OG X

Remarquons que QO est la tension t due an poids de l’élément MM, que OG représente son poids ou p X = mn.

D’on l’on tire

p X dW X MM

SS p X »»»••

Ce dernier produit est le poids d’on morceau de corde égal à mn, ou dont la longueur est celle de la projection verticale de MM. Or, le total do la partie AF te compose d’une somme d’éléments tels que MMei qui produisent chacun une tension égale an poids dosa projection, et la somme de ces tensions, ou la tension totale qui entraîne y^Fdehant en bas, sera égale à la somme des poids des pnr-

jeclions yerlicales de tous ces éléments, c’est-à-dire auTuiiés de la projection yerticale af do cette partie AF. Par conséquent, la tension ou la force nécessaire pour empêcher une portion de corde do glisser sur une surface est mesurée par le poids d’un autre morceau dont la longueur est la même que la projection verticale de cette portion. On démontrerait de même que la tension de la partie AP qui tend à entraîner la corde en sens contraire à celui de la tension AF est égale à op ; de sorte que la corde sera entraînée avec une force mesurée parp/'ou par le poids d’une longnenr égale à la différence de nivean entre ses extrémités, et cette tension résultante agira du côté de l’extrémité la plus baue.

Si les deux extrémités d’une même corde sont à même hauteur, ou si la corde est sans fin ( fig. 103 ), la tension qu’elle éprouve de la part de son poids est nulle, et il n’y a pas lieu d’en tenir compte.

111. Centre de gravité d’un arc de cercle. — Nous pouvons encore trouver par le mémo principe le centre de gravité d’un arc de cercle. Car CO qui précède est indépendant de la flexibilité de la corde ou do la chainc, et subsiste encore lorsque collc-ci est rigide, comme, par exemple, une jante de roue. Soit donc MAJV ( fig. 164 ) un arc do cercle composé d’une jante inflexible, et disposé do manière que le rayon AO qui passe par son milieu A soit horizontal. Appelons F l’effort tangenticl appliqué en Af pour empêcher la jante MAN de tourner sur son propre cercle autour de O. La condition d’équilibre entre cette force F eX le jmids P do la jante exige que leurs moments soient égaux. Or, le bras de levier de ce dernier est la distance GO du centre de gravité de l’arc au centre de rotation, distance que je désigne par s. On aura donc

Remarquons que P est le poids de la longnenr S do l’arc MAN, et que la force F est celui de la projection verticale de cet arc, ou do sa corde AfA^ que nous nommerons (7. On pourra donc reropl.acer P cl F par 5 et C dans l’équation d’équilibre j ce qui dunno

ou la proportion

ÉQÜlLinilF, DES FOaCES ET DYNAMIQUE. 197

qui nous apprend que le centre de gravité d’un arc de cercle eit eitué sur le rayon qui le partage en deux parties égales, et que sa distance au centre est une quatrième proportionnelle aux longueurs de l’arc, de sa corde et de son rayon.

lis. Frottement d’une corde qui glisse sur un rouleau fixe. — Considérons encore une corde qui glisse sur un rouleau 6xc (fig. 165] et qui supporte un poids P à une de scs extrémités a, tandis que l’autre est tirée par une Force T qui l’entrainc. Cotte dernière doit non-seulement soulever le poids P, mais encore vaincre le frottement que produit la corde en glissant sur tout l'arc du rouleau enveloppé par elle; de sorte que si eelte surface était parfailciuciit polie, le frottement serait nul et T serait égal à P dans le cas do l’équilibre. Partageons l’arc enveloppé at^ en un nombre de parties très-petites et égales j et menons par les points de division des tangentes qui se coupent deux à deux et parmi lesquelles les directions des forces extrêmes P T sont évidciuincnt comprises. J’ai dit quo les divisions devaient ètru très-peu es|iacccs , afin quo les ares do cercle qui les cmbrasseul puissent se confondre sensiblement avec les cordes ot, , l,t,, l,t, , ... . qui les sous-leudent. Lu tension do la corde sur lu tangente ab est évidemment ég.ile à P. Suit t, la tension qui agit en I, sur la deuxième tangente bb'. Elle doit vaincre à la fois et le poids P et le frottement qui a lieu sur l’arc élémentaire at, compris entre les points de contact. Appelons^ la pression exercée sur cet élément, /'le coefficient relatif au frottement de la cordo sur le rouleau qui, comme nous l’avons dit, ne tourne pas, f . p sera ce frottement , et l’on aura

t, = P -h fi. p.

Pour trouver p, nous ferons abstraction du poids do la corde, et nous observerons que les déux tangentes ab et bt sont égales. Do plus, si l’on construit le losange abt,m, et si l’on considère le côté ab comme proportionnel à la force P, cette même force sera encore la tension qni a lieu de b en La diagonale bm du losange étant perpendiculaire à la corde at, et la partageant en deux parties égales, on voit qu’elle sera égale à la pression p exercée par la tension de la courbe sur l’élément O/,. Les deux triangles tnab et l,oa sont isocèles; les angles de leurs sommets respectifs a et o sont égaux, parce qu’ils sont suppléments du même angle abt,. Ainsi ces triau-

gics sont semblables et donnent la proportion

«ib *, a/, ab i oa.

mb est la pression p ; al, corde de l’arc compris entre a et I, équi> Tant à ce même arc que nous appellerons s; ab équivaut à P; enfin, oa est le rayon II du rouleau. Donc la proportion revieut à cetlo autroj

P : * P : it; d’où p = ^ X

Donc enfin on a t, =a P fp,

on ,.«P + /-X = P (l +§)•

Appelons I, la tension qui agit sur la troisième tangente b''t, et au troisième point /, de division de l’arc total à jiartir de a; on reconnaîtra que cette tension aura à vaincre la tension I, sur b'i, et le frottement produit sur l’arc élémentaire /,/, égal ik s ou à l’arc ot,. En un mot, t, sera dans les mêmes circonstances par rapport à I, , que I, par rapport à P. Donc on aura

Si on appelle <, , les tensions qui ont lieu sur les autres tangentes consecutives, et aux points I, et I, , et si l’on observe que la dernière tension 1^ est égale à la force T, ou aura

L'arc du rouleaU; au lieu do contenir quatre petits arcs clcmen-

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DTNAMIQUE. 109

taires, Aurait pu en contenir S, 6, .... ou n ; et l’on aurait eu

d’où

On voit que le rapport de lu puissance 7* à la résistance P croit très-rapidement à mesure que l’arc enveloppé est plus grand ou contient plus d’arcs clcincntaires » ; car, pour obtenir cc rapport,

il faut multiplier la quantité 1 toujours plus grande quo l’u>

nité 3, 4, R (n — 1) fois par elle-même, selon que l’arc enve-

loppé contient 4, R, 6, .... n do ces parties. Supposons, par exemple, qu’une corde soit enroulée trois fuis autour d’un rouleau, ou d’un pieu cyliiidrir|ue do 1 décimètre do rayon. L’arc enveloppé

sera égal à 3 circonférences ou à

2,2t,ü=3X 2 •*^X ï'*” = 10'*“, 8 — environ.

Le coefficient du frottement d’une cordo sur du bois ou sur toute

(*) Oa pent rameau cetla fbmuila à u «leur eemme Mas U foroM d'oxponaaüette , aiiui qu'il >ui( : iloTelopptat lo Uioime «a «

Jl*

Si OD remarque qao le nombre n est Uèt-grand quand l'arc r élémentaire est Irèi-pctit. on pourra négliger toute puiataace de n dorant celle qui lui ett immédiatemonUupériciirci ou réduira alert Ig valeur de Té cette autre : ..

Or, nt est f arc entier S enveloppé par la corde i d'od

)-fe^ ....

S est égal à >,7i8s5i c'est la base du système des To^uriMmer SipMtnt,

200 DEUXlivllE PAUTIE.

antre lubslance étant environ , on a

en prenant ici l’arc élémentaire égal an rayon. D’où

et, par snito,

Far conséquent, la force capable de faire glisser la corde autour dû pieu devrait être 336 fuis plus grande que celle qui l’y retient. Réciproquement, si un très-grand effort agit sur l’extrémité d’une corde enroulée autour d’un rouleau cylindrique semblable au précédent, il snflira d’une force 336 fuis inoiiis grande à l’autre extréniitc, pour s’opposer à l’effet de ce nicine effort.

Ce principe explique pourquoi en général l’amarre qui retient un vaisseau ne glisse pas quand elle est enroulée un certain nombre de fois autour d’un pieu cylindrique; il en est de même des effets du cabestan, de la ebèvre et en général de toutes les manœuvres do force.

Les tonneliers ont aussi recours à ce principe, pour faire descendre les tonneaux de vin dans les caves. Chaque tonneau repose sur un traîneau qui glisse sur l’escalier de la cave , et il est embrassé par une corde dont les deux bouts, après s’étre enroulés un certain nombre de fois autour de deux cylindres debout appuyés à l’cxtérieur de la porte de la cave, sont retenus par deux hommes. L’effort que ces deux hommes opposent à la descente du tonneau est d’autant plus faible que le nombre des coroulements autour du cylindre est plus considérable ; et comme d’ailleurs cet effort est ici la résistance à un travail dans lequel le poids du tonneau est la puissance, ou voit que les hommes avec un effort très-minime peuvent empêcher que cette descente ne soit trop rapide. Le calcul de cette résistance est même facile à faire, qnand on connaît le poids du tonneau et en ayant recours à la théorie du plan incliné et du frottement des cordes contre un rouleau fixe.

EQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 801

118. Équilibre. Théorie du coin. — Toutes les applications présentées jusqu’ici n’ont été relatives qu’aux corps posés sur une surface; et cependant un corps peut poser à la Fuis sur deux ou trois surfaces. Tel est, par exemple, le coin ou prisme triangulaire dont les trois faces sont perpendiculaires au triangle ( fig. 160 ]. L’arètc é7qui correspond à l’angle le plus aigu du triangle senommo le tranchant du coin ; la face opposée B.i en est la tète, et les faces BC, BA lescètés. L’usage du coin réduit n sa plus grande simplicité, consiste à enfoncer cette machine par son tranchant C dans la substance que l’on veut diviser ou fendre, de manière que lors d’un enfoncement quelconque, le coin repose ou s’appuie par ses côtes en deux points a et ô ( fig. 167 ) de la substance. Nous supposerons que la puissance /'qui le fait descendre soit perpendiculaire à la tète, parce que si elle était oblique, elle tendrait à faire tourner le coin sur lui-mérae, et donnerait lieu à des complications inutiles à considérer en ce sons et que la puissance agit toujours de la première manière dans la pratique. Cette force F, perpendiculaire à la tèle AB, a d’ailleurs pour Lut de vaincre les résistances que la matière oppose au mouvement du coin contre ses côtes, et nous avons vu (3° partie, 98 ) que. ces résistances devaient être respectivement perpendiculaires aux surfaces sur lesquelles elles ont lieu, et passer par les points de contact de ces surfaces. Ainsi , lus résistances de la matière contre le coin seront deux forces ^ et ü appliquées en a et b et perpendiculaires aux côtés AC et BC du coin. La force F, qui leur fait équilibre, sera égaleet directement opposée à leur résultante ; et comme colle-ci doit passer par lu point de concours des forces Q et R, il faudra nécessairement que les trois forces F, O et R se coupent en un même point ; autrement le coin prendrait un mouvement qui tendrait à le renverser et qui serait ainsi étranger à l’objet qu’on se propose. Donc, enfin, si ces résistances sont données, la diagonale du parallélogramme construit sur leurs intensités et à leur point de concours donnera l’intensité de la force F à appliquer perpendiculairement à la tète du coin , pour que celui-ci vainque ces résistances. Or , remarquons qu’en prenant sur In direction de Q, à partir de O, une ligne Oin égale à cette force, et en menant par le point tn une perpendiculaire a BC égale à mn ou à l’intensité du R, on obtiendra un triangle Omn, dont deux côtés représenteront les deux résistances Q et R, et dont le troisième Ou représentera leur résultante ou la puissance F qui

SOâ DEUXIÈME PARTIE.

lui est égale et direcicraent upposée. Le triangle Om* eit leinblable au triangle ABC : car leurs côtés étant respectivement perpendiculaires, l’angle Omn est égal à l’angle C ; l’angle maO est égal à l’angle B ; enfin, l’ungle mOn est égal à l’angle^. Ainsi, les côtés Oh et AB opposés à ocs angles sont homolognes ; il en est de mémo des côtés mO et AC, et des côtés m» et BC. On aura donc la proportion

On ; mO ; mn ;; AB AC 1 BC^

ou, en remplaçant les grandeurs On, mO et mn par les forces O et B qu’elles représentent,

F : 0 : B :: ab ; ac : bc;

oe qui indique que dans l’équilibre du coiui la puissance perpendiculaire à la tète, et les deux résistances perpendiculaires aux côtés sont proportionnelles à cette tète et à ces côtés.

Plusieurs cas particuliers se présentent selon la forme du coin. Ainsi, par exemple, si sa forme est celle d’un triangle ABC ( fig. 1G8 ) rectangle en A, et que les points d’appui a et ô des résistances 0 et i? sur les côtés soient sur une même droite oô parallèle à la tète, il est impossible que la puissance F, perpendiculaire à cette dernière, concoure au point commun des directions de ces résistances, à moins qu’elle ne soit appliquée selon la direction Fb parallèle au cà\àAC, et passant par le point d’application de la résistance qui est perpendiculaire à l’hypoténuse. Dans le cas où le ' coin est un triangle isocèle ( fig. 109 ), ce qui o presque toujours lieu dans la pratique, on a AC = BC ; et comme, d’après ce qui précède, les relations qui satisfont à l’équilibre sont

on voit qu’à cause de AC = BC, on a Q= R. D’où l’on tire la proportion

F : 0 i: AB : ac.

Ordinairement quand on veut séparer dos corps, on se sert do coins dont la tète est fort petite par rapport à leurs côtés; si elle est dix fois moindre, ou que^^D soit le dixième de AC, F est le dixième de la réaction Q à Toiucrc, Ainsi, l'avantage des coins serait tel qu’en

ÉQUILIBRE DES FORCES Eï DYNAMIQUE. 205

diminnanlleur tête, ou l’angle de leur tranchant, on pourrait avec des efforts ordinaires vaincre des résistances considérables, ou dix fois, cent fois plus grandes, selon que la tête ejt le dixième ou le centième du côté.

IIA. Influence du frottement sur lea effets du coin. — Ou reconnaît déjà, d’après ce qui vient d’èlro dit, combien les coins sont utiles dans les arts. Mais ce serait prendre une idée bien inexacte des effets du coin, si , comme précédemment, on les considérait indépendamment des frottements occasionnés sur les eûtes. Les frottements sont, en effet, proportionnels aux pressions Q et /}, et si ces dernières, par suite de la dimension do la tète, deviennent énormes par rapport à la puissance F destinée à les surmonter , il doit en être do même à l’égard des frottements qui sont toujours ' contraires à l’action de lu puissance. Celle-ci devra donc faire équilibre à la résultante des résistances O et ü et a la résultante des frottements qui seront f.QcXf.R (/-étant le rapport du froltoinent à la pression pour les substances du coin et de la raaliero qu’il divise), et qui, agissant le long des côtés jCeX BC, pourront être regardés comme appliqués au sommet C. Bornons-nous au cas du coin isocèle j on aura

Si, de plus, les points d’appui a eti des résistances Qellt sont sur une parallèle à la tète ytB, on voit sans peine que la résultante do ces résistances est située sur la droite CD ( flg. 170 ) qui passe par le sorainel C cl par le milieu D do la tèlc ; que si On est 1 intensité de cette résultante et que Omet mit soient les intensités ainsi que les directions des deux résistances égales O et R> ^8 triangle Omn semblable à ABC donne

ÂC

Prenons en outre sur les prolongements de AC et BC deux portions VC, et aC, proportionnelles à fQ : la diagonale Cd du losange Cba o donnera l’intensité de la résultante due aux deux frottements qui ont lieu sur les deux côtés du coin ; on a d’ailleurs Ce' = %CI. Enfin , cette dernière résultante dos frottements est évidemment située sur la ligne CD aussi bien que celle des doux résistances Qf et.

DEUXIÈME l'ARTlE.

par conséquent, elle t’ajoute à cette dernicrc pour contrarier le mouTenient que doit produire la puissance F. On aura donc pour l’équilibre

= On + iCI.

Mais l’autre dia|;onaIe b'a du losange h'Ca’c est perpendiculaire n Ce' et le triangle a'CI semblable à donne la proportion

aC ou f. O : CI ; CD,

CTi

d’où CI ^f.Q 'A -J".

Substituant à On et 0/ leurs valeurs trouvées au moyen de Q et fQ dans la valeur de F, on a

Yeut-ou juger quelle est l’influenee de l’augmentation que le frottement apporte à la puissance? considerous la circonstance où ce frottement est leinuindrc possible, c’cst-à-diie celle uùson rapport fk la pression est un dixième ; et cela arrivera lorsque le coin est eu cuivre bien graissé avec du suif et pénétrant uii morceau de fer^ imaginons que la forine du coin soit telle que sa tète ait une longueur dix fois moindre que son cùtéou que AB=--^^AC. Ile.-tcvi-

dent que la perpendiculaire CD difTcro très-peu do AC, et que

sera sensiblement l’unité; enEn, supposons la résistance O=1000'‘. Nous aurons, après ces diverses substitutions,

Or, en ne tenant pas compte du frottement, on aurait siniplciucnt

Ainsi , la puissance en ayant égard au frottement dans le coin est triple de ce qu’elle serait si le frottement n’existait pas.

118. Forme néceetaire au coin. — Un cas très-remarquable est celui où, apresavoir été oafoncédans une substance , du bois, par

Digitizixi by GoOglc

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 208

etcmple, le coin se relève n.iturellement. A cet effet, il faut faire attention que les deux parties de la substance séparées par le coin tendent à se rapprocher et produisent contre les appuis a et A des côtés ( 171 ) deux résistances égales à 0 dans le cas du coin

isocèle, et dont la résultante pousse le coin de bas en haut. Cette

résultante, comrac nous l’avons vu, est égale à X Tonte-

fois les deux frottements Q, fQ qui naissent sur l’un et l’autre côté s’opposeront à ce mouvement, parce que le frottement est toujours contraire, dans quelque direction que le mouvement tend à s’opé-

rer. Or, noos savons que leur résultante est . Q — — et que

de plus elle agit dans la direction de CD, comme la résultante des résistances Q. Donc le coin s’échapperait nu dehors do la tète yiU, s’il n’y avait pas frottement, ou bien encore si la résultante des

résistances Ç X était plus grande que 2/ . 0 X Si l’on

yx C/ ^0