Du mouvement uniformément accéléré. Occupons-nous d’a

bord du cas où le corps part du repos sous l’action de la force motrice constante, et proposons-nous de découvrir tontes les circonstances du mouvement de ce corps.

Nous pouvons encore représenter ici, par le dessin, la loi qui lie, aux temps, les vitesses acquises par le corps au bout de ces temps, en traçant (pl. I, fig. 27) une ligne Oab'..,.h' dontles abscisses Oa, Ob,..„ OA, représentent les temps écoulés depuis l'origine du mouvement, et dont les ordonnées aa, bb', ce'..,. AA', représentent les vitesses acquises à la fin de ces temps respectifs.

Cela posé, puisque, dans le cas du mouvement uniformément accéléré, les vitesses aa', bb', cc',... AA', sont proportioiinellesaux temps écoulés Oa, OA, Oc.... OA, il est clair que la ligne Oa'A' (/.... A' est une ligne droite qui passe par l'origine O des abscisses ; car le mobile est ici censé partir du repos à l'instant où la force motrice commence son action, de sorte que le temps et la vitesse sont nuis à la fois à cet instant. Supposez qu'on aitpartagé l'axe OB des abscisses ou des temps en un grand nombre de parties égales très-petites, puis qu'on ait élevé les ordonnées correspondantes, et qu'en fin on ait mené, par les extrémités de ces ordonnées, des parallèles à l'axe des abscisses , on former.! une suite de petits triangles Ooa', a'b'b", b'c'c" .... égaux et rectangles. Les côtés aa', b'b", c'e" .... de ces triangles marqueront les accroissements successifs de la vitesse, accroissements qui seront égau X comme les petits instants qui leur correspondent , Oa, ab, bc,..., conformément à la définition du mouvement uniformément accéléré.

Les intervalles de temps successifs Oa, ab, bc,,.. étant donc supposés extrêmement petits , on peut regarder le corps comme se mouvant, d'une manière sensiblement uniforme, pendant l'un quelconque cd = c'd" de ces intervalles, et aveç une vitesse moyenne égale à la demi-somme de celles cc', dd' qui répondent au commencement et à la fin de chacun d'eux. Or, dans le mouvement uniforme (48), l'espace décrit dans un temps quelconque est mesuré par le produit de la vitesse et de ce temps ; donc l'espace décrit ici, pendant le temps élémentaire cd , sera égal à cd multiplié par la vitesse moyenne 7 (cc' -{- dd'), qui correspond à cc temps élémentaire. Ce produit n’étant autM chose que In mesure de l'aire du petit trapèze cc'd'd, cette aire pourra ainsi représenter l'espace parcouru pendant le temps élémentaire cd : pour un autre intervalle quelconque de égal au premier , l'espace décrit sera encore représenté par le trapèze dd'e'e; donc l’espace total décrit , pendant le temps

MÉCANIQIE INDUSTRIELLE.

OA, par exemple, a aenaiblemeni pour mesure In somme ou siirraee tolaledes trapèses élémentaires aa'b'b, bb'cc..., gg'k'h, augmentée du petit triangle Oaa! qui mesure évidemment l’espace décrit dans le jiremier instant Oa; c’est-à-dire la surface même du triangle correspondant OAA'. Donc enfin celte dernière surface est la mesure exacte et rigoureuse de l’espace décrit pendant le temps total Oh, puisqu’on peut supposer que ce temps a été divisé en uil nombre indéfini de parties égales et infiniment petites ; le raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (72) pour trouver la mesure du travail quand l’efiort est variable.

109. Lois du mouvement uniformément accéléré. Le chemin décrit au bout d'un temps quelconque, étant, pour le mouvement uniformément accéléré, représenté par la surface du triangle qui a pour base ce temps et pour hauteur la vitesse acquise au bout de ce mêtné temps;on en peut déduire, de suite, plii.sieurs conséquences importantes, et qui permettent de calculer les circonstances de ce gelirc de mouvement.

D’abord, puisque la surface de tout triangle OAA' a pour raCstiré la moitié du rectangle de même base et de même hauteur, et quo ce dernier est aussi la mesure (48) du chemin qui serait décrit uniformément pendant un temps égal à OA et avec la vitesse AA' acquise au bout de ce temps, on voit que,

1° Dans le mouvement uniformément accéléré, le chemin décrit, au bout d’un temps quelconque et à partir de l’origine du mouvement, est la moitiéde celuique le mobile décrirait, dans un temps égal, s’il se moucatï uniformément avec la vitesse qu’il a acquise à la fin du premier temps.

Ensuite, puisque les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques Ob, Oe, sont représentés par les triangles Obb', Oee'; puisque ces triangles sont semblables, et que, d’après les principes démontrés en géométrie, leurs surfaces sont comme les carrés deâ côtés homologues, il en résulte encore que,

2° Dans le mouvement uniformément accéléré, les chemins décriUf au bout de deux temps quelconques et à compter de l'origine du mouvement, sont entre eux comme les cêrrés de ces temps.

8“ Ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme lès carrés déi vitesses acquises au bout des temps correspoMants.