P ;; BC ; AB

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 195

et l'autre par la proportion

y ; P :: jiC : ab-,

en sorte que P . AC et P . BC représentent les composantes du poids, perpendiculaire et parallèle à ce plan, en prenant pour unité la longueur AB de ce dernier. De plus, le fruttemeut produit par la première aura pour expression f . P . AC. Maintenant que nous savons que le mouvement est favorisé par F . ac -\- f . F . bc, el qu’il est contrarié par P . BC AC, nous reconuaitrons que l'équilibre sera établi au moyen de la relation

F .ac^f . F .hc=P . BC-\-f.P . AC,

ou

D’où l’on lire

F{ac-!^f. ic) =7>(SC+ f. AC).

^ P{BC^f.AC) f , bc

Nous observerons encore que le numérateur de celte valeur e.'t constant, puisqu’il dépend uniquement du poids du corps et de l’in . clinaison du plan, et qu’ainsi le minimum ^correspond au cas où le dénominateur ùc est le plus grand possible, et où l’on aurait

bc

— — f. Ce qui indique que l’action d’un effort est la plus avantageuse lorsque son inclinaison par rapport nu plan est égale au rapport du frottement à la pression ou au coefficient /qui est propre à la résistance des surfaces en conlaet. — Enfin , dans le cas particulier où l’effort F est horizontal, on verra sans peine qu’il tend alors à appuyer le corps contre le plan, ou à augmenter le frottement général du eorps, en sorte que le fruttemeut partiel /. F .bc, au lieu d’être ajouté a la composante horizontale F . ac qui produit le mouvement, doit en être retranché : cela revient à substituer

— bc à -{- êc dans la valeur précédente de F. Cette remarque est indis|>ensable pour le frottement de la vis à filet carré, frottement tellement majeur que dans le cas où les filets sont inclinés au la puissance est triple environ de oe qu’elle serait pour vaincre une nièiiie résistance donnée, si ce frottement n’existait pas.

109. Onanliti de travail sur «n plan tHcliné. — plan incliné est une machine de la plus grande utilité dans les arts, et facilite lu transport des fardeaux les plus lourds à une hauteur considérable.

TniiTi os arc. i.sd.

Si, par exemple, il s’agissait de construire une tour on pierres do taille, il faudrait beaucoup d’hommes pour élever les matériaux selon’ une direction verticale, au lieu qu’on les amène très-facilement nu moyen de rampes assez douces pour que les hommes, les chevaux et les voitures puissent les parcourir. Il y a plus ; c’est qne la puissance pour traîner les poids est fort réduite par 1 emploi des rampes. En effet, pour conduire une pierre le long d’une rampe AB ( fig. 100 ), les ouvriers ont coutume de la faire tourner sur ses arêtes perpendiculaires à la pente, ou, comme onditcommuuéraent, ils lui font faire quartier; si cette pierre est un cylindre, ils la font rouler, de sorte que dans ces diverses opérations les résistances du frottement sont évitées. L’effort F, qui est ici parallèle à la longueur du plan AB, n’a plus alors A vaincre qne la résistance du poids P du corps, cl, d’après ce qui a été démontré (2“ partie, 108) , on a

BC

AB

Si la pente du plan est telle que sa longueur AB soit cent fois sa hauteur correspondante BC, l’effort à exercer contre le corps n’est plus alors que le centième de son poids. Mais a-t-on gagné sous le rapport du travail? Rappelons-nous que lorsqu’il y a équilibre, ou lorsque le corps est mû uniformément, la quantité do travail delà puissance est égale à la quantité de travail de la résistance. Ici le chemin parcouru dans la direction de F est AB; son travail est F X P"**** P X BC, parce que le poids

monte en réalité de la hauteur BC pendant qu’il parcourt la longueur AB, On a donc

F y, AB ry=y P y. SG.

par conséquent, le travail est le même soit qu’on élève le corps dtrccteraent, ou le long d’un plan incliné; ce dernier n’a d’autre but que de faciliter l’élévation du fardeau selon les localités.

Lorsque le corps est posé sur une surface courbe ( figi 161 ) R ne la touche que selon une petite surface que l’on regardera comme un point, et en imaginant à ce point un plan tangent, le corps sera dans le même état que s’il posait sur ce nouveau plan par un point. Ainsi, les considérations d’équilibre deviennent absolument les mêmes que pour un plan incliné ordinaire.

ÉQUlUnRE DES FORCES ET DYVAMIOÜE. 193

1 10. Meiure de la iernion d’une corde, de la part de son propre poidt. — Ce qui précède nous permet d’estimer la tension que le poids d’une corde lui occasionne dans le sens de sa longueur. Soit, en effet, une corde posée sur une surface dont A ( Sg. 163 ) est le point le plus élevé ; et considérons d’abord la partie qui tend à se précipiter le long de la surface, abstraction faite du frottement. La question consiste à trouver la force nécessaire pour retenir cette corde, et qui est évidemment égale et opposée à la tension sur cette partie AF. Désignoii? par p le poids do l’uiiité de longueur de la corde, et raisonnons sur l’élément /tfJV dont le poids sera p X Menons par le point O de cet élément, la verticale OG proportionnelle A p X MN, et décomposons ce poids ou deux forces, l’une GQ perpendiculaire a la surface, l’antre QO tangentielle à cette même surface. Il est visible que la première composante sera détruite par la résistance de AMN, et que l’autre donnera la mesure de In tension due au poids de MN, Ayant mené une verticale quelconque af, la verticale AfiV' et les horizontales Mm, Nn, on formera le triangle MNN' semblable au triangle QOG ; en sorte qu’on aura la proportion

et, par suite,

OO t OG AfiV' ; mm,