Formules relatives au mouvement uniformément accéléré i

PnÉLLMlSAIRES. 79

Lorsque, dons le itionvement que nous considérons, on se donne U vitesse ee' acquise au bout d’un temps quelconque Oe, par exemple au bout d'une seconde prise pour unité de temps, la loi du mouvement, ou la droite OV qui la représente, est entièrement déterminée; c'est-à-dire qu’on peut la construire. On doit donc aussi pouvoir construire et calculer alors la vitesse et l’espace qui répondent à un autre temps quelconque.

En effet, représentons par e,, r, le chemin et la vitesse qui répondent à la première seconde ; soient E , V le chemin et la vitesse qui répondent à un nombre quelconque de secondes, représenté par T, et qui seraient censées écoulées depuis l'origine du mouvement ; 'on aura d’abord, en vertu de la première des propositions ci-dessus,

a. = T®. X r = E = iVXT;

puis, en vertu de la deuxième ,

e. : E l" x l" : T X T ou T’;

d’où l’on lire

E = e. X T’ = i r. X T»; puis enfin , en vertu de la troisième ,

e, onic, ; E r,’ ; V’; d’où V' = 2 c, X E.

Nous avons d’ailleurs, en vertu même de la définition du mouvement uniformement accéléré (107),

: V ;; 1" ; T; d’où V = e. X T.

Ces différentes formules serviront à calculer la valeur de deUit quelconques des quantités E, V, T quand on connaîtra celle de la troisième, ainsi que le chemin e, ou la vitesse r, qui correspondent à l’unité de temps 1"; il ne s’agira que de remplacer chaque lettre par le nombre d’unités de temps ou de longueur qu’elle représente, et d’effectuer les opérations indiquées

* La rcistisn K a 7 t>, x T’, et la relatiok V* sic av X E qui Imlique que la vHeiH T €tl moytnné proporiionnêlU entre su< et ou entré le double tiu chenùn diorit dan» lo première seconde et celui qui est décrit au bout du temps T, présentent seule» quelques difficultés pour Ic'calcul Je T et de V; iftais on peut parvenir au résultat par le moyen des eonstruclîoDs graphiques connues « ou par les tables que nous ferons connaltlto plus tard, ou enfin par Yextraction directe de la racine carrée, du quotient de sE par t/( ot du produit at^i X K, qui donneur, en chiffres, les valeurs de T* et de V>.

111. Cat où le corps part avec une vitesse d^à acquise. Dans ce qui précède, nous avons supposé que le corps partait du repos ou avec une vitesse nulle, de sorte que la droite OA', qui donne la loi de son mouvement, passait par l'origine O des temps; mais, s'il avait déjà une vitesse acquise antérieurement, cette droite passerait parle point O* (pl. I , fig. 28), extrémité de l’ordonnée 00' qui représente cette vitesse du départ. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse cc', qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé depuis l’origine O du mouvement , se composera de la vitesse cc", égale à la vitesse initiale 00", augmentée de la vitesse c'e", que le corps acquerrait , sous l’action de la force motrice constante et au bout du temps correspondant Oc ou O'c", si le corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent ; car la droite O'tT donne, dans ce cas, par rapport à O'B', prise pour axe des temps, la loi de l'accélération de la vitesse. Connaissant donc la vitesse que la force imprimerait au corps au bout de la première seconde, s’il partait du repos, on aura tout ce qu'il faut pour construire Od' par rapport à O'B', et par conséquent par rapporté Od; d'où il sera aisé de déduire toutes les circon.stances du mouvement, et de les calculer même au moyen des propriétés géométriques de la figure, si l’on se rappelle les diverses notions déjà établies précédemment.

Qu’il s'agisse, par exemple, de calculer le chemin décrit par le corps au bout du temps Od , lequel est ici représenté par l’aire du trapèze Odd'O' ; on apercevra, de suite, qu'il se compose du chemin 00'd"d, qui, pendant ce temps, serait décrit uniformément, e» vertu de la vitesse initiale 00', augmenté de celui O'd'd", qui dans le même temps, serait décrit, sous l'action de la force motrice constante et d’un moueement uni formément accéléré, si le corps partait du repos au lieu de partir avec une vitesse déjà acquise. Or, nous avons appris ci-dessus a calculer l’un et l'autre de ces chemins.

112. Du mouvement uniformément retardé. Si nous supposons maintenant que 1a force motrice constante, au lieu d’augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiale 00' (fig. 29), la diminue an contraire â chaque instant , le mouvement sera alors uniformément retardé. En menant la parallèle O'B' à OB, on verra que la vitesse cc, qui répond à un temps quelconque Oc, écoulé tlejiuis l’origine O du mouvement , n’est autre chose que la vitesse

primitiTe 00' diminuco do la vitesse c'e" que le corps acquerrait , sous l’action de la force motrice, au bout du temps Oc, si ce corps parlait du repos.

L’aire du trapèze OO'c'c étant encore ici la représentation do chemin décrit au bout du temps Oc, en vertu du mouvement retardé, on voit que ce chemin est égal à celui 00'c"c qui serait décrit uniformément, pendant ce même temps, et avec la ritesse primitice 00', moins celui 01 c'e", qui, dans ce même temps, serait décrit, sous l’action de la force motrice constante et d’un moueement uniformément accéléré, si le corps partait du repos au lieu de posiéder une vitesse déjà acquise. On pourrait donc encore calculer, dans le cas actuel et au moyen de la figure, toutes les circonstances du mouvement, si seulement on connaissait la vitesse initiale 00', ainsi que la diminution de vitesse c'e", duc à la force retardatrice, au bout d'un temps quelconque Oc, ou , si l’on veut , à la fin de la première seconde de temps écoulé.

*Supposons, entre autres, qu’on veuille trouver le temps Oe' au bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la vitesse du corps ; on aura , par les triangles semblables O'c'c" et OO'e, la proportion

c'e" ; O'c" ou Oc = 1" ; : 00' ; Oe ,• d’où Oe =

Quant au chemin total décrit par le corps, depuis l’instant où la force retardatrice a commencé son action jusqu’à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné par la surface du triangle OO'e, ou par le j>roduit

|00'XOe = 100'X^=i^.

Une remarque très-importante à faire, c’est que, si l’on suppose • que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant à chaque instant des degrés de vitesse égaux à ceux qu’elle avait détruits d’abord , le corps retournera dès lors en arrière, en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C’est ce qu’indique lu ligne O'c, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers 0, c'est-à-dire de l’instant où le mouvement du corps est éteint; caria force motrice, qui est devenue accélératrice,

aSCAS, ISUDSTB. T, I. 6

8â MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

aura iipprinaë, en sens contraire, la vitesse dd! «u bont dp ed, la vjtes^e cc' au bout du temps ec, o|c.

SIS LOIS pu HOPVEHIST VEBTICIL 0)IS COIPS PISASTf.

113, Cautet qui influent sur fe mouvement des earps dans l’air^ L'ifn des exemples les plus importants du mouvement uniformément accéléré, est celui que nous présente la chute des corps pesants, suivant la direction de la verticale ou do l'aplomb. Mais, avant de l’exposer, faisons connaître les^ircoiistances qui, à la surface la terre, accompagnent et modincnl cc mouvement. ,

Déjà nous avons vu (61) ipie la pesanteur pouvait ètr# considérée cnmiiic une force sensiblement constante dans l’étendue ordinaire des travaux de l’industrie. Mais, à la surface de notre globe, tous les corps sont plongés dans l.'air, et cet air est lui-roêmc'(3 et 4} un corps materiel qui les presse de toutes parts (37), et qui , en vertu de son inertie, de son im|iciiétrabilité, s’oppose avec plus onrooias d’énergie, à toute espèce de mouvement (66). Nous avons vu (41) que l'effet de la pression de l’air, sur les corps solides, se réduit sensiblement a diminuer le poids de ces corps d’une quantité égale au poids du volu|uc du fluide qu’ils déplacent; de sorte que celte diminution est d'autant plus sensible que, à égalité de volume d’un corps, son poids est moindre. Quant à la résistance que l’air oppose au mouvement des corps, en vertu de son inertie et de sa force de ressort (63), l’expérience apprend que cette résistance varie selon l’étendue et la forme delà surface extérieure des corps; mais surtout selon la rapidité plus ou moins grande du mouvement. — En frappant l’air avec une palette plane et mince, la résistance qu’on éprouve est d’autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus considérable, tandis qu’elle est à peine sensible quand le mouvement s’opère avec lenteur. Si aq lieu de frapper l’air avec toute la surface du plan de la palette, on fait mouvoir celte palette de biais, la ré- > sistancc est moindre à vitesse égale, et elle est la plus petite possible quand ou oppose topt à fait le chan ou le coté mince de la palette à l’action de rair.; c’est-à-dire quand on dirige sa face plane dans la sens meme du mouvement.

Des choses analogues sa passent a l’égard de tous les corps qui se meuvent dans l’air ; et l’on observe que lu résistance croit généralement 1° avec rélendue de la surface anlérieitre des corps, de celle

qui 80 présente éireotement à r.tction do l’air; 3* avec la difRculté plus ou moins grande que, par suite de la forme môme de cos corps, l’air éprouve à glisser le long de leur surface, à se dévier ou à leur faire place ; â* avec la grandeur de la vitesse qu’ils possèdent , et cela dans un rapport qui croit beaucoup plus rapidement que cette grandeur, et qui surpasse même un pou son carré.

114. Chute verticale des corps dans l’air. Ou conçoit, d’après tout ce que nous venons de dire, que la présence de l’air doit apporter des modilications, plus ou moins sensibles, aux lois de la chute ver> tinale des corps qui sont abandonnés librement à l’action de Ip pesanteur; et l’un peut même prévoir à l’avance et expliquer une infinité de faits que l’expérience journalière conGrmo ; tels que l'ascension spontanée ou naturelle (41) de certains corps, leur équilibre à une certaine bautour dans l’atmosphère , la chute plus ou moins rapide des corps solides, etc. — En laissant tomber, dans l’air et d’une même hauteur, des corps solides, ou observe, en effet, que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (33), ceux qui présentent le moins de surface à l’action directe de l’air et dans le sens du mouvement, sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu’une balle de plomb creuse ou qu’une balle do buis pleine, égale en grosseur, en diamètre; celle-ci tombe aussi plus vite qu’une balle (de liège, etc.; enfin, un même poids de la mente substance peut aussi tomber, plus ou moins vite, selon que cette substance est plus ou moins compacte, moins ou plus divisée, ba raison en est toute simple : dans le premier cas , la diminotion du poids des différents corps et la résistance de l’air sont les mêmes pour chacun d’eux, tandis que (35 et 41) leurs poids absolus, leurs poids dans le vide qui mesurent véritablement l’énergie de la pesanteur sur chacun d’eux sont très-différents ; dans le second cas, au contraire, le poids absolu reste le même, mais la diminution de ce poids, résultante de la pression de l’air, et la résistance que cet air occasionne sur la surface extérieure des corps, est auMi moins furte pour les corps compacts que pour les autres.

115. Chute dans le vide, mode d’action delà pesanteur. Si l’on faisait tomber les corps ci-dessus dans un espace entièrement vide ou privé d’air, chacun d’eux, en descendant toujours de la même hau-

tear, arriverait nécetsairement en moins de temps on plus vite au bas de sa chute; car l’action de la pesanteur conserverait alors toute son intensité. L’expérience qui confirmerait un tel aperçu n’aurait donc rien qui dût nous surprendre ; mais il n’en serait pas de même si elle nous apprenait qne les corps tombent tous également vite d’une même hauteur ; car nous sommes naturellement portés à croire que les corps qui ont plus de poids, étant sollicités avec une force plus énergique, doivent aussi acquérir un degré de vitesse plus grand ; nous ne faisons pas attention , en effet , que la pesanteur a aussi plus de matière Admettre en mouvement , dans le premier cas, que dans le second , de sorte que la résistance de l’inertie (66) est réellement plus grande.

Or c’est ce que les physiciens ont constaté en faisant le vide (36) dans un grand tube de verre (pl. 1 , 6g. 30), après y avoir préalablement introduit des corps solides de diverses espèces, depuis les plus légers jusqu’aux plus denses : ces corps parvenaient tous à la fois au bas de leur chute, quand, par un moyen quelconque et facile à imaginer, on les lâchait en même temps et de la même hauteur. Ils ont, de plus, remarqué que ces corps tombaient dans le même ordre, et conservaient les mêmes distances respectives dans toute la durée de leur chute ; ce qui prouve que la pesanteur leur imprimait, à chaque instant, le même degré de mouvement ; nous pouvons donc admettre, comme parfaitement démontré, ce principe général qu’il est important de retenir :

La pesanteur ou gravité agit indistinctement sur toutes les particules de la matière quelle qu’en soit la nature particulière, et leur imprime, à chaque instant, le même degré de vitesse dans le métne lieu et dans le vide.

On s’assure d’ailleurs très-simplement que la pesanteur agit aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sur celles du dehors, en observant qu’un même corps pèse également à l’air libre ou placé dans l’intérieur d’un autre corps, par exemple, dans une chambre, dans une boite; ce qui ne peut avoir lieu qu’antantque l’action de la pesanteur se fasse sentir à travers la matière même de cette chambre, de cette boite.

On voit aussi que le poids absolu des corps n’est autre chose que le résultat de toutes les petites actions réunies de la pesanteur sur les molécules matérielles de ces corps. Il ne faut donc pas confondre le poids avec la pesanteur, qui est véritablement la force élémentaire

qui sollicite ces diverses inulécules ù se mouvoir avec le môme degré de vitesse.

116. Expérience sur la chute des corps. Nous venons de voir que les corps les plus denses tels que l’or, le plomb, le enivre, sont ceux qui, à égalité de surface, tombent le plus vite dans l’air, parce que la résistance est alors très-faible par rapport au poids total dn corps. Mais, quand la hauteur do chute ne surpasse pas 5 mètres, par exemple, on trouve, par l’expérience, que des balles de ces diverses substances tombent dans le incrao temps, et qu’elles ne tombent même guère plus vite que des balles de marbre et de cire, égales en volume, dont le poids est 7 fois, 20 fuis moindre. Or cela prouve évidemment que la présence de l'air exerce réellement , pour de petites chutes, une influence peu sensible sur le mouvement de ces corps; de sorte qu’on peut très-bien admettre, par exemple, que la loi que suit la balle d'or, en tombant , dans l’air, d’une hauteur moindre que 5 mètres, est, à très-peu de chose près, la môme que celle qu’elle suivrait si elle tombait de cette hauteur, dans un espace entièrement vide.

Galilée, célèbre physicien italien, qui a le premier découvert cette loi par des expériences directes et suffisamment précises , a trouvé que le mouvement vertical des corps était véritablement un mouvement uniformément accéléré. La pesanteur est donc (107) une force accélératrice constante, et qui agit avec une intensité égale, à chaque instant et quelle que suit la vitesse déjà acquise par le corps. Âtwood, physicien anglais, en reprenant depuis les expériences de Galilée avec des moyens plus ingénieux et plus perfectionnés, a obtenu les mêmes résultats. Nous pouvons donc énoncer les principes généraux qui suivent (109).

1 17. Lois de la chute des corps dans le ride. Lorsqu’un corps tombe verticalement et d'une certaine hauteur, dans le vide,

1° Les vitesses acquises aux diverses instants, sont proportionnelles aux temps écoulés depuis le commencement de la chute;

2° Les espaces totaux parcourus aux mêmes instants, ou les hauteurs de chute, sont proportionnels aux carrés des temps écoulés;

3° Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bout de chacune d’elles ;

A° La vitesse acquise, ou bout d’un certain temps, est double de la hauteur de chute déjà parcourue avant cet instant.

MLCANloUK IM)ÜSTI\1EI,I,K.

Pour le point du gluljc où nOns nous trouvuns, le clicinin décrit an bout de la première seconde , est éijal à 4”’.904'4 ; donc la vitesse acquise au bout de ce temps, est 2 fois ou Cctie

dernière vitesse est ordinairement re|ircscnlée par >jr dans les traités de Mécanique : ainsi g = 9'",B0BB : c’est la connaissance de celle grandeur qui sert à calculer (1 10) toutes les circonstances du mouvement accéléré des corps tombant d’une certaine hauteur dans le vide, ou des corps très-denses tombant d’une petite hauteur dans l’air^

1 IB. Formules et applications. Ordinairement on représente par la lettre ù ou 11, la hauteur, en mètres, d'où le corps est tombe à un certain instant; en nommant toujours T le temps dtiployé, par cO corps, à décrire le chemin vertical II, ou à toiuher de II , et V la vitesse qu’il a acquise à la fîn de ce temps, on aura, d’après ce qu’on a trouvé (110) p.our le rnôuvcmcnt uniformément accéléré en général,

H=iVxT, H=^ÿXT% V»=2yXH, V=ÿXT, ÿ=9’",B0B8,

formules très-fréquemment rappelées en Mécanique, et d'un grand usage pour calculer les circonstances de la chute des corps pesants.

Supposons qu’on veuille trouver la vitesse acquise V, et le chemin II décrit an bout de 7" de chute; T représentant ici les 7", on aura Y — ÿ X -T = O", 809 X 7 = 6B“’,G6 environ, II = ij X T’ = ■4'", 9044 X ^9 = 240”,316.

Si l’on se donnait seulement la hauteur II de chute, on calculerait la vitesse acquise, au bas de cette chute, au moyen de la relation V’ = 2ÿ X H. Supposons, par exemple, que II = lO"", on aura V’ = 19’",617C X 10” = 196,176 mètres carrés; et il ne s’agirait que de trouver la racine earrée de 196,176, ou le nombre qui, tnultiplié par lui-mème, donnerait cette quantité. Or eetle racine est ici 14" environ , puisque 14 X l"!’ = 106.

Pour montrer une nouvelle application des principes ci-dessus, nous supposerons que deux corps différents tombent verticalement d’un inèine point A (pl. I, 6g. 31), où ils étaient d’abord au repos, mais ne tombent que l’un après l'autre, et à un intervalle de temps qui suit seulement de de seconde ou 0",01. Cela posé, nous nous demanderons à quelle distance A'B' se trouveront ces deux corps ù la fui de la première, de la deuxième seconde, écoulées depuis l’instant du départ du second corps.

Puisque ce corps ne part, du point A, que 0", 01 opros le premier,

l’RÉUMINAIllES. 87

d en résulte que celui-ci aura déjà parcouru un certain espace AB avant l'instant où l’autre aura été lâché de A ; cherchons d'abord cet eipace au moyen de la formule H = j j T’ = -à™, 9044 X T’ (118). Ici T = 0",^^ donc ^

c’est-à-dire que la distance AB , entre les deux corps , n’ést pas même de f millimètre.

Cherchons maintenant à quelle distance A'B' se trouveront, l'un de l'autre, les mêmes corps, à l’instant où une seconde entière se sera écoulée depuis l’instant du départ du deuxième corps ; et, pour ^^la , calculons séparément les chemins AB', AA' décrits par chacun (le ces corps, à partir du point A , en observant que, puisque la durée de la chute AA' du second corps est de 1", celle de la chute AB' du premier est 1" -j- 0",01 = 1",01 ; on aura l’espace

AA' = 4'", 9044 X 1” X 1" = 4“", 9044 , et l’espace AB' = A-", 9044 X 1,01 X 1,01 = 4'", 9044 X 1,0201 = 8'", 003; donc l’intervalfe A'B' ou AB' — AA' = S", 0080 — 4'”, 9044 = O"", 0986 ou environ 10"“*, .

A la fin de la 2”, de la 8” seconde de chute, les deux corps seraient déjà à une distance , l’un de l’aiilre , de près de 20, de 30“°"', etci ^ Ces résultats expliquent très-bien pourquoi les jets d'eau des jardins, des pompes à incendie, qui s’clèvetit verticalement, ou sous une certaine inclinaison , en filets compacts et jd||]tinus, retombent, au contraire, en se divisant en gouttelettes, Ml pluie plus ou moins fine ; car la résistance de l’air, loin de séparer les parties, comme on pourrait le croire d’abord, tend au contraire à les réunir èn diminuant la rapidité du mouvement de celles qui redescendent les premières. C’est aussi là l’explication très-simple de l’effet si connu dos cascades naturelles, dont l’eau, en se précipitant du haut des montagnes, se divise en une pluie lellcincnt fine qu’elle Ressemble à un véritable brouillard. Nous verrons, par la suite, que de telles remarques ne sont pas seulement iln objet de curiosité , niais qu’elles peuvent aussi recevoir des applications dans les arts.

119. Observations diverses. L’opération, par laquelle il s’agit de trouver la vitesse Y, acquise à la fin de la chute verticale d’un corps, au moyen de la hauteur II de cette chute, se reproduit Irès-fréqucm-

ment dans la Mécanique pratique j aussi a-t-on eonstruit des taUles exprès, qui fournissent iininédialeraent la vitesse répondant à une hauteur donnée : nous les ferons connaître lorsqu il sera <[uestion des lois de l’écoulenicnt des fluides.

On dit ordinaireiil^it que la vitesse V est due à là hauteur H , et réeiproquement que cette hauteur est due à la vitesse V, expressions abrégées qu’il est essentiel de retenir.

Enfin on devra se ressouvenir que, dans l air, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul ; niais que cette vitesse et les autres cireonslanccs du mouvement dififèrent très-peu des véritables, dans les cas qui ont déjà été speciliés plus haut (IIC). Nous ferons d’ailleurs connaître, à la fin de ces PBÉiiïiWAisrs, les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s élèvent verticalement dans l’air ; et, en les appliquant à la théorie des parachutes et des ballons, nous démontrerons ainsi rulililé immédiate des principes de lu mécanique.

120. Ascension verticale des corps pesants. Lorsqu un corps, uno balle de fusil par exemple, est lancé, de bas en haut, selon la verticale, la pesanteur agit, à chaque instant, avec la même intensité, pour diminuer, par degrés égaux, la vitesse primitive; le mouvement sera donc uniformément retardé, et, d'après ce qui précède (112), la vitesse finira par s’éteindre, quand le corps sera arrivé à iinc^l certaine h^i^eur, puis il redescendra, en vertu de 1 action de la gravité, è^ffeprenant tous les degrés de vitesse qu’il possédait en montant et pour les mêmes positions. Ainsi à 1“, à 2"', à 8™ audessus do terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses, soit dans l’ascension, soit dans la chute ; il n’y aura que la direction du mouvement de changée : par exemple, lors de sa chute ou de son retour au point de départ , la pesanteur lui aura précisément restitué la vitesse qu’il avait primitivement. Nommant H la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, et V cetto vitesse, on aura donc “V’ = ; d’où il sera facile de déduire H quand on

aura V, et réciproquement, ainsi qu’il a été expliqué ci-dessus (118).

On pourra d’ailleurs calculer toutes les autres circonstances de 1 ascension verticale du corps, par les méthodes du n" 112; mais il ne faudra pas oublier, je le répète, que les résultats, ainsi obtenus, supposent que l’air n’existe pasou n’exerce aucune influence sensible

sur lo mouvement. C.nr, dnns la réalité , les corps montent à une hauteur un peu moindre que celle qui répond ou est due à leur vi- 'tesse initiale, et, de plus, en retombant, ils acquièrent une vitesse un peu moindre que celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ascension.

rOlCR VITE', VàSSE ET QDAaTITt DE ■ODVEEKNT DES CORPS.

121. Travail relatif à la vitesse de chute des corps. Nous pouvons maintenant apprécier la quantité de travail ou d’action que dépense la pesanteur pour cnjfcndrer une certaine vitesse dans un corps, ou pour vaincre l’inertie do ce corps. Nommons , en effet, P le nombre des kilogrammes que pèse le corps, c’est-à-dire l'effort total (60 et IIS) que la pesanteur exerce sur ce corps, et qu’il faudrait employer j)our le soutenir à une certaine position; ce sera aussi la mesure de l’effort constant exercé sur le corps pendant sa descente de la hauteur II. La quantité de travail développée par la pesanteur et consommée par l’inertie (66), pendant cette chute, sera donc représentée (78) par le produit P X H ; et cette quantité de travail aura engendré, dans le corps, la vitesse V calculée (118) par l’équation V“ = ig H. Mais, si l’on divise le produit 2ÿ X H ou V’

par l’un de ses facteurs ’ig, on aura l’autre H = ^ ; et par consé-

quent , P X H même chose que P X s- T — X

Ainsi donc la quantité de travail, développée par la pesanteur pour imprimer une certaine vitesse V à un corps, est égale à la moitié du produit obtenu en multipliant le carré de cette vitesse par le poids P de cc meme corps, divisé par la vitesse jr ou 9°',8088 que la pesanteur imprime, à tous les corps (117), au bout de la première seconde de leur chute.

122. Force vive des corps; sa relation avec le travail mécanique.

Le produit ~ X V’ étant précisément ce que les mécaniciens sont

convenus de nommer la force vive du corps dont le poids est P et la vitesse actuelle Y, un voit que la quantité d’action ou de travail, dépensée par la pesanteur pour produire la chute verticale d’un corps, est la moitié de la force vice impriméé au bas de cette chute; ou, si l’on

Teiit, In fitrcB rive imprimée est le dmihte lie la quantité de travail dépensée par la pesanteur. Lofsqiie le corps est loncé verticalcirieht (le^^ Uns en haut , avec une cerinine vitesse, le travail de la pesanlenr, toujours inesurê par le prodnlt du poids et de la hauteur à laquelle le corps à été élevé verticalement, est employée, ntl Contraife, â détruire cette vitesse. P.ar conséquent , dans les deux cas de lA descente et de la montée, la moitié de la force vive acqnisè ou détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour vaincre l’inertie du corps c’est-à-dire* que celte mesure reste la ménic, soit que la pesanteur imprime une certaine Vitesse à un corps, jioit qu’elle détlAiiso une vitesse égale et qu’il possédait déjà.

Nous prouverons bientôt que ce principe est général , quelle que ioil la force motrice qui ait communiqué le mouvement nu corps, et quelle que soit la direction et la nature de ce mouvement. Mais il est nécessaire auparavant de faire plusieurs remarques, et do poser quelques autres définitions admises par les mécaniciens.

138. Cotnmeüton doit entendre la force vive. L’cxpressioil dd fdrce

vive, employée pour désigner le produit — X V’, pouvant induire

efi erreur beaucoup de personnes, il est bon do remarquer ici qtte, d’après notre manière de voir, ce n’est point à proprement parler fîlfe) une force, pas plus que la quantité P X H, que nous avoni”noraraée, en général, quantité d’action, quantité de travail; c’est tout simplement le résultat de l’activité d’une force motrice ou de pression, exprimable en poids , qui a été employée, pendant un temps plus ou Inuins long (87), à vaincre l’inertie de la matière d’un corps, à Itnprimer un certain mouvement, une certaine vitesse à ce corps. Sous ce point de vue, la force tive n’est véritablement qüe l’effet dynamique (80) de la force motrice, oïl plutôt le double do cet effet, P

puisque - X V» == 2P X H.

Lors donc que nous emploierons le mot force vive, ce ne sera jamais que pour désigner la valeur numérique d’une certaine quantité essentiellement relative au mouvement actuel d^un corps, ou au mouvement qu’il pourrait réellement acquérir dans des circonstances déterminées ; et,- sans s’arrêter aucunement à la signification propre des mots par lesquels on l’indique dans le discours^ il faudra seulement se ressouvenir que sa valeur, en nombre, équivaut au'produil

l'RÉIJMINAIUES.

du carré de la ciletsc effective d’un corps, par le poids de ce corps, divisé par g ou G” ,8088. Ainsi nous ne confondrons pas, coniinc on le frfit quelquefois (80), la force vive des moteurs avec la quanlité de travail qü‘ils développent contre des résistances qui leur sont opposées; et , s’il nous arrivait, par exemple, de parler de la force Vive d'un homme ou d'un cheval , nous entendrions uniquement spéciher le produit ci-dessus concernant leur vitesse et leUr poids Véels, pVoduit qui est bien différent de celui qui inesure la quantité de travail mécanique même développée par ces moteurs, à chaque instant ou pendant un certain temps, lorsqu'ils sont appliqués a une machine, à un outil quelconque (74 et 77).

12-4. Réflexions sur la force vire cl les forces motrices en général. Ce qui a porté autrefois les mécaniciens à adopter le mot force vire, c’est qu’ils ont confondu l’effet avec la cause, le résultat du travail d'une force motrice avec ce travail même; jiar la seule raison que les mesures, en nombres, de ce travail , de cet effet ou de ce résultat, sont directement comparables entre elles, et ont une certaine relation numérique. Ayant d’ailleurs admis l'expression de force pour désigner les effets, les résultats de l'activité d'un moteur qui travaille, et voulant la distinguer de l'effort ou pression simple (89) que ce moteur exercerait sur un corps qui resterait en repos ou qui ne céderait pas à son action, ils ont dit que c’était une force vite, et cette pression^cet effort, ils l’ont nommé force morte. De là aussi la dispute qui s’est élevée, parmi les géomètres du dernier siècle, sur la manière de mesurer la force vive et la force morte, et de les distinguer entre elles ; dispute fort oiseuse et qui n’a fait qu’embrouiller des choses très-claires par elles-mêmes, puisqu’il est inqiossible du confondre Fefifort, la pre.ssion simple qu’exerce un moteur sur un corps, avec son travail mécanique ; et ce travail avec le mouvement actuel ou acquis d’un corps.

A la vérité, un corps mis en mouvement , un certain effet dynamique peut, à son tour , devenir une cause, une source de

travail ; c’est ainsi , par exemple , qu’un corps lancé verticalement de bas en haut, est élevé, en vertu do sa vitesse, à une certaine hauteur, tout comme il le serait par l’action d’un moteur animé. Mais il arrive ici la même chose que lorsqu’une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un ressort élasti(|ae (97) : l’inertie de la matière a été mise en jeu de la mêtne

92 MÉCANiyOE INDUSTRIELLE,

manière que les ressorts moléculaires l'ont cto dans ce dernier cas ; celle inertie (106), quand elle a été ainsi vaincue, devient capable de restituer la quantité de travail dépensée, de même que le fait le ressort qui a été bandé. En un mot , l’inertie comme les ressorts (98), sert à emmagasiner le travail mécanique, en le transformant en force vive; do sorte que la force vive est un véritable travail disponible.

Nous avons vu (102) qu’on peut en dire tout autant d’un corps qui a été élevé à une certaine hauteur , par un moyen quelconque ; cc; corps, sollicité par la pesanteur, est la source d’une quantité de travail, dont un peut disposer subséquemment pour produire cITcctiveinent du travail mécanique. Mais , de même que nous ne disons pas, en^tennes absolus, que ce corps, actuellement élevé à une certaine hauteur , est une force, qu’un ressort bandé est une force ; de même aussi il est peu exact de dire qu’un corps en moup

vemcnl , que — V' est une force. Ces réflexions sont également

applicables d’ailleurs aux hommes, aux animaux en général , aux combustibles ou au calorique enfermé dans les corps (99), aux cours d’eau , au vent, etc.; ce sont des agents de travail , des moteurs si l’on veut, mais non de simples forces, de simples pressions (89).

L’objet de la Mécanique industrielle consiste principalement à étudier les diverses transformations ou métamorphoses que peut subir le travail des moteurs par le moyen des machines ou des outils, à comparer entre elles les quantités de ce travail , à les évaluer en argent ou en ouvrage de telle ou telle espèce, etc.

128, Définition de la masse des corps. Puisque la pesanteur agit indistinctement sur toutes les particules matérielles d’un corps , et tend, à chaque instant , à leur imprimer, le même degré de vitesse dans le même lieu (118), on voit que le poids de ce corps, qui est le résultat de toutes ces actions partielles, peut donner, jusqu’à un certain point , une idée de la quantité de matière qu’il renferme ou do sa masse. Suivant cette notion , la masse serait donc proportionnelle au poids; souvent même on prend, dans les applications, les poids pour les masses. Mais, comme l’intensité de la pesanteur varie d'un lieu à un autre (61), et que la quantité de matière ou la masse absolue d’un même corps ne varie pas , on voit que celte dernière serait, dans certains cas, mal définie par le poids simple de ce corps.

os

Or, l’expérience apprend que la Titesso imprimée, par la pesanteur, au bout de la première seconde de chute, demeure constamment proportionnelle à son intensité; c’est-à-dire (117 et 121) que le P

rapport — reste le même pofar tous les lieux. Ainsi, Pet P' étant

les poîds absolus (60) et dans le vide, d’un mémo corps transporté , par exemple, à deux hauteurs différentes j g et g' les vitesses qu’à ces hauteurs, la pesanteur imprime, dans le vide et à la fin de la 1'* seconde de leurs chutes, à chaque particule de matière, on a

C’est donc à ce rapport invariable —, et non au poids P lui-

mème, que s’applique véritablement, en Mécanique, la définition de la masse d’un corps ; et l’on commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves, en prenant le poids pour la mesure de la masse.

126. Expression abrégée de la masse et de la force vive, dans les calculs. Ordinairement on représente la valeur de la masse parla

lettre m ou M : on a donoüf = — , et, par suite, P = MX ÿ =

P exprimant l’effort absolu exercé par la pesanteur sur un certain corps, etÿla vitesse qu’elle lui imprime, dans le même lieu et dans le vide, au bout de la première seconde de sa chute verticale.

D’après cette convention, la valeur ci-dessus —X V’ de la force

moe d’un corps (121) se trouve aussi représentée, dans les calculs mécaniques, par MX V’ ou MV’, c’est-à-dire p.Tr le produit de la masse de ce corps et du carré de sa vitesse acquise ou actuelle,

127. Quantité de mouvement des corps. Les mécaniciens sont également convenus de nommer quantité de mouvement d’un corps, le produit de sa masse, définie comme on vient de le dire, par la vitesse simple et actuelle que possède cette masse, c’est-à-dire que M XV

P PV . . .

ou ÿ X V, qu’on écrit aussi MV, -^pour la simplicité, est ce

qu’un nomme une quantité de mouvement en Mécanique. Cette quantité est, comme on voit, très-diflérente de ce que nous avoua appelé (80) la quantité d’action ou de travail des moteurs ; et on ne

punt la confondre avec cette dernière, qii’aiitaiit (04) qne l’on eon-. fondrait aussi reifort d’un lupteur avec le poids réel , on plutôt avec la masse d’on corps; ce qui n'est erideniinont pas permis *.

128. Obterpalions générale». Dans le fait, c'est principalement pour abréger et simpliOer, tout à la fois, les calculs et les raisonnements qu’on emploie les dénominations de tnatte, de quantité de mouremenl , et qu’on les représente par des lettres particulières ; on pourrait aisément s’en passer, ainsi que du mot /bree vive, dans l’e:(position des principes de la Mécanique industrielle. Mais, comme tous les auteurs en ont fuit usage , il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signiRcation, et de ne pas oublier qu’elles se rapportent toutes à des corps matériels et au mouvement véritable de ces corps ; ou plutôt qu’elles sont des expressions purement conventionnelles pour exprimer, d’une manière commode , oer.> laines grandeurs numériques, certains résultats qui se présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique.

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IN GÊXIRÀL.

129. Jiapporf des forces motrices au mouvement qu’elles impriment. Nous venons de voir que la pesanteur imprime, à un même corps et au bontde la première seconde de sa chute verticale, des vitesses qui sont constamment proportionnelles è son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Mais cette propriété provient

* Mommons Q la valeur, en nombre, de V, on aura Q » — X V, ou, ce qui revient

au même, Q : P SS V : Maia P est le poids véritable «Tun certain corps, g, ou 9*»,8o88,

est la vitesse que la pesanteur imprime à ce corps, au bout de la première seconde do chute et dans le lieu où nous sommes ; donc Q n'est autre chose que le poids absolu du mOmc corps dans le lieu où la gravité serait capable de lui imprimer la vitesse V au bout d^ la première seconde de chute, c'est-à-dire l'effort qui soutiendrait le corps contre l'action dé celte gravité. On voit aussi que la force vire M X V* ou MV x V n’est ellemême que le produit de ce dernier poids, de cet effort, par la vitesse Y, ou par le chc« min que décrirait uniformément le corps, dans l'unité de temps, en vertu do sa vitesse acquise. Ces observations peuvent servir à distinguer entre elles, d’une manière absolue, la quantité de mouvement et la force vive , ainsi qu’à montrer ridenlilé de nature que, sous un certain point de vue, les mécaniciens ont aUribuce à ces deux sortes do grandeurs, ainsi qu'au poids et au travail mécanique véritables; elles expliqueront aussi comment on regarde quelquefois la quantité de mouvement comme une force mor/e (is4)t comme un poids ou un effort sans énergie, et la quantité de Iravftil comme une force vivo. Au surplus, nous n’avons nullcmenl besoin de nous inquiéter do pareilles disUnctioas, de pareilles subtilités.

PRÉMMINÂinES.

iiqiqaement de ce que la pesanteur yaric , en effet, très-peu (61) dans toute la hauteur de cette chute ; de sorte que la vitesse totale , acquise en une seconde, est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimes à chaque instant (107 et suiv.). Lorsque la force motrice, nu lieu d’ètre constante, varie a chaque instant , il est évident qu'alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse qu’elle imprime, à un même corps, au bout de l’unité de temps, et qu’elle dépend uniquement du ^c/it degré de vitesse qu’elle lui communique à un instant donne.

L’observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre et dans les mouvements de notre système planétaire, prouve que

/.es forces matrices ou de pression sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse très-petits, qu’ elles impriment, à un même corps, dans des temps égaux infiniment petits.

Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement , et doit être considéré comme une loi générale des forces motrices do la nature.

180. Mesure des forces motrices et d’inertie par la vitesse imprimée et réciproquement. Suit F la mesure, en kilogrammes, d’une certaine force de pression ; soit v le degré très-petit de vitos|e qu’elle imprime à un corps, à une époque quelconque et pendant le temps trèspetit t; soit pareillement P la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu , sur le corps, ou le poids de ce corps, et v' le petit degré de vitesse qu’elle lui imprime dans le même temps t. On aura, d’après éc qui précède.

Mais, d’après la première loi de la chute des corps (117), nous avons '

M étant la masse du corps (125).

Ainsi , quand on connaîtra la vitesse v imprimée dans le petit temps t, ppr la force F, o^poqrra calculer cette force, qui est égale et contraire à la résistance qu’oppose au mouvement (66) , l’inertie de la matière de ce corps, résistance que nous avons nommée simplement la force d’inertie, et qu’on pourrait aussi ap-

peler \& force dynamique des corps. La relation F:

nous apprend donc que

La force d’inertie F croit proportionnellement à la nuute du corps et aux degrés de citesse y qu’il reçoit dans des temps élémentaires t, égaux et infiniment petits.

De la relation ci-dessus , on tire réciproquement la valeur

V = — jrj — : donc M

Le degré de vitesse qu’une force motrice imprime à un corps, pendant un même temps élémentaire ou très-petit, croit proportionnellement à l’intensité de la force motrice et inversement à la masse de ce corps ou de son poids.

131. Rapport des forces motrices aux quantités de mouvement imprimées. D'après nos définitions (1S7), le produit M X f Mv n’est autre chose que ce qu'on nomme une quantité de tnouvement , en Mécanique. On voit donc que la première des propositions cidessus, revient à dire que

« La force d’inertie croit proportionnellement à la quantité de « mouvement conftuuniquée dans un même instant très-petit (. »

” Ou que

V Les forces motrices communiquent, dans des instants égaux et « infiniment petits, des quantités de mouvement qui leur sont pru- « portionncllcs. » *

Soient , en effet , F et F' deux forces motrices ou pressions quelconques agissant, pendant un ménie instant très-petit t, sur deux corps différents, de musses M et M'; soient v et v les degrés de vitesse qu’elles leur impriment respectivement à la fin de cet instant,

on aura, d’après ce qui précède, F = My, F' = M'y;etpar conséquent

F : F' ;; M -î ; M' ~ :: M® : mv.

Si donc les forces motrices F, F', pu les forces d’inertie qui leur sont directement opposées, avaient la même intensité , la même valeur en kilogrammes, les quantités de mouvement qu'elles imprimeraient, dans le même instant très-petit t, le seraient aussi ;

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PRÉUJIINAIRES. !)7

ce qui résulte iramédiatoracnt de ce qu’on aurait alors

M -= M' -, ou Mr= MV.

On voit enfin que , si deux forces motrices , appliquées à deux corps diflférents , demeurent sans cesse égales entre elles et aux mêmes instants ; c'est-à-dire, si clics varient de la même manière , les quantités de mouvement totahs et finies qu'elles auront imprimées à ces corps, entre deux instants quelconques , seront aussi égales entre elles ; car chacune d’elles sera la somme de quantités de mouvement partielles telles que Me, MV, qui ont les mêmes valeurs pour les divers instants successifs et égaux dont se compose le temps total.

C’est ainsi qu’il faut entendre le principe par lequel les auteurs adiuetlenl quelquefois que les forces motrices égales impriment les mêmes quantités de mouvement finies à des corps quelconques ; car quelle que soit la petitesse de la durée du temps pendant lequel elles agissent , ce temps n'est pas nul (37) ; et quelle que soit la grandeur de leur intensité, elles ne sont pas infinies; elles peuvent se mesurer en kilogrammes comme toutes les forces de pression , de traction, etc. Âu surplus, je le répète, ces discussions sont parfaitement inutiles pour nous , qui n’admettons le mot quantité de mouvement que poiur désigner un certain résultat des calculs, et pour abréger les énoncés des principes (128).

1S2. Autre mesure des forces motrices et d’inertie. Revenons maintenant à la coùsidération simple d'une force unique F, agissant sur un corps de poids P ou de masse M (130) et supposons qu’à une certaine époque du mouvement d’un corps, cette force cesse tout a coup de varier, ou continue d’agir sur le corps avec l’intensité qu’elle possède à cette époque ; la vitesse augmentant ou diminuant dès lors de quantités proportionnelles au temps ( 107), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu'elle imprimerait au corps, à la fin de la première seconde , s'il partait du repos nu coinmeneemcnt de cette seconde. Désignant par V, cette vitesse finie, on aura .