V.... 1, 3, 5, 10, Ï5, 60, 100, ÏOO

Au moyen de cette table , on trouvera aisément d'ailleurs les différentes valeurs de k qui répondent a une autre surface que la sphère ; il suffira de multiplier celle que lui assignent, dans chaque cas, les règles précédentes pour une médiocre vitesse, par les quotients des valeurs de k données dans la table et du nombre constant 0,60 qui se rapporte à la sphère.

QDSSTIONS P1BTICIIIIÈKE8 COnCBRKAnT I.A RtSISTA^CE OE l’aIR ET DS

l’ead.

211. Préparation de la formule pour ce cas, calcul de la densité des gas. Les applications les plus ordinaires des règles précédentes concernent l’air et l’eau ; il est donc nécessaire de déterminer d'abord la valeur de lu densité p (199) qui leur correspond. Nous avons vu (34) que , pour l’eau , on a sensiblement p = 1000'‘ dans les cas ordinaires ; qiiant nu poids du mètre cube d’air, il varie (40) selon la température et la pression barométrique, et il est nécessaire de le caleuler dans chaque cas particulier, comme il suit. Supposons que la température actuelle de l’air soit de 12° centigrades, et que la colonne de mercure qui, dans le baromètre (38), mesure la tension de cet air, soit de 7S°, ce qui est, à peu près, la température et la pre.ssion moyennes qui répondent à l'automne et au printemps dans notre climat. Selon la table du n° 40, la densité ou le poids du mètre cube d’air à 0° de température et à 76° dépréssion, est de l'‘,2991 ; cherchant donc, d’après la loi de Mariette (16 et 87), et celle de Gay-Lussac (26) , quel volume occuperait cette même quantité d’air à la pression et à la température ci-dessus, nous eu conclurons aisément son poids sous l’unité de volume. Supposons d'abord que la pression 0“,7-8 reste la même, et que la température s’élève à 12°, son volume deviendra (28), puisqu’ici le gaî est libre de se détendre sous cette pression,

Cherchant, de même, ce que ce dernier volume devient à la pression de 0°°,78, on aura, d’après la première des lois citées, la proportion

75° ; 76° :: 1"°,04S ; x= l^.OAB 0S9.

Mais ce volume d’air pèse 1%2991 ; donc 1"'° d’air pareil pèsera jk 299i

ym'e 0"9 ~ > et poe conséquent c’est là aussi la densité de

l’air à la température de 12° et sous une pression barométrique du 75°; celle de l’eau étant 1000'°, on voit que la première est environ

“jQQQ = 0,001227 ou de la seconde, tandis qu’à 0° et

sous 76' de pression, elle en est les __à très peu près.

Sons une pression plus faible que 78', cl une température plus forte que 12°, il est clair que la densité de l’air ser.iit encore moindre que nous ne 1 avons trouvée. En général, si nous nommons n le nombre des degrés centigrades qui indiquent, à un certain instant, la température de l’air, et h la hauteurbaromélrique, en centimètres, qui répond à sa tension , on trouvera , en raisonnant absolument comme on vient de le faire dans un cas particulier, que la densité P, ou le poids du mètre cube de cet air, aura pour valeur la quantité

^ 76 ^ 1 -f 0,00875 «’ P — yq: 0,00373 n’

formule qui donnera, do suite, cette densité sans passer par la série des raisonnements qui précèdent, et qui permettra aussi de calculer la densité d’un autre gaz quelconque en y remplaçant le poids 1*‘,2901 de l’air à 0° et 76' de pression, par celui qui, dans la table du n° 36, répond au gaz dont il s’agit. 11 est d’ailleurs entendu, relativement aux vapeurs (3 et 3), que leur quantité est supposée rester la même, c’est-à-dire, que cette quantité n’est ni augmentée par la vaporisation d’une nouvelle portion de liquide, ni diminuée par la condensation d'une portion même de la vapeur.

D’après ces données, la formule générale du n° 202, qui sert à calculer la résistance des fluides, deviendra (118), pour Tcau ordinaire,

R = 1000 AAH = * AV’ = 50,978 AAV’ kilogr.,

«'t,pourTair à 12° et 73*,

= 1,2267 AAH = AAV’ = 0,06283 AAV’ kilogr.,

ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque • cas particulier.

212. Exemples concernant la navigation des bateaux sur les canaux et les rivières. Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, est à peu près telle que l’indique la fig. 36, en plan, coupe et élévation.

Supposons quo sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de Venu ou de la floltaûon, soit de S*" ; que la profondeur du fond au-dessous do ce niveau, ou le tirant d’eau, soit de 0"‘,70 ; l'aire A, de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que S"” X 0'">7 = 2'"'’, 10, soit l'"'>,60 la valeur exacte do cette aire. Les bateaux dont il s’agit ont une longueur qui est environ S à 6 fois leur plus grande largeur; s’ils étaient sans proue ni poupe, . ou que ce fussent de véritables prismes terminés par des plans perpendiculaires à leur axe, la valeur du multiplicateur A serait (203) environ 1,10, attendu qu’ici le bateau est censé se mouvoir daus le fluide, et que la longueur AB de la partie plongée se trouve comprise entre 3 fois et 6 fois la largeur moyenne. Mais, comme il y a une poupe, on doit d'abord (106) diminuer ce nombre de de sa valeur, c’est-à-dire de 0,11, ce qui donne A = 0,09 ; en outre, le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées par des demi-cercles avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d’environ ^ d’angle droit et raccordé pareillement avec le fond, on peut croire que la résistance nu la valeur de A se trouve réduite, au moins, à j de 0,99 ou à 0,33. Nous prendrons donc définitivement A = 0,33 pour les bateaux dont il s’agit; de sorte que la résistance aura (211), pour valeur,

R = 80,975 X 0,33 X l'SO X V> = 25,20V’ kilog.

Si le bateau se mouvait dans un canal qui eut moins de 5 à 6 fois sa propre largeur, il faudrait augmenter un peu le multiplicateur 25,20, conformément à ce qui a été expliqué à la fin du n° 208 : le contraire ayant lieu ici, nous conserverons ce nombre tel qu’il est. Supposant donc que le bateau se meuve, dans une eau tranquille, avec la vitesse de l" par seconde, on aura

Y’ = 1“ X 1” = et R = 25S20.

La quantité de travail que devraient dépenser directement, par seconde, des hommes ou des chevaux, pour faire avancer le bateau avec celte vitesse, serait donc de 25k,20 X 1”' = 25'“”,20 : c’est ce qui aurait lieu, à peu près, dans les canaux intérieurs de la ville de Metz, parce que la Moselle n’y a qu’une vitesse insensible. Mais, s’il s’agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de l’eau serait de 1"',2 par exemple, en faisant toujours avancer le bateau de 1°* pur seconde par rapport aux rives, ce bateau étant

aOi MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

choqué (199) avec la vilette relative de 1”',2 -|- 1™ = 2“*,3 œ V, la résistance deviendrait alors 35,20 X X 2”, 2 = 133^ environ, et la quantité de travail à dépenser , par seconde, aurait pour valeur 122‘‘". Si, nu contraire, le bateau devait descendre le même courant avec la vitesse propre de ce dernier, il n'y aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle aussi bien que R; mais, s’il devait descendre avec une vitesse de S", 20 par seconde, la vitesse relative étnntS^.SO - — 1"',2 = 1“, la résistance et le travail seraient, comme dans le i)reiiiicr cas, égaux à 35'‘,3, et 25'*™, 2 respectivement ; par quoi l’on voit toute l’influence qu’exerce la vitesse relative du corps et du fluide.

Ces chiffres niontrent aussi combien le transport des marchandises, sur bateaux, est désavantageux quand il s’agit de l’effectuer, avec une certaine vitesse, par l’entremise des canaux et des rivières ; car, à circonstances égales d’ailleurs, la résistance croit comme le carré de la vilette relative, et le travail dépensé par seconde comme le produit de ce carré parla vitesse absolue du bateau ou du moteur. Plus le canal sera petit d’ailleurs par rapport à la section du bateau, plus la résistance sera considérable ; enfin cette résistance et par conséquent le travail, augmenteront proportionnellement à la largeur du bateau cl au tirant d’eau.

Ce tirant d’eau se calcule aisément, à l’avance, quand on connaît le poids du bateau et de la charge qu’il contient. En effet, nous savons (coy. la note de la p. 2A) que ce poids total égale celui du volume de fluide déplacé par le bateau, ou 1000^‘‘ multipliés par ce même volume qui sera ainsi connu , et d’où l’on conclura, d’après la forme donnée dé la Carène du bateau, la hauteur delà flottaison au-dessus du fond, ou le tirant d’eau.

A l’inverse, on calculera aisément la charge du bateau quand on connaîtra son propre poids , et qu’on se donnera la hauteur dont son fond doit être abaissé au-dessous du niveau de l’eau. Supposons, par exemple, que, dans le cas ci-dessus, le poids de toute la charpente du bateau soit de 16000^’*, et que la longueur réduite do sa carène soit de 25°* vers le milieu de la partie plongée ; sa section d’eau A, étant d’ailleurs d’environ l““i,6, le volume total du fluide déplacé sera 1"'L6 X 25 = 40"', et son poids 40000^'' ; retranchant, de pe nombre, les 16000'‘quepèse le bateau, il restera 34000'* pour le poids de la charge utile qui correspond au tirant d’eau de 0** ,70, supposé ci-dessus.

Digilized by CloogU

218. Exemples cmcemant les volants à ailettes. Les tournebroclies et les horloges , qui reçoivent le mouvement par la descente de contre-poids, sont armés, comme on sait, de volants .à ailettes planes et minces, fixées à l’extrémité de tiges ou de bras montés sur des axes de rotation; ces ailettes, en se mouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, une résistance qui croit rapidement avec la vitesse que leur imprime le poids moteur par l'intermédiaire des rouages, et servent ainsi à régulariser le mouvement, ou à empêcher qu’il ne s'accélère indéfiniment comme cela aurait lieu (113 et suiv.) si aucune résistance ne s’opposait à la descente du contre-poids, ou si celle que lui opposent directement la broche, les rouages , etc. , était constamment au-dessous de Faction qu’il éprouve delà part de la gravité.

Soit A = 0“,08 X = O^’.ÜOS Faire de la surface de la

palette, on aura, dans le cas jiréscut (208), lu palette étant à peu près perpendiculaire à la direction du chemin qu'elle décrit , k— 1,A pour des vitesses comprises (210) depuis 0 jusqu’à 3"’,

k r= 1 = Ij'iS pour des vitesses comprises depuis 3"' jus-

qu’à 8 mètres, k == l,A-24^ = 1,S0, pour des vitesses comprises * ü,oU

depuis 5 jusqu’à 10”, etc. Supposons, par exemple , qu’ayant calculé la vitesse d’après le nombre des révolutions du volant, autour de son axe, en une minute, on ait trouvé V = A” ; on aura donc.

à peu près, k= 1,A8,

et (211) R = 0,0628 X X 0”S003 X ■4"’ X A” = 0^004A,

résistance assez faible, mais qui deviendrait (210)

^0SAA = 0SA8,

ou environ 109 fois plus forte, si la vitesse était de AO mètres au lieu de A", et qu’il faudrait doubler s’il y avait deux ailettes do même surface, octuplerau moins (203) si, en outre, les dimensions de ces ailettes étaient elles-mêmes doublées, etc.

21 A. Exemples relatifs au mouvement des moteurs animés, etc. On voit bien maintenant pourquoi la résistance de Fair peut être négligée toutes les fois que les corps, sans avoir une étendue do sur-

MÉCANIQUE INDÜtiTRlELl.E.

face excessive, ne possèdent pas une très-grande vitesse (90). Ainsi, par exemple, la surface de la projection verticale d’un homme ordinaire debout, étant au-dessous de 0”,4 X 2" = 0"*’,80, et le multiplicateur k de la résistance qu'il éprouve, étant nécessairement au-dessous de celui 1,20 qui convient (208) à un prisme très-peu allongé dans le sens du mouvement, puisqu'ici le corps est arrondi en avant et en arrière , la résistance sera aussi moindre que 0,0628 X li20 X 0,8 V’ = 0,06 X V’ kil. Si donc la vitesse de cet homme était de 1°* par seconde, la résistance qu’il éprouverait, de la part de l’air , serait moindre que 0^,06; pour 2" de vitesse, elle serait moindre que 0,06 X 2 X 2 =0^,24; par conséquent aussi le travail (71), dépensé par cet homme pour vaincre, à chaque instant, une telle résistance , serait au-dessous de 0'‘'”,06 dans le premier cas, et au-dessous de 0^,24 X 2“= 0'‘“,48 dans le second. Mais, si la vitesse était de 6"*, ce qui est à peu près la plus grande vitesse qu’un coureur puisse s’imprimer d’une manière un peu soutenue, la résistance s’élèverait (210) à plus de

0‘,06 XO” X8"’=2'‘,16,

et le travail à plus de 2'‘,16 X O” = 12^“, 96; ce qui est déjà considérable par rapport au travail que peut développer habituellement un homme, même robuste, et nous fait ainsi découvrir l’erreur de chififres du n» 90 où l'on a écrit 8 à 8'" an lieu de 1 à 2®.

Les chevaux ne présentent pas , à l’action directe de l’air, une surface beaucoup plus grande que celle de l'homme; et comme leur forme est plus allongée, mieux disposée en tous points, la résistance (206) égale an plus 0,04 X kilogrammes ; elle est donc très-faible pour une vitesse de 1 à 2 mètres, c’est-à-dire pour celle du pas et du trot ordinaires; mais il eu est autrement pour la vitesse de course qui, dans certains cas fort rares il est vrai , peut s’élever jusqu’à 12 et même 14°'; en effet on a alors

R=0,04X1’*XU = 7S84, .

et le travail par seconde =7*‘,84 X 14m= 110^® ; ce qui est énorme et approche du double do la quantité de travail que fournissent ordinairement (146) les bons chevaux de rouliers marchant au pas. Aussi les coursiers les plus agiles ne peuvent-ils soutenir un semblable travail pendant plus de 8 à 10 minutes consécutives, tandis que le cheval do roulier soutient le sien, sans se fatiguer à beaucoup près

autant, durant au moins huit heures chaque jour, c’est-à-dire pendant 48 fois autant de temps que celui dont il s'agit. Nous avons donc eu raison de dire (90 et 148) que la quantité de travail extérieur que produisent les moteurs animés, quand ils s’impriment la plus grande vitesse possible, peut être négligée par rapport à celle qu’ils développeraient si la vitesse était moindre. On doit aussi sentir con^^ien il importe , dans les courses rapides, de diminuer, par des moyens convenables , l’étendue des surfaces qui reçoivent le choc de l'air ; de donner à ces surfaces la forme la plus avantageuse, et d'éviter surtout (204) que des draperies et ornements quelconques, mal ajustés au corps ou qui ne flotteraient pas librement, viennent présenter , ainsi que le font les voiles de navires, constamment leur concavité à l’action du courant.

On ne s’étonnera pas d’ailleurs que les ouragans, dont la vitesse surpasse quelquefois 40*° par seconde, puissent renverser des arbres et des maisons. Considérons, en effet, un mur de jardin qui aurait 4™ de hauteur sur 12”' de longueur, et qui serait choqué directement ou perpendiculairement par le vent, avec une telle vitesse : on aura A = 48'"’ et 4 = 2,80 au moins (203 et 210), attendu qu’on peut ici négliger l’épaisseur du mur relativement à l’etendue de sa surface. Par conséquent (21 1) la résistance

R=0,068 X 2,6 X -tBV' = 7 ,86V'= TSBeX-iO-" X ■tO'" = 1 2096''“.

Si, au lieu de la résistance de l’air, on considérait celle de l’eau dont la densité est environ 816 fois plus grande (211), tous les nombres ci-dessus devraient être multipliés par 816, puisque la résistance R est, à circonstances égales, proportionnelle à la densité P du fluide.

216. Calcul de la résistance de l’air contre les boulets de canon. Pour deniier exemple , nous considérerons un boulet sphérique, en fer fondu, de 0'°,16 do diamètre; la surface de projection A d’un tel boulet sera (177) de 0'”,0176 mètres carrés, son volume de ^ 0"',0176 X 7 = f 0,18 X 0,0176 = 0'"', 00176, et son

poids (35) de 7207'' X 0", 00176 = 12'', 68. Ce poids surpasse un peu celui qui a été adopté au n° 176 ; mais on doit considérer qu’il ne s’agissait là que d’un à peu près, et que la densité de la fonte de fer n’est pas une grandeur bien constante ni parfaitement déter-

minëe pour chaque circonstance particulière*. D’après ces données, la résistance du boulet, dans l'air atmosphérique dont la température est d’environ 12° et la pression 76°, a (211), pour mesure générale, R = o'o6283 X 0"%0176 X = O.OOlUV* kilogrammes , dans laquelle k prend les difiërcntes valeurs indiquées dans la table du n° 210, selon celles de la vitesse V. ^

Supposant, par exemple, la vitesse de 1", on aura k= 0,89 et R = 0,0011 X 0,89 X 1 X 1 = 0S00063. Pour V = 2 , on aurait * = 0,6 et R = 0,001 1 X 0,8 X 2 X 2 = 0'‘,00264 ; continuant ainsi, on pourra former cette table;

vit. 2">, 4m, 6m, 8m, 10», ISm, 14m, 16m, 18m, S0“

Rés. 0k003, OkOll, U‘025, 01^045, 01072, flklOS, fllllO, 0M83, 0k235, 0k293 VU. 2.')», 50m, 75m, 100m, 125m, 150», 200m, 300m, 400m, 500m, 600m

Rés. Qkiei, lk898, 4k33, 7k81, 12k55, 18kf, 3tk, 79k, 174k, 281k, 400k

On voit, par cette table, qu’à 128 mètres de vitesse, l’effort de l’air, contre le boulet, égale environ le poids de oe boulet; qu’à 200°*, il en est près du triple ; qu’à 800 mètres de vitesse, la résistance surpasse 22 fuis ce même poids. Si le diamètre du boulet n’était qtie le f de 0"',1S ou 8°, la surface A qu'il présente à l’action de l’air, serait réduite au neuvième de sa valeur relative à 0'”‘',0176 ou à0“'*,00198; par conséquent, à égalité de vitesse, la résistance serait aussi réduite au neuvième de la valeur qu’indique la. table. Si ce môme diamètre n’élait que le j de 0"‘,18 ou 3°, la résistance serait réduite au TJ de sa valeur. Le boulet étant toujours en fonte de fer, son poids diminuerait dans une proportion bien plus grande encore : il serait seulement 12**, 68 = 0k,469 pour le diamètre de 8°, et

TTj 12k, 68 = 0k,1014 environ pour celui de 3°.

Ces circonstances tiennent évidemment à ce que les volumes et les ^otds des sphères homogènes (33) sont entre eux comme les cubes des diamètres, et que les surfaces de leurs grands cercles, représentées par A, sont simplement entre elles comme les carrés de ces mêmes diamètres. Enfin, si , nu lieu d’ètre en fonte de fer, les boulets étaient en bois, ou en toute autre substance inoing dense, leurs poids diminueraient en conséquence, mais la résistance de l’air resterait

* Il paraîtrait que la densité dea boulets français , tell qu'on les fabriquait autrefois , est seulement de 7166 liil., le mètre cube, tandis que celle dea boulets anglais aérait 7433k, environ plus forte ( voyei le Mémoire déjà cité n° aoo ) ; ce qui doit tenir

en partie an mode de coulage et de fabrication.

là même pour un même diamètre, p.irce qu’elle ne dépend que de la forme et de l'étendue de la surface du corps.

atsisTAsce des eluides ivfabfaits et indéfinis, ou pénétration des CORPS DURS DANS LES CORPS HODS.

216. Considérations préliminaires. fiom avons déjà dit (200, art. 2“) ' ce qu'on devait entendre par les mots fluides imparfaits; nous avons aussi prévenu que leur résistance ne suit pas la même loi que celle des fluides d'une mobilité parfaite, et que les expériences connues portent à la considérer coiiimc tout à fait constante à partir de l’instant où le mobile est convenablement enfoncé dans le milieu; enfin nous avons ajouté que celte meme résistance parait être, notamment pour les corps durs sphériques, proportionnelle à l'étendue de la projection transversale CD (lîg. 45) du corps sur un plan perpendiculaire au mouvement; proposition qu'on peut aussi admettre, en attendant de nouvelles expériences, pour les premiers instants de l'enfoncement d’un corps dur dans un milieu résistant qui serait terminé par une surface perpendiculaire à la direction du moiivcincnt, pourvu qu’on ne prenne que la projection transversale de la porlion de surface déjà enfoncée dans ce milieu.

Il est certain que ces propositions n’auraient plus lieu pour des corps quelconques, notamment pour des cylindres ou des prismes très-allongés dans le sens du mouvement, parce que l’adhérence et le frottement sur les faces latérales acquerraient une certaine influence (200, 1°); nous avons déjà eu occasion d’en faire la remarque dans le n" 167, et c’est ce que nous démontrerons, d’une manière plus positive, quand nous en serons venus à l'examen particulier de la résistance des outils et de la forme la plus avanlagcuse à leur donner, selon les circonstances; nous prétendons seulement ici rapporter les résultats principaux des expériences faites sur la pénétration des boulets dans diverses substances consistantes, afin d’offrir de nouveaux exemples de l’application des principes contenus dans les Préliminaires et concernant ce mode d'action des forces.

JL

217. Formule pour calculer la résistance. Nommant, en général, R la résistance totale exercée, par le milieu, contre le mobile, sup-

208 MÉCANIQUE INDUSTRIKLEE.

posé toujours assez dur pour ne pas être déformé sensiblement pendant toute la durée de la réaction ; appelant d'ailleurs d son diamètre; celte résistance R, calculée pour un même milieu compressible et homogène, sera donc proportionnelle à

* X étant le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre; et, en raisonnant comme au n° 202 , un trouvera que , pour avoir sa valeur absolue dons chaque cas particulier, il faudra encore multiplier ^ X d ' par un certain facteur k relatif ici au degré de dureté ou de consistance du milieu, et qui représentera , en kilogrammes, la pression sur l'untVé de lurface de la projection transversale du corps, par exemple sur 1 mètre carré, d étant exprimé en mètres linéaires, ou sur un centimètre carré, d étant exprimé en centimètres linéaires.

On remarquera en outre que, si le milieu est tellement consistant que le passage du corps ne se referme pas immédiatement en arrière à mesure qu'il s’y enfonce, ce corps sera de plus pressé, dans le sens du mouvement et par l'air atmosphérique, en vertu d'un efl'ort mesuré (37) par environ ^ r d' X 10330 kilog., d’ étant ici estimé en mètres carrés, ainsi que nous l'admettrons dans tout ce qui va suivre. Mais la valeur de cet effort est, comme nous le verrons à l'instant, tout à l'ail négligeable par rapport à la résistance qu'opposent la plupart des substances cohérentes au mouvement des corps ; c’est pourquoi nous nous dispenserons d’en tenir compte dans la question dont il s’agit. Nous pourrons donc prendre, pour base de nos calculs et en négligeant 'd'ailleurs les effets qui se produisent avant l'instant où la résistance a atteint sa valeur maximum, ce qui sera permis toutes les fois que l'enfoncement total excédera 8 à 10 fois au moins le diamètre du projectile, nous pourrons, dis-je, nous servir de la formule générale

R = *Xi»'‘i’ = ï**'d’= 0,7884 id\

218. Béaultal» des expériences connues. Il a été fait à diverses époques, sur les enfoncements des projectiles en plomb et en fonte de fer, dans des substances de différentes natures, des expériences qui malheureusement ne sont pas encore assez nombreuses ni assez précises, du moins quant aux milieux très-consistants tels que les

APPI,1C.\ÏI0NS ET DÉVELOPPEMENTS. 2

métaux et les maçonneries , ponr permettre de déterminer, avee une exactitude suflisante, la valeur dn multiplicatenr k qui représente la dureté des milieux. Nous rapporterons néanmoins ici, à cause de leur grande utilité, quelques-unes des valeurs qui ont été calculées avec beaucoup de soin, par M. le chef de bataillon du génie Augoyat, dans son important Mémoire cité page 190, en observant que celle qui concerne les balles de plomb n'est applicable qu’autant que la réaction ne serait pas suiBsante pour déformer ces balles pendant la durée de l'enfoncement ; car leur aplatissement consomme une partie de la force vive qu'elles possédaient avant de pénétrer dans le milieu, et fait croître, en outre, la résistance tout au moins en raison de l'accroisse^nt de la surface variable, qui en résulte. Enfin, nous devons aussi remarquer qu'il s’agit de milieux qui ont de très-grandes dimensions par rapport à celles des projectiles.

Désignation du milieu, etc. Résistance pour 1 mètre

■' ’ carré de surface.

Terres légères rassises depuis loactcmps; balics de kil. •im.

plomb non déformées, vitesse de 200>", . . . k = 2002000 — 193,8.

Terres de parapets anciennes; boulets de fer, . . k —■ 1900000 — 183,9,

Mêmes terres nouveliement remuées, et damées, k= 1520000 — 147,1,

Chêne très-sain et très-dur, k = 5200000 — 503,4,

Vieux chêne passé, * = 4500000 — 435,6.

Orme sain et dur, dans la direction des fibres , . . A' == 4930000 — 477,3.

Bois de sapin , k = 2860000 — 276,9.

Maçonnerie de briques, . , , k =: 9040000 — 875,1.

Maçonnerie en moellons avec parements de pierres dures, ' «* = 13000000 — 1290,2.

Ce dernier résultat est une réduite ou moyenne entre plusieurs antres et sur laquelle il reste encore beaucoup d’incertitude; il semble, en effet, que, dans do pareils cas, il conviendrait d’estimer séparément la résistance pour le parement dur et pour l’intérieur des maçonneries, attendu que les circonstances du mouvement changent nécessairement dans le passage du projectile, d’un milieu dans un autre. On pourra néanmoins l’admettre en attendant de nouvelles expériences plus précises ; et , dans tous les cas, les résultats rapportés dans le tableau serviront à donner i^e idée de la résistance ou de la dçreté comparée de certains corps. Nous verrons bientôt d’ailleurs comment ces mêmes résultats ont pu être déduits ^

«KC.tX. laDl'SIR. T. J. 14

APPLlCAÏlOiNS ET DÉVELOPPEMENTS. 211

environ ; par conséquent son poids aura aussi pour mesure la quantité Pi étant la densité (35) de la matière qui le compose. Enfin nous aurons R = iX T îrd’; donc l’égalité ci-dessus revient , en divisant chacune de ses parties par le double 2 . ^ T d" de la surface du grand cercle de la sphère, à celle-ci ,

± dDV’ = kEg ; d’où E = ^ V' ,

dans laquelle g = 9"*, 8088, comme on sait.

Considérant, par exemple, le boulet de 24, du n° 175, qui est animé d’une vitesse de 500°*, et supposant qu’il s’agisse de connaître son enfoncement dans le bois de chêne dur, on aura (35 et 218) , d=0“,15, D=7200\ V==500“, ÿ = 9“>,81 et * = 5200000^“, en nombres ronds, et par conséquent.

E — X 7^00** ^ (300“)’= ^ ^ *>5 — Im 7 g

Telle serait donc, à peu près, la profondeur totale de l’enfoncement du boulet dans le bois de chêne.

S’il s’agissait de calculer la profondeur de la pénétration relative à l’instant où le projectile aurait perdu une portion quelconque de sa vitesse, on la trouverait de même, par la formule ci-dessus, en remplaçai\t V par cette vitesse perdue; carie principe des forces vives (137) s’applique à un instant-quelconque du mouvement.

On conçoit bien d’ailleurs comment M. Augoyat est parvenu à calculer, d’après le résultat des expériences connues , les valeurs du multiplicateur A pour les différentes substances pénétrables; car l’égalité ^ dDV’ = donne aussi

. dDV’ " SEÿ

Jt

de sorte qu’ayant déterminé exactement la valeur de la vitesse V par les moyens qui seront enseignés plus tard, ainsi que les valeurs de la pénétration correspondante et totale E, il est facile d’en conclure celle de A.

220. Principe relatif au volume de l’impression. On remarquera que , puisque la résistance R est proportionnelle à la surface de la projection transversale -J s-d’ du mobile, la quantité de travailE. X E développée, par cette résistance, contre le mouvement, est, de son

cAté, proportionnelle au volume | X '1b l’impretmon ou du vide laissé, en arrière du boulet , a mesure qu’il chemine dans l’intérieur du milieu; car ce vide peut être considéré, à très-peu près, comme un cylindre droit à base circulaire , en négligeant la petite différence [irovenant de la portion hémisphérique située en avant , par rapport au surplus de ce vide. Mais un peut démontrer la proposition généralement en admettant , selon ce qui a déjà été observé ci-dessus (316) et conformément à l’opinion de plusieurs savants, ' qui se trouve également appuyée du résultat de quelques expériences spéciales *, que la résistance demeure proportionnelle à l’étendue de la plus grande section transversale de la surface en contact avec le milieu , même dans les premiers instants de la pénétration.

Il est facile de voir en effet , par un raisonnement analogue à celui dun° 186, que, si le mobile est lancé perpendiculairement à la surface qui limite le milieu , et que e soit , à un instant quelconque, la quantité très-petite dont ee mobile s’y enfonce, et enfin que a suit la moyenne valeur correspondante du la plus grande section transversale de l'impression , a X b sera aussi la mesure du petit accroissement de volume de cette même impression ou du vide formé par le projectile dans le milieu. Mais le petit accroissement du travail, pendant la durée de l’instant dont il s’agit, est Aa X B (173 et 317) ; donc la somme de ces petils volumes, ou le volume total et effectif du vide, est proportionnelle à la somme des quantités de travail partielles correspondantes, ou au travail total développé, dans les divers instants, par la résistance variable du milieu, contre le projectile.

Le même raisonnement serait d’ailleurs applicable aux corps d’une forme quelconque, symétriques par rapport à un axe , et qui seraient mus dans la direction de cet axe, si on pouvait admettre , pour de tels corps, le principe relatif à la loi de la résistance ; ce qui , je le répète, ne serait pÿs exact dans tous les cas.

331. Méthode pour calculer la profondeur et la durée des petites impressions. Eu supposant vrai le principe ci-dessus, pour les corps

* yoÿtZy dacu la nouvelle Architecturê hydraulique de M. de Prony, tom. i, p. 119, et dauA la note (x) de ï Architecture hydraulique de Bélidor, lom. 1, p. nouvelle édition de M. Mavier, uue théorie particulière du chocy d'après D. G. Juan^ savant eapa* 9nol4ui a écrit sur les applicaucoi de la Mécanique à l'art maritime*

Digilized 6y Coogic

sphériques, comme il parKt effectivement l’être alors, on voit qu'on n’aura pas beaucoup plus de difficulté pour calculer la profondeur de l’impression , dans le cas où le projectile pénétrerait très-peu dans le milieu résistant , que dans celui où il s’y enfoncerait d’une quantité très-appréciable, et telle qu'on pût considérer sensiblement le volume du vide comme un cylindre de même section que la projection transversale du mobile, et ayant pour longueur la profondeur totale de l’impression.

En effet , si nous nommons B le volume de cette impression , le travail correspondant aura pour valeur AB ; de sorte que, selon le principe précédent, on aurait aussi

P PV’

- V> = 2AB: d’où

formule qui donnera le volume de l’impression maximum relative i une vitesse initiale V du projectile, et d’où l’on déduira ensuite aisément la profondeur de la pénétration totale par les principes delà Géométrie élémentaire; car on apercevra tout d’abord si le volume B surpasse ou non le volume de la demi-sphère antérieure du projectile ou 3 -d’. Dans le premiercas, B se composera d’une portion cylindrique, de diamètre d, et de l’hémisphère qui la termine; retranchant donc le volume de cette hémisphère ,.de B, on aura le volume et par suite la longueur delà portion cylindrique; augmentant celte longueur de 7 d, on obtiendra la profondeur totale de renfoncement. Dans le second cas, l’impression se réduira à un segment sphérique ayant une seule base et dont la flèche se calculera, par tâtonnement , selon les règles de la Géométrie : c’est-àdire qu’on fera diverses suppositions sur la valeur de cette flèche, et qu’on calculera les volumes des segments sphériques correspondants pour les comparer au volume B de l’impression, qui a été trouvé par les premières opérations.

Considérons, par exemple, le boulet de 24 dont il a été question ci-dessus, et supposons qu’il soit lancé avec une vitess^ de 280°' seulement , dans le même milieu ; on aura , en supposant P = 12‘‘ comme au n° 17S, ^

19"’,62XS200000k 3,27X82000 827X26

Lu volume de la sphère entière du projectile a été trouvé (215)

aii MÉCANI^DK INDLS’J'RIKLLE.

de 0'"'’, 00176, lequel est beaucoup au-dessous de la valeur de B; retranchant donc, comme nous venons de le dire, 4 0™', 00178 ou 0““, 00088, deO“°,0073S, le reste 0“', 008-47 sera le volume de U partie cylindrique de l'impression ; divisant ensuite ce volume par la surface 0”’,0176 du cercle de base de ce cylindre (177) , on obtiendra, pour sa longueur, 0°*,368 , à quoi il faudra ajouter la moitié du diamètre 0"*,18 du boulet, pour obtenir lu profondeur totale de l’enfoncement, ce qui donne 0°*,-443.

Si le volume B de l’impression eût été, au contraire, moindre que 0°“=, 00088 , il eût fallu opérer par tâtonnement ainsi qu’un l’a expliqué; mais nous ne saurions nous arrêter ici à donner un exemple de ce calcul qui ne présente guère plus de difficulté, et qui sera principalement utile dans les cas où le projectile sera animé d’une faible vitesse, ou viendra choquer directement un corps dont la dureté sera comparable à la sienne propre, tel que du fer forgé, de la pierre, etc. Ce même calcul servira aussi à déterminer, d’après des expériences bien faites, la résistance i du milieu sur l’unité de surface : il ne s’agira que de mesurer, avec une grande précision, le volume B de l’impression pour chaque cas , amsi que la vitesse V du projectile à l'instant où il va frapper normalement la surface qui limite extérieurement le milieu.

Quanta la durée del'inqiression, il faudrait , pourl'ubteuir, calculer séparément sa valeur pour l’intervalle où la résistance R varie, et pour celui où cette valeur reste constante. Ce dernier cas ne présente pas de difficulté, ainsi que nous l'avons déjà observé (S19), et l'antre se traiterait par la méthode du n° 134 ; mais, comme nous aurons occasion, un peu plus loin, de résoudre des questions absolument analogues , nous nous contenterons d’y renvoyer le lecteur

* On trouve, par les principes de» calculs transcendants, que , quand le volume total de Pimpression c»t très-petit par rapport à celui du projectile, ce qui arrive dans beaucoup de circooilatfccfi, on a, e» nommant a la profondeur de l'impression, à un instant qui répond au nombre t de secondes écoulées depuis le commencement de la rcactioo et à la vitesse v conservée par le projectile, on a, dis-je, en conservant d’ailleurs aux autres lettre» la mémé signification que dans les numéros précédents, et nommant a* le rapport donné de à 6Jt^,

Y «Vy v‘f. a*

JtKd

d’où il sera aisé de déiluire, soit au moyen des tables connues, soit par une extraction déraciné carrée, la valeur des quantités vou e, quand on se doi^era l'une quelcouque d'entre elles. On aura de même, en nommant T, E la durée et la profondeur totalea;^

APPLICATIONS LT OÉVEIjOI’PKMLNTS.

iVS

223. Observations concernant la dureté du projectile et l’épaisseur du milieu. On ne doit pas perdre de vue que nos calculs supposent au projectile une dureté telle qu’il no change pas de forme, d’une manière sensible, en s’enfonçant dans le milieu résistant. Dans le cas contraire, une portion plus ou moins notable de la force vive, dont il était animé avant son entrée dans ce milieu, serait employée (161 et 218) à produire ce changement de forme ; il arriverait aussi, dans le même cas, que l'aplatissenient du projectile ferait, comme nous l’avons déjà observé, croître la surface, sur laquelle s’opère la résistance et par suite cette résistance ellc-inème , suivant une loi qu’on ne pourrait apprécier sans des expériences spéciales sur la dureté propre de la matière du projectile : ce cas arrive, en particulier, pour les balles de plomb qui s’aplatissent'à mesure qu’elles pénètrent plus avant dans l'intérieur des terres, des bols, etc.; aussi faudra-t-il bien se garder d'y appliquer les calculs ci-dessus, sauf pour de très-faibles vitesses, ou pour des milieux peu résistants.

Nous avons également supposé que l'éjiaisseur du milieu , dans le sens du mouvement, était assez grande pour qu’il ne fût pas traversé entièrement par le projectile; lorsqu’il en est autrement et que ce milieu est limité par deux faces perpendiculaires au mouvement, la force vive du projectile est seulement, en partie, employée à vaincre la résistance de ce même milieu, et celle qu’il en conservé, après en être sorti, sert à le faire cheminer plus avant dans l’air. Connaissant l’épaisseur du milieu et la valeur de k qui lui correspond ,

lie l'impression T

e=aV, dans lesquelles a

5'=9",8o88, vc;3,i4i6.

La formule, qui donne T au moyen de a, montre que , quand le volume de la plus grande impression est, comme on le suppose, négligeable par rapport au volume du projectile, la durée de cette impression devient sensiblement indépendante de sa profondeur, ainsi que de la vitesse primitive V du même projectile. Cette conséquence, qui s’étend aisément au choc de deux corps quelconques, qu^d l'impression est infiniment petite, est analo* gue à celle qui concerne les faibles tSÉÉjjpations du pendule, dont il sera fait meotion plus tard,etdontladurée est également Sépen lantc dePamplilude de Tare parcouru, etc. La valeur de T montre d'ailleurs que la durée de l'impression est d’autant plus petit«‘*‘ que la résistance^ou la dureté de la matière du corps choqué, représenté ici par k. est plus grande, conrormémenl à ce qui a dq^ été remarqué n® i68. Dans la réalité et qu elle que aoit la petitesse de l'impression, sa tluréc est toujours un peu moinilre que ne I indique la formule; de sort^^que celle-ci ne donne véritablement qu’une Umilc supérienre de cette durée, d'autant plus exacte que l'impression est plus faible.

le

MÉCANjyiiJi INDUSTRIELLE.

on trouvera aisément la force vive qui reste au projectile : elle sera égale (187) à la force rite primitive, diminuée du double de la quantité de travail qui est relative à l’épaisseur traversée, et qui a pour mesure \e produit de la résistance k, sur l’unité de surface, par le volume total de l’impression , formant ici un véritable cylindre.

DES LOIS DE t’iMPHESSIOa DANS LES DILIEUX TBÈS-COaSISTADTS ST d’dSE

etesdde limites.

228. Influence de l’inertie et de la flexibilité des milieux dont le mouvement est gêné par des obstacles. Nos calculs supposent que la masse du milieu soit très-grande par rapport à celle du projectile, et que, si ce milieu compose un corps solide peu épais, tel qu’une planche de bois, cette planeho ne fléchisse pas, d’une manière sensible, pendant l’impression. En effet, dans le cas contraire, une portion de la force vive primitive serait employée .à vaincre l'inertie des molécules du solide ou à produire sa flexion ; cette portion aurait pour valeur (07 et 138) le double du travail que devrait développer, dans le sens du mouvement du projectile et au point où il agit, une force de pression quelconque pour amener la pièce au même degré de tension Anale. On en tiendra donc aisément compte quand on. aura observé cette flèche par expérience, ou qu’on l'aura déterminée à l'aide du calcul , ce qui n’est nullement impossible comme nous le verrons plus tard, puisque nous connaissons ici la loi que suit la pression. Quant à la portion de la force vive du mobile, qui est employée, dans le même cas, à communiquer une certaine vitesse aux molécules du milieu, elle sera d’autant plus grande que la masse de ce milieu sera moindre, et que son mouvement sera moins empêché par des obstacles étrangers. Nous verrons bientôt comment on peut calculer cette portion de force vive quand le milieu a la liberté do se mouvoir en tous les sens ; examinons d’abord ce qui arrive dans le cas où son mouvement général est empêché par quelque obstacle solide, et lâchons de démêler le rôle que jouent séparément l’inertie et la force de ressort des parties.

Supposons, par exemple, que la planche ci-dessus qui constitue le milieu solide, soit appuyée, à ses extrémités, contre deux poteaux invariables; elle s'opposera donc au mouvement d’une balle qui s’y enfoncerait, Aon-seulement par sa force de ressort, mais aussi par l'inertie de ses différentes parties; néanmoins, ”^omme à l'instant

Digitizod by C

APPLICATIONS KT ÜÉVKLÜPPEMENTS.

où l'enronceinent de la balle cesse, la flexion est aussi n son maximum et la vitesse nulle, l’inertie des parties de la planche qui, dans les premiers instants delà flexion , a absorbé de la force vive , a dû ensuite (lAl) et lors dii ralentissement de la vitesse, restituer cette même portion de force vive; de sorte que, dans la réalité, il n’y a eu, à l'instant dont il s’agit, de consommée que la quantité de travail nécessaire pour produire l'enfoncement et la flexion.

La force vive, primitivement possédée par la balle, se trouve donc égaler le double de cette quantité de travail , que , par hypothèse , on sait estimer ; car les poteaux qui sont des masses inébranlables et très-grandes, par rapport au projectile, n’ont, par cela même (160 et 162), rien ou très-peu absorbé. Ainsi on pourra encore , pour l’instant dont il s’agit , calculer l’enfoncement total, qui, d'ailleurs, sera nécessairement un peu moindre que dans le cas où la planche serait appuyée solidement dans toutes ses parties, ou serait suffisamment épaisse pour ne pas fléchir.

224. Influence de l’élasticité du milieu. Si le ressort de la planche ci-dessus n’a pas été détruit par suite de sa flexion générale , cette planche retournera en arrière , et exécutera , autour de sa position primitive , une suite d’oscillations (19) de plus en plus petites , et qui finiront bientôt par s'éteindre , attendu les résistances de toute espèce qui s’opposent à ce mouvement. Si donc la balle s’est telle- 'ment enfoncée dans la planche , que la compression et le frottement qu’elle y éprouve , suffisent pour l’empêcher d’en sortir lors du mouvement général de retour, elle exécutera une série d’oscillations avec cette planche ; de sorte qu'au bout d’un certain temps, la force vive employée à mettre enjeu la force de ressort de celleci, n’en sera pas moins perdue inutilement pour l’impression. Je dis inutilement, bien qu’il suit évident qu’à l’instant où la planche revient en arrière avec une vitesse croissante , la bulle, qui était au repos , résiste par son inertie et reçoit , à son tour et de la part du * milieu , un choc qui tend a l’y enfoncer un peu plus qu’elle ne l’était d'abord ; mais , comme la vitesse rétrograde de la planche diminue de plus en plus, et que la balle résiste à ce ralentissement (66) en vertu de son inertie , il arrive bientôt aussi qu’elle tend à s’en\éparer avec la vitesse contraire qu’elle a acquise ; or , si son inertie est , à cct instant , vaincue par le frottement , etc. , qu’elle éprouve de la part du corps , elle a dû l’être aussi dans la

318 MÉCANiyUt; INUUSTHIELLK.

première période du retour ; de sorte qu’eu réalité, l'enroncenient n’n pas dû augmenter; et attendu qrie les mêmes raisonnements s’appliquent aux oscillatinns suivantes , il est bien vrai de dire que le travail, recèle jiar la force de ressort de la planche , a été consommé sur des résistances étrangères à l'impression. Ainsi donc , quoique le milieu soit plus ou moins élastique, la force vive possédée d’abord par la balle, se trouvera partagée, à peu près, comme on l’a dit n° 323.

Quand , an contraire , la balle se détachera de la planche , lors du mouvement de retour, co qui arrivera généralement toutes les fois que l’impression sera peu profonde , eette balle sera , conformément à ce qui a été admis aux n°* 97, IIS etsuiv., projetée en arrière avec une certaine vitesse ; toiilefois la force vive correspondante sera une bien faible portion , non-seulement de celle que possédait d'abord la balle, mais mémo de celle qui a été absorbée par la flexion générale de la planche ; car le projectile quitte cette planche précisément à l’instant où elle a acquis sa plus grande vitesse de retour, et où elle a ainsi converti , en force vive et pour son propre compte , la majeure partie du travail qu’avait absorbé sa force de ressort.

On peut donc aussi aflirmer que l’accroissement de l’impression , résultant du choe en retour, est également une quantité très-faible ; de sorte qu'on pourra, dans bien des cas, admettre que la foret vive initiale du projectile te compote seulement du double de la quantité de travail qui répond et à la flexion générale et au volume de l’impression, comme dans le cas où la planche est sans élasticité (333). Celte relation servira d’ailleurs à calculer la profondeur de l’impression quand on sera certain que cette impression persiste, ou que l'élasticité du milieu a été complètement détruite dans l'endroit même où elle s’est opérée; autrement, en e£fet, la vitesse restituée à la balle pourrait être très-appréciable, et sa force vive très-comparable à sa force vive primitive.

335. Conclusions relatives à la pénétration des milieux flexibles retenus par des obstacles. On voit , par l’examen qui précède , que la force vive primitive du projectile sera composée , dans toua les cas, et de celle que conserve ce projectile après le choo« et. du douille de la quantité de travail qui a été absorbée tant pour produire l’impression persistante , que pour imprimer à la planche la

vitesse et la flexion qu'elle conserve è l’instant où elle est quittée par la balle. Or l’expérience prouve que la vitesse do retour de la balle est généralement très-faible par rapport à celle qu’elle possédait d'abord , si ce n'est quand cette derniere est elle-même fort petite, et que la matière des corps qui se choquent est suffisamment roide et élastique pour que l'impression maximum soit, pour ainsi dire, insensible; ce qui n'est pas le cas que nous avons spécialement en vue ici. ,

On peut donc arlmetfre généralement que la majeure portion de la force vivo que possédait primitivement le projectile , a été consommée effectivement , soit à produire l’enfoncement du milieu ou l’aplatissement de ce projectile , soit à infléchir ce milieu d'une manière permanente, s’il est dépourvu de l’élasticité nécessaire pour reprendre sa forme primitive , soit enfin a lui imprimer, dans le cas contraire, des oscillations ou des vibrations, plus ou moins rapides, plus ou moins étendues.-

Nous sommes entrés dans tons ces détails , afin de bien faire voir comment la force vive se consomme ou se détruit, inévitablement et sans retour, dans la réaction des corps , et pour éclairer, de plus en plus, les principes théoriques que nous avons exposés dans les Préliminaires, nutaminent ceux qui concernent la communication du mouvement, lesquels trouvent des applications nombreuses dans lesquestioiis que présentent la pratique des arts et l’établissement des machines. Ces mêmes considérations serviront aussi à faire pressentir, à l'avance, les résultats de certains phénomènes , ou à apprécier certains effets plus ou moins compliqués de l’action des forces , qu’il serait impossible, en aucune manière, de soumettre à un calcul rigoureux ; et elles empêcheront , tout nu moins , de commettre des fautes graves , quand il s’agira d’établir des projets dont les résultats se fondent sur les données de lu Mécanique. C’est dans cette vue que nous allons ajouter quelques développements à tous ceux qui précèdent, concernant la réaction des corps solides libres.

226. De la pénétration des milieux limités et entièrement libres. Nous avons supposé jusqu’ici que la masse du milieu suit très-grande par rapport à celle du projectile , en sorte qu’il n’en reçoive aucun mouvement sensible , ou qu’ayant des dimensions finies , U soit tellei^nt appuyé , en certains points, contre des obstacles, que les

üao MÉCAMQUE INDUSTRIELLE.

parties voisines de celle où se fait l’impression , prennent seules un mouveiiieiit général de flexion , dépendant, soit de l'intensité de la force de réaction ,,de la pression exercée par le projectile , soit de la durée même de cette réaction ou de la profondeur de l’impression. Or il est essentiel de remarquer que cette flexion aura également lieu quand la pièce choquée sera parfaitement libre de se mouvoir dans le sens du chemin suivi par le projectile, ainsi qu’il arriverait, par exemple , si cette pièce était simplement suspendue à l’extrémité d’une corde très-ilexibic.

En effet, le mouvement serait d’abord communiqué aux parties voisines du point où se fait l'impression , et il ne se propagerait que snccessivement et progressivement aux parties les plus éloignées ; celles-ci résistant donc par leur inertie, et demeurant un instant stationnaires , tandis que les autres ont déjà reçu , en grande partie, le mouvement du projectile et cheminent en avant , il est clair que la pièce doit nécessairement fléchir à mesure que ce projectile s’y enfonce , et fléchir d’autant plus que la masse , et par conséquent l’inertie des parties reculées , sont plus considérables.

Ainsi , dans le cas dont il s’agit , les choses se passent , en réalité, à très-peu près comme si le corps était appuyé contre des obstacles fixes vers les parties éloignées du centre d’impression , si ce n’est qu’inimédiatement après l’instant de la plus grande flexion , et attendu la grande force de cohésion qui unit entre elles toutes les molécules du milieu , la vitesse se trouve propagée du centre ' d’action aux extrémités , de telle sorte que les différentes parties se sont mises en harmonie de mouvement avec la masse du projectile , conformément à ce qui a déjà été expliqué (1S5 elsuiv.). La formule du n" 1S6 donnera donc la vitesse commune dont il s’agit, et celle du n" 161 la portion de la force vive du projectile, qui a produit rini])rcssion , la flexion ou tout autre changement d’état moléculaire éprouvé , par les deux porps , à l’instant où cette impression atteint sa limite.

Par conséquent, si le milieu résistant est sans élasticité ou a perdu sa force de ressort à ce même instant , et que la dureté du projectile soit d’ailleurs très-grande par rapport à la sienne propre,

la portion de force vive „ j — dont il s’agit, et dans laquelle M. reiVl "’J" i\l

* Foyez, plus bas, les s3i tt a3s.

présente la niasse entière du milieu , cette portion , dis-je, se trouvera alors égaler le double de la quantité de travail relative (221) au volume total de la pénétration du projectile dans l’intérieur de ce milieu, plus au double de celle qui a été absorbée pour produire la flexion générale et permanente de ce même milieu.

Cette dernière quantité de travail , qui pourra s’estimer à peu près comme dans le cas ( 228 ) où le milieu est retenu par des obstacles fixes , sera d’ailleurs négligeable toutes les fois que ce milieu aura assez d’épaisseur, assez de roideur, pour ne pas éprouver de flexion générale sensible, et qu’il sera assez mou, par rapport an projectile , pour que ce dernier puisse s’enfoncer , d’une quantité plus ou moins considérable, dans son intérieur, sans en être expulsé ( 224 }.

227. Du cas où le milieu libre est flexible et élastique. Si le corps solide , qui constitue le milieu résistant , conserve , à l’instant de la plus grande flexion , assez d'élasticité pour retourner vers la forme générale qu’il avait avant le choc , sans en avoir assez pour que l’impression soit complètement effacée et que les corps se séparent immédiatement, il se passera des choses absolument analogues à celles qui ont lieu (224), pour le cas où le milieu est retenu fixement par les extrémités ; c’est-à-dire qu’il né reprendra pas instantanément sa forme définitive , et qu’il n’y parviendra qu’après une série d’oscillations ou de vibrations de plus en plus faibles et relatives à sa force de ressort, oscillations en vertu desquelles il arrivera que , tantôt ce seront les extrémités qui marcheront en avant , et tantôt le point où a commencé l’ébranlement.

On voit aussi qu’une certaine portion de la force vive do projectile aura été employée à produire ces oscillations et le mouvement général de transport du milieu, etc. Mais , comme il n’existe point ici d’obstacles extérieurs , le travail absorbé par la flexion aura servi, en majeure partie , et après les oscillations terminées , à augmenter la vitesse générale ou la force vive du milieu ; de sorte qu’on peut admettre que la force vive initiale du projectile se trouve simplement décomposée , après le choc, en deux parties, dont l’une égale le double de la quantité de travail relative au volume total de l’imr pression ou de l’enfoncement produit par ce projectile , et l’autre à la somme des forces vives finales conservées à la fois par les deux corps. ij^l^Cutte somme de forces vives se calcnlant d’ailleurs eneore au

Sïü MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

moyen de la formule du n° 166, puisqu’ici lea corpt sont censés ml pas se quitter après l'impression (189), il en résulte nécessairement

que la perte de force vive (161)