Ü MÉCANIQUE INDUSTRIELLE
environ 287 . Mais, attendu que la résistance de l’air joint son action à celle du frottement du plan, et que cette action a une intensité très-grande dans les premiers instants (218); on voit qu’en réalité, il faudra un temps considérablement moindre encore pour que le mouvement soit complètement anéanti, comme on l’observe en effet dans tous les cas analogues.
Ce qui suit présente l’exemple de phénomènes de mouvement où la même circonstance se reproduit par l’action constante de la pesanteur.
2 AA. Valeur de la force motrice dans le cas où le corps est lancé verticalement de bas en haut. Il est évident que le mouvement est à la fois retardé alors, et parla résistance R du milieu, et par l’action de la pesanteur sur le corps, ou de son poids P ; mais il convient ici (41, 118 et suiv.) de diminuer ce poids de celui du volume d’air qu’if déplace , puisqu’en vertu de la pression atmosphérique extérieure, il est poussé, de bas en haut, avec une force mesurée par ce dernier poids, que nous nommerons P', et qu’il sera facile de calculer connaissant la densité p du fluide (211). Nous aurons donc (202)
AV
S’il s’agit, par exemple, du boulet du n° 218, en monvement dans un air dont la densité est l'‘,227, on aura, attendu que, sous le même volume, les poids sont comme les densités (38 et suiv.), et qu’ici la densité delà fonte est censée de 7207^,
' p'=. : ,;;^ -p = 0,00017 p = 0,00017 x = osoo22,
quantité excessivement petite par rapport au poids propre du boulet, et qu’on peut, sans inconvénient, négliger dans le cas actuel; de sorte qu’on aura simplement (240)
• F = 0,0011iV>-|-12\68.
Le monvement sera donc alors de plus en plus retardé, comme dans le cas qui précède (243), mais d’une manière bien autrement rapide; et l’on voit que , la force retardatrice conservant, à tous les instants , une valeur qui surpasse 12 '‘, 68 , il faudra bien que le mouvement finisse par s'éteindre complètement, même en un temps tort court.
APPUCATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 245
Mais , si le corps , au lieu de la densité 7207*''', en avait une beaucoup moindre et comparable à celle de l’air, ou si c’était une boule creuse extrêmement légère , remplie d’un gax quelconque , il ne serait évidemment plus permis d’en agir ainsi. Dans le cas, par exemple, d'un ballon, en taffetas verni, gonflé par du gas hydrogène dont la densité est environ le ~ de celle de l’air (40) ou l'‘,227 = 0'‘,082 pour 1"“, le poids de l’enveloppe , réuni A celui du gaz qu’il contient , c’est-à-dire P , pourrait même devenir moindre que le poids du volume d’air déplacé ; et alors , non-seu.* ment il ne faudrait pus imprimer de vitesse initiale à ce ballon pour le faire partir, mais encore il tendrait, par lui-méme, à s’élever avec une force mesurée par P' — P , et qui lui imprimerait un mouvement uniformément accéléré (108), si la résistance R ne venait aussitôt le ralentir ; la force motrice totale serait donc alors
av*
F = P'— P — R==P' — P — àp
248. Exemple particulier relatif à l’ascension verticale des ballons. Supposons , fig. 57, un ballon sphérique de 10'” de diamètre , son volume sera à très-peu près 523'”°, 6 ; par conséquent le poids du volume d’air qu’il déplace sera 523““, 6 X 1^227 = 642^,5, et celui du gaz hydrogène qu’il contient 642'', 6 = 42'', 8 environ.
Si donc le poids de son enveloppe , de la nacelle en osier qui est * suspendue au-dessous et de tout le surplus de son équipage équi- ■ vaut à 899'',7, ce qui suppose que la nacelle porterait des objets fort lourds , tels que des hommes , etc., le ballon serait enlevé avec une force constante de 642'',S — 42'*, 8 — 399'',7 = 200'“', qui sera diminuée , à chacun des instants du mouvement ascensionnel , de toute la résistance opposée par l’air , laquelle sera ici , a vitesses
égalas (215), les
/ lO"" y /200\
= —g— de celle 0,001 1
qui a été trouvée pour le boulet de 0'",15 de diamètre, attendu que les résistances sont sensiblement entre elles comme les carrés des diamètres ; c’est-à-dire , en un mot , qu’on aura
R = X 0.001 1 RV° = -H 4V> = 4,89 àV’ environ, •
et F == 200" — 4,89 4V.
, On voit que le ballon partira , de terre , avec une vitesse d’abord nulle , et qui augmentera , de plus en plus , tant que la résistance
4,89 AV’ sera moindre que 300^ ; mais, quand elle égalera œ poids, c’est-à-dire quand la vitesse V approchera de 8°* par seconde , la valeur de k étant alors (310) d’environ 0,64, et la force motrice F devenant nulle, le ballon conservera , en vertu de l’inertie (5S), constamment la vitesse de S*" qu’il possède à cet instant, ou se mouvra uniformément, avec ce degré de vitesse, tant que les circonstances resteront les mêmes , c’est-à-dire , tant que la densité de l’air et la force de la pesanteur ne changeront pas pour les diverses positions du ballon , en eifet il est clair qu’alors F restera aussi constamment nulle. Or c’est ce qu’il n'est pas possible d’admettre (37 et 61), même pour les ascensions les plus habituelles des voyages aérostatiques , d’autant plus que l’expérience a appris que la température del’air, qui influe notablement sur sa densité (311), diminue, comme la gravité, à mesure qu’on s'élève au-dessus de la surface des plaines. En effet , la hauteur de ces ascensions surpasse généralement 3000 6 3000 mètres ; et Ton a vu , dans un célèbre voyage entrepris uniquement pour le progrès des sciences , un célèbre physicien français , M. Gay-Lussac , s'élever verticalement dans les airs à une hauteur de TOIS*” au-dessus du niveau des mers ; ce qui est la plus grande élévation qu’aientencore pu atteindre les hommes.
Ainsi les calculs qui précèdent ne peuvent concerner que des élévations médiocres , et qui ne surpasseraient pas , par exemple , 300 à 400 mètres de hauteur verticale ; dans toute autre circon- • stance , on ne devra les considérer que comme de simples approximations servant à donner une idée des phénomènes , et qui souvent pourront suffire pour Tobjet qu’on se propose. Il ne serait pas impossible, à la rigueur, de tenir compte de la variation de densité des couches atmosphériques, qui exerce le plus d’influence; on sait la calculer assez exactement quand on connaît la température et la pression barométrique au niveau de la terre , et pour un lieu déterminé; mais ce serait nous jeter dans des calculs qui ne seraient pas ici à leur place , d'autant plus qu’ils n’auraient d'utilité que pour la question des ballons *, et qu’on peut se dispenser d'y avoir égard pour celle des projectiles qui , tels que les bombes, sont
* Noui rappellerons, à cette occasioo, qae les beilons aérosUtiques fureot découverts, en 178a, par le célèbre Montgolfier d'Aniionay, et que Püatrc du Rosier, physicien disiingué, né à Melz, péril, en 17B5, Tictime de son zèle pour les piDgrès d'un art qui était encore dans son enfance, lorsqu'il tenta de franchir le détroit qui sépare la France de l'Angleterre. Il fut aussi le premier qui, au mois d'octobre 1783, c'est-à-dire quelques
élevés dans l’air , par la force de la poudre , à des hauteurs généralement médiocres.
246. Calcul de la force motrice dans le cas où le corps est lancé verticalement, de haut en bas, ou tombe par son propre poids. Cette force tend nécessairement à accélérer le mouvement du corps, toutes les fois que la densité de ce dernier est très-grande par rapport à celle du fluide : elle se compose évidemment alors du poids P de ce corps dans le vide , poids qui mesure proprement l’action de la gravité sur ses différentes parties , diminué et du poids P' du volume d’air qu’il déplace , et de la résistance R qu’il éprouve, à chaque instant , de la part de l’air extérieur; on aura donc, pour le cas dont il s’agit ,
AV’
et le mouvement s’accélérera continuellement , tant que le (loids P — P' du corps dans l’air surpassera la résistance R , qui lui est opposée. Mais , de mémo que pour le cas ci-dessus des ballons , il s’accélérera de moins en moins , attendu que la résistance R croîtra rapidement avec la vitesse, et il arrivera bientôt un instant où le mouvement ne s’accélérera , pour ainsi dire, plus du tout , quand R approchera d’être égale à P — P', ou quand la vitesse difiërera très-peu de celle qui est donnée , par l’égalité
1 AV-
: ’ ou V =
kpA.
au moyen de l'extraction de la racine carrée du quotient deig (P — P') par kph. Ainsi le mouvement tendra sans cesse , dans le cas dont il s’agit , à devenir uniforme , et il le deviendrait rigoureusement si le mobile pouvait effectivement acquérir la vitesse ci-dessus qui en est la limite.
Ces circonstances supposent essentiellement que P — P' surpasse R , dès rorigiiie du mouvement ou à l’instant du départ du
moil Mulement aprèiTépoque où le* frères Mootgolfier firent leur brilltnte expérience d'Ànnonay, eût le courage de se frayer une nouvelle route dans les airs, à Taide des ballons. La ville de Boulogne-sur-Mer, près de laquelle cul lieu la chute de du Rosier, a lait élever, à sa mémoire, un monument modeste naguère en ruine, et que la Société académique de cette même ville vient généreusement de restaurer, en honorent ainsi une seconde fois, le courage malheureux d'un savant qui lui fut etranger.
24C MÉCANiyUK INDUSTIUELLE.
mobile ; s’il en était autrement , et que P fût d’ailleurs plus grand que F, comme on vient de le supposer, la vitesse serait évidemment diminuée ou retardée par l'action d’une force
et le serait continuellement jusque vers l’instant où , la résistance R, diminuant de plus en plus , deviendrait telle qu’ajoutée à P', elle serait simplement égale au poids P du corps dans le vide ; ce qui arriverait pour la vitesse donnée par l’égalité
on V’
hpA. "
Cette vitesse limite étant la même que celle du cas précédent quand le corps et le milieu sont aussi les mêmes, on voit que , quelle que toit la vitesse avec laquelle on lance, du haut en bas et dans la direction verticale, un corps donné, dans un fluide indéfini dont la densité est moindre que la sienne propre, ce corps tendra toujours à acquérir la mime vitesse limite, et il V atteindrait sensiblement , au bout d’un temps plut ou moins long, si aucun obstacle étranger ne^ venait suspendre tout à coup ton mouvement.
Enfin , si la densité de l’air surpassait celle du mobile , ou que F fût plus grand que P , la vitesse serait de plus en plus retardée tant par l’action de F que par l’action de la résistance R , de sorte qu’on aurait , dans le même cas ,
quelle que fût la valeur de cette résistance ou de la vitesse.
La valeur de R -f- P' surpassant constamment P, il est clair que le mouvement finira par s’éteindre , comme dans le cas du n“ 244 ; et, attendu qu’on aura , à cet instant, V = 0,R = 0,F = P' — P, on voit que le corps tendra aussitôt à rebrousser chemin , ou à remonter en vertu d’une force motrice
il suivra donc dès lors absolument les mêmes luis quo celles qui se rapportent à l’ascension des ballons (244 et S46); ce qui nous dispense de poursuivre davantage l’examen de son mouvement. Ce cas est d’ailleurs analogue à celui que présente un corps dense, lancé , de bas en haut , avec une certaine vitesse , et qui , parvenu
à sa plus grande élévation , redescend ensuite en vertu de l'aotion prépondérante de son poids sur celui du volume d’air qu'il déplace.
247. Exemple» de calcul relatif» à la plu» grande vüesie de chute de» boulet». Dans le cas du boulet du n° 215, le mouvement deviendra uniforme à l'instant où l'on aura
lîS 68 = 0,0011 AV',
puisqu’on peut négliger alors P' vis-à-vis de P (244) ; or on voit de suite , d’après la table du n° 215, que cette condition est satisfaite pour une vitesse d’à peu près 126"’ par seconde, répondant ( 210 ) à la valeur 0,73 du multiplicateur k de la résistance. Telle est donc aussi la plus grande vitesse qu’un boulet , de ce poids et de cette dimension , puisse acquérir en tombant verticalement dans l’air. Cette vitesse serait évidemment moindre pour un boulet d'eau congelée ou de bois de même diamètre ; car la résistance , à vitesse égale, resterait toujours la même, tandis que le poids P serait diminué.
Par exemple, pour un boulet en bois d’orme dont la densité est environ (35) le neuvième de celle de la fonte de fer, oii aurait ~ 12 '*, 68 = 0,0011 AV', et la vitesse limite V serait un peu supérieure à -j- 128“’ = 42"’, ou plus exactement à 43"’, 50, attendu que la valeur de A est ici (210) 0,69 au lieu de 0,73. Un boulet de platine, ayant de même 15” de diamètre , tomberait , au contraire, avec une vitesse qui surpasserait 126“’, à peu près de 0,73 X 126 = 92"’. En&n , pour des boulets , en fonte du fer, qui auraient un diamètre au-dessous de 15°, la plus grande vitesse de chute serait nécessairement moindre que 126°’ : pour un boulet de 3° de diamètre , par exemple , on aurait (215) l’égalité
74 yl 2 S 68 = ^0011 A V', ou i 12S68 = 0,0011 A V°;
ce qui donne,, en supposant d’abord approximativement A = 0,7,
d’où on tire, en extrayant la racine carrée, V = 57"’, 4 pour la plus grande vitesse de chute; et, comme, d’après la table du n* 210 , la valeur de A relative à cette vitesse est effectivement 0,70 , il n’y a pas lieu à recommencer le calcul pour obtenir un plus grand degré d’approximation dans les résultats.
248. Observations sur le mouvement des parties très-fines des corps. Ceci explique pourquoi lei poussières extrêmement ténues (7) tombent, dans l’air et à plus forte raison dans l’eau, avec une si grande lenteur, quoique leur densité surpasse de beaucoup celle du fluide qui les renferme ; nos formules peuvent même servir à calculer quel devrait être le diamètre d’un grain sphérique d’une substance connue, pour que la vitesse de chute ne surpassât jamais une vitesse donnée : par exemple, pour un grain de fer coulé tombant dans l’air, dont la vitesse limite devrait être seulement de Imii o>n^O01, et dont n serait le rapport du diamètre à celui du boulet de 1S‘, on aura (210)
n> X 12S68 = n’ X 0,0011 X 0,59 X (0,001)’, ou 12‘‘,68 n = 0,000000000649;
et parconsequent n — -
■ = 0,00000000005 environ;
donc enfin le diamètre du grain
quantité moindre qu’un cent-millionièrhe de millimètre.
Les mêmes considérations peuvent aussi servir à expliquer pourquoi les courants d’air entraînent les poussières, d’un même corps, d’autant plus loin qu’elles sont plus ténues; tandis que ces mêmes parties sont, â l'inverse, cèlles qui vont le moins loin quand on les lance, dans un air en repos, avec une certaine vitesse horizontale ou ascensionnelle. Enfin on se rendra parfaitement raison de l’énorme diiférence qui existe entre les vitesses de chute de plusieurs corps, qui, sous le même volume, ont des densités ou des poids également très-distincts : la diversité des formes en apporte d’au moins aussi grandes comme on va le voir.
249. Calcul de la plus grande vitesse de descente des parachutes. On sait que les parachutes, à l’aide desquels les aéronautes peuvent abandonner leurs ballons et descendre, sans danger, des régions supérieures de l’atmosphère, sont à peu près disposés comme les parapluies ordinaires, fig. 58, si ce n’est qu’ils reçoivent des dimensions beaucoup plus grandes, et qu’ils portent, à l’extrémité inférieure de leur tige verticale, une gondole ou petite nacelle en osier propre à recevoir 4e voyageur. On peut juger, d’aprçs ce qui a été
observé n° 204, que l'ouverture la plus avantageuse du cône formé par la surface du parachute est celle qui donne à ce cène une hauteur égale environ au j ou au ^ du diamètre de sa base ; considérant donc (211) la résistance R = 0,062S3 AAV’ kilog., que présenterait la surface concave d'un tel parachute ayant S*" de diamètre ou 4*° de rayon à sa base, on aura (203 et 204)
au moins, et par conséquent
R = 0,06258 X 3 X 80“’, 2656 V' =9,4293 V* kilog.
Supposant que le poids du voyageur et de tout le surplus de l’équipage soit de 85'“' environ, on aura, pour déterminer la plus grande vitesse quVicquerra le parachute, dans sa descente, la condition 9,4293 V> = 85'“', ou V' = 9"’ environ ; d’où la vitesse cherchée y = 3“ par seconde. Une telle vitesse, en supposant même qu'elle pût être atteinte par le parachute, serait assez faible pour prévenir tout accident à l'instant où la gondole toucherait terre.
Nous ajoutons en eupposant qu’elle pût être atteinte, car nous n’avons pas tenu compte de la résistance de la gondole, des tiges du parachute, etc., et les calculs ne se rapportent qu’à la plus grande vitesse de chute que puisse acquérir le système, à celle qui répond à l’instant où le mouvement est devenu entièrement uniforme (245 et suiv.) Or il est aisé de se convaincre que, dans la réalité, les corps qui tombent ou s’élèvent verticalement dans l’air ne peuvent, ainsi que nous l’avons déjà insinué (246) et conformément an principe du n“ 241, jamais parvenir rigoureusement à cet état de mouvement, quoiqu’ils en ap[irochent sans cesse, et que, dans certains cas où la force motrice F possède une grande valeur par rapport au poids P ou à la masse M du corps, ils puissent en approcher, do très-près, au bout d’un intervalle de temps même médiocre.
250 . Démone^ation géotnétrique de l’imposiibilité que le mouvement continu atteigne rigoureusement une parfaite uniformité. Quoique ce fait résulte immédiatement des discussions du n° 241 déjà cité, il ne sera pas superflu de le démontrer directement, sans calculs et par les seules considérations de la Géométrie, d’autant plus que le principe est important, et s’applique indistinctement à tous les cas où le mouvement tend, sans cesse, à se régulariser par l’action
d’une force dynamique qui varie, en même temps que la vitesse, suivant une loi exactement continue et mathématique.
Traçons (6g. 69 et 60), une courbe ABC dont les abscisses Ot', Or", Ot'",.... représentent (50) les temps successivement écoulés depuis l’origine du mouvement, qui répond ici an point O, et dont les ordonnées t'v', t"c", f"V", .... correspondantes représentent, au bout de ces temps respectifs, les vitesses acquises par le point du corps où est censée appliquée la force motrice ; il est clair que, si cette force motrice et par conséquent la vitesse augmentent (6g. 69), ou diminuent (6g. 60), constamment, par succession insensible et par une loi rigoureusement continue, la courbe s’éloignera ou s'approchera aussi, sans cesse, de l’axe des abscisses OT. Si donc la vitesse doit devenir, à la 6n, constante ou uniforme, la courbe devra également, dès lors, se confondre aved* une ligne droite parallèle à OT; mais, comme une courbe diffère essentiellement, dans sa nature, d’une simple ligne droite ; comme son tracé géométrique, sa loi mathématique sont essentiellement distincts du tracé et de la loi de celle-ci ; comme en6n nous avons supposé que le décroissement de la force motrice est essentiellement continu et suit une loi invariable, il faut nécessairement admettre aussi que la courbe ABC des vitesses ne dégénère jamais, rigoureusement parlant, en une simple ligne droite, mais bien qu'elle en approche de plus en plus et indéBniment ; de sorte, par exemple, qu'au bout d’un temps excessivement long, ou à une distance exeessiveraent grande de l’origine O, les vitesses ou les ordonnées diffèrent aussi extrêmement peu de celles qui appartiennent à une droite DE parallèle à Taxe OT des temps on des abscisses. Or cette droite est ce qu'on nomme une atymplote dans In Géométrie des courbes, et c’est la valeur constante OD de sesordonnées que nous avons, tout à l’heure, déterminée pour le cas du mouvement vertical des corps dans Tair.
Telle est l’interprétation géométrique très-simple du fait qui nous a d’abord été signalé par le calcul et le raisonnement, fait qui se reproduit d.-ins une in6nité de circonstances, parce qu’il existe aussi une in6nité de lois, une in6iiité de courbes qui donnent lieu à des atymptoles, dont le caractère général est, comme on voit, de t’approcher continuellement et indéfiniment d’une certaine branche de courbe, tans néanmoins pouvoir jamais l’atteindre, et que Ton considère aussi quelquefois oumiue de véritables tangentes au point situé à Tin6ni sur une telle branche.
Les hyperboles , entre autres * ** , dont nous avons rencontré un exemple particulier dans le n° 181, possèdent deux asymptotes pareilles, quand on les trace dans toutes leurs parties ; car elles ont aussi deux branches infinies ; mais toutes les courbes qui ont de telles branches n'ont pas pour cela des asymptotes : la parabole, entre autres, est dans ce cas On doit voir, par là, combien l'étude des courbes géométriques est utile pour la Mécanique, puisque chacune de leurs propriétés répond essentiellement aussi à une propriété relative à une des lois du mouvement des corps ou de l'action des forces motrices.
i61,.liéfles:ions sur la manière dont les moteurs communiquent le mouvement aux machines. Quand un moteur animé ou inanimé est appliqué à une machine industrielle quelconque, il commence par la mettre en mouvement avec un effort qui d'abord est trèsgrand (1-48), il détruit à la fuis, au point où il opère immédiatement, et la réaction provenant de l'inertie des pièces de la machine et celle des diverses résistances nuisibles ou utiles; la force dynamique F, qui accélère le mouvement, est donc alors égale à l'excès . de l'effort total du moteur sur l'effort que lui opposent directement celles des résistances dont il s'agit , qui sont indépendantes de l'inertie. Or, comme ces résistances ou restent sensiblement les mêmes à chaque instant, ou augmentent de plus en plus avee la vitesse, et que l’effort du moteur décroit, au contraire (1-48), de plus en plus , il en résulte que le mouvement s’accélère, de moins en moins, à peu près comme dans les cas qui précèdent, de sorte qu'il tend sans cesse à se régulariser ou à devenir uniforme ; mais ce n’est (|u’au bout d’un temps, souvent fort long, que la vitesse atteint sensiblement 1a limite de sa valeur, à laquelle elle ne parvient même jamais mathématiquement parlant.
Toutefois les moteurs animés différant essentiellement des autres en œ qu’ils ont la faculté de maintenir, pendant un certain temps, l’intensité entière de leur effort primitif, malgré l’augmentation de la vitesse, puis de le diminuer tout à coup, et de le réduire à celui qui est strictement nécessaire pour vaincre les résistances étrangères à l'inertie, ou pour entretenir la vitesse du mouvement au
* Caosultei à cc tufet la i3° leçon du Cours de Giomilrie de M. Dupin, i» vol., pag. 3 14 , ou la page gi de la Giomilrie des courbes de M. Bergery .
** Voyez les ouvrages cites dans la note ci-dessus, pages 3s i cl iu3 respeclivemeoi.
aSi MÉCANIQUE INDUSTRIEUX.
point on elle est parvenue à un certain instant, on voit que la proposition ci-dessus n'est plus exactement applicable , et que la machine pent atteindre, au bout de très-pen de temps, l’état moyen de mouvement qu'elle doit con^rver. Or la même chose aura lieu (341) toutes les fuis que la force motrice suivra une loi arbitraire, ot qui ne dépendra pas uniquement de la vitesse. \
CAICDL DIS LOIS DD HODVIIIST BODIZOSTAL IT VIITICAL DIS COIFS DANS US FLDiDES laDlriais.
353. Méthode pour trouver le tempe qui répond à une viteeee donnée ou acquise par le corps. Nous avons fait connaître (134) une méthode générale pour trouver, par des tracés géométriques, la loi du mouvement des corps quand celle de la force motrice est donnée , ce qui est le cas actuel ; mais cotte méthode, bonne comme moyen de démonstration et pour faire comprendre la liaison étroite qui subsiste entre le temps, la vitesse, la force et l'espace décrit à chaque instant, ne l'est pas quand il s’agit de calculer eifectivement toutes les circonstances du mouvement; parce qu’elle serait peu rigoureuse d'une part, et que, de l’autre, elle donnerait lieu à des ^ opérations trop multipliées, trop pénibles. Or on peut atteindre le but par un procédé exempt de ces inconvénients, et qui est fondé sur le priheipe de Thomas Siiu|ison (180) pour calculer l’aire des courbes. Ayant d’ailleurs appris, dans les numéros précédents, comment on peut, dans chaque cas et pour les vitesses successivement acquises par un même corps, trouver, en kilogrammes , la valeur de la force motrice F, qui modifie le mouvement à l’instant qui répond à chacune de ces vitesses, un n’éprouvera aucune difficulté à appliquer la méthode aux diverses circonstances que présente le mouvement vertical ou horizontal des corps dans les fluides indéfinis.
Nous avons (130), d’après ce qui a déjà été souvent rappelé dans ces ^Applications, pour calculer le temps t que met la force F, à ac- " croître, de la quantité o, la vitesse V d’un corps dont le poids est P, la formule
Cela posé , concevons une courbe O’b'fh' (Gg. 61) , dont les abscisses Oa, Ob, Oc , .... Og, représentent les valeurs successives,
en mètres , de la vitesse V dn corps , et dont les ordonnées 00', aa’, hb', . . . g^, représentent les valenrs , en nombres , du quotient de P par 9”*, 8088 X ^"1 relatives aux diverses abscisses ou vitesses correspondantes. Supposons, en outre, que les intervalles égaux Ou, ab, bc, . . . gh représentent la valeur très-petite et censée constante, de chacun des accroissements on de chacune des diminutions v, de vitesse, sncce^PIment éprouvés, par le mobile, dans des instants qui ici ne seront pas en général égaux, puisque le mouvement n'est point uniformément accéléré ou retardé (107 et suiv.); il s’agira de trouver, pour chaque abscisse telle que Oc, par exemple, ou pour chaque valeur correspondante de la vitesse V du mobile, la mesure du produit de l’ordonnée cc' par v ou par cd, puis de faire la somme totale de ces produits pour l'intervalle de mouvement ag, je suppose, qu’on vent considérer ; car, d’après la formule, on obtiendra ainsi la valeur du temps qui s’est écoulé dans cet intervalle, et qui est la quantité que nous cherchons à calculer. Or, en raisonnant ici comme on l’a fait dans les n°' 73, 107, 18S, etc., il sera aisé d’apercevoir que la somme dont il s’agit, n’est autre chose que la superficie de l’aire trapézoïde aa' c' g' ga, comprise entre la courbe, l’axe OV des abscisses et les deux ordonnées aa', g^, qui répondent à l’intervalle de mouvement ag, pour lequel on se propose de calculer le temps écoulé, par le moyen des vitesses Oa, Og, qui sont censées données immédiatement : le calcul de ce temps se fera donc aisément par la méthode du n° 180.
3S3. ydpplicaHom particulières relatives à la chute des corps dans l’air. Prenons, pour exemple, une balle en bois d’orme de 8° de
- gg
diamètre, son poids sera (35 et 247) -.'.aé = 0*’,0118 environ,
et les résistances que lui opposera l’air, seront le ^ de celles du tableau du n° 215, pour les mêmes vitesses. Supposons que, cette balle étant tombée naturellement dans l’air, d’une certaine position pour laquelle la vitesse initiale était par conséquent nulle, il s’agisse de trouver quel sera le temps qu’elle mettra pour acquérir une vitesse de 8”’, représentée par Od, je suppose. On divisera cette vitesse en un certain nombre pair de parties égales , et on calculera les valeurs correspondantes de F (246), puis celles des ordonnées ou des quotients de P par^F. En partageant seulement l’intervalle Odou les 8"' de vitesse, en 4 parties égales aux points a.
b, c, on pourra dresser la table suivante des diverses grandeurs relatives à la question (218 et 247), en observant que le poids du volume d’air déplacé peut encore ici être négligé par rapport à celui du ccrps dans le vide, puisqu’il en est, au plus, le 652'°"",
point* O, O, b, c, d,
vileise* Om, gm, 4 n>, 6», 8»,
rtsUUnce* H de l'air 0<‘, 0^,0001, OMOOS, 0^,0010, 0^,0018,
valeursdeF 0t,0113, 0^,0113, Ot, 0108, OMtOS, «t,0095,
valeurs ...0,1018, 0,1027, 0,1055, 0,1117, 0,1211.
Par conséquent, ou aura
somme des valeurs extrêmes de —r 0,1018 - 4 - 0,1211 ss 0,2220
gt
2 tels celle des autres valeurs impaires 2 X 0,1055 = 0,2110
4 fois celle des valeurs paires 4 (0,1027 -t- 0,1117) = 0,8576
ToUl 1,2915
Cette somme totale, multipliée par le | de l’intervalle constant ab entre les vitesses successives , qui est ici 2 mètres , donne j2 X 1,2915 = 0", 861, parce que ÿ répond (117) à une seconde qui est ainsi l’unité de temps. Si le corps fût tombé dans le vide, il eût acquis la vitesse des S*", dans un temps qu'on obtient par la formule
V =jT du n° 117, laquelle donne T = ^ 0",815;
ce temps est donc un peu moindre que celui qui répond à la chute dans l'air, comme cela doit être.
Si on se fût contenté de diviser l’intervalle de O à d, ou de zéro à 8", en deux parties égales seulement, en b, l’on eût trouvé, puur la valeur du temps écoulé, fA'" X (0,1018 -j- 0,1211 -j" X 0,1055) = 0",860, laquelle ne diffère que de de celle qui a été obtenue précédemment; or cela provient (180) de ce que la méthode est ici très-approchée , attendu que la première partie de la courbe , O'ab'c'e, diffère très-peu d’une ligne droite , et que les O"" de vitesse sont encore loin de la limite 19'",70, relative au plus grand mouvement de la balle (247). On pourra donc, dans des cas semblables, abréger beaucoup le calcul du temps écoulé.
Cherchons maintenant le temps relatif à une vitesse de 16'*,
APPLICATlOIfS ET DÉVELOPPEMENTS. 2S5
laquelle approche de la vitesse limite 10°',70 : en partageant l'intervalle, de S*" à 16'°, en 4 parties égales répondant aux vitesses de lO"”, do IS"” et de H"”, on trouvera pour résultat final, en opérant comme ci-dessus , 1",389, pour le temps écoulé entre l'instant où la vitesse est de S*" et celui où elle est de IG*". Si l’on eut seulement divisé cet intervalle en deux parties égales, on eût trouvé 1",897, nombre qui ne surpasse le précédent que de environ de sa valeur, et qui, même pour des opérations délicates, serait suffisamment approché. En ajoutant 1",389 à 0",861, temps qui répond à la vitesse de 8*° antérieurement acquise, le temps total relatif aux IG*", sera 2",S60, tandis que, dans le vide, le temps de la chute serait
Pour trouver le temps que le corps mettrait à acquérir la vitesse de IG*" qui approche encore plus de la vitesse limite, il suffirait de partager l'intervalle des S"", compris depuis 10'" jusqu’à 18'", en deux parties égales ; on trouverait ainsi que le temps, écoulé dans cet intervalle, est d’environ 0'',8-i5, c’est-à-dire peu difiérent de celui qui, dans les premiers instants de la chute, a suffi pour imprimer la vitesse de 8*" à la boule. Ainsi le corps acquerra, en 2",280 -|- 0",848 *u en moins de 3",1, une vitesse de IB"* trèsapprochante de la plus grande vitesse de chute 19'", 7, qu’il ne peut atteindre (280) réellement qu’après un temps infini ou excessivement long. Dans le vide , le temps relatif aux 18'" de vitesse serait seulement de 1",84.
Il faudra opérer, d'une manière absolument semblable, quand il s’agira de trouver le temps qu’un corps quelconque , tel qu’un . boulet, un ballon, un parachute, met pour ralentir ou augmenter sa vitesse horizontale ou verticale d'une quantité donnée, par suite de l'action de la pesanteur et de la résistance du milieu; seulement il faudra avoir soin , si on tient à une grande rigueur, de resserrer davantage les opérations vers les parties de la courbe qui diflèrent beaucoup de la ligne droite ; et l'on fera bien , sous ce rapport , de construire approximativement, dans chaque cas, cette même courbe, afin d'en étudier à l’avance la forme et les propriétés. Quant aux recherches qui exigent moins d’exactitude, on pourra diminuer le nombre des opérations : voulant, par exemple, calculer, tout d’un coup, le temps qui répond à la vitesse des 16"“ ci-dessus, on se bornera à partager cette vitesse en deux par-
2!50 MÉCANIQUE INDUsffelELLE.
lies égales de S*" cbacnne , et , ayant trouvé que les valears du quotient de P par yF, qui répondent à 0”, à 8™ et à IB” , sont 0,1018, 0,1211, 0,2878, respectivement , on obtiendra la quantité f 8” (0,1018 -j- 0,2875 4.0,1211) = 2",88, pour valeur approchée du temps dont il s’agit, laquelle est ainsi trop forte de ~ environ ; en partageant l'intervalle en 4 parties égales, on trouverait 2", 286, qui ne diffère plus que de yfj de la valeur 2",28 trouvée ci-dessus.
264. Trouver l’espace qui répond à une viteiee donnée du corps. Ayant calculé, selon ce qui précède, la table ou la loi qui donne les vitesses relatives aux temps écoulés , il ne sera pas difficile, d’après le n° 184, de calculer aussi l’espace décrit, par le corps, pendant que sa vitesse a été augmentée on diminuée d'une quantité donnée; mais, cette méthode exigeant que l’on ait préalablement calculé la loi dont il s’agit, ou qu’elle soit donnée immédiatement, deviendrait beaucoup trop laborieuse dans le cas où l’on ne connaîtrait que la loi qui lie la force motrice à la vitesse, ce qui est le cas actuel. On peut alors obtenir directement l’espace décrit sans calculer les temps écoulés.
En effet , nous avons , e étant l'espace décrit pendant le temps élémentaire ( (108, 134 et 138),
P PV
e = VX< = 'XprX ® == 9“,809F ^
Raisonnant donc comme dans le cas précédent (282), et calculant, pour chaque valeur de la vitesse V, la valeur correspondante du quotient PV par 9'”,809F, on pourra former une nouvelle courbe Oa"b ", . . .g" (6g. 61), ayant ces quotients pour ordonnées, et toujours pour abscisses les valeurs correspondantes de la vitesse V. Or la surface comprise entre cette courbe, l'axe OV des abscisses et les ordonnées qui répondent à l’intervalle de mouvement qu’on veut considérer, donnera évidemment la somme des valeurs successives des éléments d’espace e, et par conséquent la longueur tutiile du chemin parcouru par le mobile dans cet intervalle : cette surface se calculera d'ailleurs absolument de la même manière que celle qui donne le temps, par la méthode du n° 180.
288. Applications particulières relatives à la chute verticale des corps dans l’air. Qu’il s'agisse, par exemple , de calculer, pour la
balle de bois d’orme ci-dessus, l’espace décrit quand cette balle a acquis la vitesse de 8°*; on formera, on multipliant simplement, par les valeurs de V, les quotients déjà trouvés (2S3) de P par gï, ou de 0,001S par F, la table suivante :
vUeisCS 0>n, 2di, 4m, $m^ ga
valeurs de ^ X V= X V, 0, 0,2054, 0,4220, 0,6702, 0,9688
espace parcouru J 2"* [0-4-0, 9688-1-2.0, 4220-1-4(0, 2054-l-0,6702)]=:3ajS4 Dans le vide, l’espace décrit serait donné (118) par la formule
V>=2ÿH;
d’où
poisqu'ici nous avons V==8'°. La balle devrait donc tomber de plus haut dans l’air que dans le vide, pour acquérir la vitesse en question, ce qui est naturel.
Eu recommençant les mêmes calculs pour la vitesse de 16™, on trouvera que la hauteur correspondante de la chute serait de 2l™,30 pour l’air, et do 13“", 08 seulement pour le vide ; nous n’avous divisé l’intervalle, de 0™ à 16“, qu’en quatre parties égales, ce qui sufiit ici. On voit, par là, que les espaces décrits croissent d'une manière beaucoup plus rapide que les temps employés à les décrire (2a3 ) ; ce qui parait évident d’.nprès la seule inspection des courbes qui leur correspondent dans la fig. 61, et ce qui tient d’ailleurs à ce que les ordonnées aa", êè",.... croissent ellesmêmes plus rapidement que les ordonnées aa, bh ', .... gg, puisqu’elles ont, pour valeurs (282 et 25A), les produits de celles-ci par les valeurs correspondantes de la vitesse V ou des abscisses.
286. Observations générales relativet au calcul des autres circonstances du mouvement , et conclusion. — Les méthodes des n“ 282 et 284 serviront, quelle que soit la loi que suive la force motrice F par rapport aux vitesses, pour trouver directement l’espace et le temps qui répondent à une vitesse donnée^ mais, si c’était, au contraire, le temps où l’espace qui fût donné, et qu’il s’agit de calculer le vitesse correspondante, les opérations seraient beaucoup plus pénibles : on n’arriverait au résultat que par des tâtonnements plus ou moins longs, ou parla formation d’une table complète des temps
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