MV

an lien de l'°,76 qui a été trouTé, n° 219, pour le cas où le raonvement du bloc serait tout à fait empêché, soit par suite d’obstacles étrangers, suit parue que son poids serait, pour ainsi dire, infini par rapport à celui du boulet.

Si, à l'inverse, la vitesse U = S", 311 eût été donnée immédiatement, d’a|)rès l’observation du mouvement qu'acquiert le pendule, aussi bien que la ]irofondeur E= 1",66 de l'enfoncement du projectile dans l'intérieur de sa masse, on eût trouvé, à l’aide des mêmes formules, V = 800"' et A = 8200000''. Pur cette manière de procéder, qui a été mise spécialement en usage par Hutton, géomètre que nous avons déjà souvent cité, on obtient donc deux résultats pour chaque expérience, et l’on remplit un double objet d’utilité pour l'avancement de la science.

229. Observations et conséquences particulières relatives à la profondeur de l’impression. Il est essentiel de remarquer qu'attendu que M-[- M' surpasse M', la force vive qui entre dans la première des égalités ci-dessus, sera aussi moindre que la force vive MV’ possédée par le projectile; de sorte que, tant pour ce motif qu'à cause que la pénétration est toujours accompagnée d'une flexion générale qui lui est étrangère, la valeur de E, dans le cas dont il s’agit d'un corps mobile, sera généralement plus faible que si ce corps était appuyé, de toutes parts, contre des obstacles solides; et cela d'autant plus que M M' surpassera davantage M', ou que la masse M' du corps choqué sera moindre par rapport à celle M du projectile. Il est évident, au surplus, que la même conséquence s’applique également au cas où le milieu, sans être parfaileiuent libre, serait appuyé simplement contre des ressorts très-coiuprassibles ; car ces ressorts, en cédant sous la pression qu'ils éprouvent,* absorberaient encore une portion plus ou moins grande delà force vive transmise au ndlieu, portion que, à la rigueur >011 pourrait calculer (97) si l’on savait exactement comment varie, à chaque

instiint, l'énergie de ces ressorts selon leur état de compression ou de flexion.

En partant de ces données, on pourrait arriver à quelques conséquences utiles relativement aux précautions à prendre quand il s’agit de se garantir de l’alteinte des projectiles, à l’aide de masques couvrants ou de boucliers, plus ou moins épais et consistants, destinés à recevoir l'inipression immédiate du choc. On voit, par exemple, que, si Ton tient à diminuer, autant qu’il est possible, leur épaisseur, il conviendra de ne pas les priver de tonte mobilité, de tonte flexibilité, et de les appuyer plutôt par des ressorts très-compressibles, contre le corps à garantir, que par des obstacles ou pièces très-solides; qu’il n’est pas moins à propos de réduire, au minimum, leur masse ou leur poids, en diminuant, à cet effet, l’étendue de leurs dimensions transversales; de sorte que, sous ce rapport comme sous tous ceux qui précèdent, il y aurait de l’avantage à les composer de plusieurs pièces distinctes et entièrement isolées, mais se recouvrant convenablement les unes les autres.

Pour réaliser, en particulier, la condition d’une grande mobilité, on pourrait notamment appuyer les masques, par des ressorts, contre des chars très-légers et très-roulants, ou contre de petits traineaux portés sur des rouleaux évidés, etc. De tels dispositifs pourraient bien ii’ctre pas les plus économiques et les plus avantageux dans tous les cas; mais ils n’en constitueraient pas moins les masques qui, à égalité d'épaisseur et de matière, seraient capables d’offrir le plus de sécurité, le plus de résistance à la pénétration, s’il était permis de supposer d’ailleurs, comme on l’a fait dans les n"* 236 et suivants, que le mouvement sc soit effectivement propagé, et la vitesse en quelque sorte disséminée également, dans toute l’étendue de la masse couvrante, à l'instant même où la pénétration du projectile est arrivée à son terme. Or, c’est ce qui parait effectivement admissible pour cet instant, et quand il s’agit de milieux solides très-consistants, d’une étendue médiocre dans le sens transversal, et assez épais d’ailleurs pour ne pas être traversés entièrement par le projectile; car toutes ces circonstances influent surda durée de la propagation du mouvement, comme nous allons entreprendre de le faire sentir par le raisonnement et par des exemples. • ^

2âa

DE LA PBOPAGATIO.f DD HODVEKEBT DANS L’iNTtRIEDR DES SILIEDX DE DIVERSES NATGBES, ET DES EFFETS DE SA DDREE. %

330. Idée de l’influence que cette durée exerce sur les lois de la résistance des milieux indéfinis. Ce qui distingue essentiellement les corps solides des fluides parfaits, c’est, comme nous l’avons déjà observé (200), la grandeur de la force de cohésion qui unit entre elles leurs diverses parties. Dans les fluides, cette force est trèsfaible, de sorte que leurs molécules, qui sont séparées entre elles (27) par des pores d’une dimension comparable à la leur propre, jouissent d’une mobilité, d’une indépendance de mouvement pour ainsi dire parfaites; dans les solides et les corps mous, cette force est considérablement plus grande; et si, dans certains corps, tels que les terres légères et sèches, les sables, etc., qui sont composés de parties plus ou moins grossières et en apparence indépendantes, cette force de cohésion n’cxiste que très-peu ou même point du tout, elle se trouve, jusqu’à un certain point, remplacée, quant aux effets, par le frottement et la force de réaction qui, dans leur contact mutuel, nait de la différence et de l’opposition de leur mouvement.

Il résulte de là, pour les fluides en particulier, que la vitesse nu peut se transmettre qu’avec lenteur aux parties do la masse qui se trouvent à une certaine distance du point où se fait l’impression, et que, pour peu que cette distance soit grande, ou que la vitesse du mobile soit considérable, le mouvement ne s’y propage, en quelque sorte, jamais. Aussi arrive-t-il, dans ce cas, que la force vive totale, imprimée aux molécules du fluide, se réduit sensiblement à celle qu’ont acquise les parties qui avoisinent immédiatement le mobile, et dont le nombre ainsi que la vitesse étant directement en rapport avec la vitesse, la forme et l’étendue de ce mobilu, permettent (199) de mesurer uniquement, par la force vive imprimée, la grandeur du travail nécessaire, à chaque instant, pour faire cheminer eu avant le mobile avec sa vitesse constante, ou pour vaincre continuellement les forces d’inertie qui, presque seules alors, s’opposent à son passage.

Dans le cas des milieux consistants, au contraire, le mouvement imprimé directement par le mobile aux parties en contact, se propage, par l'intermediaire des forces de cohésion et des résistances, dans toute l'étendue de la masse, avec une rapidité d’autant plu«

HÉCAS, ISUVSTR. I. I, 15

22G MÉCANIQUE IN'nUSTRIELLE.

grande que ces forces sont plus considérables. C’est ce que prouve, en effet, la formule F X ^ X n° 130, qui donne

> Fr

D = -jq-, c’est-à-dire un accroissement v de vitesse d'autant plus

grand, pour un même instant infiniinent petit t, et une même masse élémentaire »f, que la force F, qui unit cette masse aux parties dont elle reçoit immédiatement le mouvement, est elle-même plus consU dcrable. Il en résulte dgne une diffusion, un partage général des quantités de mouvement (131 et 134), communiquées par le mobile aux parties qu'il choque directement, en vertu desquels la force vive transmise au milieu, dépend bien plus de l’étendue entière de ce dernier ou de sa masse totale, que de In forme extérieure et des dimensions propres du mobile, conforméinent à ce qui a été admis généralement dons les n°' lo3 et suivants, ainsi que dons le n° 226.

Voilà pourquoi aussi nous avons pu dire, n° 200, art. 2, que, quand un milieu solide a des dimensions pour ainsi dire infinies par rapport à celles du corps dur qui le pénètre, la vitesse qu’il communique aux parties voisines, et dans le sens de son propre monvemeut, doit, puisqu’elle est presque aussitôt disséminée dans la masse entière du milieu, être considérée comme tout à fait inappréciable (160) par rapport à la sienne propre. L’action se réduisant donc sensiblement alors à vaincre ou à détruire et le frottement, et les forces de cohésion qui s’opposent directement au passage du mobile, il arrive que la résistance en dépend presque uniquement, et peut leur être censée proportionnelle pour une étendue et une forme déterminées du corps dur.

231. Conséquences générales et observations relatives aux milieux limités. En résumé, on voit que le travail, qui devrait être dépensé par un moteur pour entretenir, au même état, le mouvement d’un corps dans l’intérieur d’un milieu résistant quelconque, se compose en réalité, A la fois, et du travail nécessaire pour vaincre les forces d’inertie des molécules de oc milieu, et de celui qui est nécessaire pour vaincre, a chaque instant, les forces de toute espèce qui unissent entre elles les'différentcs parties. Or, la pression totale exercée, sur le mobile, dans le sens de son mouvement, dépend essentiellement des premières forces pour les fluides parfaits, et des secondes pour les milieux qui ont beaucoup de consistance ; mais, pour tous les états intermédiaires qui diffèrent beaucoup de

l’état qui constitue la fluidité ou la solidité parfaites, cette pression ne peut s’estimer rigoureusement ni par les simples forces d’inertie, ni par les simples forces de cohésion du milieu.

Nos raisonnements supposent expressément d’ailleurs que le mû lieu soit assez étendu pour que la masse entière ne reçoive, par l’action du mobile, aucun mouvement de transport général sensible, ou que, quand sa masse est limitée et comparable à celle de ce dernier, on ne considère que la portion de travail nécessaire pour produire immédiatement la séparation et le déplacement relatif de scs molécules, abstraction fuite du mouvement général imprimé à toute sa masse : cette portion, qui a évidemment pour mesure le produit de la résistance R, exercée extérieurement contre le mobile, par le petit chemin relatif qu’il décrit à chaquc^iiistaiit dans l'intérieur du milieu, constitue véritablement (223) l'impression et la flexion soufi'ertes par ce milieu. On a pu se convaincre, en effet (226 et suiv.), que, dans le cas d’un milieu limité, le travail total que devrait développer, contrôle mobile, une puissance extérieure pour entretenir son mouvement absolu dans l'espace, ou, ce qui revient au même, la moitié de la force vive absolue qu’il perd à chaque instant, a, pour mesure, et le travail qui augmente la vitesse générale du milieu, et le travail qui produit immédiatement la pénétration et la flexion ou le déplacement relatif des molécules de ce milieu.

Nommons E le chemin absolu décrit, par le mobile, dans l’espace et dans un très-petit temps quelconque, E' celui que décrit pareillement la masse entière du milieu, enfin e le chemin relatif que décrit le mobile dans l’intérieur de ce milieu, eu vertu de la flexion générale et de la pénétration que ce dernier éprouve, on a évidemment E = E' -j- e, RE = RE' -|- Re; ce qui revient au principe énoncé, R étant la pression que le mobile éprouve dans le sens de son mouvement, et RE, RE' étant d’ailleurs équivalents (186 et 137), Tun à la moitié de la force vive perdue par le mobile, l’autre à la moitié de la force vive gagnée par la masse entière du milieu ; de sorte que Re= RE — RE' est véritablement égal à la moitié de la force vive détruite (161 et 226) dans la durée du cboc. Quand le milieu limité est un fluide parfait, Re a sensiblement pour valeur la moitié de la force vive due aux mouvements relatifs qui ont été imprimés aux molécules qui avoisinent le mobile, et elle se mesure comme on l’a expliqué à la fin du n” 100.

Quand le milieu est très-consistant, Re a pour valeur approchée te travail même que nécessitent le rappruchcraent, l’écartement ou la désunion des molécules dont il s'agit, soit entre elles, soit par rapport aux molécules de la surface extérieure du mobile, et on la mesure comme il a été expliqué n° 216 et suiv.

S3S. yiperçu» sur la durée de la propagation du mouvement dans l’intérieur des milieux. Nous avons vu ci-dessus (S30) que, quand un milieu est choqué ou pénétré, en un certain point, par un corps dur quelconque, le mouvement, communiqué aux parties immédiatement en contact, se propage d'autant plus rapidement, aune distance donnée de ce point, que les forces de diverses espèces qui unissent ces parties à celles qui leur sont voisines, ont une plus grande intensité par rapport au poids ou à la masse de ces mêmes parties ; ce qui résulte bien clairement, ainsi que nous l’avons ex-

pliqué, de la formule du n° 130, qui donne également < = ~ e,

et dans laquelle on suppose que M est la masse d’une certaine molécule, F lu force qui l’unit a la molécule voisine déjà en mouyement, etu le degré de vitesse qu’elle en reçoit pendant le temps infiniment petit t. Or il est évident aussi que, pour un même milieu, le temps nécessaire à la propagation du mouvement, croit avec la distance dont il s'agit ; car il faut un certain temps t, quelle qu’eu soit la petitesse, pour que chaque inolécule^ait reçu, do la précédente, ou imprimé à 1a suivante, son accroissement du vitesses par l’intermédiaire des forces F qui l’unissent à elles, et cela successivement et de proche en prochcj ou, si l’on veut, le temps croit avec le nombre des molécules interposées entre celles qui louchent immédiatement le mobile et celles qui en sont séparées par l'intervalle que l’on considère. Enfin il n’est pas moins évident encore que le temps, nécessaire pour que les molécules, situées à cette distance, reçoivent un certain degré de vitesse donné et fini, est d’autant plus petit, à circonstances égales d’ailleurs, que le mobile agit immédiatemeut sur un plus grand nombre des molécules du milieu, ou par une plus grande surface ; car chacune des molécules éloignées de celles-là, en recevra, à la fois et dans un temps donné, une plus grande quantité de mouvement.

On voit donc que la durée de la propagation ou do la diffusion générale du mouvement, dans toute l’étendue du milieu, dépend

lOO'jly

APPLICATIONS ET DIÉVELOPPEMENTS. 2S9

à la fois de la position de ses différentes parties par rapport au centre d'impression , de la fprnie qui limite extérieurement son étendue ou son volume, do la densité et de la force d’adhésion do ces iiiémes parties, enfin de la forme et do l’étendue delà surface agissante du mobile. Quelle que soit, au surplus, l'intensité do la force de cohésion des molécules du milieu, la petitesse de son étendue par rapport à celle de la surface agissante, etc., on voit qu’il s’écoulera nécessairement un certain temps, fini et plus ou moins facile à apprécier, avant que le mouvement se soit distribué également entre toutes les parties, conformément à ce qui a été avancé dans les n°* 37 et 63, et à ce qu’indique le résultat d'une infinité d'expériences relatives à la réaction des corps *.

233. Exemple parltculier de l’influence qu’exerce la durée de la propagation du mouvement. Nous avons déjà rapporté (57) qu'une balle de fusil traverse une feuille de papier, un carreau de verre, une planche mince librement suspendus, sans leur communiquer une vitesse sensible , ce dont çn peut être étonné au premier aperçu ; mais, en considérant, d'une part, qu'il faut un temps fini et appréciable pour que la vitesse se propage du centre d'impression aux points qui en sont à une certaine distance ; et, en considérant, d’une autre , que la feuille ou la planche ci-dessus ayant une faible épaisseur, la quantité de travail, qui se développe pendant la durée de la pénétration , est aussi une quantité très-petite (219) par rapport à la force vive primitive de la balle, on s’explique facilement la raison du phénomène.

En effet, par suite de cette dernière circonstance, la force vive de la balle sera très-peu diminuée et par conséquent le mouvement

* On remarquera qu'il s'agit spécialement ici tlu mouvement de transport général des molécules, en vertu duquel elles décrivent des espaces finis et croissants avec le temps, et non du mouvement vibraloire Ae ces molécules (ig), par suite duquel elles ne feraient qu'osciller autour de leurs positions moyennes en s'écartant et se rapprochant alternativement les unes des antres. Ce dernier mouvement suit, à certains égards, des lois trèsdistinctes, quoiqu'il puisse cocsister dans un même corps avec le premier .* le plus léger ébranlement, imprimé à une ou plusieurs molécules, suffit pour le produire, et c'est particulièrement ce mode de mouvement qui produit la sensation des tom aigut ou des tons graves, selon qu'il est plus ou moins rapide.

L’étude difficile des phénomènes variés auxquels donne heu la vibration moléculaire des corps, fait aujourd'hui l'objet des recherches de nos plus grands géomètres ; elle a été préparée par les travaux deChladni, et surtout, par les belles et récentes découvertes qui ont valu, à M. Félix Savart, la place qu'il occupe à l'Académie royale des sciences.

(rès-poa ralenti ; la pénétration aura donc lieu dans un temps excessivement court, et à peu près égal au quotient (48) de l’épaisseur traversée et de la vitesse moyenne , tandis que, par suite de la grande étendue transversale du milieu relativement aux dimensions propres du projectile, le mouvement n'aura pas pu , dans l’intervalle très-court dont il s'agit, se propager même à une assez petite distance du point d'action de la balle. Il est vrai que, dans les instants suivants, la vitesse reçue par les parties voisines du celles qui ont été enlevées, se répand, de proche en proche, dans toute l'étendue du milieu, et qu'il en .résulte bientôt un mouvement de transport général ; mais il est aisé d’apercevoir par le calcul , que ce mouvement est extrêmement faible dans les hypothèses admises , même en ne tenant pas comj>te * de la quantité de mouvement et de la force vive communiquées à la portion, du milieu, enlevée par la balle, lesquelles sont nécessairement en déduction de la quantité de mouvement et do la force vive qui seraient transmises aux parties voisines, s’il y avait simplement déchirement et non arrachement.

Pour faire ce calcul, on devra d’ailleurs observer 1° que, d’après le principe du n° 184 qui s’applique à un instant quelconque du choc ou de la pénétration, la quantité de mourement perdue par la balle à l’instant où elle quitte le milieu , est égale à la quantité totale de mouvement qu’ont reçue, au même instant, les differentes parties de ce milieu; 2° que la force vive primitive de la balle se compose (226 et suiv.) de celle qu’elle conserve en quittant le milieu, plus de celle qu’elle u communiquée a ce milieu, plus du double de la quantité de travail qui a produit la pénétration, quantité que

* Ceti «uaii ce que nous arons né^Ii^d de faire au n» 222, et cVst ce qui »e fait ordinairemeut en traitent de pareille* questions, où il conviendrait, en outre, de tenir compte de la flexion, de la déformation générales et pcrmanetilcs éprouvées par le milieu. La première circonstance exerce évidemment une grande influence sur les résultats du phénomène, quand la masse des parties enlevées est comparable à celle du projectile, ce qui arrive principalement pour les corps durs et cassants; l'autre en exerce une également très*appréciable quand le milieu est assez ductile pour céder au choc sans se laisser entamer ou enlever, et que son élasticité forcée ne lui permet pas de reprendre sa forme primitive (voÿ. n^*a34et235) Pour tenir compte d'ailleurs de ces cfFuts dans les calculs, il faudrait ajouter à la force vive conservée par la balle, la force vive communiquée aux parties enlevées et qui ont acquis une vitesse égale à celle de cette balle, plus le double du travail nécessaire pour produire l'arrachement et la flexion persistante. Si, en outre, le projectile était déformé daus l’acte du choc, il faudrait y ajouter encore le double du travail nécessaire pour produire cette déformation ; mais U est clair, comme nous Pavons déjà observe, que l une et Pautre de ces dernières quantités uc pourraient s'obtenir qu'à l'aide d'expériences spéciales.

nous STOTts appris ci-dessils à évalaer dans certains cas ; mais ce calcul exigeant, A la rigueur , l’emploi de l'algèbre , et étant plus carieux qu’utile, nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.

Nous nous contenterons de remarquer , d’après toutes les réflexions qui précèdent, que l’étendue du milieu, ta forme, sa masse, sa flexibilité, la natur<^et la force de cohésion de ses parties, jouent un très-grand rôle dans le phénomène dont il s’agit, et qu’il ne convient pas de les négliger. On voit, par exemple, que, si la surface de la feuille ou delà |ilanche ci-dessus est seulement égale ou trèscomparable à celle du projectile} que, si d’ailleurs son épaisseur et son poids sont faibles et sa force de cohésion très-grande, nonseulement sa vitesse pourra différer peu de celle de la balle, mais qu’il pourra arriver encore qu’elle soit entralliée sans être pénétrée ni même déchirée.

234. ^ulre exemple relatif aux corps durs très-fragiles. Un phénomène, noii moins digne de remarque que celui qui vient d’être expliqué,, et que l’on concevrait difficilement si l’on ne tenait pas compte de la nature particulière du milieu et du temps que le mouvement met à se propager à ses extrémités, c’est celui que présente un carreau de vitro qui , frappé par une balle, est percé d’un trou circulaire très-régulier, sans que le surplus de sa surface soit endommagé, tandis que le choc du même corps, animé d’une vitesse beaucoup moindre, ou la simple pression du doigt, peuvent suffire pour le briser en morceaux. Or ce fait s’explique très-bien en observant que, non-seulement le milieu est très-consislant , très-dur , mais qu’encore il est cassant, fragile, quoique doué d’une élasticité relative assez grande (19) ; cc qui annonce que ses molécules sont trèspeu susceptibles de changer do place, c’est-à-dire de s’écarter ou de se rapprocher, entre elles, sans se désunir totalement. 11 en résulte, en effet, que, même avant l’instant où le mouvement ait pu se propagera une faible distance autour du centre d’impression, les molécules qui sont immédiatement en contact avec la balle, cèdent à son action, et se séparent brusquement des molécules voisines, sans les entraîner et sans qu’il survienne par conséquent une flexioh générale sensible , dans la surface du verre.

Dans le cas d’un mouvement lent, au contrairé, ce mouvement a le temps de se propager et la flexion générale de se produire avant qne les molécules en contact soient assez écartées, des molc-

culcs voisines, pour s’en sép.trer ; et alors, selon la forme dn carreau de verre et la manière dont il est appuyé à ses extrémités , il éclate à la fois dans tous les points où l’écartement et le rapprochement des parties ont atteint leurs limites.

II est évident que ces raisonnements ne seraient plus applicables aux corps mous ni aux corps ductiles (1 et8j;car leurs molécules pouvant subir comparativement un très-grand écartement ou un très-grand rapprocbeinent sans se désunir, ils peuvent aussi prendre une grande flexion sans se briser, soit qu’on les choque avec une certaine vitesse ou qu’on les presse lentement.

235. Caractères qui distinguent la dureté de la ductilité. Nous venons d’énoncer la difiiérencc essentielle qui existe entre les corps durs , qui sont tous plus ou moins cassants ou fragiles et d’ailleurs très-élastiques, et les corps mous , les corps ductiles qui le sont généralement peu. Dans ces derniers , la force de cohésion est telle qu’elle décroît lentement aven l'écartcmcnt des parties, et qu’elle peut même croître, jusqu’à un certain point, par leur rapprochement ; dans les corps très-durs, au contraire, la force de cohésion semble être à son maximum par suite de l’arrangement des molécules , do sorte qu’elle décroît très-rapidement pour de très-faibles compressions ou de très-faibles allongements. On sait en efiet, par expérience, qu’on ne peut faire subir un changement sensible, de forme ou de volume, à un corps cassant sans le rompre ; tandis qu’en réduisant le volume des corps ductiles, en les écrouissant par le choc ou la simple compression (13), on augmente à la fois leur ténacité et leur densité jusqu’à un certain terme, passé lequel leur constitution semble se rapprocher de celle des corps durs et fragiles, qui, d’après les expériences récentes de Perkins, se réduisent complètement en poussière lorsque, étant contenus de toutes parts, on les soumet à des pressions de plusieurs milliers d’atmosphères ; circonstance qui peut provenir d'ailleurs de la réaction qui s’opère à l’instant où l’on cesse brusquement la compression.

' On s’explique également, par là, comment les corps durs peuvent résister à des efforts de tension très -considérables , sans se rompre et sans s’allongerd'une manière sensible, tandis qu’ils cèdent, au contraire, sous le plus petit choc ; en effet, ce choc, comme nous l’avons déjà dit (170), développe toujours, en un temps extrêmement court, des quantités de travail iinics, et les cfiTorts qui en résultent n’on

d’autre limite (ISA et 168) que celle de In dureté même et de la force d’inertie des corps; tandis que les pressions, sans vitesse acquise, ne peuvent développer un travail appréciable qu’autant qu’elles auraient une intensité suiBsante pour vaincre cette résistance à l'instant où elle acquiert une certaine valeur par l'effet de la compression. Enfin on s’explique aussi pourquoi des vases de cristal, dont la matière est très-dure, peuvent être brisés par suite de l’augmentation ou, en quelque sorte, de l’accumulation progressive du mouvement vibratoire qui a été imprimé, à leurs inolgcules, au moyen d’un archet ou de la simple vibration excitée dans l’air qui les environne; tandis que la même chose n’a pas lieu pour un vase composé d’une substance beaucoup moins dure, mais très-ductile , telle que le fer, l’argent, etc. En effet, les molécules de ces dernières substances peuvent supporter des déplacements beaucoup plus grands sans se désunir complètement.

Procédé usité dansles arts pour mesurer la dureté des corps par le choc ou la pression. Nous avons vu (320) que, pour un milieu d’une grande étendue par rapport à celle du corps qui vient le choquer, les volumes des impressions totales sont sensiblement proportionnels aux forces vives de ce corps , et que le multiplicateur k de la résistance, qui mesure la dureté du milieu ou sa consistance, était sensiblement constant pour des substances homogènes ; il en résulte donc qu’en laissant tomber, d’une même hauteur ou de hauteurs différentes, un même corps sur diverses substances, le rapport des hauteurs totales (166), d’où le corps est tombé, au volume de l’impression, ou à sa profondeur si ce volume peut être considéré à peu près comme un cylindre, pourra servir de mesure à la force de cohésion ou à la dureté du milieu. C'est, en effet, ainsi qu’on procède dans les arts, pour reconnaître la valeur comparée de cette force dans certains cas, et c’est ainsi, entre autres, que M. Vicat procède pour faire l’essai de la résistance comparée des matériaux qui entrent dans les constructions *, en mesurant les enfoncements de tiges d’acier très-dur, dans ces matériaux.

Cette méthode convient spécialement dans tous les cas où la substance à essayer présente un certain degré de consistance; mais,

* f'oyz toa imporUnl ouvrage ayant pour titre : Risumi tur Ut mortUrt steimsntt calcaire* i i vol. Pari« t8s8.

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i34 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

pour des corps très-inous, la simple pression produite par le poids d’une tige verlicnle posée donceinont sur la substance (l 65 et suiv.), pourrait servir au même objet, si elle n’avait l’inconvénient d’exiger plus de temps, et d’offrir moins de certitude dans ses résultats que celle où l’on opère par le choc. En effet, dans ce dernier procédé, le poids du corps dur étant toujours très-faible par rapport à la résistance du milieu, l'impression arrive rapidement à sa limite, et l’on ne peut se tromper que d’une très-petite quantité, sur sa profondeur totale, en ^ mesurant à l’instant où lu vitesse est devenue insensible. Dans l’autre procédé, au contraire, il arrive, ou que le poids de la tige excède de très-peu les premières valeurs de la résistance, et alors l’impression est extrêmement faible et s’opère avec une excessive lenteur, ou que cc |ioids excède de beaucoup les valeurs dont il s’agit, et alors il peut bien se faire que, la résistance croissant très-lentement dans les instants suivants, ou devenant même tout à fait constante (210), elle n’atteigne qu’au bout d’un temps fort long ou pour une impression très-profonde , nne valeur qui puisse détruire complètement l’accélération de vitesse occasionnée par le poids de la tige ; il peut même arriver, dans certains cas, que cette résistance soit constamment au-dessous du poids, et alors le mouvement no s’éteindrait, pour ainsi dire, jamais, eomine on en aura bientôt des exemples relatifs au mouvement dos corps dans l’air.

D’ailleurs, en tenant compte de la force vive conservée par la tige à un instant quelconque , si sa valeur mérite d’être prise en considération par rapport au travail correspondant développé (166) par la gravité dans toute lo descente de cette tige , et retranchant la moitié de celte valeur du travail dont il s’agit, on obtiendra encore la mesure du travail qui a produit l’impression correspondante, et dont le rapport avec le volume ou la profondeur de cette impression, pourra servir directement a apprécier (219) la résistance on la dureté de la matière, soit qu’il s’agisse d’une même tige ou de tiges distinctes ayant la même forme é^t les mêmes dimensions vers la partie en contact avec le milieu. Ainsi , en surmontant la tige d’un poids assez lourd pour que la grandeur de l’impression soit exactement et facilement appréciable, on obtiendra, par cette dernière méthode, des résultats parfaitement comparables avec ceux qui résultent de l’emploi du choo ; en observant de plus, avec soin, la marche ou la vitesse de la lige aux divers instants, on pourra

APPLICATIONS KT DIÉVELOPPEMENTS. 258

même acquérir des notions utiles sur la loi que suit la résistance.

337 . Obêervaliong divenet sur ces procédés. On voit, d’après ces discussions et tout ce que nous avons dit jusqu'ici concernant la résistance des milieux consistants, que les expériences, sur la dureté des corps, exigent beaucoup de précision et d'attention pour qu’on en puisse conclure des résultats rigoureux et comparatifs. Si l’on opère en particulier par le choc, il conviendra d'ajouter (166) la )>rorondeur de l’impression à la hauteur de chute, et il faudra, dans certains cas (338 et suiv.), tenir compte de l’inflexion générale et du mouvement éprouvés par le milieu , ainsi que de la manière dont il est soutenu ou contenu : il est clair, par exemple, que, s’il s’agit d’une substance molle , elle présentera plus de résistance quand elle sera enfermée dans un vase solide, ouvert seulement à la partie supérieure, que quand elle sera simplement appuyée sur un plan de niveau, et qu’elle pourra y prendre un mouvement d'extension horizontal. On voit encore qu’il conviendra d'avoir égard à la déformation du mobile (233) quand sa dureté ne surpassera pas notablement celle du milieu , ainsi qu’à l'influence de la forme de ses faces antérieures et latérales en contact avec ce môme milieu ; car la résistance varie avec celte forme, etc., etc.

Les faces latérales, entre autres, quand bien même elles forment une surface parfaitement cylindrique, éprouvent, de la part du milieu, une résistance qui croit aveu la profondeur de l’impression: pour se débarrasser d’une telle cause de variation , qui ne tient aucunement à la dureté de la substance pénétrée, il conviendrait de donner aux tiges d’épreuve une base un peu plus large que le reste de ces tiges , ou de les terminer par une sorte do této qui seule éprouverait les effets du frottement latéral, etc. Mais, quels que soient les procédés qu’on adopte, la résistance sera toujours compliquée des effets du frottement et de l’adhérence, qui sont étrangers à la dureté môme du milieu ; de sorte qu'on n’obtiendra que des valeurs Alatives à chaque appareil et non des valeurs absolues; on doit du moins faire en sorte que les circonstances des épreuves soient semblables sous tous les rapports, et c'est ce qu’on obtiendra, entre autres, si on ne fait varier que le poids ou la houtcur de chute des tiges, de manière à obtenir des effets à peu près identiques (165 et suiv.).

888. Autres procédés moins parfaits pour mesurer la dureté des

corpi. Lorique le« corps sont très-durs, lorsqu’ils ont une étendue liniilcc on qu’ils sont fragiles (S35), tels que le verre, l’acier, les cristaux, etc., on ne peut plus faire usage des méthodes précédentes, et Ton a recours à des moyens, à la vérité plus imparfaits encore que ceux qui précèdent , mais qui suffisent aux construc- (etirs, aux physiciens, aux naturalistes, aux lapidaires, etc., pour classer les différentes substances, naturelles on artificielles, suivant leur ordre respectif de dureté. L’un d’entre eux consiste à agir, sur la substance qu’on veut soumettre à l’essai, par un foret en acier, chargé d’un certain poids et auquel on imprime un mouvement de rotation, puis à comparer entre elles les profondeurs auxquelles il est descendu pour un nombre donné de tours : c’est la méthode employée d'abord par Rondelet pour mesurer la dureté comparée des pierres, puis en dernier lieu, par M. Vicat, pour éprouver celle des mortiers, des ciments, etc. Un second moyen est celui qu’emploient les ouvriers , qui essayent les corps avec la lime , les burins et les outils tranchants en général. Enfin la méthode principalement en usage parmi les naturalistes et les lapidaires, consiste ù faire glisser ou frotter les corps entre eux, en les pressant de manière a reconnaître celui qui raye, entame ou use l'autre : c’est ainsi qu’on reconnaît que le diamant est le plus dur des corps connus, que l'acier est plus dur que le verre, le verre plus que le fer, le cuivre, etc.

Il est évident que ces divers moyens ne sont pas, dans le fond, aussi diflérenls qu’ils paraissent l’étre au premier aspect, et qu’on pourrait obtenir, de tous, des résultats presque aussi rigoureux que de celui qui a été exposé n° 236, si on avait l'attention de faire les essais dans des circonstances parfaitement semblables, sous le rapport de la forme, des dimensions des parties agissantes, de la profondeur de l'impression, et qu’on n’oubliât pas d'ailleurs de tenir compte exactement de la force avec laquelle ou comprime chaque corps sur l’outre, et de celle qui est nécessaire pour le faire cheminer avec une vitesse donnée. Mais nous aurons occasion de revenir plusieurs fuis encore sur cet important sujet, à l’occasion de la résistance que les corps opposent à leur rupture, â leur flexion, à l'action des outils, etc.

Digitizeo 1

APPLICATIONS ET DÉVELOPÇEMENTS.

tXkmtJI DIS PRIICCIPALES CIBCOSSTASCU DD ■ODTIUIST HOBIZONTXL BT TIR- TICAL DIS CORPS DASS LIS PLDIDES, ET SPÉCIAIEIEST DARS l'aIR.

289. Conridéraiiont préliminaires. Nous n’avons jusqu’ici donné que de simples aperçus (1 13 et suiv.) sur la manière dont l’air agit, contre les corps, pour modifier et ralentir leur mouvement; les données des n°* 202 et suiv., jointes aux principes fundamcntaiix qui ont été exposés dans les Préliminaires , nous mettent en état d’apprécier et de calculer même rigoureusement, les lois de ce mouvement pour deux circonstances importantes : celle où le corps serait lancé, avec une certaine vitesse, dans la direction d’un plan horizontal solide qui supporterait, détruirait, à chaque instant, son poids ou l’action de la pesanteur, et celle où il serait lancé ou tomberait naturellement, dans la direction de la verticale, sans être aucunement soutenu contre cette même action. Nous apprendrons plus tard à calculer les lois du mouvement des corps qui, tels que les bombes et les boulets, sont lancés obliquement a l’horizon, et décrivent des courbes, au lieu de lignes droites, par l’action combinée et non directement contraire des différentes forces. On devra d’ailleurs remarquer que tous nos calculs et nos raisonnements demeureraient exactement applicables au cas où le corps serait mis en mouvement dans un fluide autre que l’air atmosphérique, par exemple dans l’eau, en y introduisant les modifications nécessaires et qui sont relatives à la densité, à la résistance de ce fluide.

Pour résoudre la question dans les cas particuliers et très-simples dont il s’agit ici, il est d’abord nécessaire de rechercher, pour chacun d’eux, la valeur de la force motrice ou dynamique (130) qui accélère ou retarde la vitesse du mouvement. Nous conserverons d’ailleurs toutes les dénominations des n°‘ 199 et suiv., et nous continuerons de représenter par F, la valeur, en kilogrammes, de

la forcé totale dont il s’agit, par P le poids, par M = — la masse du

corps, et par V le degré de vitesse qu’imprime, à ce même corps,

la force F dans le temps infiniment court t,

240. V alcur de la force motrice dans le cas où le corps se meut sur un plan de niveau. L'.-vclioii du la pesanteur, sur le mobile, étant détruite par lu plan qui lu supporte, la force niutriuo se réduit alors

238 MÉCANigUE INDUSTRIELLE.

uniquement à la résistance du milieu, qui correspond à la vitesse V possédée à chaque instant par ce mobile; on a donc (211 et 215), par exemple, F = R = 0,06258AAV’ = 0,001 lAV’ kil., pour le cas particulier du boulet du n° 215 et l'air atmosphérique dont il s'agit ici spécialement. On voit , par là , que le corps ayant été lancé avec une certaine vitesse initiale, cette vitesse sera de plus en plus diminuée et le mouvement ralenti, dans chacun des instants égaux à t, suivant une loi qui sera donnée (130) par la formule*

F s, . ÿR w . 9“.8088 X 0,001 1*V>

= 0,00085V’ X puisque P = 12'‘,68 (215).

Mais, comme la résistance R décroit très-rapidement avec la vitesse V du projectile , le mouvement ne sera pas uniformément retardé (107 et 112) ; il le sera, do moins en moins, pour des instants t égaux et très-petits , ainsi que le démontre la formule cidessus , qui donne les diminutions o de la vitesse pour chacun do ces instants. De plus, comme cette diminution est une fraction d’autadt moindre de la vitesse Y , possédée a cet instant , que cette vitesse est plus faible , on voit qu’à la rigueur , le mouvement ne pourra jamais s'éleindre complètement , quoiqu'il aille sans cesse en diminuant d'intensité ; en d’autres termes, ce n’est qu’après un temps excessivement long que la vitesse sera réduite à zéro.

241. Ce n’est qu’après un temps infini, que la vitesse s’éteint ou parvient à sa limite, quand la force motrice diminue sans cesse. Pour démontrer ce principe d’une manière positive , et qui s'applique généralement à tousjcs cas où la force motrice tend à s’affaiblir, de plus en plus et indérmiment, sans jamais changer le sens de son action; nous observerons que la formule, citée dans le numéro précédept, donne également, pour le temps t qu’une telle force met à imprimer au corps le petit degré de vitesse v, la valeur

* = P X ® = pr X t.,

laquelle indique qu’à mesure que F diminue, la valeur de la frac- M

tioii croissant indéfiniment, ilfautbienaussiquele temps ^^nécessaire pour imprimer un même degré de vitesse redevienne déplus en

plus grand, et finisse par devenir énorme même pour de très-petites valeurs de». Quand, par exemple, F sera réduit 0'“, 00000001, pour le cas du boulet ci-dessus dont le poids P= 12'‘,68, le temps t, nécessaire pour diminuer ou pour augmenter la vitesse de la quantité o= 0°*, 001, ou de 1 millimètre seulement par seconde,

devra être de

la^ea x 0"',ooi

O™, 81 X OSüüOOÜOOl

= 129256" ou

environ 36 heures. On voit donc que la vitesse du mouvement ira sans cesse en croissant ou en diminuant d’intensité , sans jamais atteindre sa valeurliniite, sa plus grande valeur, ou sans jamais devenir complètement nulle quoiqu’au bout d’un temps plus ou moins long, elle acquière une valeur qui difiere extrêmement peu de celle vers laquelle elle converge sans cesse.

Ainsi règle générale : Toutes les fois que l’action d’une force motrice ou de pression ordinaire, agissant constamment ou sans interruption, sur un corps, soit pour augmenter, soit pour diminuer, à chaque instant, son mouvement, tarie arec la vitesse même do ce mouvement, de manière à décroître sans cesse par une loi continue , ce n’est qu’au bout d’un temps infini qu’elle aura anéanti complètement la vitesse du corps, ou qu’elle lui aura fait acquérir une vitesse constante, une vitesse qui cesse désormais de changer, quoiqu’au bout d’un temps, souvent fort court , le corps parvienne sensiblement à l’un ou à l’autre de ces états.

Ce principe est, en quelque sorte, évident par lui-même, puisqu’une force qui agit toujours fait néeessnircment varier la vitesse à chaque instant, quelle que soit sa petitesse; mais il est clair aussi que, si son intensité ne dépendait pas uniquement de la vitesse, et qu’elle pût devenir nulle au bout d’un temps plus ou moins long, le corps acquerrait, au bout de ce temps même, la limite de son mouvement; or nous verrons bientôt qu’il existe do semblables forces motrices dans la nature.

242. Béflexions sur la manière dont le mouvement s’éteint ou s’accomplit à la surface de la terre. S’il parait quelquefois, comme dans le cas de la communication du mouvement par le choc, par le ressort des gaz de la poudre, etc., que des forces motrices décroissantes impriment aux corps toute leur vitesse, après un temps souvent fort court, c’est qu’en effet ces forces , par elles-mêmes excessivement grandes, font, au bout d’un très-petit temps, parvenir

les curps à un état de mouvement qui approche beaucoup de celai qui répond à la limite ; c'est que les forces motrices ne suivent pas exactement les lois de décroissement que nous leur supposons à la première vue; c'est que leurs effets se compliquent des effets d’autres forces qui acquièrent de l'influence à mesure que celle des premières va en s'affaiblissant, ou plutôt c’est que nous ne tenons pas un compte exact de toutes les forces , distinctes de l'inertie , qui agissent sur le corps; car la force motrice, dont nous entendons parler ici, est le résultat combiné de toutes ces forces ; elle produit seule (130} le mouvement, et vainc seule l'inertie ou la force dynamique. C’est qu’enfin nous admettons volontiers, pour la facilité des considérations, que les corps, en se séparant après leur réaction mutuelle ou après leur choc, sont parvenus à un état de mouvement stable; qu’ils ont acquis toute leur vitesse Anale, et ne sont plus sollicités par aucune force; tandis que, dans la réalité, ils restent encore soumis à l’action des forces moléculaires ou de ressort qui ont été mises en jeu (223 et suiv.) dans leur intérieur, et qui nu rentrent dans leur état d’équilibre ordinaire , qu’après que chaque curps a exécuté une iiiAnité d’oscillations autour de cette position d’équilibre.

Au surplus , il faut bien le reconnaitre d’après le résultat des belles expériences du l’illustre Coulomb et de beaucoup d’autres observateurs habiles, il existe des forces motrices et des résistances, telles que la pesanteur, les divers frottements, l’adhérence des corps en contact, la résistance des corps solides à la compression, à la pénétration, etc. (216), qui sont indépendantes de la vitesse du mouvement, et qui demeurent même constantes quelle que soit cette vitesse. Or tous les mouvements qui s’accomplissent à la surface de notre globe , étant nécessairement soumis , tôt ou tard , à l’action de semblables forces, il arrive toujours que ces mouvements s’anéantissent complètement , ou qu’ils parviennent à leur limite en un temps qui n’est jamais infiniment long, et qui même est en général fort court.

Voilà aussi pourquoi le mouvement ne peut s’entretenir ici-bas, dans les corps, sans une dépense continuelle de travail ou d’action; et voilà pourquoi le mouvement perpétuel , que rêvent des hommes privés des premières notions de la Mécanique et de la Physique, est une véritable chimère, quand un lu recherche ailleurs que dans l’action immuable des forces de 1a nature, qui font mouvoir les

corps célestes dans un espace vide ou privé de tonte résistance, et qui, sur la surface de la terre, servent , par leur renouvellement périodique plus ou moins régulier, à faire fonctionner nos machines de diverses espèces.

S43. Idée de la manière dont le mouvement horizontal des corps peut s’anéantir complètement, même en un temps fort court. Nous avons supposé ci-dessus ( 240 ) que le mouvement horizontal du corps était uniquement retardé par l'efTet de la résistance de l’air, qui, diminuant sans cesse d'intensité avec la vitesse, ne peut jamais parvenir à réduire entièrement le corps au repos ; mais nous n’avons pas tenu compte d’un autre genre de résistance qui naît de ee que ce corps ne peut se mouvoir horizontalement sans être soutenu par un plan matériel qui détruise, à chaque instant, l’action de la gravité sur ses propres parties, et sans presser ce plan materiel avec un effort égal à son poids ; d’où résulte une compression réciproque qui use les deux corps, ou altère, plus ou moins promptement, leur forme aux dépens de la force vive de celui qui est mobile. Or, les expérjences de Coulomb, que nous ferons connaître plus tard , prouvent que la résistance qui provient de cette cause , est indépendante de la vitesse, ou reste la même à chaque instant , et qu’elle est une fraction déterminée , bien qu’assez faible , du poids du mobile, soit qu’il roule ou ne fasse simplement que glisser en cheminant en avant.

Nommant donc f cette petite fraction, nous aurons (240), F = R -(- /"P ; de sorte que , quelle que soit la vitesse V du corps à un certain instant, et par conséquent la valeur de R, la force motrice F, qui ralentit le mouvement , fera perdre à ce corps , dans chaque temps t , une portion de vitesse qui sera au moins égale à /P

U t=fg y. t, ou qui serait exactement fgt, si la résistance de

l’air ne venait l’augmenter ; et, comme ici f, ou le frottement, est constant, on voit bien qu’au bout d’un temps plus ou moins long T, il aura détruit, à lui seul (112), une vitesse fgl, qui pourra être une fraction notable de celle que possédait primitivement le corps, ou lui être même tout à fait égale : supposant , par exemple, la vitesse initiale de 500™, et/'= ^ seulement, on aura, pour calculer le temps T, qui répond à la fin du mouvement,

500™ = jV 9™, 81 X T = 0™,327 X T ; d’où T = 1529",

ISDDSTB, T, I. 16