Mouvement du eeutre de gravité d'un eorpu

Une conséquence immédiate de la définition que nous avons faite de la force est la suivante :

Lorsque plusieurs forces agissent ensemble sur u?i même corpSy l'accélération moyenne de ses points, ou Caccélération de son cent7'e de gravité est la somme géométrique de celles que produirait isolément chaque force, ou est la même que si toutes les forces étaient remplacées par une force unique^ égale à leur somme géométrique.

i. J'ai tenu à citer en entier ce passage remarquable de l'ouvrage de St- Venant bien que la critique de la méthode d'enseignement, par laquelle il se termine, soit aujourd'hui à peu près sans objet. 11 n'en était pas de môme en 1 852, lors de la publication des Principes de Mécanique.

322 CHAP. VIII. — LOIS PHYSIQUES DU MOUVEiMENT

Soit un corps A composé de n points élémentaires, sur lequel agissent simultanément plusieurs forces /, f^ /*.... émanant d'autres corps B, B', B'".... Désignons pary,/\y%.... les sommes géométriques des accélérations des points du corps A vers ceux des autres corps B, B\ B".... respectivement Les accélérations moyennes qui correspondent aux forces/, f^f,.,. seront

et si nous désignons par J la somme géométrique des accélérations j, j, y^^v*- l'accélération moyenne correspondant à

toutes les forces à la fois sera -. Comme J est la somme séo-

métrique de/, /jy"",.... de même - est la somme géométrique

des accélérations moyennes partielles - , -, -,,... Par conséquent l'accélération moyenne produite par toutes les forces ensemble est bien égale à la somme géométrique de celles que produirait isolément chaque force.

En second lieu, si m est la masse du corps A, on a par définition

' Il ' n n

et si nous désignons par F la somme géométrique des forces/,

J f\ /",.... nous aurons encore F = m - de sorte que Taccéléra-

tion moyenne - prise sous Tinfluence de toutes les forces est

bien celle qui serait due à la force unique F qui est leur somme géométrique.

On peut évidemment appliquer ce théorème au cas où le corps se réduit à un simple point matériel. 11 en résulte:

l^t^ue des forces en nombre quelconque, agissant soit sur un point matériel, soit sur un système, dans la même direction, peuvent être remplacées, quant à l'accélération qu' elles domient ;

§ 2. — DES FORGES ET DE LliNËRTlE 323

au point ou au centre de gravité du système^ par une force unique égale à leur somme algébrique ;

2° Que si le point, ou le corps, est sollicité par deux ou trois forces de direction différente représentées en grandeur et en direction par les côtés contigus d*un parallélogramme ou d'un parallélépipède^ ces forces peuvent être remplacées quant à leur effet sur ce point ou sur le entre de gmvité de ce corps par la diagonale du parallélogramme ou du parallélépipède ;

S'' Que Ton peut, réciproquement, remplacer une force par deuK ou trois autres qui sont les côtés du parallélogramme ou du parallélépipède dont elle est la diagonale et, par conséquent, par ses trois projections sur des axes quelconques ou par ses deux projections sur deux axes au plan desquels elle serait parallèle.

On voit que si plusieurs forces agissent ensemble sur un point ou sur un système pendant un temps infiniment petit, elles impriment à ce point, ou au centre de gravité du système, la mèiTie vitesse que si elles agissaient Tune après l'autre, cha< cuue pendant ce même temps infiniment petit; car, comme les vitesses gagnées se composent toujours géométriquement avec les vitesses antérieures et sont les mêmes quelles que soient celles-ci, la vitesse finale est, dans les deux cas, la résultante des vitesses dues à chaque force.

On voit aussi que, pour produire ces effets composés sur le centre de gravité d un corps ou d'un système de corps, il n'est pas nécessaire que les forces soient concourantes ou passent par ce centre, il suffit qu'elles agissent sur des points ou sur des corps appartenant au système.

19 1. Poids des oorps. — Mesure des masses. — Nous avons dît, en définissant la masse, comment ou pouvait mesurer la masse des divers corps : en les mettant en rapport par le choc avec un corps arbitrairement pris pour unité et en mesurant les vitesses gagnées par chacun d'eux. Ces mesures de vitesses sont délicates et difficiles et il est possible de s'en dispenser comme nous allons le dire.

Lorsqu'un corps tombe vers la terre, dans un espace vide *air, à une distance appréciable des parois qui limitent cet es-

324 CHAP. VHI. — LUIS PllYSKjlKS IJI MOLVEMKM*

pace et à l'abri de toute intlueace physique étt'aogëre, sou mouvement ne résulte que des accélérations de ses points vers tous les points du globe terrestre. On a reconnu qu'alors 1 accélération moyenne du corps, ou laccélération de son centre de gravité, était, à Paris :

Le produit mg de la masse du corps par cette accélération est la force attractive qu'exerce sur lui la terre, ou la résultante des attractions de ses points. Cette force s appelle le poids du corps; représentons-le par P, nous aurons :

P=:my.

Les poids des corps sont donc, en un même lieu, proportionnels à leurs masses.

Or la comparaison des poids s'effectue facilement au moyen de divers instruments et en particulier des dynamomètres. Supposons, par exemple, que l'on suspende un corps pesant à un ressort et qu après une certaine déformation de celui-ci, le tout demeure on repos. Ce sera une preuve que les points du re3Sort exercent, sur le corps suspendu, une action de bas en haut cigale k son poids.

Si Ton suspend successivement au même point du ressort divers corps A, A', A'', qui le dilatent également, on en conclura que les poids de ces corps sont égaux entre eux. Si Ton suspend simultanément deux de ces corps, et si un nouveau corps B, suspendu ensuite, produit la même dilatation que les deux corps A, son poids sera double de celui du corps A« et ainsi de suite. L'on pourra avoir une échelle graduée indiquant les dilatations du ressort pour des poids égaux à A, 2A, 3A,.... et le poids d'un corps quelconque se déterminera, en fonction des poids du corps A pris pour unité, par le nombre de divisions correspondant à la dilatation du ressort auquel il aura été suspendu.

Les poids étant ainsi déterminés, il en sera de même des masses qui leur sont proportionnelles.

19 1. Mesure «Icfi forée*». — Les dynamomètres à ressort

§ 2. — DES FORCKS ET DE LMNEHTIE 3$5

peuvent servir à mesurier non seulement les poids pour lesquels il existe d'ailleurs des instruments plus commodes, mais encore les autres forces quelconques. Une force, il est vrai, d'après sa définition, résulte d'accélérations réciproques entre points déterminés ; elle n'agit, par suite, que sur un seul corps et ne saurait être appliquée à un autre. Mais le corps  sur lequel elle agit peut être attaché à l'extrémité du ressort-dynamomètre, et alors, dans Tétat de repos, la flexion du ressort étant la même que celle qui aurait été produite par un certain poids P, on peut dire que FelTet de la force sur le corps A est le même que celui de la pesanteur sur un corps de poids P, c'est-à-dire que la force est égale h P.

tY8. Uuités de forée et de maftse. — Toutes les forces peuvent donc s'exprimer au moyen d*un poids pris pour unité.

Cependant, l'on doit remarquer que si l'on a, d'autre part, choisi un corps pour unité de masse, il serait rationnel de prendre, pour unité de force^ la force qui, appliquée à l'unité de masse, lui communiquerait une accélération égale àTunité. C'est généralement ainsi que l'on relie entre elles les diverses unités lorsqu'elles dépendent les unes des autres ; mais ce n'est pas cet usage qui a prévalu.

On prend ordinairement, en mécanique, pour unité de force, Tunité de poids, c'est-à-dire le kilogramme, ou le poids d'un décimètre cube d'eau pure à son maximum de densité. Les forces s'évaluent donc en kilogrammes.

Il en résulte, puisque Ton a ¥=mff, que le corps dont la masse sera égale à l'unité sera celui pour lequel on aura P=^, c'est-à-dire un corps pesant 9^'',808«',8; et la masse m d'un corps quelconque, dont P sera le poids exprimé en kilogrammes, sera

Si la connaissance des poids des corps facilite la mesure de leurs masses, elle n'ajoute rien à l'idée que nous nous en fai« Rons, et le fait de choisir Tunité de force avant l'unité de masse,

326 CHAP. VIII. — LOIS PHYSIQUEc? DU MOUVEMENT

au lieu d*opérer en sens inverse, peut donner sur la masse des idées fausses, si l'on n'y prend garde. La notice de masse est indépendante de celle de poids et plus générale que celle-ci : nous concevons des masses sans poids, tandis que nous ne pouvons concevoir des poids sans masse. Un corps, transportée une distance suffisante de la Terre, perdrait presque entièrement son poids, alors qu'il conserverait exactement sa masse : il faudrait toujours la même force pour lui communiquer la même vitesse au bout du même temps.

Le choix du kilogramme pour unité de force a une autre conséquence fâcheuse, c'est que cette unité n'est pas la même en tous les lieux de la terre. On sait en effet que l'accélération g due à la gravité varie d'un point à l'autre, non seulement en raison de la latitude, mais aussi en raison de l'altitude du lieu où Ton fait les observations.

Si donc Ton considère un corps ayant une certaine masse m, laquelle, par définition, est absolument indépendante du point où on la mesure et qui est par conséquent constante, le poids de ce corps, égal à mg, variera aux divers points du globe avec l'accélération g. Ce même corps, suspendu à un dynamomètre, lui ferait prendre une flexion plus grande au pôle qu'à l'équateur, en plaine qu'au sommet dune montagne. Le poids d'un corps n'est donc pas constant et une force exprimée par un certain nombre de kilogrammes a une grandeur réelle différente selon le lieu où l'on se trouve.

Puisque l'on fait dépendre l'unité de masse de T unité de force, celle-là aussi variera d'un point à l'autre.

Cet inconvénient, d'avoir des unités variables et par suite mal définies, n'existerait pas si on choisissait d'abord l'unité de masse, pour en déduire l'unité de force. C'est ce que l'on fait, par exemple, en physique, où Ton prend pour unité de masse celle d'un centimètre cube d'eau distillée à son maximum de densité, et pour unité de force celle qui, appliquée à Tunité de masse, lui imprime une accélération égale à l'unité, c'est-à-dire de un centimètre par seconde.

Il convient d'ajouter que la variation de la pesanteur, d'un point à l'autre de la surface de la terre, est en somme assez faible^ de sorte que la variation des unités de force et de masse

admises en mécanique n*a, dans les applications, aucune importance ; d autant plus que la loi de cette variation étant connue, il est toujours possible de faire la correction des erreurs auxquelles elle pourrait donner lieu. '

174. Inertie. — Lorsqu*en désignant par le nom de force motrice d*un corps le produit de la masse de ce corps par Taccéléralion qu'il prend vers un autre l'on a en vue, non seulement ce produit considéré comme une quantité purement géométrique, ainsi que nous l'avons fait, mais aussi une sorte de cause physique réellement productrice du mouvement, on suppose que cette force ou cette cause réside non pas dans le corps en mouvement, mais dans celui vers lequel il se meut. Ainsi, le poids d'un corps est attribué à l'attraction du globe terrestre sur les molécules de ce corps. La cause du mouvement, dans cette hypothèse, est donc hors du corps mobile. Quand à celui-ci, on le suppose incapable de changer son état de repos ou de mouvement : on lui accorde seulement en par-

1. En vue d'éviter cas corrections et les ioconvénients que présente TadoptioD de Funité de force usuelle, M. de Freycinet a proposé, dans la séance de TAcadémie des Sciences du 14 novembre i887, de changer toutes les unités de longueur, de volume, de masse, etc.

On prendrait, pour unité de longueur, l'accélération due à la pesanteur en un lieu déterminé, à Paris par exemple, et cette unité vaudrait alors 9^,8088. L*unité de volume serait le cube dont le côté serait égal à la cen* tième partie de l'unité de longueur et vaudrait environ 0*^^94. L'unité de masse serait la masse de l'unité de volume d'eau à son maximum de den site ; l'unité de poids et l'unité de force seraient le poids de l'unité de masse & Paris, etc.

M. de Freycinet estime, que ce changement fort utile et désirable à bien des points de vue s'efTectuerait facilement, en raison de ce que les nouvelles unités différeraient peu des multiples ou sous-multiples décimaux des unités du système métrique.

Au lieu de prendre pour unité de longueur la valeur de l'accélération de la pesanteur à Paris, ce qui donne à cette unité une dimension dix fois plus grande, À peu près, que le mètre, on pourrait, tout à fait dans le même ordre d'idées, adopter pour nouvelle unité la longueur du pendule simple battant la seconde & Paris, longueur tout aussi facile à déterminer avec précisioQ que racoélération de la pesanteur et qui différerait moins du mètre que te dixième de celle que propose M. de Freycinet. Elle serait en effet environ de 0^,99384, ce qui donnerait, pour l'unité de volume, égale au cube dont le côté serait la dixième partie de celle de longueur, la valeur 0Ut,d816.

S2A CHAK Vlli. - LUiS PHYSIQUES DU MOUVFMENT

lagc la propriété de rester au repos s'il est au repos et de conserver sa vitesse uniforme s'il en a une, tant qu'une force émancmt d'autres corps ne vient pas changer cet état.

Cette propriété s'appelle Yinertie.

On voit qu'elle repose sur une hypothèse purement gratuite, car, à priori, il paraîtrait tout aussi rationnel d'attribuer au corps en mouvement la cause de son mouvement que de la faire résider en dehors de lui. Toutefois, dans cet ordre d'idées qui a prévalu et dans le langage courant et dans la science, on attribue à l'inertie les effets du genre des suivants :

Lorsqu'on frappe le manche d'un outil contre un corps fixe, cet outil s'enfonce sur son manche : en vertu de son inertie , son mouvement continue pendant que celui du manche cesse.

Si une voiture s'arrête brusquement, les personnes qu'elle contient sont projetées en avant : elles continuent leur mouvement en vertu de leur inertie.

Au moment où on lâche l'un des deux fils d'une fronde dans laquelle une pierre tournait circulairement, cette pierre, e7i vertu de l inertie, s'échappe suivant la tangente au cercle, parce que, n'étant plus retenue, elle persévère dans le mouvement qui a lieu à cet instant suivant un élément du cercle, élément dont le prolongement est la tangente.

Si une balle de plomb est lancée avec une aritie à feu contre un carreau de vitre suspendu à une ficelle, elle y fait un trou rond, et en le dérangeant à peine de sa position : la portion du carreau non heurtée tend à rester immobile en vertu de son inertie. Ce fait montre en même temps que le mouvement ne se transmet pas instantanément à toutes les parties d'un corps solide.

115. Fbree d'inertie. — Mais on donne quelquefois à rinertie une acception plus étendue ; on l'envisage et on la traite dans le calcul comme une force, pour la commodité du langage et des solutions. Elle est exprimée alors par le produit de la masse par ï accélération prise en signe contraire. Ce produit est ce qu'on appelle la /brce ûTmer/ie ou la résistance opposée par l'inertie du corps à sa mise en mouvement. De

§ 2. - DES FORCES ET DE L'INEHTiE 329

même que Ton suppose que le siège. des forces motrices est en dehors du mobile, on suppose que la résistance au mouvo^ ment lui est au contraire inhérente, et en vertu d'une sorte d'extension du principe de Tëgalité de Faction et de la réaction, celte résistance est égale à la force qui sollicite le mobile. La force d'inertie, ainsi définie, est une véritable force, comme les autres, puisque c'est un produit de masse et d'accélération. C est la force qui serait accusée par la graduation d'un ressort dynamométrique que l'on interposerait entre le mobile et un point sur lequel agiraient directement les forces qui le sollicitent.

Ainsi, lorsqu'on tire brusquement, de bas en haut, un ressort auquel un corps pesant est suspendu, ce ressort se dilate et sa graduation indique, en plus du poids du corps, le produit de sa masse par l'accélération de bas en haut qu'on lui imprime, c'est-à-dire sa force d*iner(ie. Si, au lieu d'un ressort, c'est par un fil que le corps est suspendu, la traction brusque de bas en haut pourra déterminer la rupture du fil en vertu de rinertie du corps. Si au contraire on tire le corps de manière à lui donner une vitesse uniforme, le ressort ou le fil ne prend pas une tension nouvelle, l'accélération étant nulle, la force d'inertie est également nulle et l'inertie du corps n'est point mise enjeu.

196. Principe de d'Alembert. — D'après cette définilion, la force motrice qui agit sur un corps et sa force d'inertie, lui imprimant deux accélérations égales et directement opposées, ont une résultante nulle, on dit alors qu'elles sont en équilibre *. La considération des forces d'inertie peut donc servir à traiter les questions de mouvement par les mêmes équations que celles de l'équilibre, à la condition d'ajouter aux forces motrices la force d'inertie. Cette manière de procéder, qui constitue ce que l'on appelle le principe de d'Alembert, pouvait avoir son utilité à une époque où les questions de l'équilibre étaient beaucoup plus étudiées que celles du mouvement et où la science de la mécanique était à peu près

i . Nous définirons plus loin l'équilibre Hes forces.