JO

MÊCANIOÜF. INnnSTRIEUK.

de bronze de (rois ponces d'épaisseur éclate avant que la pression soit de 1000 atmosphères, tandis que des pièces, de moindre épaisseur, ne sont pas même endommagées après un grand nombre de coups tirés à poudre, on peut présumer que ce résultat de Hutton est de beaucoup trop fort

178. £xamen et prix comparés du irarail de la poudre et de la tapeur d’eau. Si on voulait remplacer l’action de la poudre par celle de la vapeur d’eau introduite directement dans l’àme de la pièce, ainsi qu’on l’a proposé dans ces derniers temps, il faudrait, selon ce qui précède, employer, dans le cas d’une pièce de 24, cette vapeur sous une pression constante d’au moins 308 atmosphères, pour lancer le boulet avec la vitesse de SOO", la longueur d'àme parcourue par ce boulet étant de 2” ,76, En donnant à l'àiue environ 8,8 fois cette longueur ou 24“‘,2, il suffirait d’employer la vapeur à une tension de 36 atmosphères, comme le propose l’ingénieur anglais Perkins ; mais il faudrait qu'elle aflluât constamment avec cette force derrière le boulet, et que, par conséquent, elle ne subit aucun refroidissement (172) pendant qu’il parcourt ht longueur de la pièce. Si le boulet devait être lancé seulement avec une vitesse moitié moindre ou de 260"', il safllrnit évidemment d’une pression moyenne égale au quart de 808*‘ ou de 77 atmosphères, en conservant la longueur d’àme ordinaire, et d’une longueur dame de B"*, si la pression constante de la vapeur n’était que de 36 atmosphères; car les effets étant mesurés par la force vive imprimée dans chaque cas, sont entre eux comme les carrés des vitesses initiales du boulet.

On voit donc que l’emploi direct de la vapeur ne serait pas sans inconvénients dans les circonstances dont il s’agit, même en mettant de côté les dangers de toute espèce qu’il présente, parmi lesquels il faut surtout citer celui qui provient de la facilité qu’a la vapeur de passer, d’une tension déj.à considérable, à une tension double ou triple, par suite d’une légère élévation de la température.

Du reste, on peut démontrer que la force motrice de la vapeur

* Le calcul de l'effort moyen exercé sur le boulet est indépendant de toute hypothèse j et, si l'on connaissait, par des expériences bien faites, cet effort ou la vitesse initiale correspondante pour des pièces de même calibre et de differentes lonjjueurs d'àme , on en déduirait aisément la loi même des pressions exercées par les gai de la poudre sur le boulet, car le frottement du boulet étant extrêmement faible, il n’y a pas lieu d’en tenir compte dans les calculs.

APPLICATIONS ET DÉVELOPPEfdENTS.

serait d’un usage beaucoup plus cnnnoniiqiie que celle de la poudre. Car, en admettant que le kilogramme de poudre de guerre coûte seulement 1 francs au gouvernement, chaque coup d'une pièce de 24, revient à 4 X ^ Or les machines à vapeur les

plus désavantageuses n’exigent guère que 5 à 6 kilogrammes de houille par heure et par chaque cheval de force ; et nous avons vu ci-dessus (177) qu’il faudrait 34 minutes, environ une demi-heure, de travail d'une telle force, pour lancer le boulet avec la vitesse do S00'° ; donc il en coûterait moins de 3*“' de houille par coup, c’està-dire moins de 9 centimes, en comptant la houille à 30^' les 1000'‘, tandis qu’on dépense actuellement, en employant la poudre, une somme environ 90 fois aussi forte.

179. y^perçus sur les moyens d’utiliser l’action de la vapeur pour lancer les projectiles. 11 ne sera peut-être pas impossible de mettre à profit, un jour, cette grande économie de la Torce motrice de la vapeur, pour la défense des places de guerre ou des côtes; mais il faudra probablement renoncer à l’emploi direct de la vapeur à de hautes tensions ou pressions, et l’on devra se borner à rechercher les moyens d'utiliser directement la force des machines à vapeur actuelles pour imprimer la vitesse aux projectiles. Le ressort de l’air atmosphérique paraît, sous ce rapport, offrir des avantages tout particuliers ; un conçoit, en effet, très-bien comment, dans l’état de perfection actuel des arts industriels, il serait possible, en se servant de la force des machines à vapeur ordinaires, de comprimer fortement (IS) un certain volume d’air atmosphérique, de manière à lui faire occuper un espace beaucoup moindre ; et comment cet air, ainsi comprimé, pourrait être employé à lancer les boulets avec des canons ordinaires, un peu modihés, de la mémo manière qu’on lance les balles arec le fusil à vent. Il suffirait de comprimer cet air dans un grand cylindre de fer d'une capacité de 1 à 2 mètres cubes, par exemple, et absolument semblable à celui des chaudières de machines à vapeur, puis de mettre momentanément l’intérieur de ce cylindre en communication avec l’espace compris entre le boulet et le fond de l’âme de la pièce, et de fermer cette communication à un instant convenable.

Supposons, pour offrir une nouvelle application de nos principes, que la capacité du cylindre serrant de réservoir d’air comprimé, suit de 1““,6 ou de 1600 litres; ce volume sera environ 29 fois

lia) JIÉCANIQL'E IMIUSTRFELLE.

celui de l’àrae du canon do 34 ; car, d’aprôa le* données ci-dessus (177), ce dernier volume = 3“,1 X 0“’'»,0176 = 0“',0S-46 ou 85 litres, à très-peu près. Si donc on laisse éch.ipper, de l'inlcrieur du réservoir, contre le boulet, une portion du volume total égal à 55 litres, ou plutôt, si un laisse ouverte la communication entre le réservoir et Tâmo, jusqu'à l’instant où le boulet quitte la pièce, l'air oeciijiant, a ce niéiiie instant, un volume égal à 1 -f - tt = <1®

son volume primitif, la tension de cet air sera, d’après le principe de Mariette (16), aussi réduite aux ^ de sa valeur primitive ; et par conséquent, si cette tension était d'abord de 315 atmosphères, par exemple, elle se trouverait réduite à 315 . ^ = 304,8 atmosphères au moment où le boulet quitterait la pièce. Or on peut présumer que, puisque les valeurs extrêmes de la tension different peu entre elles dans la supposition actuelle, l’eflurt moyen (73) de l’air, contre le boulet, différera aussi très-peu de celui qui répond à la moyenne arithmétique ou à la demi-somme ^ (315 -{- 304,5) = 309,75 atmosphères de ces valeurs extrêmes : cette moyenne surpassant l’effort moyen qui a été trouvé plus haut (177) pour le boulet de 24, chassé par la poudre, il est clair aussi que, abstraction fuite des pertes, la pression qui lui correspond sullirnit pour imprimer, à ce boulet, la vitesse de 500°*; et que, s’il s’agissait seulement de lui communiquer une vitesse de 250"’, un pourrait se borner à comprimer l'air à 78 atmosphères seulement.

Néanmoins, attendu le frottement du boulet contre l’âme de la pièce, mais surtout à t^use du jeu ou du vent qui laisserait échapper, en pure perte, une portion notable du fluide, il conviendrait d’augmenter de quelque chose la tension de l'air dans le réservoir, si mieux encore on ne préférait y faire arriver, par la machine à vapeur, do nouvel air pour remplacer celui qui se perd à chaque instant, de manière à rendre lu tension à très-peu près constante ; car on voit bien, par les raisonnements qui précèdent, que, dans le cas contraire, la pression diminuerait, à chaque coup, d’un iO-»* environ de la valeur qu’elle avait à la fin du coup précédent ; de sorte qu’après un certain nombre do coups, il s’en faudrait considérablerarut que la vitesse de éDO"* fût transmise au boulet. C’est précisément là l'inconvénient attaché au fusil à vent ordinaire, et qui, joint à d’autres, a fait renoncer à son emploi malgré les avantages qu’il possède so,us d’autres rapports.

Enfin, au lieu de procéder de l’une ou de l’autre de ces manières,

Digilized by Coogle

APPLICATIONS LT OCVELUPPKWIsNTS.

on pourrait aussi, mais non sans augmenter beaucoup les difficultés et les dangers d'explosion, se contenter de mettre en usage de trèspetits réservoirs en bronze, d'une capacité égale, par exemple, à celle de la gargousso employée dans le tir ordinaire à poudre, laquelle, comme on vient de voir, occupe, dans les pièces de 24, un etpace cylindrique d'environ 6 litres, tout compris, ou du 9°“ de celui do l'âme entière. Ën se servant d’un aussi petit réservoir, il faudrait comprimer l'air à une tension de beaucoup supérieure à 300 atmosphères, et telle que, dans sa détente graduelle, il développât, contre le boulet et pendant que ce boulet parcourt la longueur de l'aine, la quantité de travail nécessaire pour lui imprimer la vitesse de bOO". Nous n’avons pas d’ailleurs à examiner coiumentces petits réservoirs, indépendants de la pièce comme les gargousses elles-mêmes, pourraient s’adapter solidement au fond de l’ame, ou dans le renflement de la culasse, et jouer absolument le rôle de la poudre lorsqu’on viendrait à lâcher la détente qui retient l'air j il nous suffit ici que l’hypothèse soit assez plausible, en elle-même, pour exciter quelque intérêt, et appeler l'attention du lecteur sur les applications des théories de la Mécanique.

C’est, au surplus, l’occasion de faire cunnaitre la méthode, de calcul que nous avons promise n° 72, méthode due au géomètre anglais Thomas Simpson, et yiar laquelle on jieut évaluer, d'une manière très-approchée, le travail mécanique variable, ou, plus généralement, l’aire superficielle des figures planes limitées par des contours quelconques. ,

■iTHOOE GÉStKALE UES QDADBATDaSS rOlIH CALCCAEE l’aIBX SSnailCMLLE 'des COSBBES PLABES.

180. Démonstration géométrique de la métltode. Soit a'd'g'ga (flg. 39) une aire plane limitée par une portion du courbe a'd'g', par la droite OB, servant d’axe des abscisses (SI), et par les deux ordonnées extrêmes aa', gg, peryiendiculaires à cet axe. Supposons qu’on ait divisé la distance ag, de ces ordonnées, en un nombre pair de parties égales, par exemple en 6 parties, aux points b, c, d, e, f et qu’on ait élevé, en ces points, les nouvelles ordonnées ââ', cc', .... ffi, terminées à la courbe; on aura une première valeur approchée de l’aire mixtiligne aa'd'g'ga, en calculant les surfaces de chacun des trapèzes rectilignes aa'b'b, bb’c'c,, , . . ff'g'g, dont

lüi MÉCAMOUE JNUÜSTIUELLE.

elle se conipose, puis ajoutant entre eux tous les résultats ;ce qui revient à remplacer la courbe par le polygone rectiligne a'i'c'd'... .y' qui lui est inscrit. Mais on obtient, sans être oblige de multiplier davantage les points de division, une valeur beaucoup plus approchée de l’aire chercbce en procédant comme il suit.

Ayant numéroté le rang des diverses ordonnées, comme on le voit sur la figure 39, on considérera, à part (fig. AO), l’aire raixtiligne ccd'e'ec, limitée aux deux ordonnées impaires quelconques cc', ee, qui se suivent et qui comprennent entre elles l'ordonnée dd'de rang pair; la surface totale des trapèzes rectilignes correspondants cdd'e, dee'd', aura pour mesure, puisque de = cd,

•j cd (cc -f- dd') -j de (dd' -j- ee') = ^ cd (cc' -j- 2 dd' -j- ce').

Mais on obtiendrait évidcnunent une valeur plus approchée de l’aire cc’d'e'e, si, partageant cette aire en trois autres aires trapézoïdes cmm'c, mnn'm, nee'n’, par des nouvelles ordonnées équidistantes mm', nn' , c'est-à-dire telles que cm =•: mn = «le = | cd, on prenait, pour cette valeur, la somme de trois trapèzes rectilignes inscrits correspondants, c’est-à-dire ^

7 CTO (cc' mm') -j- 7 mn (mm' -j- nn) 7 »ie (nn' -{- ce ') , ou, attendu que 7 cto = 7 mn = j «0 = 7 ce = j- cd,

7 cd (cc' -]- 2 mm' 2 nn' ee').

Or, pour s’éviter la peine de tracer les nouvelles ordonnées mm', nn', et pour obtenir néanmoins une approximation égale ou même supérieure, on remarquera que la corde m'n' vient couper l’ordonnée intermédiaire dd', qui est à égale distance de mm' et de nn', en un point o tel que od = 7 (mm' -j- nn'), cl que, par conséquent, 4od=2mm'-|- Snn',* la valeur do l’aire rectiligne cc'to' n'e’e devient donc simplement j cd (cc' iod -f- ee').

Nous n’avons pas, il est vrai, l’ordonnée od immédiatement, mais elle difiëre extrêmement peu de rordonnée véritable dd' de la courbe, que nous connaissons ; en remplaçant donc od par dd' dans les calculs, nous obtiendrons une mesure très-approchée, quoique un peu trop forte, de l’aire polygonale dont il s’agit. Mais, puisque celte aire est elle-même un peu plus faible que la véritable aire ter-

Al’l’LlCATlO-NS ET DEVELOPPEMENTS.

lUô

minée à la courbe, il se fera une sorte de uonipensutiun * si noos prenons, pour mesure de cette dernière, la quantité

j cd (ce' -j- idd' -j- ee').

Ou aura de même, (fig. 39),

acc'a' = J cd (aa -j- ibb' cc')^ fgg'e'e = ^cd (ee' -j- Afif -f- gg') ; donc la surface totale agg'd'a' qu’il s’agit de calculer, a, pour mesure,

j cd {aa' Àbb' -j- ce' -j- ce' -j- idd' -J- ee' -|- ee' -j- iff gg'),

on i cd \aa' -j- gg -f- i(bb' dd' -{■ ff) 2{cc' ee')],

c'est-à-dire h lier» du produit qu’on obtient en multipliant, par riniercalle constant compris entre les ordonnées de la courbe , la somme des ordonnées extrêmes, augmentée de deux fois celle des autres ordonnées de rang impair, et de quatre fois celle des ordonnées de rang pair.

Les mêmes raisonnements demeurant applicables quel que soit le nombre des ordonnées équidistantes , pourvu qu'il soit impair.

* llotéTÎdeDt qu'en prenant pour od,oa aujpnente Taire polygonale de jcd . t\od'i mai», en traçant le* nouvelles cordes w!d\ rid\ î! sera aisé de voir que la surface du triangle recüligne m*Wd' a pour mesure ^ mn x od' ; car il se compose des triangles m'od'f on'd'e dont la somme des surfaces

^ ~od ’ . md + ^od'é dn csLad’{ md -f- nrf) = ^odf - mn;

et comme mn s 2 cd, la surface du triangle m*d'n' sera i y .crf .orf* = -cd.od'. On a donc augmcnlc Taire du polygone rectiligne cc’m'u’e'ec de 4 fois le triangle m’d'n*, tandis qu'il faudi aii l'augmenter de la somme des aires des segments compris entre la courbe et les cordes c'm\ m'n' et nV. Par conséquent', si celte somme équivaut à 4 la

compensation sera exacte et la méthode rigoureuse j dans tous les cas , on ne risquera de SC tromper que de la différence de cette somme cl de 4 m’d'n\ difTérciice qui ne sera généralement qu'une petite fraction de chacune d'elles, excepté pour quelques points afnguliert de la courbe.

On voit, d'après cela, que, quand il s’agit de calculer, avec une grande exactitude. Taire d'une figure plane limitée par des contours quelconques, il convient, nou-seulcment de multiplier beaucoup les ordonnées et de bien choisir Taxe des abscisses pour éviter la trop grande obliquric de ces ordonnées par rapport aux courbes, mais encore de partager Topéralion en plusieurs opérations distinctes, soit qu'on multiplie davantage les ordonnées dans certaines parties, soit qu'on rapporte les courbes à plusieurs axes différents i en un mot, il faudra éviter que les trapèzes rectilignes ne diffèrent nulle part, d'une trop grande quantité , de trapèzes curvilignes correspondants. U paraît bien clair d’ailleurs que, par la formule de Simpson, on approche, dans les circonstances ordinaires, nonseulement plus de la vérité qu'en calculant les valeurs des trapèzes rectilignes inscrits et limités aux ordonnées simples, mais même davantage encore que si Ton calculait celle des Irapcics relatif à des ordonnées plus rapprochées d'un tiers.

Iü4 MÉCANIQUE INüllSÏHIELLE.

on voit que Ia règle est générale ; mais il est clair qu’elle ne donnera des résultats irès-npprochés, pour les parties de la courbe qui s’écarteraient considérablement de la forme d’une ligne droite , qu’autant qu’on divisera les intervalles, compris entre les ordonnées extrêmes, en un nombre pair de parties égales , assex grand pour que les trapèses rectilignes inscrits ne dilfèrent nulle part beaucoup des trapèies véritables, ou qu’autunt qu’on resserrera convenablement les ordonnées vers les parties dont la courbure est très-prononcée.

11 est également essentiel de remarquer que le calcul donnera des résultats un peu trop petits pour les parties de l.i courbe qui présentent leur concavité à l’axe des abscisses [voyez fig. 39), et un peu trop grands pour celles où cette courbe tourne sa concavité vers cet axe, comme cela a lieu pour la courbe do la Gg. AI , par exemple.

DD TKXVXIl riODDIT SSD IX DlTXIfTB tlS GXl. ^

181. Exemple de la manière de calculer ce travail. Reprenons maintenant lu dernière des questions du n° 179, et appliquons-y la méthode qui précède, en négligeant d’ailleurs, comme nous l’avons fait alors, le recul de la pièce qui est (175) presque toujours insensible. Cherchons, à cet efiet, la loi que suivent les pressinns de l’air à mesure qu’il se développe ou se détend en poussant le boulet en avant, c’est-à-dire (60) formons la table qui donne , ]iour chaque chemin parcouru par ce boulet dans l’intérieur de la pièce, la pression correspondante. Suit 0> (Gg. Al) la longueur totale de l’ànie , Oa la portion de cette longueur occupée primitivement par l’air, supposé comprimé à 1200 atmosphères; d’après ce qui a été admis à la Gii du 11 " 179, Oo sera le ^ de Q», et le -j de l’espace ai parcouru par le boulet ; divisant donc ai en 8 parties égales aux points b, c, d. . . . h, elles seront aussi toutes égaies ü Oa, et représenteront chacune des volumes cylindriques de l'âme, égaux à celui qu’occupe l’air comprimé. Ainsi , quand le boulet sera successivement arrivé en b, en c, en d, en e, . . . . en t, le volume primitif Oo de cet air, sera double, triple, quadruple. . . . nonuple. Donc, selon la loi de Mariette (16), la pression exercée par cet air, sur le boulet, qui d’abord était de 1200 atmosphères, n’en sera plus que la ^ ,

Digiti; jby* ■ ''{le

IKÜ

le le . le ^ ; c’est-à-dire qu’elle sera respectivement

de 1200, 600, 400, 300, 2i0, 200, 171, 150, 133 atmosph.

lUX points a, b, c, d, e, f, g, h, i,

afint pour no*. . . 1, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 9,

Élevant les perpendiculaires aa, bV, ce , .... ii', sur Oi, et portant, sur ces perpendiculaires, des longueurs propurtionnelles aux pressions correspondantes , un formera la courbe o'6'c'. .. ,s', noninice hyperbole équilalère . La surface de cette courbe, limitée aux ordonnées aa, ii' et à Taxe ai, représente , d’après le n° 72, la valeur du travail variable développé par le ressort de l'air contre le boulet ; mais il n’est pas nécessaire de tracer la courbe clle-méme pour obtenir la valeur de ce travail ; le tableau ci-dessus suibt, en y appliquant la méthode du n° 180, car l’intervalle total ai se trouve justement divisé en un nombre pair de parties égales par les diverses ordonnées.

On a ici, en effet, pour

U somme des ordonnées extrêmes, 1200 -4- 133 = 1333*u°

2 fois celle des autres ordonnées impaires, . 2(100 -4- 240 -4- 171) = 1623 4 foiscelie des ordonnées paires, . 4(600 -4- 300 -+- 200 -4- 150) =: 5000

Total 7955*>»>

Il faudrait multiplier ce résultat (177) par 1^,033, puis par la surface de 176 cenliinèlres carrés du cercle de section de l’âme , c’est-.à-dire par 181^,81, pour avoir la somme des pressions véritables. Pour obtenir le travail total résultant de ces pressions, il faudra, de plus, multiplier cette somme par j ai = j Oa; le résultat sera donc Oo X 7953*' = 2631"',7 X Oa multipliés encore par 181'‘,81, ce qui donne finalement A8210ü'‘,6 X 0“-

La courbe des pressions tournant sa convexité vers l’axe OB des abscisses, il est clair (180) que le résultat obtenu doit surpasser un peu le véritable; on voit aussi que la courbe diffère beaucoup d’une ligne droite dans la partie qui répond aux points b, c, d, e; il y a donc lieu de craindre que l’excès dont il s’agit soit assez considérable pour qu’on ne puisse le négliger ; en conséquence, il conviendra de multiplier davantage les opérations vers les points b, c, d, e. Pour ne pas étretibligéde recommencer tous les calculs, nous considérerons, à part, la portion de courbe comprise depuis aa' jusqu’à te', et nous subdiviserons les intervalles primitifs des ordonnées en

lue MÉCANIQUE liNüUSTUIELLE.

deux parties égales aux nouveaux points m, n, p, q ; chacune d’elles sera donc égale â 7 Oa, et les espaces occupés successivement par le volume primitif Oa de l’air , seront respectivement Oa -|- 7 Oa = 7 Oo en »«, (2 7 ) Oa = I Oa en n, (3 -|- t) Oa = 7 Oo

en p, enfin f Oa en q. Par conséquent, d’après In loi de Mariette, les pressions correspondantes seront les |, les j, les y et les | de la pression de 1200 “ relative au point a; en joignant à ces pressions, celles déjà calculées plus haut relativement aux points b, c, d, e, on formera, pour la portion ae, la nouvelle table qui suit ;

prcuioni ISOO, 800, 600, 480, 400, 343, 300, 067, S40 atmosph.

points a m b n c p d g e

no» 1 a 3 4 5 6 7 8 9

Par conséquent,

somme des pressions extrêmes 1200 4 - 310 = 1440 “ut

3 fois celle des pressions impaires 3(600 4- 400 4 - 300) = 2600

4 fois celle des pressions paires, , . 4(800 4 - 480 4- 343 4 - 267) = 7560

Total 11600»nn

qu’il faut d’abord multiplier par ÿa»i = i Oo, ce qui donne pour résultat ÿ 11600 X 0“ = 1933“, 3 X Oo» etensuite par 181'“, 81. Mais , comme cette dernière multiplication se reproduirait à lu fin de chaque résultat, et que nous ne voulons ici que comparer entre eux les chiffres de ces résultats , nous négligerons de l’effectuer , dans ce qui va suivre, afin d’abréger les calculs ; seulement on devra so ressouvenir, dans les applications particulières, que, pour obtenir le travail véritable , il restera encore à multiplier chaque nombre trouve, par la pression totale qui répond à la surface de section de l’ârae et à la pression atmosphérique moyenne.

Eu recherchant, comme on vient de le faire pour la partie aa'e'e, le surplus ee'ti de la surface de la courbe, et bornant simplement les opérations aux points de divisions f, g, h, qui donneront alors une approximation suffisante, on la trouvera égale à

i Oo [2A0 -f 133 -f 2 . 171 -f 4(200 + 180)]

= i 2113 . Oa = 708“ X Oa.

Le total général est donc 1933“,8 . Oo-{- 703“ . Oa =2688“ ,8 . Oa, quantité très-peu moindre que celle 2681“,7 . Oo trouvée précédemment ; ce qui prouve toute l’excellence de la méthode.

182. Prestion moyenne de l’air y vitesse imprimée, etc. Puisque ai = 8 Oa représentela lungueiir d’âme 2“,75 décrite par le boulet, il est clair que 2638"“, 3 . Oa, divisé par 8 Oa, ou 329'“, 8, est précisément (177) la pression moyenne, sur chaque centimètre carré de surface , qu’exerce l’air dans sa détente contre ce boulet. On voit donc, sans aller plus loin, que la vitesse imprimée à ce dernier surpasserait 600™ dans les suppositions actuelles , puisque l’effort moyen de la poudre, pour imprimer cette vitesse, s’élève, au plus, à 308 atmosphères (177).

11 est très-facile, au surplus, de calculer quelle est la tension que devrait recevoir le volume ou la charge d’air, représentée par Oa, pour imprimer au boulet la vitesse juste des âOO*", tout restant le même d’ailleurs et la pression des 1200 *“ étant seule changée ; il est * évident, en effet, que les résultats partiels et totaux des opérations ci-dessus demeurent proportionnels à la pression primitive. On posera donc la proportion

829,8 ; 1200 ;; 808 ; a: = ^^ 3^9 3 ”^ = H21 atmosphères,

qui est la tension demandée. Pour obtenir un tel degré de tension à l’aide d’une machine à compression ou d’une pompe foulante, (179), il faudrait, d’après la loi de Mariotte, coercer, dans le petit espace représenté par Oa, un volume d’air, pris à la tension atmosphérique moyenne, qui serait égal à 1121 fuis Oa; et, comme les densités sont proportionnelles aux pressions (36), on voit que le mètre cube de l'air ainsi condensé, pèserait aussi 1121 fois celui de l’air ordinaire dont lepoids est, à peu près(40),de 1““, 3, c’est-à-dire 1A37’"' : la densité de l’air du réservoir devrait donc égaler presque 1 j fois celle de l’eau, et son poids, qui serait (179) de

surpasserait même le double du poids de la charge dans le tir arec la poudre (177). Or il pourrait bien so faire que , par suite d’un tel rapprochement des parties, l’air se convertit en un liquide véritable, ainsi qu’il arrive pour plusieurs autres corps gazeux et notara- ' ment pour les vapeurs (3 et 6 ), lorsqu’on les comprime seulement de quelques atmosphères.

Quoi qu’il en soit, il parait diflicile d’admettre qu’on puisse, de longtemps encore , obtenir l’air à un pareil état de condensation ,

ns

llÉCAMQÜi; INDUSTRIELLE.

et il y a liea de croire par conséquent que la poudre, qui nous représente également nn grand volume de gaz coercés dans un petit espace , et dont la tension est neutralisée par la force d'affirnité ou d'agrégation des parties, que la poudre, qui est si facilement transportable, continuera, à moins de découvertes chimiques majeures, à remplir dans les combats le râle qu’elle y joue depuis tant de siècles, malgré l'élévation de son prix comparé <à celui des autres moteurs, et malgré l’inconvénient, quelquefois très-grave, qu’elle présente de rendre inhabitables les lieux clos od l’on en fait usage.

183. Des avantages de la détente prolongée et de sa limite utile. Nous avons supposé lu pièce de la longueur ordinaire, mais on gagnerait nécessairement quelque chose, sur la tension primitive do l'air, en augmentant cette longueur; car ici les effets du refroidissement (17S) ne paraissent pas , à beaucoup près, avoir autant d'influence que lorsqu'il s’agit des gaz de la poudre. Il n'cn serait pas de même évidemment des pertes croissantes ducs nu jeu du boulet dans la pièce, nu frottement, à la résistance de l’air atmosphérique extérieur, et il est probable que, passé un certain terme, on retirerait, en raison de ces pertes, fort peu d’avantages on augmentant les dimensions de l’âme : calculons néanmoins le surcroît d’effet produit parla détente prolongée de l’air, en négligeant tout à fait lus pertes dont il s'agit.

Supposons d'abord que 0> (6g. 41) soit augmentée de deux parties ij, jk, égale chacune à Oa ou à ^ de la longueur totale Ot de l'àme, considérée dans le premier cas (183) ; on trouvera, pour les pressions exercées en i,j, k respectivement,

Donc (80 et 81) la surface de iik'k aura, pour mesure, i Oa (133 4- 109 -f 4 . 120) = Oo X i 722 = 240*‘, 7 X Oo environ ; c’est-à-dire qu’en donnant à ràme une longueur totale de 3'”,10 4- I 3"", 10 = S*", 80 , la quantité de travail de l’air sera augmentée d'n peu près ■— de sa valeur 2638*',3 X relative à la longueur de 3'", 10.

En prolongeant de nouveau l’âme de kr = ik = 20a, on trouverait, de la niéine manière, que l'augmentation de travail du fluide serait de 200*' X ûa; la somme totale du travail développé par la

détente de ce fluide, pour la longaeur d’âme de 4“,48 qui excède, de près de moitié, la longueur primitive, serait donc

(2638,3 + 240,7 + 20D) Oo = 3079“ ^ Oo,

c’est-à'dire qu’elle surpasserait de j celle qui se rapporte à cette dernière longueur ; de sorte que la force rive imprimée au bonlet serait anssi plus forte de j. Quant à In pression moyenne, dans le cas actuel, on la trouvera en divisant le travail total 8079*' X O 0 par ar= 12 Oa, longueur d'ârae décrite. par le boulet, ce qui

donne — = 256*',6 environ : cette pression est, comn%

on voit, moindre que celle qui répond an tir ordinaire avec la poudre (177), quoique la force vive imprimée suit réellement augmentée d.ans le rapport de la quantité de travail 8079*' X O" â celle 308“ X ® 0“ = 2464*' X qu> est relative à ce dernier cas, la longueur d'âme étant alors 80a.

S'il s’agissait seulement d'imprimer au boulet la vitesse de 800°*, comme dans ce dernier cas il sulBrait (182) de comprimer l’air du

réservoir à la tension de

1200 X 2464 X Oo 8079 X Oo

= 960 atmosphères

environ. Pour une vitesse moitié ou de 280°*, il suffirait (178 et 182) de donner le quart de 1200“ ou 300 atmosphères de pression à l’air du réservoir, dans le cas de la pièce courte, et 960 = 240 atmosphères dans le cas de la pièce longue. En allongeant de plus en plus l’âme, il est clair que le travail, produit par la détente, irait aussi en croissant; de sorte que, pour produire les mêmes efl'els, la pression absolue dans le réservoir pourrait être progressivement diminuée; mais un remarquera que, passé un certain terme, cet accroissement et cette diiuinutiou deviendraient extrêmement peu sensibles, considérés meme abstraction faite de toutes les causes de pertes rappelées ci-dessus. Car nous avons trouvé , par nos diverses opérations, que le travail était proportionnel à 1983“,3, pour le point e (fig. 41). à 1938“,3' -f 708“ = 2688“,8 pour le point i, à 2638*', 3 240*', 7 -j- 200*' = 3079“ pour le

point r; de sorte que, dans la première partie ae de la détente, il est près du triple de celui qui répond à la seconde partie et = ae, et près du quintuple de celui qui est développé dans la troisième

IGO MÉr.AMQfîE INniJSTRIF.LLE.

tr = oc. A une distance du point a égale a 100 fois ae, ou à 400

fois Oo, la pression serait réduite à environ = 3*', et le tra-

vail , sur une ftngneiir égale à ae ou -i Oo , serait , au plus , 40o X 3“ = 12“ X celui qui est produit dans le

premier intervalle oe, etc. Or on conçoit que les résistances et pertes de tonte espèce suffiraient alors pour absorber ces faibles augmentations du travail.

En calculant d'ailleuss le travail total développé, par la détente de l’air, dans cefte longueur d’ùme de 100 fois oo, on le trouvera ^al à environ 7200“' X quantité qu’il faut diminuer, tout au moins, de celle 1*' X 400 Oo = 400*' X Oa, qui est absorbée par la pression de l’air atmosphérique extérieur; ce qui la réduit à 6800*' X 1“' surpasse très-peu le double de la quantité de travail 3079*' X — 1"* X 12 Oo = 3063“ X Oo relative au point r; mais, attendu les autres genres de pertes, cette première quantité de travail serait bien moindre encore.

184. Examen particulier des différentes causes qui diminuent les effets de la détente des gai. Nous avons déjà plusieurs fois remarqué que le frotteraent du boulet, dans l’âme de la pièce, est une quantité très-faible et qu’on peut toujours négliger, tandis qu'il en est tout autrement do la perle de gaz, occasionnée par le vent du boulet, laquelle tend continuellement à diminuer la densité et la pression intérieures, de manière à les faire différer de plus en plus de celles qui, selon la loi de Mariotte, auraient lieu, sans cette perto, pour chaque position du boulet. Connaissant le jeu de ce dernier dans lame , il ne serait pas impossible , à la rigueur, de calculer la perte de gaz dont il s'agit, d’après les lois de l’hydranlique qui seront enseignées dans la seconde année de ce Cours ; car cette perte est proportionnelle à la vitesse avec laquelle le fluide tend à s'échapper en vertu de la pression intérieure, et à la surface du vide qui règne au pourtour du boulet, surface qui , à largeur égale, croit à peu près comme le calibre des ynèces ou la circonférence du boulet.

Mais il est iino autre cause de déchet de la force motrice, et qui exerce une influence peut-être plus grande encore sur la vitesse du boulet : c’est celle qui provient de l'inertie même du fluide. En effet, la force de ressort de ce fluide n’est pas uniquement employée

by GvJojilt

contre le boulet; une portion sert à imprimer le mouvement à ses propres molécules , et il en résulte une perte de travail mesurée (136) par la moitié de la somme des forces vives qui leur correspondent. Or la vitesse de ces molécules et leur poids total (I8â) étant généralement très-comparables à la vitesse et au poids du boulet, on conçoit que la perte dont il s’agit est généralement aussi trèsappréciable, et mériterait d’être prise en considération , s’il s’agissait de calculer rigoureusement les circonstances du mouvement.

11 résulte de là d’ailleurs, que la pression éprouvée eSiectivement par le boulet, de la part des gaz, dilTère plus ou moins de celle qu’il éprouverait, dans les mêmes positions ou pour les mêmes détentes, s’il était sans mouvement, ainsi que le sup|iose expressément la loi de Mariette (16), que nous avons prise pour base de tous nus calculs; et cette remarque s’applique aussi à la tension <}u’exerce le fluide sur les différents autres points des parois de la pièce ou sur luimême, laquelle, d’après le principe de Pascal (1-4), se trouverait répartie également et en tout sens, s’il y avait repus. Cette tension varie d’un point à un autre de la longueur de l'âme, conTtirniéraent à la remarque du n° 68 : elle est plus faible là où le fluide éprouve plus de facilité à se mouvoir, c’est-à-dire près du boulet ; elle est plus forte, au contraire, là où il éprouve le plus de résistance, c’està-dire vers le fond de l’Ame , puisqu’elle doit y vaincre à la fois la résistance provenant de l’inertie du boulet et de tout l’air interposq. Enfin il n’est pas moins évident que la vitesse du fluide varie, de son côté, selon la distance du boulet au fond de l'âme, et qu’elle est plus forte près du boulet qu'à la culasse où elle peut même devenir tout à fait nulle quand le recul (174) est empêché.

On voit, d’apres cela, qu’il existe une relation nécessaire entre la vitesse et la tension ou la densité (36) des molécules en chaque point ; de telle sorte que, cette densité étant précisément la plus faible là où la vitesse est la plus forte et réciproquement, il en résulte nécessairement aussi que la force vive des différentes trancAes élémentaires du fluide , comprises entre des sections perpendiculaires à l’axe do la pièce, est une quantité toujours très-faible comparativement à celle qu’auraient CCS mêmes tranches, si, conformément au principe de Pascal , la densité du fluide était la même partout, et si sa vitesse était aussi, dans les difiiérentes tranches, égale à celle du boulet; c’est-à-dire que la force vivo totale possédée par le fluide est, on réalité, une fraction toujours très-petite du pro-

«ÏCÀS. ISnDSTR. I. 1. 1 1

MÉCANIQUE INDUsTRlEMÆ.

doit de sa masse totale par le carre de la rilesse du boulet. Enfin il paraîtra non moins évident que, puisque la pression contre le fond de râine est plus forte que celle qui a lieu rontre le boulet, la quantité de mouvement ioipriméo à lo pièce (173) et qui produit le recul quand cette pièce est libre, doit être aussi plus grande que celle que reçoit le boulet ; de sorte que la vitesse du recul est, par nn double motif (174), un peu plus forte que ne l'assigne le principe du n" 178,

188. Réfltxion» nouvelles sur la déperdition inévitable du travail dans la réaction des corps, et sur les courtes mais rapides détentes des gat. Ce ne serait pas ici le lieu d’entrer dans de plus grands développements sur les lois du mouvement et de l'action des fluides élastiques, lois qui se reproduisent, d’une manière analogue , dans le clioc ou la réaction plus ou moins brusque (183 et suiv.) des corps élastiques; nous avons voulu seulement donner une idée de la nature des causes qui empêchent que la détente ait son entier effet, et prouver surtout que l’inertie des molécules des gat, lorsque cette détente est rapide, peut exercer une certaine influence sur le mouvement transmis au boulet , et occasionner des pertes d’effet tout aussi appréciables que celles qui proviennent des fuites et des diverses résistances. 11 est donc bien vrai de dire (140, 103 et suiv.) que la quantité de travail qui a été primitivement dépensée , pour changer lu forme, la position ou en général l’état d’un corps, ne peut jamais être restituée d’une manière complète, ou sans qu’il y en ait une certaine portion de consommée, en pure perte, pour l'effet utile ; car il s'agit ici de gaz qui sont des corps éminemment élastiques.

A la vérité, on diminue considérablement les pertes de travail, oct^sionnées par l’inertie des molécules des gaz, en utilisant leur force de ressort contre des masses ou des résistances plus grandes que Celles d'un boulet de canon ordinaire, et qui ne cèdent que lentement ou avec peu de vitesse à leur action; mais alors les fuites augmentent rapidement avec le temps; et si, dans la vue d’éviter ces fuites, on cherche à supprimer le jeu du boulet, qui est véritablement indispensable, on augmente considérablement le frottement de ce boulet contre l’àiue de la pièce. Enfin , en admettant même que ces difiérentes causes de perle n’existassent pas, il arriverait encore qu’on ne pourrait utiliser complètement le travail

Al'PLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS.

recelé dans le volume primitif des gaz , puisque le cylindre où se fait la détente, ne saurait recevoir, dans l'exécution, qu’une longueur fort restreinte par rapport n celle que lui assigne la théorie pour le maximum d’etTet.

Ces dernières réflexions sont principalement applicables à la détente de In vapeur, dont il sera fait mention un peu plus loin; mais il ne faudrait pas en conclure généralement que lu détente des fluides élastiques présente peu d’avantages, et que tout son effet est absorbé , des les premiers insiants où elle s’opère ; car l’expérience prouve, roéine pour les gaz de la poudre dont l’action diminue beaucoup (173) pur le refroidissement, que, si cet effet a une limite nécessaire dans chaque cas, cette limite n’est pourtant point aussi rapprochée qu’on (lourrait d’abord le présumer d’après ce qui précède. On peut admettre, par exemple, que la détente, dons le cas examiné ci-dessus, et quand le vent est réduit à ce qui est strictement nécessaire, ne cesse pas d’ètre avantageuse tant que le volume occupé par les gaz ii’escèdc pas le AO* ou le 80* du volume primitif. Nous verrons bientôt d’ailleurs que la limite relative aux machines à vapeur ordinaires est beaucoup plus restreinte.

On est obligé, dans l’artillerie, de se servir de pièces très-courtes, telles que les obusiers et mortiers qui servent à lancer des boulets creux; il semblerait donc, au premier aperçu, que les effets de la détente devraient y être à peu près nuis, de sorte qu’à charge égale de poudre, la force vive imprimée au projectile y serait beaucoup moindre que pour les pièces longues, ce qui n’est pas. Nais un doit observer que , dans les premières pièces, la chorge est toujours très- faible |>ar rapport au poids de l'obus ou du la bombe, et que le rapport du volume oucupé par la poudre au volume total de l ame , ne diffère pus beaucoup du celui qui est relatif aux pièces longues : or il en résulte que les quantités de travail totales développées par la détente des gaz doivent, à circonstances semblables, être encore à peu près les mêmes dans les deux cas , et que la seule différence doit consister en ce que la force motrice, la pression sur le projectile, est plus grande dans le dernier et opère son effet total dans un temps beaucoup plus court. C’est ce que démontrent, en effet, les principes qui suivent.

186. Principes relatifs ait travail produit par la détenta des gas. L’un des plus importants d’entre eux consiste, lorsqu’on l’envisage

if

MÉCANIQUE INDirSTRIELIÆ.

sous son point de vue le plus général, en ce que, quelle que soit la manière dont on fasse agir un volume donné de gaz comprime à un certain degré, sur une résistance qui cède à son action , le travail développé sera, toutes choses égales d’ailleurs , constamment le même pour la même détente on la même augmentation du volume primitif. Comme ce principe a de nombreuses applications dans les arts, nous ne croyons pas inutile de nous arrêter un instant à sa démonstration , en prenant pour exemple le cas des mortiers.

On sait que, dans ces armes, la poudre est enfermée dans une cavité cylindrique particulière ABCD (6g. 42) , nommée cAamère, et dont le diamètre est beaucoup plus petit que celui de l'âme ou du projectile ; or, si nous faisons abstraction des propriétés physiques particulières de cotte poudre , pour ne nous occuper que des effets de la simple détente des gaz qu’elle produit par son inQammation , si nous supposons , en d’autres termes, qu'elle soit remplacée par un volume égal de gaz comprimé à 1200 atmosphères, par exemple, comme dans le cas czamiiic plus haut , il nous sera facile de calculer la quantité de travail que , abstraction faite des pertes, ce gaz produira pur sa détente dans l’intérieur de l'âme , en concevant toujours, pour la simplicité, le projectile remplacé par une sorte de piston ou cylindre de même diamètre que celui de l’âme, et qui serait terminé par une face plane MN du côté du fluide, hypothèse qui n’altère en rien les résultats, attendu qu’on prouve aisément , par les principes qui seront établis plus tard , que le travail , communiqué par le fluide, est indépendant delà forme du projectile pourvu qu’il remplisse exactement le contour de l’âme. Tout consistera donc encore à déterminer la valeur de la pression totale exercée, par le gaz , pour les diverses positions du plan MN.

Supposons, par exemple, que, le piston étant arrivé en b, le volume occupé alors par ce gaz suit égal à 6 fois le volume primitif ABCD; d'après la loi de Mariette, la pression sur chaque centimètre carré de la surface de la section MN correspondante à b, sera aussi |dc 1200 atmosphères on 200°‘; par conséquent la pression