbitrairement choisi pour unité, contiennent de parties qui, étant séparées et heurtées deux à deux l'une contre l'antre, se communiquent, par le choc^ des vitesses opposées égales.

Ces vitesses moyennes gagnées par chacun des corps ne sont autre chose, si on les rapporte à l'unilé de temps, que les accélérations moyennes, ou les accélérations des centres de gravité de ces corps.

§•7. lioi fondamentale de la méeoniqae. — Reportonsnous à ce que nous avons dit, au chapitre Vil, n** 131, de l'accélération moyenne exténeure d'un système de points. Nous avons vu que lorsque deux systèmes de points n'ont entre eux

314 CHAP. VIII. — LOIS PHYSIQUES DU iMOUVEMENT

que des accélérations réciproques, leurs accélérations moyennes extérieures sont en raison inverse du nombre de leurs points. Les corps de même masse se comportent donc comme des systèmes d'un même nombre de points, et des corps de masses différentes comme des systèmes ayant des nombres de points proportionnels à leurs masses, ces points n'ayant entre eux que des accélérations réciproques.

Par conséquent, tous les phénomènes de la production du mouvement s'expliquent complètement au moyen de la loi générale suivante :

Les corps se meuvent comme des systèmes de points ayant, à chaque instant, des accélérations réciproques, c'est-à-dire dont les composantes suivant leurs lignes de jonction deux à deux sont constamment égales et directement opposées pour les deux points dont chaque ligne mesure la distance ; ces accélérations étant variables avec les grandeurs de ces lignes, mais indépendantes des vitesses des divers points ; et les nombres de points de chaque système étant proportionnels aux masses des corps qui leur sont- assimilés.

Cette loi fondamentale de la mécanique des corps naturels déduite, comme nous l'avons fait, de l'observation des faits et de leur systématisation, nous suffira pour expliquer tous les phénomènes du mouvement. Il est facile de voir qu'aucune autre loi simple ne peut rendre compte, comme celle-là, des faits primordiaux. Elle montre bien :

1^ Que les vitesses sont engendrées ou changées de grandeur et de direction en vertu d'accélérations que prennent les points du corps, et par conséquent d une façon graduelle et jamais instantanée ;

2*" Que ces accélérations dépendent des distances ou des situations relatives des divers points; qu'elles peuvent bien dépendre aussi de la nature diverse ou de l'état physique des particules des corps, mais qu'elles sont indépendantes des vitesses que ces particules peuvent posséder actuellement dans l'espace.

3° Que les vitesses moyennes gagnées par deux corps lors de leur mise en relation par le choc ou autrement, ou les vitesses acquises par leurs centres de gravité^ sont opposées et dans un rapport constant.

Nous admettons donc que cette loi, conforme d'ailleurs à tous les autres faits observés jusqu'à présent, régit tons les phénomènes de mouvement, et nous allons en déduire toute la mécanique générale.

Nous rappelons que nous avons désigné par les mots : accélération d'un corps ou d'un système A vers un autre corps ou système B, ou accélération moyenne de ses points vers ceux de B, la moyenne des accélérations partielles de ces points vers ceux de B, ou l'accélération de son centre de gravité. Il est bien entendu que l'accélération de A vers B peut tendre à éloigner A de B aussi bien qu'à Ten rapprocher.

Nous considérerons aussi fréquemment l'accélération extérieure d'un système A, abstraction faite du système B vers lequel se produit cette accélération. Mais il restera toujours supposé que cette accélération extérieure est la réciproque de l'accélération d'un autre système que nous passerons sous silence.

La mécanique, dont nous allons entreprendre l'étude, ne diffère de la cinématique, ou étude géométrique du mouvement, qui remplit la seconde partie de cet ouvrage que par la nouvelle notion de la masse, que nous avons définie plus haut. Cette définition suffirait à déterminer les masses relatives des divers corps, que nous supposerons connues ; nous verrons plus loin qu'il existe des procédés autrement rapides et exacts pour faire cette détermination. Nous indiquerons aussi, alors, quel est le corps dont la masse est habituellement prise pour unité.

t«9. Définitions. — La masse figure dans les équations de la mécanique soit isolément, soit, le plus souvent, multipliée par l'accélération, ou par la vitesse à la première ou à la seconde puissance. Les énoncés des théorèmes et l'étude même des divers problèmes se simplifient notablement en adoptant

316 CHAP. Vin. - LOIS PHVSIQUKS DL' MOUVEMENT

des dénominaliotis spéciales pour chacun de ces produits e( pour diverses autres combinaisons de ces quantités qui se rrproduisent fréquemnienl.

Force. — On appelle force, ou force motrice^ le produit de la masse d'un point ou d'un corps par son accélération. On la représente, à une échelle déterminée, par une ligne proportionnelle il ce produit et portée suivant la direction et le sens de l'accélération.

Les accélérations étant toujours réciproques, c'est-à-dire égales et directement opposées entre deux points de même masse, il eu esl de même des forces qui sont dites attractives lorsqu'elles correspondent à des accélérations qui tendent à rapprocher les points, et réptdsivts dans le cas contraire.

Lorsque les corps sont de masse différente, leurs accéléra- *;' tions de Tun vers l'autre étant, comme nous l'avons dit plusieurs

f fois, inversement proportionnelles aux nombres de leurs points,

et leurs masses étant, au contraire, proportionnelles à ces nombres, les deux produits de la masse par l'accélération sonl égaux pour les deux corps : La force attractive ou répulsive d'un corps vers Tautre est égale eb directement opposée à la force également attractive ou répulsive du second vers le premier. C'est ce que l'on appelle Cégalité de raction et de la réaction.

Il est superflu d'ajouter que dans un système de points, on appelle forces intérieures celles qui correspondent aux accélérations intérieures ; et comme celles-ci sont toujours réciproques, il en résulte que les forces intérieures sonl deux à doux égales et directement opposées.

Si donc, en général, on désigne par F la force motrice, par m la masse d'un point matériel et par jf son accélération, on aura Téquipollence

qui n'est autre chose que la traduction algébrique de la définition de la force et qui équivaut aux trois égalités

g 2. — DES FOHCKS KT DE L'hNEHTlE :^17

^D dësignanl par x, 7/, z les coordonaées du point mobile par rapport k trois axes coordonnées et par F^;, F,/, F^ les projections de F sur ces trois axes.

Les forces appliquées à un point se composent et se décomposent comme les accélérations de ce point auxquelles elles sont proportionnelles.

Quantité de mouvement, — On appelle quantité de mouvement d'un point matériel le produit mv de sa masse par sa vitesse. Cette quantité se représente par une ligne proportionnelle, à une échelle déterminée, à ce produit, et portée suivant la direction et le sens de la vitesse.

La quantité de mouvement d'un syslème matériel est le pro duit de sa masse totale par sa vitesse moyenne, c'est-à-dire par la vitesse de son contre de gravité.

A rinverse de ce que Ton fait pour la force, il n'est pas d'usage de désigner par une seule lettre la quantité de mouvement qu'on laisse toujours, dans les équations, sous sa forme primitive mv, tandis que le produit de la masse par l'accélération se remplace plus ordinairement par une seule lettre F.

Force vive. — On appelle force vive d'un point en mouvement le produit mv^ de sa masse par le carré de sa vitesse. Ce produit est essenliellement positif et conserve la même valeur quelle que soit la direction de la vitesse ; ce n'est donc pas une quantité géométrique, susceptible d'être représentée par une ligne ayant une direction et un sens, c'est une simple quantité algébrique.

Si au lieu de la vitesse v du point matériel, on considère la projection Vx de cette vitesse sur un axe quelconque pris pour axe des j:, le pi'oduit mvx^ porte quelquefois le nom de force vive décomposée suivant la direction x. Et si Ton fait la même chose pour deux autres directions rectangulaires y, z, la force vive totale niv^ sera égale à la somme arithmétique

mv/ -}- ^^!i* + ^^i^

des forces vives décomposées suivant trois directions rectangulaires quelconques.

318 CHAP. VIlï. — LOIS PHYSIQUES DU MOUVEMENT

La force vive d'un système roalériel qui est la somme algébrique ou arithmétique ^mv* des forces vives de tous ses points, est aussi la somme arithmétique de ces forces vives décomposées suivant trois directions rectangulaires.

Puissance-vive. — On considère le plus souvent , dans les équations de la mécanique, la moitié de ce produit : —, ou la demi- force vive^ que Ton appelle quelquefois Idipuissance^vive,

Impulsion. — On appelle impulsion d'une force le produit de la grandeur de cette force par le temps pendant lequel on la considère. C'est, si la force est constante pendant cet intervalle

t, le produit F/ ; si elle est variable, c'est la somme j Fdt

des impulsions élémentaires pendant les éléments successifs du temps qui constituent cet intervalle.

L'impulsion, comme la force, comme l'accélération, se représente par une ligne proportionnelle, à une échelle déterminée, à sa grandeur, et portée suivant le sens et la direction de la force ou de l'accélération.

Travail. — On appelle travail élémentaire à* une force le produit géométrique de cette force par le déplacement infiniment petit du point auquel elle s'applique, c'est-à-dire le produit de cette force par la projection, sur sa direction, du déplacement de ce point. Ce produit géométrique n'a ni direction ni sens et ne peut être représenté géométriquement par une ligne. C'est une quantité purement algébrique, affectée du signe positif ou du signe négatif suivant le sigae du cosinus de l'angle de la force avec le déplacement du point où elle est appliquée.

On appelle travail moteur le travail positif et travail résistant le travail négatif.

Si F est la force, ds le déplacement de son point d'application^ le travail élémentaire de la force F pour le déplacement ds sera

T, F =F (X) ds = F. dî. cos (F, A)

Si Fjt, Fy, F« sont les projections de F sur trois axes rectaagalaires et dx, dy^ dz les projections de ds sur les mêmes axes, nous savons que le produit ^ométrique F (x) ds a pour expression

F(X)&=Fa;da:+Fyrfy + Fzrfaf

et par suite, le travail élémentaire de la force t, pour le déplacement ds sera

T t F = F, Ac -f- Fy rfi/ + F, £fc .

S'il s^agit d'un déplacement fini du point d'application, le travail de la force est la somme intégrale des travaux élémentaires

tF= J^' Fx ite+FyefyH-F,d^.

Remarquons immédiatement, d'après ce qui a été démontré n* 5, au sujet des produits géométriques, que le travail de la résultante dé plusieurs forces est égal à la somme algébrique des travaux des forces composantes.

Celles des quantités que l'on vient de définir et qui sont susceptibles d'être représentées par des lignes, savoir: les forces, les quantités de mouvement, les impulsions, peuvent, comme toutes les autres lignes, être projetées sur un axe ou sur un plan, et l'on peut en prendre les moments par rapport à un axe ou à un point. On considère en conséquence les projections et les moments des forces, des quantités de mouvement et des impulsions^ et il n'est pas nécessaire de donner de ces projections et de ces moments des définitions spéciales. Tout ce qui a été dit, au commencement de cet ouvrage, des systèmes de lignes, de leurs moments, etc., s'applique quelles que soient les quantités représentées par ces lignes et par conséquent s'applique aux quantités que nous venons de définir.

\%9. Renuupque générale 0«r ces 4éii«iiiiBàti«ms.

— Au point de vue tout spécial auquel nous nous plaçons, nous n'avons pas à rechercher si les diverses définitions que

320 CHAl\ VIIJ. - J.OIS PHYSKjUtlS UL* MOUVKMKNT

nous venons de donner sont ou non molivécs par quelque raison naturelle ; nous prenons ces termes : force, impulsion, force vive, travail, quantité de mouvement, comme de simples abréviations., destinées k représenter d'une manière plus concise les produits par lesquels nous les avons définis, mais nous n'y attachons aucune idée de cause effective des mouvements ni aucun autre sens métaphysique.

« La dénomination de force ou d'action vient du sentiment « de l'effort que nous exerçons, dit M. de St- Venant *, lorsque « nous voulons imprimer une accélération à un corps, et de ce « que, dans le langage commun, l'on attribue métaphorique- « ment une activité analogue à celle de l'homme aux autres K cires, même inanimés, dans la direction desquels Ton voit « des corps prendre un mouvement. Pour nous conformer à (c cette manière de parler, qui a passé dans la science, nous « dirons quelquefois qu'un corps A est sollicité par une force « F, émanant d'un autre corps B, et qui, en agissant sur A « dans une certaine direction, produit une accélération j ou « donne à A une vitesse jdt dans le temps dt.

« Mais, par là, nous voudrons dire simplement que les points « du corps A ont, vers ceux du corps B, des composantes d'ac- « célération dont la moyenne j a une certaine direction et une <^ grandeur qui, multipliée par la masse m de A, donne un « produit mj égal à F, Nous dirons que nous appliquons une « force F à un corps A dans une certaine direction : cela si- « gnifiera que nous plaçons un ou plusieurs corps animés ou <( inanimés dans dés situations ou dans un état physique tels « que les accélérations des points de A vers leurs points aient <( une moyenne qui, multipliée par la masse de A, donne F ; « et ainsi de suite.

« C'est de même que nous continuerons de dire que telle « vitesse anime un corps, qu'elle lui fait parcourir tel espace « en tel temps ; en entendant seulement par là que le corps .« parcourt des espaces qui sont les produits de cette vitesse « par le temps (Voir ci-dessus la note du n® 54, p. 415).

« Ainsi, au fond, nous n'attacherons jamais au mot de