DT

Si, dans r(;(pia!iun des Farces vives, un mut — à la place de

EQUILIBRE DES FORCES Eï DYNAMIQUE.

7 mr^ (Jf m)g’

on a

Enfin, on a encore

cl, en vertu do ce qui a été dit (2° partie, 78),

nompl.nçons dans la valeur de 7' ou de la vitesse initiale du boulet, I mr* et r par leurs expressions ainsi données au moyen de la durée T d’une oscillation complète du pendule, nous trouverons, en définitive,

ou X

parce qu’ici un peut nielire les poids P et /> du pendule et du boulet à la place de leurs masses. Remarquons encore que M est la hauteur dont le centre de {gravité du pendule monte eu décrivant un cercle avec un rayon égal à D ou à sa distance à l’axe de rotation y7. Soient GG'K ( fig. 111 )ce cercle, G et G' les positions initiale cl finale de ce centre do gravité; RG’ , moyen proportionnel entre les deux segments RG et ATT? du diamètre vertical KG ou iD, est égal à

/RG X KR = / RG [W — RG) = //7(2D — //) = j/SD//,

à cause que roscillaliun du pendule est supposée furl petite. Aius ,

^ ^DH est la rouitié do la corde C qui sous-tend l’amplitude d : l’arc total décrit par le centre do gravité dans une oscillation coït ' plèto. Donc, enfin, on a

cLài£-.

A l’aide de cette formule, on voit qu’il suffira de compter le nom ■ bre des oscillations du pendule dans un temps déterminé, ou d’avoi : (2* partie, 76) la durée T d’une oscillation complète, ainsi que l’am plitude de l’arc décrit par le centre de gravité, pour trouver li vitesse du boulet qui aura mis en mouvement le pendule balistique. J’observerai, d’ailleurs, que cet arc est facile à évaluer d’après celui qu'une aiguille fixée à l’extrémité du pendule trace sur une aug: eirculaire FK ( fig. 110), concentrique au mouvement et rempli 3 d’une matière molle.

liscBiSES siaruis. — sssxiblsou oi Bxaaxs ou cobdxgks.

82. Équilibre d’une corde ou barre tirée par ses deux extrémités ; sa tension. — Nous allons passer à l’examen des machines simples, appelées ainsi parce que toute machine quelconque se compose du système de l’une ou de plusieurs d’entre elles. Nous commencerons ]iar la machine funiculaire, ou assemblage de cordes ou de barres, ot nous supposerons généralement les cordes ou les barres parfaitement rigides, inextensibles; nous ferons même abstraction de leur pesanteur et do leur inertie. L’inertie est, en effet, peu de chose comparativement anx forces appliquées si le mouvement venait à varier. Lorsque d’ailleurs il deviendra utile d’en tenir compte, on le pourra au moyen des principes déjà posés. Il eu est de même du |H)ids des cordes ou des barres, lorsque ce poids est comparable aux forces extérieures, mais ce cas est fort rare dans la pratique. Enfin, l’hypothèse qu’elles sont inextensibles est fondée sur ce que, dès qu’une corde o étéétenduc sous l’action d’une ou de plusieurs forces,

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ÉQUILIBRE DES FORCES ET DTXAMIQUE

celles-ci restant les mêmes, elle se comporte ensuite cuiuiiie si elle était inextensible.

Soit donc nne corde AB ( fig. 112 ), tirée à ses deux bouts A et £ par des forces quelconques; imaginons à chaque bout des plans tels que il/iV, M'N’, perpendiculaires à la direction do la corde, et décomposons les forces chacune en deux autres, l’une dans le plan perpendiculaire place au bout de la corde qui lui correspond, et l’autre dans la direction AB do cette corde. Comme cette corde n’est pas destinée à cheminer perpendiculairement à son mouvement, il est évident que les composantes perpendiculaires à sa direction devront se faire cqnilibrc d’elles-inéines. Il ne restera plus qu’à considérer celles qui agissent dans la direction AB, Il conviendra évidemment pour l’équilibre que cette corde soit continuellement tendue, et qu’en vertu'du principe de l’action égale et contraire <à la réaction, la somme on la différence des composantes qui agissent selon la direction AB à l’extrémité A soit égale et contraire à la somme un à la différence des composantes qui agissent au point B : autrement dit, toutes les forces données devront se réduire pour l’équilibre à denx forces égales et contraires. II sera de plus nécessaire qne ces deux forces exercent leur action en tirant en sens contraire sur la corde, car si elles poussaient contre cette dernière, elle se plierait et ne pourrait transmettre intégralement leur action réciproque. Si, au lieu d’une corde, il s’agissait d’une barre, les conditions d’équilibre seront encore les mêmes ; seulement alors, la barre étant susceptible de résister aux refoulements, les denx forces appliquées à ses extrémités pourront aussi bien la pousser que la tirer. Quoi qu’il en soit, en se rappelant ce qui a été dit sur la composition des corps , on peut supposer que les petits rcssorlsplacéscntrechaquepointde la barre ou de la corde sont tendus ou comprimés par deux forces égales et contraires et de même intensité que les forces qui agissent aux extrémités. Ces forces égales qui s’entre-détruisent à chaque point C sont ce qu’on nomme la tention de la corde ou de la barre. La tension est In même en chaque point, sauf le cas où une barre est tirée verticalement, parce que, outre les forces des extrémités, il y a ici d’autres forces qui font varier la tension d’un point à un autre.v Quand on tire sur une barre ou sur une corde, elle .s’allonge et même elle peut se rompre. Si elle était également résistante , cette rupture devrait avoir lieu simultanément dans tous scs points, et

1»8 DKDXIÈME PARTIE.

cependant il n’en est pas ainsi dans les arts; les barres ou curies ne sont point homogènes, et on les voit se rompre là où la résistance est la plus faible. — Quand deux morceaux de ficelle ont des longueurs égales, il n’y a pas de raison pour que l’une se rompe plutôt que l’autre sous une même résistance ; mais lorsque les longueurs sont illégales, il y a plus de chance pour la rupture de la ficelle qui est la plus longue. Voilà pourquoi une grande corde on ficelle se rompt plus facilement qu’une plus courte. Nous reviendrons plus tard sur ces résistances ; nous nous bornerons pour le moment à observer que leur force se mesure soit avec des poids, soit avec des dynamomètres.

88 . Quanlité de trarail exercé» »ur une corde. — On vient de voir que, pour que des forces se fassent équilibre aux extrémités d’une corde, il faut que la résultante des forces qui agissent à un bout soit égale et immédiatement contraire à celle des forces de l’autre bout, et que lesdirections de ces résultantes se confondent avec celle delà corde. Le travail de ces résultantes devant être le môme, on en conclut que la quantité de travail des forces qui agissent à un bout est égale à celle des forces qui agissent sur le bout opposé. Enfin, le travail de ces résultantes est aussi égal à celui de la tension de la corde en un point qnelconque C ; et pour l’évaluer il suffit de multiplier cette tension par le petit chemin décrit par ce point dans la direction de cette tension ou de la corde. Ainsi, le travail de plusieurs forces appliquées à une même corde est encore égal à la quantité de travail de la tension de la corde. Sans la sonnerie des cloches on fixe ordinairement au bout de la corde principale ( fig. 113 ) un certain nombre de cordelles sur lesquelles un même nombre d’hommes tire séparément, chacun pour sou compte. 11 KTait difficile d’évaluer le tr.avail partiel de chaque sonneur, parce que la direction de son effort varie à chaque instant. Mais il y a une tension générale exercée sur le câble AB, et la quantité de travail de cette tension est précisément égale à la somme des quantités de travail développée par les hommes. Remarquons que leurs efforts se décomposent en efforts borisontaux et en efforts verticaux ; , que les uns doivent se faire équilibre par eux -mêmes et s’entre-détruire; et que les derniers seuls travaillent, et sont égaux en somme à la tension du câble. Les efforts horizontaux sont donc exercés en pure perte et fatiguent inutilement les hommes. Ainsi , quoiqup

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DÎNAMIQUE. 1S9

tonte la qnantité de travail des liuinmcs suit transmiac au câble, la disposition des oordelles inclinées est une cause de fatigue d’autant plus grande qu'elles sont pins inclinées. C’est pour cette raison qu’on a imaginé de les relier à un cercle commun horizontal dont le centre est à l'aplomb du câble, et dont la circonférence supporte d’autrescordelles ou tirandes verticales auxquelles les hommes ■ont appliqués.

8â. Équilibre iur de» corde» qui concourent en un tnéme point. — Lorsque plusieurs forces agissent sur des cordes qui concourent en on même point, la tension de l’une étant égale à la résultante des efforts qui ont lieu sur toutes les autres, on voit que, pour qu’il y ait équilibre, celte même tension devra être égale et directemenl opposée à la force qui sollicite la corde que l’on considère. Donc , si des forces sont appliquées à des cordes concourantes, la condition de leur équilibre exige que l’effort de l’une d’elles soit égal et directement contraire a la résultante des forces qui tirent tontes les autres. — On sait qu’un réverbère est suspendu [lar une poulie mobile <7 ( fig. lié ), dont la gorge peut glisser sur une corde ydCB, attachée à'dcux points fixes A et B. S’il y a équilibre, il est évident que le poids P du réverbère doit être égal â la résultante des tensions telt' qui ont lieu sur les deux branobos AC et CB de la corde de suspension, ou que, sur la verticale CE on prenne CD proportionnelle à ce poids, et que l’on construise le parallélngraiumc CtDt i les côtés Ct et Ct! devront représenter oes tensions respectives. Or, la longueur de la corde ACB étant constante, le point C appartient en outre à une ellipse dont A e\. B sont les foyers ; et sa position sur celle ellipse, comme pour tout système pesant en équilibre, doit être telle que l’équilibre soit stable j ce qui n’aura lieu qu’autant que le point C sera le plus bas possible. Ce point est d’ailleurs celui où la tangente â la courbe est horizontale. Or, les angles que la tangente a l’ellipse fait avec les rayons vecteurs AC et CB sont égaux : donc, pareillement, la verticale partagera en deux parties égales l’angle ACB dece» rayons vecteurs. Par conséquent, la figure ClDl' est un losange, et l’on a t = I', Cela résulte inimcdiateraenl du principe de la réaction égale et contraire à l’action, attendu que les cordons se tirent entre eux immédiatement au travers de la gorge de la ponlie (7, comme au travers d’un anneau. — Si le point C d’application d’un fardeau ne peut glisser, il n’y a plus à

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DEUXIÈME TARTIE.

rechercher sa position, il est le sommet du triangle' ABC. En faisant In décomposition du parallélogramme, on trouTO que les denx tensions ne sont plus égales et que la plus grande a lieu du côté où la verticale du fardeau est la plus rapprochée de celle de chaque point fixe. En effet , si le fardeau élait^lacé dans la verticale do A ou que la ligne AC fût verticale, la tension serait la plus grande possible dn cûté de ce point, puisque alors elle serait égale an poids du fardeau ; de plus, la tension exercée sur la branche BC serait xéro. On voit encore qu'il serait impossible que le point de suspension <7 laissât du même eûte les verticales des points fixes ^ et B. Si, par exemple, le cordon a une longueur AG B ( 6g. 115 } et que le point donné de suspension suit G, ce dernier prendra la position G' sur la verticale de A, et la branche de corde du cûté B sera détendue.

86. Équilibre du polygone funiculaire. — Considérons nn polygone funiculaire ABCD.... ( fig. 116 }, composé d’un assemblage de cordes ou de barres, et tiré à scs sommets A, B,

C, D par des forces quelconques P, Q, B, S. Soient, en outre, jVet N' deux forces do tirage agissant aux deux sommets A et

D, suivant les directions AA' et DIP , et qui représentent les efforts exercés aux denx extrémités par lesquelles ce polygone est attaché. Lesconditions d’équilibre sont analogues aux précédentes, et la figure que formeront entre eux les côtés en tournant autour de leurs articulations pour satisfaire à cet équilibre est dite po/ygone funiculaire. Elle sera telle que l’équilibre subsistera sur choque sommet en particulier. Ainsi , en décomposant chaque force R en deux autres fui ces dirigées sur les côtés BC et CD adjacents à son sommet d’application C, ces deux forces seront égales et directement contraires aux tensions et t, de ces côtés. Observez que cet équilibre est indépendant de la longueur des côtés, et qu’il aura lieu lors même que ces côtés seront devenus nuis. Dans ce dernier cas, toutes les forces extérieures auront été transportées parallèlement à elles-mêmes autour d’un même point, aussi bien que les tensions des côtés; mais, comme chaque cûté est tiré par deux tensions égales et contraires, celles-ci se détruiront entre elles, et il no restera que les forces étrangères aux tensions. Ces forces se faisant encore équilibre autour du point sur lequel elles auront été transportées, on voit que la condition de l’équilibre d’un polygone

ÉQÜILlBaR DES FORCES ET DYNAMIQUE. Ifil

funicnlairc est que loules lea forces qui lui sont appliquées se fassent équilibre, lorsqu'elles sont transportées en un mime point parallèlement à elles-mêmes.

86. Equilibre d’un polygone supportant un poids. — Si toutes le» forcesP, Q, H, S{ fig. 1 17 ) sont parallèle*», l.i forcer est dans le plan de» côtes BC et CD adjacents à son sommet d’application C; la force 0 est également dans le plan des côtés AB et BC ; donc les trois côtes y/fi, BC et CD sont dans le même plan qui passe par les directions des forces parallèles Q et R. On déinonirerait de la môme manière que tout le polygone est dans un seul et même plan, ainsi que les forces parallèles qui lui sont ap|iliquécs. Si 1e polygone est, par exemple, un asscniblage de barres pesantes, les forces qui sollicitent chaque côté sont précisément leurs poids respectifs. Soit P le poids de la barre AB. Ce poids devant passer par le milieu de AB, ou par son centre de gravité, se décomposera en deux autres force», égale» .17/», appliquée» en A et B ; de mcnic, le poids q de BC donnera lieu à deux composante»-^ q, .appliquées en B et C; et le poids r de CD à deux autres coin|iosaiiics 7 r, appliquées en C et D. Ainsi, chaque sommet B ci C aern soumis à l’aelioii des forces 7 (p -f" 9)» ■; (9 ■}” '■)> T" seront égales .i la demi-somme des poids des côtés adjacents : il u’y aura que les sommets extrêmes qui supporteront le demi-poids du côté qui leur aboutit respectivement. On n’aura plus ainsi à s’occuper que d’un polygone sans pesanteur chargé à scs sommets. Dans tous les cas, puisque toutes les forces verticales P, Q, R, Adoivent être en équilibre avec les forces N et N’ qui supportent le polygone, ou qui sont exercées à ses deux points de suspension A' et D', il faudra que la résultante des premières suit égale et directement opposée à celle de ces dernières. D’ailleurs, la résultante de tous les poids P, Q, B, S a sa direction selon la verticale qui passe par leur centre de gravité G. Par conséquent, les direction» cl DD' des efforts JV et J\l’, ou tension» extrêmes, se coupent en un même point O de cette verticale. Si donc O.V représente la somme de tous les points P, Q, R, S, ou leur résultante, les côtés OP, OU du parallélogramme construit sur les prolongements de ces tensions extrêmes 'et dont OM est la diagonale donneront, l’un la tension N exercée au point A', et l’antre la tension N’ exercée au point D'.

87. Moyen général de Irourer les tensions. — 11 est utile de connai-

TRUTÉ ns «Kc* nn. tt

16a DEUXIÈME PARTIE.

<re la teniioii dechnque côté iatennccliaire du polygons Funiculaire pesant, afin de proportionner convenablement les grossears de ses côtés. Suit ABCDE. . . . ( fig. 118 ) un poljfgone pesant en dqaU libre, en vertu des poids P, Q, R, S, T qui agissent à ses sommets, et des furces extrêmes ^ot N' dunt les directions sont A/ï et EB".

Je remarqucr.si que, puisque l’equilibro subsiste autour de chaque sommet A, la furcc N dont l’action a lieu suivant AA' est égale à la résultante des deux forces P et I,, et que si l’on prend A» — N sur le prolongement de A' A et que l’on construise le parallélogramme Al,np sur An comme diagonale, les côtés du triangle Apn représeiiieroiit , l’un Ap la force P, et l’autre pn la tension t, du côté AB. Cela posé, menons une horitontale ae sur laquelle, à partir du point arbitraire d, nous porterons des parties o'e, ab, bc, cd, de, proportionnelles «nx forces P, Q, R, S et T. Si, par le point a' je mène a' S perfiendiculaire o la direction A'AAeXti force N et dont la longueur suit proportionnelle à la force iVou^ti, et qneje joigne aS, il est évident que le triangle a’Sa sera semblable à Apn. Car les côtés du premier a'a et dS sont proportionnels aux côtés Ap et An du deuxième. De plus, ces côtés étant perpendiculaires entre eux, les angles qu'ils comprennent sont respectivement égaux. Ainsi, le troisième côté aS du triangle dSa sera proportionnel à pn ou à la tension de AB. Par la même raison ab étant proportionnel à Q, le troisième côté hS du triangle aSb sera proportionnel à la tension f, du côté BC, puisque les trois furces t„ 0et f, se font équilibre autour du sommet AB, Enfin, puisque a'a et aS sont perpendiculaires aux directions An et Ap des forces N et P, aS sera perpendiculaire au côté AB dunt cette grandeur mesure la tension f,. 11 en sera de même par rapport au côté BC, de bS qui mesure sa tension t,. Donc, si les poids se font équilibre sur un polygone Funiculaire, et si l’on prend sur une horizontale une suite de divi- ' sions proportionnelles ô ces poids, les perpendiculaires menées par chaque point do division à chaque côté du polygone concourront en un même point, et leurs grandeurs, comprises entre l’horizontale et ce point de concours, seront proportionnelles aux tensions dea côtés du polygone, auxquels ces ligues convergentes sont perpendiculaires.

88. Chatnette , ton utilité dans les arts. — Les côtés du polygone peuvent être très-petits et n’ètre soumis qu’a l’action de leur propre

ÉQUlLinaE DES FOREES F.T DYNAMIQUE.

poids ; eu uns est préciscaicnt celui d'uiic eliuiiie suspciuluo pur scs estrémilés A ci B { fig. 119 ), et le polygone d’équilibre devient une courbe qu’on noiimie chaSnette. Cette courbe est eiupluyce avec avantage pour la forme à donner aux voûtes, et l’on en voit un exemple au dôme du Panthéon de Pai^s, dont une des voûtes est tracée en chaînette renversée. Il faut concevoir que, pour une telle position de la chaînette, des boules égales et juxtaposées sur sa courbure y resteront en équilibre, parce qu'il n’y a aucun changement ni dans l’action de la pesanteur sur ces boules, ni dans l’.iction réciproque en vertu de laquelle elles se foulent l’une contre l’autre. Ces refoulements remplacent ici les tractions qui auraient lieu sur les cléments de la chaînette si cette dernière était pendue naturellement, et qu’elle soutint toutes les boules enfilées. C’est donc pour cette raison que les voussoirs d’une voûte qui aurait pour cintre une chaînette renversée, s’y maintiendront en équilibre. La cbainette est encore employée dans les ponts établis sur une ou plusieurs chaînes tendues parallèlement et également d’une rive à l’autre, et qui sont chargées de madriers. Mais, dans leur construction, il importe de connaître les tensions extrêmes de ces cordes, afin de s’assurer que les points fixes qui leur servent d’attache sont sufi&sammcnt résistants.

89. Propriétés générales de la chaînette. — Une chaînette ACB ( fig. 121 ), suspendue à deux points fixes A et B, n’est antre chose, avons-nous dit, qu’un polygone pesant eu équilibre et dont les côtés sont infiniment petits; en sorte que si , sur une ligne horizontale A’B', on prend une longueur A'B' proportionnelle à son poids , et qu’on divise cette longueur et la nhainette en un même nombre de parties égales, il existe un point de concours S jouissant de cette propriété , que toutes les droites menées de ce point' à toutes les divisions do A'B' sont perpendiculaires aux petits côtés ou éléments de la chaînette correspondant a ces divisions, et que les grandeurs SA", SF", .... de ces mêmes lignes sont proportionnelles aux tensions qui ont lieu dans les éléments de la courbe perpendiculaires à ces directions. De toutes ces tensions, la plus petite est donnée par la perpendiculaire SC à l’horizontale A'B". Or, l’élément do la chainetto auquel cette tension correspond étant luimèiue horizontal, ce sera le point le plus bas C de la cbainette. Les tensions devenant plus grandes à mesure que les obliques Sf ....

s’éloiffiienl pins delà perpendiculaire SC, on voit que les tensions des cléments d’une chaînette augmentent à mesure que ceséléments s’écartent du point le plus bas. Il soit de là que les tensions les plus grandes possibles son^anx points d’attaebe yi et B. Deux tensions égales SF* et SG' appartiennent à deux éléments de la courbe situés à égale distance du point le plus bas C; de plus, ces éléments forment des angles égaux avec la verticale passant par ce point : donc ces éléments M et N sont situés sur une même horizontale NlV, et cette corde NSf, ainsi que toutes ses semblables, seront partagées en parties égales par cette verticale. Ainsi, la chaînette est une courbe symétrique par rapport à la verticale passant par son point le plus bas. Il résulte encore que si les points d’attache d’une cbainette sont sur une roêine horizontale, les deux tensions extrêmes sont égales, et que le point de concours qni détermine toutes les tensions est sur la perpendiculaire menée par le milieu de l’horizontale proportionnelle au poids de la chaîne. A et D étant, par exemple, les deux points de suspension, et A'D' étant une longueur proportionnelle au poids de la chaînette ACD, SC perpendiculaire à A'D' et passant par le point de concours S, coupera A />' en deux parties égales A'C et CD^.

00. Chaînettes semblables. — Deux ebainettes ACB et acb ( Eg. 121 ) sont semblables lorsque leurs points de suspension A et B d’une part et a et ê du l’autre sont situés sur des droites AB et ab parallèles , et lorsque leurs longueurs ACB et acb sont dans le même rapport que les distances AB et ab. Remarquons, en effet, que si l'équilibre subsiste sur la chaînette ACB, cet équilibre ne sera pas troublé (2* partie, 85) en diminuant proportionnellement les longueurs de ses éléments ou de ses diverses dimensions. Ainsi, lorsque ACB est réduit à la forme acb, non-seulement l’équilibre aura lien pour cette dernière, mais encore il n’y anra pas une seule de ses parties qui ne soit parallèle et proportionnelle à une des parties de la première. Mais, puisque les éléments de la petite chainclte acb sont parallèles à ceux de la grande ACB, toutes les tensions de cette dernière pourront être comprises dans l’angle A' SB qui intercepte les diverses tensions de la graiidoj on pourra alors trouver dans cet angle la position d’une droite ab' parallèle à A' B et qui représente le poids de la petite chaîne, comme A' B' représente le poids de la grande. Avec un peu

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ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. IGIÎ

d’utlciition, on recounail que les deux tensions Sf et SF", situées sur une mémo droite conrergeiitu en S, apparlicunent aux éléinenU parallèles des deux courbes, et sont ce que J’appelle des tenâiont homologue». Or, à cause des parallèles A’ B" et a'b’, un a la proportion

Sf’ : sr :: a'b’ : a'b',

qui nous apprend que, pour deux chatneUc» semblable» , les tensions aux points semblablement placés sur chacune d’elles sont entre elles dans le rapport des poids de ces chaînettes.

9 1 . Construction de ta chaînette en se donnant son poids, sa longueur et le point de concours des tensions. — Soit y#' B' ( fig. 122 ) une droite horizontale proportionnelle au poids de la chaînette, S le [loiiit de concours des tensions qui ont lieu dans scs divers éléments. Partageons la droite A'B' et la longueur do la chaînette en un même grand nombre de parties ; joignons les droites SA, 51, 52, 53. . . .; ces droites seront autant de perpendiculaires aux directions des divers éléments de la chainette. D’un point A quelconque, abaissoirs une perpendiculaire AV a la première direction SA, égale à une division do la longueur de la chaiuettc; du même point Tune droite l'2' égale à la première Al' et perpendiculaire à 51, etc. ; chacune de ces petites perpendiculaires se terminant où sa consécutive commence, et cette construction étant continuée un nombre de fois égal à celui des points de division, un formera un polygone dont les côtés donneront la chainette avec d’autant plus d’exactitude que le nombre des divisions aura été plus grand.

Le même point de concours 5 donne encore le moyen de mener une tangente a une chainette quand celle-ei est tracée. En effet, si E ( fig. 128 ) est le point par lequel ou veut mouor celte tangente, et que l’horizontale A'e représente le poids de la portion AE; joignez Se, et du point E abaissez à celte droite la perpendiculaire EG; ce sera la tangente en ce puiul delà cUainctle.

92. Détermination du point de concours de toutes les tensions de la chainette. — La connaissance du point de concours dépend de celle des tensions qui s’exercent aux extrémités de la chainette. Car A'B' ( fig. 124 ) étant le côté horizontal proportionnel au poids total, si des cxlrcmités A, B comme centres ou décrit des arcs dont

lÜC DEUXIÈME l’AKTIE.

les rayons et B" S sont proportionnels aux deux tensions extrê-

mes, lenr intersection S sera le point de concours cherché. Supposons d’abord que le tracé de la chaînette soit donné, il est évident que, d après les conditions do l’equilibre, les deux tanjjcntes AOf BO ( fig, 12o ) aux deux points extrêmes se couperont en un meme point 0 de la verticale passant par le centre de gravité delà chaînette, ou par son point le plus bas. Si donc on prend sur cette verticale, à partir du point de concours 0 do ces tangentes, nne partie OGproiiortiomielle au poids total, et que l’on construise sur ces tangentes un parallélogramme dont 0G est la diagonale, les côtés ^ O et 0B' donneront l’un la tension extrême en et I autre la tension en B. Mais, si 1 on a seulement les deux points de suspension A B fig. 126 ) , ainsi que la longueur et le poids total d’une chaînette, voici comnicril on procédera pour avoir les deux tensions extrêmes. On premlra une chnine beaucoup plus courte, et ou la suspendra sur un tableau vertical, à deux points o" et h situés sur une droite parallèle à AB cl distants entre eux d’une quantité ah qui soit avec AB dans le même rapport que celui des longueurs des deux chaincs. Celte petite chaîne étant ainsi suspendue, on mesurera avec un dynamomètre les elForts exercés par elle aux deux points a et h; et il est évi iciil que les tensions qui auront lieu sur la grande chaîne aux points A cl B seront respectivement égales aux produits des efforts précédents multipliés par le rapport, non plus ici des longueurs, mais des poids des deux chaînes.

Au lieu de mesurer avec le dynamomètre les tensions aux extrémités de la petite chaînette, on pourra mener par le point a de suspension le plus bas, l’horizontale ad qui coupe en d la petite chainette, et réduire ainsi le problème au cas où les deux tensions extrêmes seraient égales, car alors la portion de chaîne oed est en équilibre aussi bien que la chaînette totale acb. Cela posé, connaissant la longueur et le poids de acd, et portant sur une horizontale quelconque une partie a'b’ ( fig. 127 ) proportionnelle an poids total de acb, on sera sûr que le point de concours des tensions sera sur la perpendiculaire CK' qui iiarlage egalement en' C la grandeur o'd' proporlioniiclle au poids acd ( fig. 126 ) delà portion dechainette située au-des.-ous de I horizontale ad. l’renons sur C'A' un point 0 arbitraire, et construisons par ce point de concours, et à partir de o, la chaînette dont tous les éléments soient perpendiculaircsa toutes l«.>s tcnsioiiso'C qui concutireril de où' au point 0 ;

É^UILIBUE DES FORCES ET DYNAMIQUE

on portera perpendiculaireinent à CK’ une ordonnée Og égale à la différence de nA ( fig. 128 ), réritableMistance des points de suspcn- ■ion, et de la corde ae qui termine ta ch.-iinelle obtenue. Cette ordonnée Og sera portée à droite ou à gauche de CK', selon que a» sera pins petit ou plus grand que la vraie distance ab. Recoin- Rieiiçant pour un nouveau point (1* ( fig. 127 ), on aura une nouvelle chaînette ac' et uiic nouvelle perpendiculaire O' g'. La courbe passant par les extrémités g, ^ de ces perpendiculaires coupera CK' en un point S qui sera le point cherché; et dès IdrS les distances iSh' et SK seront les tensions aux points extrêmes.

98. Plus pelife et plus grande tension sur une ehatne nertieal».— Nous avons vu que dans toute chaînette les tensions sont inégales d’un pointa un autre, et que la plus petite a lieu au point le plus bas. Cette loi se niainlient, lors même que la chaîne est verticale. ' £n effet, le mailloa lejdusbasC ( fig. 129 ) de cette domiére est seulement chargé du poids Q suspendu .à la chaîne ; le maillon D supporte à la fuis le poids 0 et le iiinillon C; le maillon D" est chargé du poids Q et des deux maillons Cet D, etc., eu sorte que le premier supporte le poids Q et le poids total de la chalite. Par conséquent, une telle chaîne devrait être plus forte nu haut qu’au bas de sa longueur.

94. Mesure directe de la tension en un point quelconque de ta ekainêtte. — Considérons encore une chaineltc cknit A ei B { fig. 130 ) sont les points de suspension, et dont D est Un point quelconque. Il est évident que si la chaînette entière est en équilibre, cet équilibre ne sera pas troublé en supposant que ce point quelconque D Mit fixe et que l’un supprime la partie AD. Hais alors si la partie DCB est en équilibre, il en sera de même à l’égard de la portion de chaînette comprise entre le point D et le point le plus bas C, parce qne, par un raisonnenient analogue , nous pourrons encore supprimer la partie CB. Or, il est à observer que la partie DC étont en équilibre par rapport aux points D Cl C considérés couimn ses points de suspension , il faudra , pour les conditions de cet équilibre, que le point de cette portion de chaîne fasse équilibre eux tensions en et C ; ce qui ne peut avoir lien qn’autanl que les deux tangentes OD et OC coupent en un même point O In verticale PM passant par le centre du gruvilù de i* chainelte CO. Doua ,

DKü.VlÈSlK l’ARTIE.

alors, en désignant par P le poids de celle dernière, P est égal et opposé à la résultante des tensions en et C. L’une, suivant la tangente en D, sera désignée par T ; et l’autre, agissant suivant la tangente horizontale OC, sera désignée par T. A partir del’iutcrsectiun O des tangentes , prenons sur la verticale OM une partie OM égale au poids de la portion DC de chaînette, et construisons sur CCS deux tangentes un parallélugraminc dont OM soit la diagonale : l’un des côtés, ON ou DM, représentera la tension horizontale qui s’exerce au point le plus bas; et l’autre, DO, la tension T au point D, Mais, par la raison que les trois forces T, V et P, ou les lignes DO\ ON cl OM qui les représentent respectivement, sont en équilibre, on pourra regarder l’une d’elles T" comme égale et immédiatement opposée à la résultante des deux autres, ou ces dernières comme lescumposanles de la première. L’une de ces composantes T étant, comme nous l’avons di^à dit, uuc force horizontale égale à la tension qui a lieu au point le plus bas C, et l’autreP étant Icpoidsde la chaînette com]>risc entre le point /> et le point C, un en conclut que la tension en un point quelconque d’une chaînette a deux composantes, composante horizontale et composante certicale, dont i’uneest latension au point le plus basde la chaînette, et dont Vautre est te poids même de la portion de chaîne comprise entre le point le plus bas et celui que Von considère.

Cette même conséquence se déduit aussi de la considération du point de concours d’où partent une suite de lignes qui , aboutissant aux diverses divisions d’une droite horizontale et proportionnelles au poids de la chainelte, représentent elles-mêmes les tensions de la chaînette. Car on sait que la perpendiculaire SK à l'horizontale ( fig. 181 ) représente la tension au point le plus bas, et que KG est proportionnel au poids de la portion de chaîne comprise entre le point le plus bas et celui qui correspond à G sur la chaînette, et pour lequel l'élément de la courbe est perpendiculaire à SG. Ainsi, celte tension AC est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont un côté est constamment égal à la tension du point le plus bas, et dont l’autre côté est égal au poids de la portion de chaîne interceptée entre ce point et celui pour lequel la tension SG a lieu.

Puisque la tension à un point quelconque de la chaînette a pour composante horizontale la tension au point le plus bas, et pour composante verticale le poids de chaîne comprise entre ce dernier et le premier point, il est évident que si cchii-ci est un point de suspeq-

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ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. lütt

I sion fixé ù un pilier ( fig. 132 ), il pourra être cousidéré comme

sollicité par ces deux composantes. Or, celle qui provient du poids delà chaîne est détruite par la résistance du pilier, et tend clleinème à appuyer ce pilier sur sa base; tandis que la composante ou pouêtée horizontale, qui tend à le renverser, est constante et égale à la tension horizontale du point le plus bas delà chaine. D’où l’on conclut que, dans toute chaîne suspendue à deux points fixes également ou inégalement élevés, ces derniers sont soumis à des efforts horizontaux, constants, et égaux à la moindre tension de la chaîne.

* 05. Tensions extrêmes d’une ckainelle dont la flèche eti fort petite.

— Il est facile de calculer les tensions d’une chaine à ses deux points de suspension, lorsque sa flèche est peu considérable. Soit, en effet, yêCB ( fig. 133 ) une chaine dont (7 est le point le plus bas, et la flèche, c’est-à-dire l’abaissement do ce dernier au*dessous de l’horizontale passant par l’un des points de suspension. D’après ce qui a été dit plus haut, l’équilibre peut être regardé comme ayant lieu séparément sur les parties CB et AC. Or, à cause delà petitesse de la flèche CD, la branche BC a peu de courbure, et son centre de gravité ér est à peu près placé à son milieu comme si elle était une ligne droite; les tangentes BG' et CG' couperont d’ailleurs en un même point G' la verticale GG’. Désignant par iTIa tension au pointé suivant la première, par T*, la tension horizontale au point le plus bas C, et parole poids de la portion de chaine BC, on aura, à cause de l’équilibre des trois forces P, T ei T„, les deux proportions

p'\ T ;; BU HG', et p T ;; BU ; BG'.

La première donne

et la dernière,

.sur quoi on observera que BU est égal à la flèche CD que nous appellerons f, que HG' est la moitié de CH ou de BD que nous nommerons l, jKirce que G est le milieu de la ligne BC regardée ooinine droite, et que BH mi verticale et parallèle à GG’. Enfin, à cause du

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170 DEliXlÈHE l'AliriË.

triangle rectangle BGH, on a

BG = ]/bh'-{- Wh'= ^ Z' +-^.

Faisant cet substitutions dans les expressions de 7*. et de oa

La première exprime In tension an point le pins bas, qui est, comme on l’a TU, la même chose que la poussée horiioùtale exercée snr le point d’appui ou de suspension. La deuxième donne la xaleur de la tension totale exercée snr ce même point d’appui et tangentiellementa la cèurbe. Cette dernière tension, essentielle pour en déduire les dimensions conreniibles à donner à la chaînette, peut se mettre sous une forme plus commode pour la pratique. En effet, on démontre qu’un radical de la forme -}- è>, et pour lequel on sait que a est plus grand que b, est éqniTalent, à près, h oelte antre Taleur rationnelle

ü,a« X « + o,oè X è;

et, comme dans le radical de l’expression de T, on a

et i= 1,

on pourra donner à cette expression cette autre forme r = p ^0,96 1 -f 0,04 j.

96. Application aux pont» établis sur des ekatnes tendues d’une rive à l’autre. — Nous avons déjà donné une idée de la manière simple d’etublir un pont sur une rivière, en la traversant de deux ou pluniriirs chaînes tendues également et parallèlement, et en chargeant ces dernières d’un ou de deux rangs de madriers. Snpposons que le poids total de ces madriers soit deSOOO*’, ou que le demi-poids P 1000'’; que la largeur delà rivière, dont / est la moitié, soit

ÉQUILimiE DES FORCES ET DYiVAMigUE. 171

de 1 6“, ou que / = 8“ ; et qii’eufin la flèche soit do 1 ou /■= 1 ; on aura = -t”, et, par suite,

Ce sera l’efFurt qui derra tendre l’ensemble de toutes les chaînes; et, si elles sont au nombre de cinq, l’effort sur chacune d’elles sera

réduit à — j — = 770'‘. Portons à 10'‘ l’elTort qu’une chaîne peut supporter par millimètre carré de section : la section sera égale à — millimètres carrés, ou à 78 millimètres carrés environ ; en sorte

que la section sera un carré ayant pour côté de 8 à 9 millimètres. Telle serait du moins la dimension néce-ssairc à un barreau de fer, pour qu’il supportât le pont. Mais si, nu lieu d’un barreau , on se sert d’une série de trousseaux de fils de fer réunis entre eux par d’autres fils en spirales, on déterminera le nombre de fils de fer convenable, pour que la section de la trousse, tant pleine que vide, soit la même que celle du barn^-IU ; je dis tant pleine que vide, parce que le fil de fer a une force beaucoup plus grande qu’un barreau.

L’inconvénient des ponts posés sur des chaînes est que celles-ci ne peuvent être tendues en ligne droite, et que ces ponts ont ainsi peu de stabilité. Nous venons de démontrer en effet que la tension

horizontale d’une cliaino était égale à ^ ' , expression qui prouve

que si /'est rendudix fois, cent fois, etc., plus petit, la tension hori zontale devientdix fuis, cent fuis plus grande, et qu’ainsi, malgré ces efforts énormes, la flèche ne sera jamais nulle. La même remarque s’appliqueà la tension extrême, puis(|u’el1e est la résultante dnpoitls

de la demi-chainc et do la tension horizontale p

97. Pont» suspendus au-dessous des chaînes, par des suspensoires équidistantes et verticales. — Afin d’obvier aux inconvénients des ponts posés sur des chnincs tendues, on les suspend nu contraire à lieux chaînes stipériciiics U^dBC . . . . portant des suspensoires verticales en fer ydJ’, Bff, CC, .... qui se correspondent sur le.s deux chaînes. Chaque couple do .suspensoires est réuni par des tra-

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verses horiu>nt.iles dans lesquelles ces suspensoiret sont bonlonnces par le bas, et qui reçoivent des poutrelles qu’on reoonvro de madriers. Soient alors V c\. V les points de suspension du polygone funiculaire UABCD .... V. Chaque couple de suspensoires peut être regardé comme chargé de la moitié de la travée du pont qui le précède, et de la moitié de celle qui le suit; en sorte que, ai toutes les travées sont égales on si les couples de suspensoires sont équidistants, on pourra regarder le poids supporté par chaque suspensoirc comme connu, et déduire la force du fer qui convient à cet effort vertical. D’ailleurs, ces poids étant très-considérables comparativement à ceux des suspensoires elles-mêmes, il est permis do faire abstraction de ces derniers, et de ne tenir compte dans l’équilibre du polygone funiculaire, que des poids du pont répartis sur chacune d’elles. — Suit ur ( fig. 135) une droite hurixontale, et un point tel que uS soit perpendiculaire au côté extrême U A, et proportionnel à la tension de ce côté. Supposons d’abord que lo polygone UABC . ... V soit disposé de telle sorte que l’un de ses côtés DE soit horizontal, et prenons sur l’horizontale «r des parties «a, ab, bc, cd, etc., proportionnelles aux parties du poids du pont supportées par les angles A, B,C,D, . . . . On sait que les lignes convergentes 5u, Sa,Sb, 5c,. . . . représenteront les tensions qui

ont lieu sur les côtés UA, AU, BC, CD, auxquels elles sont

perpendiculaires, et que la perpendiculaire Sd représentera la tension du côté horizontal /)£'. Cela posé, veut-on trouver la différence de hauteur d’un angle A au-dessus de son consécutif il ? en menant l’horizontale BA", on observera quo le triangle A^'B a ses côtés perpendiculaires à ceux du triangle Sud, et que ces deux triangles semblables donnent la proportion

AA” ; A" B ;; ud ; Sd,

et, par suite,

AA" = ^ X ««i-

Supposons d’ailleurs que les suspensoires soient équidistantes, eu sorte que A”B lera une partie constante égale à la longueur d’une travée. Observons, en outre, que ud est le poids de la portion du pont A'D' ou r X A'Df, r étant le poids du pont sur une unité de longueur; que Sd est la tension qui a lieu sur le côté lo plus

KQÜILIBIIE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 175

has de la chaîne ; on aura alors