AA" = X T X A'D

Mais A" B X n’est autre chose que le poids p d’une trarée, on aura donc enfin

AA" = f X A’ff;

et si l’on appelle K le rapport du poids d’une travée à la tension <, qui a lien sur le côté horisonlal du polygone, on aura enfin

AA" = a: X ^'D';

formule qui noos apprend que la hauteur d’un angle du polygone an-dessus de son consécutif est égal nu rapport K multiplié pnr l’intervalle compris entre la snspensuire attachée au premier angle, et l’extrémité du côté horizontal. Représentant par l la longueur d'une travée, cet intervalle sera /, 2/, 3/, . . .. n/pour la 8', . . . . suspensoire à la suite de celle qui supporte une extrémité du côté horizontal. Ainsi, In hauteur du sommet (7 au-dessus de D sera Kl; celle de B au-dessus de C, iKl; celle de A au-dessus de C, ZKl : donc, enfin, les hauteurs des points C, B, A, U, , au-dessus de l’horizontale MDEN, seront Kl, Kl + 2AT/, Kl -f- iKl »Kl, Kl -j- iKl -{- 3A7 \Kl, et, en général, s’il y a n travées entre l’extrémité du côté horizontal, et le sommet que l’on considère. In liantenr de ce sommet au-dessus de l'horizontale donnée par le côté le plus bas sera

Jf/ . 1 + 2 -{ 8-1-4-]- -j-n = A7.n

Cotte expression n . ^ ^ - Kl, en y faisant successivement

« = 1= 2 = 3 = 4 = 5, donne Kl, iKl, Ml, lOKl, ISKl, .... pour les hauteurs des l*', i?, 8*, 4”, 5° sommets à la suite du côté le plus bas du polygone. Ces nombres sont connus sous la dénomination de nombres triangulaires, parce qu’avec un nombre de boules égal à l’un d’eux ( fig. 136 ) un peut former un triangle équilatéral qui a pour côté le plus élevé des nombres naturels dont la somme donne le nombre triangulaire que l’on consi-

17S J)Ci:.\IÈllK l’AmiE.

«1ère. En parl.nnl des valeurs trouvées pour les ordonnées des diters suiunicts C, B, À, .... A\x polygone, au-dessus de rhorizoalale passant par le côté le ]>lus bas, on démontre que tous ces souiniels sont sur une parabole (*) dont l’axe est vertical et passe par le milieu du côté horizontal. De là résulte un moyen très-simple de déterminer la verticale qui passe par le point milieu K du côté lu plus bas du polygone. II sufifira de trouver la position O ( fig. 137 ) «le celui où cette verticale rencontre la ligue qui passe par les deux points de suspension U et F, Or, la parabole jouit de cette propriété, qu’une ligne droite coupe son axe OK en un puiutdont la distance OK du sommet est moyenne proportionnelle aux abscisses IIM et NV des deux points U et /'' où cette même droite coupe la parabole (**). Remarquons d’ailleurs «pie l’on doit se donner la hauteur du pont au-dessus «le la rivière, et celle au-dessus du pont, du l’horizontale qui tient lieu de gardc-fou et <{ui se confond avec le côté le plus bas du polygone funiculaire. Par conséquent, la «Iroito MN esi donnée de position, et les hauteurs lUU cl Nf' da imiuts de suspension U cl y sont connues. Pour trouver le point O, cl par

(’) Soit y It hauteur de l'uu de ces loinnieli, « it/ u dUtaocc boruontale au poiot milieu du cMé le plu> bas, on a

CcU l'équation d'une parabole dont l'aie vertical paiie par le milieu de DE, et dont le ^ - K/ . . ,

aommet a pour ab$ci$»c X =» — , et pour ordounte y ** — ; aiiiii,Ie*omiD€l sabaiwc au'deiaou» du coté EE de quantité que l'on peut nécligcrdam la pratique.

(**) En effet, le« abscUtes AP ci KQ «ont proporliomtelîcs aux carres des ordonnées VP et et celles'ci, à cause des triangles semblables £^Pct aont proportion*

ucllesà Pt^ctà C^(^. Ou aura donc la proportion

Ô?*: Ôp’ü KP : KQi

d'eà Von lire Ôî'’ X A(? - Ôÿ* X HP,

ou {OK - KPY y. KQ - (KQ - OKy X KP.

Développant les carréSfOn trouve, toutes rëtluciions faites,

Ôï*» KP X KQ, ou bien 1Tk'-= VSi X y H.

ÉOÜILinnE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 17S

siiilc le point K, portez UM de N en P' ; décrivez *ur P’F coitinie diamètre la demi-circonférence P'TV; menez par le point à cette circonférence, la tangente NT qui aéra la moyenne proportionnelle cherchée; portez enfin par un arc de cercle la distance de N en Ti et par le point T menez à MN la parallèle OT qui coupe la corde VV au point 0. La verticale OK rencontrera l’horizontale MN en nn point K que l’on pourra regarder comme une extrémité du cdté horizontal du polygone, à partir de laquelle on portera let inlerralles égaux de chaque luspensoire. A oes inler- ▼allea correspondront les ordonnées successives A7, %Kt, 6KI, ....

M M A7, En supposant que cette dernière appartienne au

point de suspension U, il est évident qu’elle doit être la même que la hantaor connue A de ce point au-dessus de MN ; ce qui donne le moyen de tronver le rapport K, Car on a

d’où

Kl = A,

Ainsi, les longueurs successives des suspensoires Kl, ZKl, SKI, seront elles-mêmes déterminées. — Nous avons vu que le rapport K

est égal à —, c’est-à-dire au poids d’une travée divisé par la pins

petite tension. Donc on aura

*• - -R i — •

Partant oii aura obtenu la tension Celle du premier côté à la suite du côté horizontal sera égal à ^ l.*-{-p’,oelledu deuxième à ^ V -}- du troisième à C -j- (3p)’. du «' à -j- (np)’.

Si les points 1/ et Kde suspension sont à même hauteur, il est évident que la courbe devient symétrique par rapport à la verticale OK; on n’a plus alors à chercher la hauteur du point O, et il ne reste qu’à calculer le rapport K d’après la hauteur des points de suspension au-dessus du côté le pins bas dn polygone.

Gosn rosts scK o’actru coirs oc set nu rtAHs oc scrfaces.

08. Idée générale de la réaction des corps posés les uns sur les autres. — Lorsqoe deux corpi se touchent et sc coniprinient en un certain point, il se forme à cet endroit une dépression dont l’enfon* cernent est perpendicul.iirc à leur petite surface de contact, cl qui indique que la réaction des deux corps l’un contre l’autre est ellemême dirigée sur la perpendiculaire ou normale qui leur est commune. Supposons maintenant que l’un ^ des corps soit sollicité par des forces dont la résultante se confond avec cette perpendiculaire, et que l’antre corps demeure fixe, la réaction de eu dernier détruira alors cette résultante, et le corps yé demeurera au re(>os. Mais il est évident que l’équilibre subsistera encore si l’on remplace le corps A' par une force égale à la réaction qu’il exerce contre le corps../, et si l’on considère ce dernier comme libre et comme sollicité par cette nouvelle force concurremment avec les autres forces données. Cette propriété que tout corps résiste à un autre selon la perpendiculaire commune qui passe par leur point de contact, s’étend au cas général où un corps est posé sur différents corps à la fois. Les réactions de ces derniers sont autant de forees véritables qu’il est permis de substituer aux divers points par lesquels le premier corps s’appuie sur les autres, et dès lors l’équilibre de ce corps est, en vertu de cette substitution, ramené à des conditions analogues à celles qui auraient lieu s’il était libre. Nous examinerons d’abord les simples circonstances d’un corps posé sur un plan par un point unique, ou par deux ou par trois, ou enfin par plusieurs points.

99. Corps reposant par Nit point sur un plan. — Considérons une sphère soumise à la seule action de son poids P, et ponssée par un point ni sur un plan de niveau AB ( fig. 138 ). Puisque la réaction de ce plan a lien selon la perpendiculaire on la vertioale du point de contact m, et qu’elle doit faire équilibre an poids P, nécessairement le centre de gravité G du corps sera compris dans celte

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 177

Tcrlicale, en sorte que l’efiort P cln corps sera tout à fait détruit par la résistance du plan. De même, encore, quand un corps pose par un seul point sur un plan quelconque, et qu’il est sollicité aussi par des forces quelconques, il faut que leur résultante soit perpendiculaire au plan, et qu’elle passe p.nr le point d’appui. La condition de passer par le point d’appui ne suffirait pas à elle seule. Car, si l’on décompose cette résultante en deux forces, l’une perpendiculaire au plan, et l’antre située dans le plan, toutes deux passant d’ailleurs par le point m, la première sera à la vérité détruite par la résistance du plan ; mais l’autre composante fera cheminer le corps le long de ce plan, et il n’y aura plus équilibre. Donc, enRn, l’équilibre d’un corps qui s’appuie sur un plan par un seul point est soumis à deux conditions : 1° que la résultante des forces appliquées au corps passe par le point d’appui -, 2" que sa direction soit perpendiculaire au plan.

100. Corps reposant par deux points sur un plan. — Mais quand le corps repose par deux points yi et B ( fig. 139 ) sur un plan, la condition de passer par un des appuis n’est pins indispensable a la résultante des forces qui le sollicitent ; il suffit qu’elle rencontre In droite AB à l’un do scs points compris entre A et B, il faut do plus qu'elle suit perpendiculaire au plan. En effet, les réactions exercées par les points d’appui, étant l’une et l’autre perpendiculaires au plan, sont évidemment parallèles ; et, pour qu’elles fassent éqnilibrea la résultante des forces appliquées au corps, cette dernière de-

, vra pouvoir se décomposer en deux forces respectivement égales et immédiatement contraires aux résistances des appuis. Or, celles-ci sont dirigées dans le même sens; ainsi, la résultante en question aura son point d’application sur la droite AB entre les points A et B d’application de ses composantes ; elle devra d’ailleurs leur être parallèle, et, par conséquent, être comme elles, perpendiculaire au plan.— S'il s’agit d’un corps de poids P posé sur un plan de niveau, il conviendra pour l’éqailibre que la verticale abaissée de son centre de gravité rencontre la ligne des appuis dans un point de l’intervalle qui les sépare.

101. Corps posés par trois ou par plusieurs points sur un plan. — Arrivons enfin au cas où le corps repose par trois points sur iin plan quelconqur. Les résistances des points d’appui étant toujours prr-

TSAivi DB aie. ISO. 12

pendiculiiires A ce plan, ne pourront faire équilibre à l’action des forces extérieures qui sollicitent le corps qu’ autant que la résultante de ces forces pourra se décomposer en trois forces respeotiTement égales aux trois premières. Cette résnitantesera donc, comme cellesci, perpendiculoire au plan; et, comme elles sont dirigées dans le même sens, son point d’application derra se trouver dans l’intérieur du triangle qui réunit les trois appuis. Cela résulte immédiatement de la composition des forces parallèles. Ces conditions s’étendent nu cas où le nombre des appuis sur un plan est quelconque. Il faut toujours pour l’équilibre du corps que la résultante des forces qui lui sont appliquées soit perpendiculaire au plan, et qu’elle coupe le plan dans l’intérieur du polygone convexe qui réunit deux àdcnx le plus grand nombre des points d’appui. Si la résultante coupe le plan CI) un point m extérieur au polygone ( fig. 140 ) ou à la courbe ( fig. 141) qui réunit lesappuis, le corps tendra à tourner ou àse ren- Tcrser autour de l’arête o6 du polygone ou de la tangente à la courbe la pins voisine du point m. Quant à l’énergie qui sollicitera le corps à se renvei-ser, elle sera mesurée par le produit de la résultante 'de toutes les forces, et de la plus courte distance de sa droite de direction a l’arète ou à la tangente autour de laquelle se fera le mon- Tement de rotation du corps.

102. Exemples divers. — Nous avons déjà examiné les conditions d’équilibre d’une sphère pesante sur un plan de niveau, appliquons ces mêmes principes à d’autres exemples, et commençons par celui d’un corps posé sur une table soutenue par trois pieds. Si les trois pieds d’appui sur un plan de niveau sont en ligne droite, et que la verticale du centre de gravité du curps passe en dehors du plan vertical de cette droite, la table s’inclinera et basculera du cOlé où ce centre de gravité est situé, avec une énergie égale an moment de stabiliti du corps, c’est-à-dire au produit de sou poids multiplié par la distance ag do la projection de son centre de gravité à l’arète de rotation ( fig. 142 ). Si cette distance est nulle, le centre de gravité passera par la droite des appuis, et il y aura équilibre : m.tis ccl équilibre sera non stable, parce que le centre de gravité est alors le plus haut possible et qu'il tend à descendre.

Si les trois pieds ne sont pas en ligne droite et que le centre de gravité G du corps se projette dans l’intérieur du triangle, la table est évidcninienl en équilibre ( fig. 148 ). Enfin, si ce mêine centre

EQUIMBRE DES FORCES ET DYNAMIOl’E.

se projette en dehors, la table tournera autour du côté ab, le plus voisin de cette projection. Dans le premier cas, l’équilibre est stable, parce que, pour déranger la table do sa position, il faut élever le centre de gravité du corps. Dans le deuxième cas, l’équilibre est instable, parce que ce centre tend à descendre. Généralement, pour l’équilibre stable, il faut que le centre de gravité du corps se projette dans l’intérieur du polygone qui réunit deux à deux ses appuis sur un plan de niveau. L’énergie arec laquelle le corps s'opposera à son renversement autour d’une arête sera égale au produit de son poids par la distance de la projection de ce centre à oetto arête, et ce renversement sera d’autant plus facile que cette distance deviendra moindre. Voilà pourquoi on nomme memeist d« stabilité d’un corps pesant le plus petit des moments de son poids, par rapport aux divers cdlés de sa base.

Les conditions sont les mômes si le corps pose par une face plane tout entière et terminée par une courbe quelconque. L’équilibre a beu quand la projection du centre de gravité du corps tombe dans l’intérieur de la base. Tel sera, par exemple, un cube posé sur un plan de niveau, parce que la projection du cintre de gravité coïncide avec le centre de la base ( fig. 144 ). Il en est de même pour un prisme droit quelconque, et quelle que soit sa hauteur, seulement sa stabilité diminue à mesure que la hauteur devient plus grande. On conçoit, en effet, que le centre de gravité s’élevant de plus en plus, l’angle B^G, que fait avec le plan vertical passant par l’arête A le plan qni passe par la même arête et par le centre de gravité G, est de plus eu plus petit. Ainsi, le centre de gravité G se rapproche de plus en plus du cas de l’instabilité. Supposez d’ailleurs une force horizontale p tendant à renverser le corps autour do l’arête A et appliquée au sommet du corps. Son moment sera p X K’*'" le moment de stabilité en vertu duquel le corps résistera à son renversement est égal à P X oy. D’où

p y, AB P Y.

et, par suite, ^ ^

relation qni nous apprend que p sera d’autant moindre par rapport au poids P du corps que sa hauteur AB sera plus considérable. Un

cône scrn difficile n renverser parce que son mouTeinent do slabtlité est plus considérable.

Un prisme incliné conservera l’équilibre stable, tant que son centre de gravité tombera dans l’intérieur de sa face d’appui. La résistance qu’il opposera à son renversement autour de la tangente ab ( iig. 146 ) la plus voisine de la projection g du centre de gravité, ou son moment de stabilité, sera égal à P X Dans le cas où le poids g tombe au dehors, le corps tend à tourner autour de la tangente la plus voisine de la projection du centre. La tour de Pise, quoique inclinée, se maintient toujours dans sa position, parce que son centre de gravité se projette dans l’intérieur de sa base sur le terrain. — Des dominos empilés les uns sur les autres et se dépassant l’un l’antre d'une même quantité, de manière à former une espèce de prisme incliné, demeurent en équilibre tant que le centre de gravité de tout le système des domiuos se projette dans l’intérieur du domino le plus bas. Mais au fur et à mesure que le nombre des dominos on que la hauteur de la pile augmente, ce centre se r.vpproche de l’arète ^ ( fig. 146 ), le moment de stabilité diminue, et finit même par devenir négatif, on par favoriser le renversement du système lorsque le centre de gravité tombe au dehors de l’arète A. On voit, d’après ce qui précède, que la stabilité naturelle d’un corps augmente quand sa hauteur diminue ou quand sa base augmente, et que, toutes choses égales d’ailleurs, elle est la plus grande possible lorsque Te centre de gravité tombe ou centre de figure même de la base. Cela explique pourquoi les soutiens isolés doivent se composer de corps élevés à l’aplomb et être établis sur des bases plus larges qu’on nomme tmpatemenli.

Silos corps pesants sont sollicités par d’autres forcesconjointement avec l’action de leur poids, il faut que la résultante de toutes ces forces réunies, ainsi que nous l’avons dit (2° partie, 101), aille rencontrer la base de ees corps dans son intérieur. Il y a même telles forces qui, combinées avec le poids d’un corps, en augmentent la stabilité. C’est ainsi qu’un prisme incliné dont le centre de gravité tombe au dehors de sa base, serait renversé autour de B ( fig. 147 ) si on l’abandonnait à Ini-mème. Hais si une force F horizontale tend à le faire tourner en sens contraire , cette force combinée avec le poids du corps aura une résultante GO qui rencontrera la base AB en un point O qui lui sera intérieur et l’équilibre sera stable, Réciproquement , le poids du prisme s’oppose à son

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

tour ù ce que l’action de F ne le renverse autour de l'arcto extérieure^ et avec une énergie d’autant plus gr.mde que le produit P X ^9t o’est-à-dire sou moment de stabilité naturelle, sera plus considérable.

Les murs de maison sont ordinairement poussés autour do leur pied extérieur par les combles, ou les poutres qui appuient contre eux du dedans au dehors; mais on augmente leur stabilité naturelle en éloignant de cette même arête leur oentre de gravité ( fig. 148 ). Voilà pourquoi on leur donne du fruit ou une épaisseur plus grande à la base qu’au sommet. Toutefois ces murs ne cessent pas d’étre dressés verticalement. On cache l’effet de ce changement d’épaisseur par des cordons, des plinthes, etc.

Dans les murs destinés à soutenir les terres, afin do résister à la poussée de ces dernières, on cherche a éloigner l’arête extérieure de ces murs de leur centre de gravité, soit par des talus, suit encore par de larges empâtements, et de manière à remplir la condition que la résultante du poids des murs et de la poussée des terres passe dans l’intérieur de la base. Le moment de stabilité naturelle de ces constructions est toujours égal à leur propre poids mulliplii; par la distance de leur centre de gravité à l’arètc extérieure. Ou voit même qué l’un pourrait supprimer les talus et conserver au murun parement vertical, pourvu que sa nouvelle épaisseur dumi.ât lieu au même moment de stabilité, parce que la stabilité naturelle de deux murs est la même, lorsque les moments de leurs poids sont égaux. La condition que la résultante de toutes les forces passe dans l’intérieur do la base est insufiisante pour des constructions qui reposent sur un terrain mou ou compressible; il faut encore que 1e point do rencontre coïncide avec le centre de figure do lu base. S’il n’en était pas ainsi, la pression serait plus forte du cêté où la résultante traverse la base : celle-ci tournera autour de son centre de figure, attendu que le terrain n’est plus résistant, mais à l’aide de la nouvelle condition, il n’y aura plus de raison pour que lu corps s’enfonce plulêt d’un côté que de l’autre.

Si la charge d’une voilure à deux roues qui est trainne sur un plan de niveau, est telle que son centre de gravité soit en dehors de l’essieu ( fig. 149 ), elle tendra à basculer dans un sens ou dans l’autre ; tantôt elle exercera nne pression sur le cheval limonier, tantôt elle tendra à le soulever, et ces deux circonstances sont éga- Icoicnt des causes de fatigue pour le cheval. Mais, si le centre de

gravilé eit comprit dans le plan verlical do l’essieu, l’action rerlicalo du poids se décomposera en deux autres forces passant par les appuis des roues sur le terrain, et qui seront immédiatement détruites par la résistance de ces derniers. Nous Terrons plus loin si cette dernière condition a encore lieu quand le terrain est incliné.

103. Définition et équilibre du planinctinè. — Représentons-nous un plan quelconque coupé perpendiculairement à ses horizontales et suivant sa ligne de plus graudo pente JB ( fig. 180 ). Quoique CO plan soit supposé indéfiniment prolongé, son inclinaison suffit pour définir sa basc..^C et sa hauteur /IC, correspondantes à uiio même longueur donnée JB. Qu’on imagine un corps jiesant posé sur ce plan, et dont G soit le centre de gravité. L’cquiliJ)re de ce corps sur ce jdan exigerait, 1° que la résultante de son poids passât parmi des points de la base d’appui do ec corps; 2“ que cette résultante fût perpendiculaire au plan. Cette dernière condition ne peut être généraleiucut satisf.aite à l’égard d'un plan queluonque, parce que l’action de la pesanteur est toujours verticale. Dès lors cette action se décomposera en deux autres, l'une perpendiculaire au plan qui sera détruite par sa résistance, et l’autre parallèle nu plan, qui fera mouvoir ou descendre le corps selon la longueur. Ou remarquera cc[>endant que si la verticale du centre de gravité rencontre l’intérieur de la base d’appui du corps, ce dernier ne fera que glisser dans le sens du plan, au lieu qu’il y roulera si cette verticale tombe au dehors de cette même base. C’est ce qui arrivera à l’égard d’une boule, parce que la verticale passe toujours eu dehors de son point d’appui m sur le plan. Supposons qu’une force p parallèle à ce plan s’oppose à ce que cette boule ne descende. Appelons P le poids do cette dernière. On sait que le corps devant rester en équilibre sous l’action des deux forces p et P, leur résultante Cdf sera perpendiculaire à JB ( fig. loi ), et passera par le point d’appui m. Cela posé, soit GW l’intensité de cette résultante : elle sera telle que les côtés du parallélogramme GG'MN représenteront, l’un GG' — la force verticale P, et l’autre G.’Vla force p parallèle à JB. Or, le triangle G/VéVest semblable au triangle Car GW et WN sont perpendiculaires à JB et à JC; do plus ib sont rectangles l’un en G et l’autre en C. On aura la proportion

GN WN :: BC : JB, ou p\P\\BC\AB.

.Ainsi, la force parallèle nu plan qui relient le corps est au poids de

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

ce corps comme la hauteur du plan est à sa longueur ; ou a

Si, au Heu do tirer dans le sens du plan, la force p qui retient le corps sur le plan était horizontale , et agissait à la manière de la puissance qui empêche un écrou de descendre le long de sa vis, GSI ( fig. 152 ) résultante du poids du corps cl de celte uuuvello force n’en sera pas moins toujours perpendiculaire à et le triangle CdfyVqui représente les deux forces qui sollicitent le corps, ainsi que leur résultante, sera encore semblable au Iriauglo ABC, filais comme CiV est perpendiculaire à BC, et que l’angle droit du premier triangle est en N, un aura la proportion

GN : SlSf BC : AC, ou p\P\\BC\AC;

ce qui apprend que la force horizontale qui retient le corps sur le plan est au poids du corps comme la hauteur du plan est à su base, BC

ou que P est égal à P X remarquera que, dans la valeur

de p, le numérateur est le même pour les deux cas et proportionnel à la hauteur du plan , mais que le dénominateur n’est autre chose que le cêto du plan parallèle ù lu force appliquée.

lOA, Mouvement sur le plan incliné. — Nous sommes maintenant à même de trouver la loi du mouvement d’un corps pesant abandonné à lui-même sur un plan incliné. En effet , nous pouvons en décomposer son poids GSI en deux autres forces , l’une AfjY ( fig. 153 ) perpendiculaire au plan et détruite par la résistance de celui-ci, l’autre GJV parallèle au plan et qui produir.a^ seul le mouvement. Au moyen de la similitude des triangles semblables CJYSf et ABC, on reconuaitra que la dernière composante p est BC

égale à P X -P toujours le poids du corps. Romar-

BC

quoDS que le rapport — 5 reste le meme dans toute la longueur du /itS

plan,etqn’ainai la force p qui tend à faire glisser le corps doraouro üonslahle comme la pesanteur. Or, quand une force motrice est constante, le corps couserre uu mouTement uniformément accéléré

UKüXlliilli l’AKTlE.

ainsi qu’on l’a vu dans la U* partie. Les vitesses acquises croitront proportionnellement au temps , et les espaces décrits comme les carrés des temps écoulés , etc. Seulement chaque degré de vitesse imprimée sera moindre que pour la pesanteur : car les vitesses imprimées au bout de la première unité de temps seront ici proportionnelles aux forces motrices. On aura donc

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