E ;; i"xi" ; TXT ou r

d’où l’on tire

l'IlEMlÈRE PARTIE.

£ = 6.^7^ = \v,xr^i

puis enfin, en vérin de la troisième,

e, : £ ou ic. : £ :: c,> ; d’où r> = 2r. X^-

Nous avons d’ailleurs, en vertu de la inûnie définition du uiouvcraent uniformément accéléré,

d’où F = v,XT.

Ces diflcrenls résultats serviront à calculer la valeur de deux quelconques dus quantités £, V, T, quand un connaitra celle du la troisième, ainsi que le chemin e, ou la vitesse v, qui répondent à l’unité de Iciiips 1" : il ne s’agira que de remplacer chaque lettre par le nombre d’unités de temps ou de longueur qu’elle représente, et d’efiuatuer les opérations iudiijuécs (*).

(Nous reuvoyons nos lecteurs, tant pour cette leçon que pour la suivante, à la deuxième leçon du Cours de mécam'quu de itl. Dupin, pages 41—49, où ils trouveront des développemcuts qui leur faciliteront l’intelligenee parfaite des luis du mouvement uniformément varié.)

Cas où le corps a une vitesse déjà acquise, quand on commence à compter le temps. — Dans ce qui précède nous avons supposé que le corps partait avec nue vitesse nulle, en sorte que la droite qui donue la lui de son mouvement pa.ssait par l’origine O du temps -, mais s'il y avait déjà une vitesse Ov^ acquise antérieurement, celte droite passerait par lu point r,, extrémité de l’ordonnée Oc, qui représente cette vitesse du départ.

(•) L’c<juatioa F* = iVj X <|ui mtiique que la vitci»6 F e»l moytriM proportionnette entre av, et E, ou entre le douhlc du chemin décrit dan» la première tecoodci et celui décrit au bout du temps T, présente seule quelques difficultés pour le calcul de F $ mai» ou peut y parveoir au moyeu de conslruclion» graphique» {Leçont Ue yèométrie) , ou par les Table» que nous ferons connatirc plus lard, on enfin par l'extraction directe de Ia iftniic carrée «lu prtnhtit iv. X tC ('t*rc4 Cv'mctne tic .V. Htryr f'.

NOTIONS PRÉUMINAIRES. 43

Eli mcnanl In parallèle à Ot^ ( fig. 17 ), on verra que

la vilesserjlj, qui répund à un temps qiielcuiique Ol, écoulé depuis l’origine O du mouvement, se compose de la vitesse , égale à la vitesse initiale Ov^ , augmentée de In vitesse , que le corps acquerrait sous rnetion de la Force motrice constante et au bout du temps correspondant é?/, ou , si le corps partait réellement avec une vitesse nulle, comme dans le cas précédent : car la droite tl.v^ donne, dans ce cas, étant pris pour axe des temps, la loi de l’accélération de la vitesse. Connaissant donc la vitesse que la force imprimerait au corps au bout de la première seconde , s'il partait du repos, on aura tout ce qu’il faut pour construire par rapport à et par conséquent par rapport à Clt,, d’où il sera aisé de déduire toutes les circonstances du mouvement et de les calculer nu moyen des propriétés géométriques de la figure, en se rappelant les diverses notions déjà établies précédemment.

Qu’il s’agisse, par exemple, de calculer le chemin décrit par le corps au bout du temps t)/, , lequel est représenté ici par l’aire du trapèze Ov^v^t^ , on apercevra de suite qu’il se compose du càemm Ov^t'^t, décrit uniformément en vertu de la vitesse 0v„, augmenté de celui v^v,t'^ qui serait décrit sous l’action de la force motrice constante, d’un mouvement uniformément accéléré et à partir de l'instant du départ. Or, nous avons appris ci-dessus à calculer l’uu et l’autre de ces chemins.

89. Lois du mouvement uniformément retardé. — Maintenant on peut supposer que la force motrice constante, au lieu d’augmenter sans cesse et par degrés égaux la vitesse initiale ou primitive Op, , la diminue au contraire à chaque instant ; le mouvement sera alors nniformément re/a;dê. En menant la jiarallèle vj' ,t\ à Ol^ ( fig.18 ), on verra que la vitesse v,t, , qui répond à un temps quelconque Ot, écoulé depuis l’origine O du mouvement, n’est autre chose que la vitesse primitive Op„ diminuée de la vitesse v,t', que le corps acquerrait sous l’action de la force motrice, au bout du temps Ot, , si le corps partait du repos.

L’aire du trapèze Clr,p,f , étant encore ici la représentation du chemin décrit au bout du temps Ot^ , en vertu du mouvement retardé, on voit que ce chemin est égal à celui qui serait décrit uniformément pendant le même temps et avec la vitesse primitive, moins celui qui serait décrit, sous l’action de la force motrice constante, d’un

46 PUEMliiRE PAUTIE.

moiircmcnt uniformément accéléré et à partir de Vinttant du départ. Un pourrait dune eiinure calculer, dans le cas actuel et au inbyen de la fig. 18, toutes les circonstances du mouvement, si l’on connaissait la vitesse initiale Oc^ , ainsi que la diminution do vitesao r,(', due h la force retardatrice , au bout d’un temps quelconquo Ot,, ou si l’on veut à la fin de la première seconde du temps écoulé.

Supposons, entre antres, qu’on veuille trouver le temps Ot, nu bout duquel la force motrice aura éteint entièrement la vitesse du corps, on aura, par les triangles semblables, et r.Ot,, lo

proportion

: ”.*'3 où Oi,==r ;; </, ; Ot,;

d’où

Quant au chemin décrit par le corps, depuis l’instant du départ jusqu’à celui où la vitesse est devenue nulle, il sera donné par la surface du triangle Oe„t, on par le produit

Ov^

{OkY

Une remarque très-importante à faire, c’est que, si l’on suppose que la force motrice const.antc, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant à chaque instant des degrés de vitesse égaux et qui avaient servi à détruire la première, le corps retournera alors en arrière, en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C’est ce qu’indique la ligne en supposant que les temps soient comptés à partir de <, vers O; car la force motrice, qui est devenue accélératrice, aura imprimé, en sens contraire, la vitesse t^v^ au bout du temps IJ,, la vitesse nu bout do temps etc.

60. Mourement vertical dei corps pesants. — L’un des exemples les plus importants du mouvement uniformément accéléré est celui que nous présente la chute verticale des corps pesants ; mais, avant de l’exposer, faisons coiihaitre les circonstances qui accompagnent et qui modifient ce mouvement h la surface de la terre.

NOTinNS niEI-HilNAIRKS.

Causes qui, à la surface de la terre, modifient ce. mouremcnl, — Di’jà nous avons vu (1''“ parlio, 22) (|ue in pesanteur pouvait cire coiiïidcrce comme une force sensiblement constante dans l’étendue ordinaire des travaux de l’industrie. Hais à la surface de notre globe, tous les corps sont plonges dans l’air, et cet air est lui-même un corps matériel qui, en vertu de son impénétrabilité, de son inertie, s’oppose, avec plus ou moins d’inertie, à toute espece de mouvement des corps ; c’est là ce qu’on nomme sa résistance. L’expérience a depuis longtemps appris que la résistance de l’air croît avec la vitesse du mouvement et avec l’étendue de la surface des corps : c’est ainsi qu’en frappant l’air avec une palette plane très-légère, la résistance qu’on éprouve est d’autant plus grande que te mouvement est plus rapide, tandis qu’elle est à peine sepsiblc quand le mouvement s’opère avec lenteur. Pareillement elle diminuera si, au lieu de frapper l’air avec toute la surface de la palette, on présente celte palette de biais ou de champ, c’esl-n-dirc sur le côté mince.

Influence de l’air sur la chute des corps; le moucemeni dans le vide est le mf me pour toutes les substances, — On conçoit, d’après cela, que la présence de l’air doit apporter des modifications aux lois de ebute verticale des corps soumis à l’action de la pesanteur. En laissant tomber dans l’air des corps d’une même bnuteur, on remarque que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou ceux qui présentent le moins de surface dans le sens du mouvement, arrivent les premiers au bas de leur chute : ainsi une balle de plomb tombe plus vile qu’une balle de bois égale en grosseur, cclle-ci plus vite qu’nne balle du liège , etc. Hais, si l’on fait tomber les mêmes corps dans un cylindre où l’on aurait fait le vide, au moyen d’un piston, par exemple ( fig. 19 ), on reconnaît par l’expérience, que tous ces corps arrivent en même temps alors au bas de leur chute.

Il suit de là que la pesanteur ou gracitê agit indistinctement sur toutes les particules de la matière , et leur imprime à chaque instant le mèmedegré de vitesse dans le vide, résultat qu’il est bien essentiel de retenir.

01. La pesanteur agit dans Cintérieur des corps. — On peut, d'ailleurs, s'assurer trcs-simplemcnt que la pesanteur agit aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sur celles du dehors, en observant qu’un même Corps i>èse également à l’air libre ou placé dans

PnEMlfellE l'AUTIE.

l’inlériciir d'uu nuire corps, par exemple, dans une chambre, dans uue boite, ce qui ne peut avoir lieu qii’aulant que l’action de la pesanteur se fasse sentir, à travers la matière de celte enveloppe.

Distinction entre le poids et la pesanteur. — Le poids des corps n’est autre chose que le rcsullat de toutes les petites actions réunies de la pesanteur sur les molceules matérielles de ces corps. Il ne faut donc pas confondre Ic^oids avec la pesanteur, qui est véritablement la force élémentaire qui sollicite ces diverses molécules.

62. Circonstances où le moucement dans l’air est peu altéré. • — Enfin il est essentiel de se rappeler que les corps les plus denses, tels que l’or, le plomb , le fer, sont ceux qui, à éjjalité de volume, de surface, tombent le plus vile dans l’air, parce que la résistance est alors très-faible par rapport à leur poids, et qu’elle diminue trèspeu la rapidité de leur mouvement. On peut même, dans ces circonstances, ne tenir aucun compte de cette résistance, quand la chute ou la vitesse n’est pas très-considérable.

Exemple de Galilée et d’Atwood. — Galilée , physicien italien , a le premier recherché, par expérience, la loi que suivent les corps pesants dans leur chute, abstraction faite de la résistance de l’air, et il a trouvé que leur vitesse est uniformément accélérée. La pesanteur est donc une force accélératrice constante, agissant avec une intensité égale à chaque instant, quelle que suit la vitesse déjà acquise. Atwood , physicien anglais, en reprenant les expériences du Galilée avec des moyens plus ingénieux et plus perfectionnés, a obtenu les mêmes résultats. Ainsi nous pouvons énoncer les principes suivants (l'° partie, 58):

63. Lois de la chute des corps dans le ride. — Lorsqu’un corps tombe verticalement et d’une certaine hauteur dans le vide,

1° Les vitesses acquises sont proportionnelles aux temps écoulés ;

2° Les espaces totaux parcourus , ou les hauteurs de chute, sont proportionnels aux carrés des temps écoulés ;

3° Les mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bout de chacune d'elles ;

4" La vitesse acquise au bout d'un certain temps est double de la hauteur de chute déjà parcourue avant cet instant.

yitesse imprimée par la pesanteur au bout de la première seconde. Four le point du globe où nous nous trouvons, le chemin décr

au bout de la première seconde est égal à 4", 0044 : donc la vitesse acquise au bout de ce temps est deux fois 4", 0044 ou 0*",8088. Cette dernière vitesse est ordinairement représentée par g dans la mécanique ; ainsi g = O"*, 8088. C’est la cuiinaissaucc de cette grondeur qui sert à calculer toutes les circonstances du niouveraent accéléré des corps qui tombent d’une certaine hauteur (1” partie, 88). .

Formule relative à la chute des corps dans le vide. — Ordinairement on représente par A ou la hauteur en mètres, d’où le corps est tombé à un cerlaiu instant ; en nommant toujours T le temps employé par le corjw à'décrire le chemin H, ou à tomber de H, et F\a vitesse qu’il a acquise à la fin de ce temps, on aura, d’après ce qu’on a trouvé pour le mouvement uniformément accéléré en général,

}/ = irXT, H=igy.r, F‘ = igXff, r = gxr, ÿ = 9"“, 809,

formules très-fréquemment rappelées en mécanique, et d’un grand usage pour calculer les circonstances de la chute des corps pesants.

^Application particulière quand le temps de la chute est donné, — Supposons qu’on veuille trouver la vitesse acquise F’ et le chemin /fjdécrit au bout de 7" de chutej 7* représentant ici les 7", on aura

y = g X T= 9”, 809 X 7 = 68™, 06 environ ;

jX 7^ = '^“.90-44 X ■‘9 =2*0™, 316.

On doit se ressouvenir que dans l’air le corps no tomberait pas avec cette vitesse, à cause de la résistance; mais, d’après ce que nous avons fait observer, cette résistanceaurail très-peu d’influence, si le corps était très-dense, comme du fer, du plomb, etc., ou s’il avait peu de surface comme une balle sphériqne, si enfin la hauteur de la chute était faible, par exemple au plus âO™. On pourrait donc, comme le dit M. Supin (%' leçon de mécanique) , calculer trèsapproximativement alors la hauteur d’une tour, la profondeur d’un puits, en mesurant avec une bonne montre (marquant les dixièmes, les cinquièmes de seconde) le temps total de la chute.

^ vatiTt DE aie. isd. 4

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»0 l'REMlÈaE PARTIE.

Connaisiant la hauteur de chute, trouver la rileese due à cette hauteur, — Si l’on »8 donnait la liautenr de chute, 10™, par exemple, on calcnlerait la ritesse acquise au bas de cette chute au moyen do la relation

car on aurait

r>on r X ^ = 19", 6176 X 10 = lOO" “',176 ;

il ne s’agirait que de trouver la racine carrée de 106,176 ou le nombre qui, multiplie par loi-roeme, donnerait nette quantité ; or, cette racine est ici 14-" environ, puisque 14 X 14 ou (14)’= 198. L’opération, où il s’agit de trouver la vitesse acquise au moyen de la hauteur, se reproduit très-fréquemment dans la mécanique pratique, aussi a-t-on construit des tables exprès qui fournissent immédiatement la vitesse répondant à une hauteur donnée; nous les ferons connaître lorsqu’il sera question des luis de l’éboulement des fluides.

On dit ordinairement que la vitesse F est due à la hauteur II, expression abrégée qu’il est essentiel de retenir.

64. Loi* de l’aicention verticale de* corp*. — Lorsqu’un corps , nne balle de fusil par exemple, est lancé de bas en haut, selon la verticale, la pesanteur agit A chaque instant avec la même intensité, pour diminuer par degrés égaux la vitesse primitive; le mouvement sera donc unt/brméfnen< retardé, et, d’après ce qui précède, la vitesse finira par s’éteindre quand le corps sera arrivé à une certaine hauteur, puis il redescendra, en vertu de l’action de la gravité, en reprenant tous lus degrés de vitesse qu’il jmssède eu montant et pour les mêmes positions. Ainsi à 1", à 2" , à 9" , au-dessus de la terre, le corps possédera exactement les mêmes vitesses, suit dans l’ascension, soit dans la chute, il n’y aura que la directiondu mouvement de changée. Par exemple, lors de sa chute ou de son retour au point de départ, la pesanteur lui aura précisément restitué la vitesse qu’il avait primitivement. Nommant H la plus grande élévation à laquelle il soit parvenu, et F cette vitesse, on aura donc

F'=^igH;

NOTIONS PRÉUHINAinKS, 81

d’où il sera facile de déduire U quand on aura F, et réciproqticmcii .

Cola suppose toutefois que l’air n’oppose aucune résistance au mouTement; car dans la réalité, les corps montent à une hauteur moindre que celle qui répond à leur vitesse initiale, et de plus ils retombent avec une vitesse moindre que celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ascension.

63. 0wan<i<é de travail de la peeanteur pour imprimer une certaine viteue. — Nous pouvons maintenant apprécier la quantité de travail ou d’action que dépense la pesanteur pour engendrer une certaine vitesse dans un corps , ou pour vaincre l’inertie. Nommons en effet, P le nombre de kilogrammes que pèse le corps, ou plutôt l’effort absolu que la pesanteur exerce sur ce corps, et qu’il faudrait employer pour le soutenir à une certaine position ; ce sera aussi la mesure de l’effort constant exercé sur le corps pendant la descente de la hauteur H, La quantité do travail consommée pendant cette chute sera donc représentée (l'° partie, £6) par le produit P X et cette quantité de travail aura engendré, dans le corps, la vitesse y, calculée par l’équation t=s igH. Hais si l’on divise le produit

2ÿ X 00 P®*" •os facteurs 2ÿ, on aura l’autre H= —

et par conséquent P X osl 1® même chose que ,

66. Force eiee des corps Ainsi la quantité de travail développée

par la pesanteur, pour imprimer une certaine vitesse F è un corps, est égale à la moitié du produit obtenu en multipliant le carré do cette vitesse, par le poids P de ce même corps, divisé par la vitesse g ou 0,8088 que la pesanteur imprime à tous les corps au bout de la

première seconde de leur chute. Ce produit ~ X est précisément ce que les mécaniciens ont nommé la force vive de P. On voit donc que la quantité d’action ou de travail dépensée par la pesanteur est la moitié de la force vive imprimée , ou, si l’on veut, la force vive imprimée est le double de la quantité d’action dépensée par la pesanteur.

PnEMIÈRE PARTIE.

La quantité d’action consommée a pour mesure la moitié de la force vire perdue ou gagnée. — On remarquera que, lorsque le corps est lancé de bas en haut arec une certaine s liesse, l’action de la ]>esanteur, toujours mesurée par le produit du poids et du la hauteur •à laquelle le corps a clé élevé, est employée au contraire à détruire celle vitesse, et que, dans les deux cas de la montée et de la descente, la moitié de la force vive détruite ou acquise mesure la quantité d’action ou de travail nécessaire pour vaincre l’inertie du corps, soit qu’il s’agisse de lui imprimer une certaine vitesse, ou qu’il s’agisse de détruire celle qu’il possède déjà.

Nous verrons bientôt que ce principe est général, quelle que soit la force motrice qui ait communiqué le mouvement à un corps, et quelle que suit la direction de ce mouvement. Mais il est nécessaire auparavant de faire plusieurs remarques et de poser quelquesnouvelles définitions admises par les mécaniciens.

67. Observations sur la force vive, — Coin me l’expression de forve

vice employée pour désigner le produit X pourrait induire en erreur beaucoup de personnes, il est bon de remarquer ici que, d’après notre manière de voir, ce n’est point réellement une force , pas plus que P H, ou ce que nous avons nommé en général quantité d’action , quantité de travail ; c’est tout simplement le résultat de l’activité d’une force motrice ou de pression expri~ mable en poids qui a été employée à vaincre l’inertie do la matière d’un corps ,à imprimer un certain mouvement, unecertainc vitesse, à ce corps. Sous ce point de vue la force vive n'est véritablement que Yeffet dynamique de la force motrice , ou plutôt le double de cet P

effet, puisque — X F’ = iP X

A la vérité un corps mis en mouvement, ou un certain effet dynamique, peut, h son tour, devenir une cau^, une source de travail ; ainsi, par exemple, un corps lancé verticalement, de bas en haut, est élevé en vertu do sa vitesse, a une certaine hauteur, tout comme il le serait par l’action d’un moteur animé. Hais il arrive ici la mcinc chose que lorsqu’une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un corps élastique ( 1'* partie, 38 ), l’inertie de la matière a été mise en jeu de la môme manière que les ressorts moléculaires l’ont été dans ce dernier cas.

Cclleinerlie (1" partie, 86), quand ellea été ainsi vaincue, devient capable de restituer la quantité de travail dépensée, de même que le ressort qui a été bandé; en un mot, l’inertie, comme les ressorts, sert à emmagasiner la quanti té d’action, à la transformer en force vive, de sorte que la force vive est une véritable quantité d'action disponible. On peut en dire autant d’un corps qui a été élevé à une certaine hauteur ( 1" partie, 55); ce corps, sollicité par la pesanteur, est la source d’une quantité d’action dont un peut disposer subsequeinnient pour produire du travail mécanique. Mais, de meme que nous ne disons pas que ce corps, actuellement élevé a une certaine hauteur, est une force, qu’un ressort bandé est une force, de même aussi il est

peu exact de dire qu’un corps en mouvement ou — X est une

force. Il en e.st encore ainsi des hommes, des animaux en général, du calorique, des cours d’eau, du vent, etc. ; ce sont des agents de travail, des moteurs si l’on veut, mais non de simples forces (1'° partie, 19).

L’objet de la mécanique industrielle consiste principalement à étudier les diverses transformations ou raétaniorphuses que peut subir le travail des moteurs par le moyen des machines ou des outils, à comparer entre elles les quantités de ce travail, a les évaluer en argent ou en ouvrage de telle nu telle espèce, etc.

£il résumé, lorsque nous parlerons du la force vice communiquée ou acquise par un corps, sans s’arrêter à la signification propre de cette expression , il faudra seulement se ressouvenir qu’elle se rapporte au mouvement réel de ce corps et au produit du carré de sa vitesse par son poids divisé par g, ou 9°*, 8088.

68. Définition de la masse. — Puisque la pesanteur agit indistinctement sur toutes les parties matérielles d’un corps, et leur imprime, à chaque instant, le même degré de vitesse dans le même lieu, on voit que le poids d’un corps, qui est le résultat de toutes ses actions partielles, peut donner jusqu’à uii certain point une idée de la quantité de matière que ce corps renferme, ou de sa masse; en sorte que, suivant cette notion , la masse serait proportionnelle BU poids ; souvent même un prend dans les applications les poids pour des masses. Hais, comme l’intensité de la pesanteur varie d’un lien à un autre, et que la quantité dematière ou la masse absolue d’un même corps ne varie pas, on voit que cette dernière

üOrait trcS'inal définie par le poids simple de ce corps. Or, I’cxpé>

rieiice a appris que la vitesse imprimée par la pesanteur, au bout

delà première seconde de sa chute, demeurait oonstainmeiit pro>

portiunnclle â son intensité, c’est-à-dire que le rapport — restait

le même pour tous les lieux. Ainsi P et P' étant les poida abaolut d’un même corps transporté, par exemple , à deux hauteurs différentes, g et g' les vitesses qu’à ces hauteurs la pesanteur imprime à chaque particule de matière, on a

P : P' :: 9 : g, ou

C’est donc ce rapport invariable— , et non P, qu’on doit prendre

pour la valeur de la moue abtolue d’un corps, en mécanique. Ordinairement un représente la valeur de la masse par la lettre m ou Ms un a doue

et, par suite.

P exprimant reffurl exercé par la pesanteur sur un certain corps, et g la vitesse qu’elle lui imprime, dans le même lieu, au bout de la première seconde de temps.

69. Expression de la force vive au moyen de la masse. — D’après

cela, la valeur ci-dessus — X de la force vive d’un corps se

trouve aussi représentée, dans les calculs inéoaniqnes, par M X c’est-à-dire par le produit de la masse de ce corps et du carré de sa rifesse acquise.

Enfin les mécaniciens sont également convenus de nommer quantité de mouvement d’un corps, le produit de sa masse, défini comme on vient de le dire, par la vitesse simple que possède celle masse, c’estp

à-dire que Af X ou — X osl ce qu’un nomme une quan-

tilé de mouvement eu mécani(pic : celle rjuanlité est, comme on

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NOTIONS PKÉLliUNAiaiüj. 33

Toit, très-différente de ce que nous aruns appelé (l'" partie, 43 ) quantité d’action oudetrarail

70. l'soÿe de ce» mot» en mécanique. — Au fait c’csl principalement pour abréger et simplifier les calculs et les raisoimeraeiils qu’on emploie les dénominations Je masse, de quantité de raouvemeut; et l’on pourrait aisément s’en passer dans la mécanique industrielle. Mais, comme tons les auteurs, et M. Dupin lui-inéme, en ont fait usage, il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signification,

71. Les forces motrice» sont proportionnelles au degré de vitesse qu’elles impriment à un mime corps, dans un mime instant très-petit, — Nous venons de voir que la pesanteur imprime A un même corps et au bout de la première seconde, des vitesses qui sont constamment proportionnelles à son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Mais cette propriété provient uniquement de ce que la pesanteur est censée très-peu varier pendant la chute du corps j du sorte que la vitesse totale nu bout de cette chute est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés à chaque instant ( 1” partie, (52). Lorsque la force motrice, au lieu d’ètrc constante, varie à cha<|ue instant, il est évident qu’alors son intensité ne peut plus SC mesurer par la vitesse qu’elle imprime à un même corps au bout de l’unité de temps, et qu’elle dépend uniquement du petit degré de vitesse qu'elle lui communique à un instant donné.

L’observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre, et dans les mouvements do notre système planétaire, prouve que

(•) Nsamwot Q la valaar d* — X f', «a aura Q ^ — X «a , c« qui re-

Tient au même, Q I P II ^ l 9' P ^t le poid» du corps ou un certain effort « g OQ 9** ,8088 est la titasia qoa la pesanteur imprime à ce corpsy au bout de la première seconde, dans le lieu où nous sommes; donc Q n’est autre chose que l'effort qui serait caereé aur le même corps, par la pesanteur, dans le lieu où elle serait capable d*iropri« mer la vitesse au bout de la première seconde de chute. On roit aussi que la force TITO M X ou X n'est elle-même que le produit de cc dernier effort par la vitesse ou par le chemin que décrirait uiiiformémcnl le corps, dans Tunllé de temps, en vertu de sa vitesse acquise, t.cs ohscrvallons' peuvent donc servir à distinguer entre elles la quantité de mouveracnl cl la force vive, ainsi qu'ù monircr l'identité de la nature decetto demiiTC cl de U quantité d'action ou de iraviuJ.

86 PUEMIÈRE l'ARTlE.

lu forceê molricei ou de prtstton lont réellement proportionnelle* mx degré* de viletse très-petits, qu'elles impriment à un mime corps, dan* des temps égaux infiniment petits. Ce fait sert de base à toute la mécanique du mouTemciit, et doit être nonsidéré comme une loi générale des forces motrices que présente la nature.

72. Mesure de la force motrice ou de la force d’inertie au moyen de la vitesse imprimée dans un temps infiniment court. — D’aprc’ccla, soit f la mesure eu kilogrammes, d’une certaine force de pression j soit e le degré très-petit de vitesse qu’elle imprime à un corps à une époque quelconque et pendant le temps très-petit <; soit pareillement P la pression que la pesanteur exerce en un certain lieu, snr le corps, ou le poids de ce corps, et o' le petit degré de vitesse qu’elle lui imprime dans le même temps t. On aura, d’après ce qui précède,

Hais, d’après la première loi de la chute des corps ( 1'* partie, 60), nous avons d \ g X ( : 1"; d’où d ~ gt, et par suite.

M étant la masse du corps. Ainsi, quand on connaîtra la vitesse o imprimée dans le petit temps f par la force F, on pourra calculer cette force qui est égale et contraire à la résistance^qu’oppose l’inertie do la matière do ce corps, au mouvement. Cette résistance a été appelée par les uns force d’inertie, et par les autres force dy-

Xf

namique. La relation F= ilf X j »ous apprend donc que la force

d’inertie f croit proportionnellement à la masse du corps, H =— ,

et aux degré* de citeete y 'qu’il reçoit dans des temps élémentaire* t égaux ettrie-petiisC).

(’) Soit F' une sutro force motrice sgiuant lur on corpi de ouuc If, et qui lui com-

78. Meture du degré de vileeee imprimée par une force motricedon~ née, — De la relation ci-dessus on tire I.t v.ileur

et l’on voit que le degré de vitesse qu’une force motrice imprime à un corps, pendant un même temps élémentaire très-petit, croit pruporliuunellcmeiit à l’iuteiisilé de la force motrice, et inversement à la masse de ce corps ou de son poids.

74. Mesure de la force motrice ou d’inertie par la vitesse finie qu’elle imprimerait en une seconde, si elle agissait uniformément. — Maintenant, si nous supposons qu’à une certaine époque du mouvenirnl d’un corps, la force motrice F cesse tout a coup de varier, ou continue d’agir sur le corps avec l’intensité qu’elle possède à cette époque, la vitesse augmentant ou diminuant dès lors de quantités proportionnelles au temps (l'* partie, S7), cette intensité pourra être encore mesurée par la vitesse finie qu’elle imprimerait au corps à la fin de la première seconde, s’il partait du repos au commencement de cette seconde. Désignant par F'" cette vitesse finie , on aura

et , en général , la force motrice égale et contraire à la force d’inertie, à la force dynamique, est mesurée à chaque instant, par la quantité de mouvement qu’elle imprimerait au bout d’une seconde, si , au lieu de varier, elle demeurait ce qu’elle est à cet instant.

muoi<pie, dtiu le méa>e temp» dlëmeoUire un de^ de TiteMO v*, od «ureit de même

/• = JT X -J-.

Donc on turn I Il » X «' X

•nbion F \ T \\ M o \ It y. t/ ,

M qoi indique que déni force* notricet quelconque* sont entre elle* comme le* quan* titd* de mooTemeot trè*>petile* qu'elle* communiquent pendant le même teapiëlëmen» Uirr,

l'REMIËRE PARTIE.

75. Moyen» d’obtenir le» mêmes choses à l’aide de la loi ou de la courbe qui lie les temps aux vitesses. — Ces considératiuns sur la force motrice, dans le mouvement varié, sont analogues à celles qui concernent ( 1" partie, 16 ) la vitesse même du mouvement , et on peut des reproduire également à l’aide d’une figure. Suit tracée, comme cela a été dit ( l'' partie, 57), pour le mouvement uniformément accéléré, la ligne . . . . r, ( fig. 20 ), qui repré-

sente la loi des temps et des vitesses; soient /,r,, les vitesses qui répondent au commencement et à la fin du temps très-petit tJ^ ou t. Menons par r, la parallèle à Taxe des temps Ot^ ;

elle retranchera do l’ordonnée la petite longueur représentant le degré do vitesse imprimé par la force motrice dans la durée du petit temps degré que nous avons représenté par r. Or, si l’on suppose qu’à partir du commencement do ce temps t, la force motrice devienne constante, ou qu’elle imprime, dans les instants consécutifs et égaux à t, des degrés égaux de vitesse, la vitesse acquise au bout d’une seconde sera exprimée (1'° partie, 58) par une droite e,n, prolongement de , et qui sera tangente à la courbe e,e,o, . . . . puisque l’intervalle ou ( est censé excessivement petit. Prenant donc c,m = 1" et élevant l’ordonnée nin, celle-ci ne sera autre chose que la vitesse F, acquise au bout de l’unité de temps en vertu de la force motrice supposée constante, et l’on aura, à cause des triangles semblables v^v^b^ etr,mn, la proportion

ou < ; ou » “ r,m ou 1" ; mis ou t>, ,

d’où l’on tire, comme ci-dessus, F =

Ainsi, quand on connaîtra la lui qui lie les temps aux vitesses imprimées, ou la courbe qui représente celte loi , on pourra pour chaque instant, ut par le tracé d’une tangente de cette courbe, déterminer la vitesse F„ et, par suite, calculer comme il a été expliqué ci-dessus, la valeur

MXF.=^jX y.,

trouvée précédemment, de la force motrice en verltt de laquelle le inouvenienl du cerj-s a lieu , ini ce qui est !a même chose, la rt-

*isUiic« égale et contraire que l’inertie oppose, à chaque instant, à l’action de la force.

76. La connaissance de la loi que suit la force motrice peut servir à trouver celle qui lie les temps aux vitesses. — Réciproquement, si l’on connaît, pour chaque instant , la force motrice F, on en dé-

duira les Taleurscorrespondantes de f', =a — , ou les inclinaisons des tangentes v,n de la courbe des vitesses : car la mesure de ces inclinaisons est donnée par le rapport

Si l’on SC donne d’abord la vitesse initiale Or, du corps, vitesse nulle quand ce corps part du repos, rien ne sera plus facile que de trouver la courbe des vitesses successivement acquises sous l’action de la force motrice, puisqu’au moyen des inclinaisons des tangentes correspondantes à chaque abscisse ou à chaque temps, on pourra, de proche en proche, construire les positions successives r,r,, e,r,, o,e,, .... des éléments de cette courbe.

77. Recherche du travail des forces motrices ou de la force d’inertie des corps. — A l’aide des notions qui précèdent, nous pouvons calculer la quantité de travail que doit dépenser, contre un corps de poids P, une force de pression F, égale et contraire h la force d’inertie, pour imprimer à ce corps une certaitie vitesse F', ou, plus généralement, pour augmenter ou diminuer sa vitesse d’une quantité donnée.

£ii effet, oette quantité de travail est mesurée, pour chaque instant très-petit t, par le produit de F et du chemin élémentaire décrit par le corps dans cet instant. ( Nous supposons ici que ce chemin est le meme pour les diverses molécules du corps, ou qu’on ne considère qu’une de ces molécules en particulier.) Ce petit chemin est donné sur la figure 20 par l’aire du petit rectangle formé sur la vitesse correspondante c,f, ou F, et sur l’élélueiit du temps ou < (!'• partie, 67,60), c’est-à-dire par le produit F "yi. t. Donc la quantité de travail élémentaire est F ')(. F yl. t pour chaque instant, ou pour chaque petit accroisse- * ment è, de la vitesse, accroissement que nous avons déjà nommé r. Or, nous avons trouvé ci-dessus que la valeur correspou-

(iO

dante de F était M X ainti la quantité de travail en question a\ M y Y. V.

C’est la somme de toutes ces quantités de travail partielles qui composent le travail total , et cette somme est facile à trouver par la considération d’une figure. A partir du point O ( Eg. 21 ), pris pour origine, portons sur la droite OB les divers accroissements successifs Ow,, ic.rc, , fc,sPj , ir ,tp,, .... de la vitesse, répondant aux divers instants écoulés depuis celui du départ du corps, accroisseineiits qui ne seroiil point égaux dans le cas du mouvement varié. Il est clair que les longueurs Ou>,, Ow,,Ouj Oir,,.... sont les vitesses totales acquises aux instants correspondants : portons ces mêmes longueurs sur les ordonnées correspondantes, ip,r„ **’«*’i> “’s*’*» .... de telle sorte qu’on aura

= 0u>„ r.w. = Otc„ . r.w, = Ow„ ....

La suite des points O, e,, r,, c, va former une ligne droite inclinée à 48® sur l’axe des abscisses OB. Cela posé, considérons en particulier la vitesse e,«>, ou y, dont raccroisseiiient ou c,6, , égal à a été nommé r. Le produit y Y ^ sera ici représenté (Impartie, 66) parle petit rectangle r,ir,tp,6, ou par le trapèze e,io,ip,r, , qui lui devient sensiblement égal quand les accroissements de vitesse ou de temps sont extrêmement petits. Donc la somme cherchée de tous les produits semblables à X a pour mesure celle de tous les petits trapèzes correspondants, ou l’aire comprise entre la droite l'axe des abscisses, et les ordonnées qui représentent les vitesses acquises au commencement et à la fin de l’intervalle de temps pour lequel on veut obtenir le travail de la force motrice.

78. La quantité de travail de la force motrice ou de la force d’inertie d’un corp», a pour mesure la moitié de la force vive communiquée. — Par exemple, si le corps part du repos, et qu’il s’agisse de trouver la somme des produits y Y f relative à une vitesse acquise que nous nommerons y ; cette somme, étant représentée par l'aire du triangle O^o^v^, aura pour mesure

ï Qtr‘ X ou i w^v^ Y «>,r4 =

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NOTIONS PRÉMMINAinES. Cl

Bouc la quantité de travail correspondante à la vitesse acquise V' , et consommée par l’inertie du corps, sera mesiiroB par 7 yV X ou par la moitié do la force vive communiquée depuis l’instant du départ (1" partie, 66). Ce principe a donc lieu aussi pour un mouvement quelconque ou pour une force motrice différente de la pesanteur.

Pour une autre vitesse que nous nommerons F”, la con-

sommation de travail sera également mesurée par -jdfX par conséquent pour l’intervalle compris entre les positions du corps qui répondent aux vitesses V et F", la quantité de travail consommée sera mesurée par la différence

correspondante au trapèxe c,ir,w,r,. Or, ftf X ^ X

sont les forces vives possédées par le corps au commencement et à la fin de l’intervalle de temps pour lequel ou considère le travail de la force motrice : c’est donc encore raccroissement de la force rire ou la force vive communiquée dans cet intervalle, de sorte que le principe ci-dessus peut s’appliquer à deux instants qi/ciconques do mouvement d’un corps. Ainsi la quantité de travail dépensée a dans tous les cas pour mesure la moitié de la force vive communiquée entre ces instants.

19, La quantité de travail consommée par une force opposée au mouvement d’un corps est la moitié de la force vive détruite. — Enfin, on doit remarquer que ce qui précède Appose que la vitesse du corps augmente sans cesse, s’il en était autrement, ce serait un signe que la force motrice /'serait opposée an mouvement du corps ou serait retardatrice, de sorte qu’elle agirait alors comme une véritable résistance. Du reste , tous nos raisonnements demeureraient encore applicables, et l’on trouverait que la quantité de travail ou d’action développée par la résistance /'(égale et directement contraire à la force d’inertie devenue puissance), pendant un certain intervalle de temps, pour réduire la vitesse F" à F', par exemple, serait égale à

i(dfX^"' — dfX y’’)

ou à la moitié de la force vive détruite ou perdue.

PaElIIERK PAETIE.

Gâ

Ainsi, la diminntion de la force vive d’un corps entre deux instants suppose qu’une quantité de travail ou d’action égale à la moitié de cette diminution, a été développée par l’inertie de ce corps contre des obstacles, des résistances, comme son augmentation suppose de la part d’une paissance une consommation de travail égale à la moitié de cette augmentation.

80. L’inertie de la matière sert à changer le travail en force vive et la force vice en travail. — On voit donc clairement maintenant comment, en général, l'inertie de la matière sert à transformer le travail en force vive et la force vive en travail ; ou, pour nous exprimer comme nous l’avons fait (I'° partie, 67), à l’occasion da mouvement vertical des corps pesants, on voit que l’inertie sert à emmagasiner le travail des moteurs en le convertissant en force vive, et à le restituer intégralement ensuite, lorsque cette force vive vient à être détruite contre des résistances.

Les arts industriels nous offrent une infinité do circonstances oà ces transformations successives s’opèrent par le moyen des machines, des outils, etc. L’eau renfermée dans les-réservoirs des moulins représente une certaine quantité d’action ou de travail disponible, qui se change en force vivo quand on ouvre la vanne ou l’écluse { à son tour la force vive acquise par cette eau, en vertu de sa chute du réservoir, se change en une certaine quantité de travail quand elle agit contre la roue du moulin, et celle-ci transmet ce travail aux meules, etc., qui confectionnent l’ouvrage. L’air refoulé dans le réservoir d’un fusil à vent ^présente la valeur mécanique du travail dépensé par un certain moteur pour l’y emprisonner ; en lâchant la détente, l’air chasse la balle et convertit une certaine quantité d’action en force vive. Si la balle est lancée contre un ressort ou un corps élastique, ce dernier va se bander ( fig. 33 ), se comprime en opposant une résistance de plus en plus forte, égale et contraire à la force d’inertie de la bulle, et qui finit par éteindre le mouvement, quand la quantité de travail développée par le ressort atteint une valeur moitié de la force vive possédée par la balle; le travail étant maintenu à cet instant par un moyen quelconque, la force vive s’y. trouvera emmagasinée en quantité de travail disponible, de façon que, si l’on vient à supprimer l’obstacle qui maintient le ressort dans sa dernière position, la balle va être lan. cée en sens contraire, avec une vitesse telle que la force viveac-

quise sera le double do la qnantilé d’action ou de.traynil ( partie, 78) restituée par le ressort dans son débandeincnt.

81. Le» corpi parfaitement élattiques restituent complètement la force vixx quand il» sont choqués. — Si donc ce ressort est parfaitement élastique, la vitesse transmise à la balle sera précisément égale à celle que le fusil à vent lui avait d’abord imprimée dans une direction contraire. Ainsi, dans l’exemple dont il s’agit, la quantité de tracad a été alternativement changée en force vive et la force vive en quantité de travail, sans qu’il y ait eu rien do perdu ni de gagné. Mais, si le ressort n’est pas parfaitement élastique, une portion de la force vive imprimée à la ballo sera employée à détruire les forces moléculaires de ce ressort.

82. Dans le choc des corps non élastiques, il y a toujours une perte de force vive appréciable. — Ainsi, dans le choc des corps non parfaitement élastiques, il y a toujours une perte de quantité de travail mesurée par la moitié de la force vive détruite. Presque tous les corps étant dans ce cas, cl la quantité de travail consommée inutilement par les forces moléculaires étant comparable à celle que développe l’inertie pendant que les corps se compriment, un voit que si cette dernière, ou la vitesse en vertu de laquelle le choc s’opère, est considérable, il y aura eu, dans un très-petit instant, une grande perte de quantité d’action, et voilà pourquoi, comme nous l’aTons déjà dit, il faut éviter les chocs dans le mouvement des machines industrielles. Au surplus, nous reviendrons sur ce sujet dans la suite.

88. Le» ressort» et l’inertie ne peuvent pas servir à augmenter la force vive de» corps et le travail de» moteurs, — ün voit encore, par tout ce qui précède, qu'il est aussi impossible de se servir de la force de ressort que de celle de la gravité, pour imprimer à un corps une vitesse plus grande (l'° partie, 55) que celle qu’il possédait primitivement, ou pour augmenter le travail quelconque d’une puissance, et qu’au contraire cette vitesse restituée sera toujours moindre que la vitesse primitive ; mais, comme la portion de vitesse ou de force vive détruite dans le choc a été employée réellement à vaincre certaines résistances moléculaires, et par conséquent à produire un certain travail, nous avons pu dire oi-dessus que la force d’inertie

rREMIÈHE PARTIE.

reililuc intégralement la qunniitô de Irav.iil qai a été dépensée pour le mettre en jeu ; seulement il arrive qu’une portion de ce travail est, dans certains cas, étrangère à l’ouvrage qu’il s’agit défaire, ou n’est point considérée cummefaisant partie de Veffet utile, ainsi qu’il a déjà été expliqué ( l" partie, 40} à l’égard des forces de pression ordinaires.

84. Examen de ce qui $e paue dan» lee mouvement* alternatif* ou périodique*. — Nous venons de montrer par des exemples comment la quantité de travail ou d’action peut être transformée altcrnativenienl en force vive, et la force vive en quantité d'action, par le moyen des ressorts et des machines qui les emmagasinent et les reslilueut successivement. Ces transformations se présentent, en général, toutes les fois que le mouvement d’un corps sollicité par une puissance motrice varie, par degrés insensibles, de manière à ^ être tantôt accéléré et tantôt retardé. C’est ce qui a lieu , par exemple, dans les mouvements périodiques dont nous avons déjà parlé ( l** partie, 16 ), et en général dans tous ceux de va-et-vient qu’on nomme alternatif*, et où la vitesse devient nulle de temps en temps. Les mouvements oscillatoires des pendules et des fils à plomb sont évidemment de ce dernier genre. Or, lorsque la vitesse du corps augmente, c’est un signe qu’une certaine portion du travail du moteur agit dans le sens du mouvement pour accroître la force vive du corps d’une quantité égale au doublede cette portion, le surplus du travail ayant été absorbé par les autres résistances; si, au contraire, la vitesse du corps vient à diminuer, malgré l’action de la puissance toujours exercée dans le sens du mouvement,

«’est qu’une certaine portion de la force vive acquises été dépensée, contre les mêmes résistances, pour augmenter le travail du moteur d’une quantité égale à la moitié de cette portion, et ainsi de suite selon le nombre des alternatives du mouvement.

86. La quantité de travail consommée ou re*lituée par l’inertie ett toujour* la moitié de la force vive acquit* ou détruite. — On voit, d’après cela, que, lorsque la vitesse ou la force vive d’un corps oscille entre certaines limites, c’est une preuve que l’inertie a suc. cessiveraent absorbé et restitué des portions de travail du moteur qui sont égales pour tous les instants où la vitesse est redevenue la même, c’etl-à-dire que, dans Tintervalle de ces instants, il n’y a eu

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 6iS

rien de perdu ni de gngne, et que In puissance doit être considérée comme ayant été entièrement employée h vaincre les résistances autres que l’inertie. Mais, si dans un intervalle de temps quclcon> que, la vitesse, apres avoir subi également des alternatives de grandeur, ne redevient pas ce qu’elle était d’abord, la moitié de la différence des forces vives qui répondent à la fin et au commencement de cet intervalle mesure la quantité de travail qui a été réellement consommée ou restituée par l’inertie du corps. Par conséquent, si le corps était parti du repos, la quantité de travail consommée par l’inertie, à un instant quelconque, serait mesurée seulement par la moitié de la force vire acquise à cet instant.

86. Démonstralio* des mêmes choses par la figure. — On remarquera que tous les raisonnements qui précèdent peuvent être répétés nu moyen do la fig. 23, en observant que, lorsque la vitesse du corps diminue après avoir augmenté pendant un certain temps, il en est de même de l'abscisse ét de l’ordonnée de la droite Ov^ qui représentent cette vitesse ; de sorte que cette ordonnée, après s’ètre éloignée de l’origine jusqu’à un certain point, en balayant des aires triangulaires proportionnelles à la quantité de travail dépensée par l’inertie ou à la moitié de la force vive acquise par le corps, se rapproche de cette même origine, en soustrayant de la plus grande aire, ou du plus grand triangle des surfaces trapéioïdes qui dimi- Duentdeplus en plus, l’aire de cetrianglorépondantàla plus grande force vive. Une voiture qui chemine avec une vitesse tantôt plus grande, tantôt plus petite, offre l’exemple de ce que nous venons de dire ; d’abord les chevaux dépensent une certaine quantité do travail pour la mettre en mouvement au pas ou au trot; pois, lorsque la vitesse de la voiture vient a ralentir par suite de l’augmentation des résistances, ou de la diminution d’action des chevaux, cette même inertie développe contre ces résistances une portion du travail qn’clle avait d’abord absorbée, et qui est égale à la moitié de la diminution de la force vive ; et les choses continuent ainsi alternativement : de sorte que, lorsque la voiture est mise au repos, la quantité de travail restituée par l’inertie est précisément égale à la quantité de travail qu’elid a çpnsouimée, et qu’en réalité il n’y a rien eu de perdu. Il est entendu, d’ailleurs, que les diminutions de vitesses éprouvées par la voiture no proviennent pas de ce que les chevaux retiennent ou de ce qu’on aurait enrayé, puisque alors ces

TSAITt DE aie. IMI. 5

66 PREMIÈRE PARTtE.

chevaux el l'enrayage auraient «erri à augmenter le* véritobleR rë- ■istancea, et à conaominer la force vive acquise, sans utilité immédiate pour l’objet du transport.

87. Ces réflexions s’appliquent aussi bien à la pesanteur qu’à l’inertie. .Avantages des routes à pentes douces. — • I.cs mêmes réflexions sont applicables à l’action de la pesanteur sur nne voiture qui monte ou descend une côte ; la quantité de travail, employée dana la montée pour vaincre la pesanteur, sera restituée dans la descente, pourvu que celle ei ne soit pas trop roide, el ne force pas à enrayer ou à retenir, et à perdre inutilement cette quantité de travail. On voit par In aussi l’un des avantages des routes à pentes douces sur les autres, et c’est pour cela que, de nos jours, on a fixé lu limite des pentes du vingtième au trentième.

88. Nouveaux exemples oiii l'inertie ne diminua en rien la quantité de travail du moteur. — Ixirsqu’un moteur est employé à élever verticalement des fardeaux, il prend le corps au repos; de là une consunimalion du travail pour vaincre l’inertie du eorps. Arrivé à la hauteur voulue, le moteur ralentit son mimvemcnt pour remettre de nouveau le corps an repos ; dans ce ralcnlissemenl. In force vive acquise est employée à détruire une portion de l’ctFct de la pesanteur sur les corps, et l'inertie n’a rien absorbé. Les mêmes choses peuvent SC dire encore du travail du limeur, dn scieur, etc., puisqu’n la fin dechaqnu oscillation de l’outil, la vitesse devient nulle en variant par degrés insensibles. Il est évident que cela n’aurait plus lieu si le mouvement changeait brusquement, ou qu'il y eût des chocs ou des secousses entre corps non parfaitement élastiques ; une portion de la force vive serait employée alors ( U* partie, 83) B détruire les ressorts moléculaires des corps qui se choquent.

89. Autres exemples du rôle que joue l’inertie des corps dans divers procédés des arts. — Afin de donner une idée plus complète encore du rôle que joue l’inertie des corps dans les travaux industriels, et démontrer comment elle peut servir à expliquer une infinité de procédés des arts, nous allons ajouter quelques exemples particuliers ù tous ceux qui ont été rapportés jusqu'à cette heure.

Pour faire sortir le ciseau en fer d’une varlope, l'ouvrier frappe le buis sur le derrière; en lui imprimant brusquement de la vitesse.

NOTIONS PRÉf.lMINMRES. 67

le ciseau cl son coin résistent par leur inertie, ou ne cèdent qu’en partie au mouvement.

On emmanche sonvent nn onti), par exemple, un martean, en frappant la qnene du manche dans le sens de sa longueur ; ce manche chemine, et l’inertie de la matière du martean résiste au mouvement imprimé. C’est par l’effet de l’inertie qu’on parvient à lancer, avec une grande vitesse, des pierres à l’aide de la fronde : car on accumule la force vive dans celte pierre, en lui faisant faire plusieurs révolutions successives, et de pins en plus rapides. La toupie, lancée à terre, tourne et chemine en vertu de la force vive qui a été primitivement accumulée par le déroulement accéléré de la ficelle. Le diable est un autre exemple du moyen qu'on peut employer pour accumuler la force vive dans un corps mobile autour d’un axe. Le mouvement par volées des cloches résulte également de l’accumulation du travail de la puissance dans les premières oscillations et de sa transformation en force vive. Le jouet que les enfants uoiamenljalointe reçoit d’abord sa vitesse par le déroulement du ^ enveloppé sur son axe; en vertu de l’inertie du volant placé sur cet axe, le mouvemeut continue cl sert à enrouler le fil, en sens contraire, en le tirant comme le ferait la main, avec un certain effort : cè moyen peut être même employé dans les grandes machines pour transformer le travail des moteurs en force vive, puis la force vive en travail ordinaire. On se sert avec avantage, dans les arts, du tour à pédale et à ressort, pour les petites pièces légères ; parce que l’inertie exerce alors peu d’influence, malgré les variations, les alternatives de la vitesse. Mais son emploi aurait des inconvénients pour les grosses pièces ou les pièces de métal, c’est pourquoi on y substitue le tour à mouvement de rotation continu.

90. Observations générales sur ces exemples. — Nous engageons le lecteur à méditer attentivement ces divers exemples que nous ne faisons pour ainsi dire qu’indiquer, et d’en faire autant de tous ceux que la pratique des arts pourrait offrir à ses méditations ; ils serviront à lui bien faire concevoir comment l’inertie de la matière se comporte, tantôt comme une simple résistance, tantôt comme une véritable force motrice, absolument de la même manière que la pesanteur des corps et les ressorts parfaitement élastiques.

Nous les engageons, par les mêmes motifs, à lire, après ce qui

précède, les dernières pages de la 2* leçon da Courê d« M. Dupin, rclatiTemcnl à la manière dont le inouTenient est communiqué aux machines par les moteurs. Du reste, nos derniers exemples concernent principalement l’inertie des pièces qui ont un mouvement de rotation ; et tout ce que nous avons fait jusqu’à présent de la force vivo n’est simplement que relatif au mouvement de transport des corps dont les diverses parties sont animées de la même vitesse ; mais noos verrons bientôt que les principes sur la force vive et le travail mécanique ont lieu en général, et nous apprendrons à calculer rigoureusement la valeur de cette quantité et de cette force vive, quel que soit le mouvement d’un corps ou d’une machine.

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

ÉQUILIBRE DES FORGES ET DTHAMIQUE

rOlCtS CONCOÜRAlfT lit VIT POINT.

1 . Équilibre d’un carpe. — Jasqa’ici on n’a considéré qae l’effet d’une force égale et directement appliquée à une autre force , et il arrire souvent que des forces appliquées d’une manière quelconque à un corps ont pour but de vaincre des résistances aussi quelconques par l’intermédiaire de ce corps. Quand un corps est ainsi soumis à l’action de plusieurs forces {puiesancee ou résistances), on dit qu’il y a équilibre entre toutes ces forces lorsque l'une d’elles détruit un certain effet que produiraient les autres sur le corps si la première n’existait pas. Le corps est lui-mème en équilibre si les diverses forces qui lui sont appliquées le laissent en repos. Cette dernière espèce d’équilibre ne saurait jamais être absolue, parce que les corps participent au mouvement continuel de la terre et qu’il u’y a en réalité point de repos pour enx. Toutefois un corps sera pour nous en repos lorsque sa position restera la même par rapport a des objets tels que les montagnes, les maisons, etc., que nous regardons comme fixes. Ainsi, l’idée d’équilibre ne so rapporte pas uniquement au repos, et n’exclut nullement le mouvement. De là résulte la distinction de l’équilibre Statique et de l’équilibre Dynafitique. On nomme Résultante de plusieurs forces , celle qui produit à elle seule le même effet que ces forces 3 ces dernières sont dites Composantes.

2. Résultante de forces appliquées selon la même direction. — Lorsque plusieurs forces agissent sur uao même droite et dans le même

ÎO

sens, leur effet équivaut à celui d’une force unique égale à leur somme et qui en est la résultante. Si ces forces agissent dans des sens opposés et toujours sur la même droite, leur résistance sera une force unique égale à l’excès de la somme des forces qui agissent dans l’autre sens, et elle agira dans le sens de la plus grande des deux sommes. C’est le cas où des efforts sont exercés sur la direction d’un même cordon. Remarquons que la tension du cordon est la même dans tous ses points , et qu’il n’est pas pussiUlc ([uc scs deux bouts soient tirés avec des efforts différents. La différence obtenue pour ceux qui lui sont apjiliqucs dans un sens ut dans l’autre est purement arithmétique, et indique que les ell'urls supérieurs pourraient développer une action plus grande que celle des efforts inférieurs.

3. Parallélogramme des chemins. — Lorsqu’un corps ou point matériel se meut de A e\\ B ( fig. 23 ) de manière à décrire le chemin AB supposé rcctiligné, chacune des positir>ns A B peut être projetée sur les droites quelconques OM, ON, situées dans le même plan <[ue la droite AB, par des parallèles à ces lignes ou axes; ou plutôt la position ./donne lieu aux deux coordonnées AA', AA", et la position B aura deux coorduniiées Bïï, BB". Les positions .4" sur les droites données sont simultanées avec le point A, et celles B', B" avec le point B. Les chemins A'B" et A" B", sur les directions OM, ON, sont donc décrits en même temps que le chemin véritable AB. Les premiers se nomment Chemitu estimés, ou Chemins relatifs sur telle ou telle direction. Prolongeons les parallèles ou coordonnées des points A et B jusqu’à ce qu’elles forment le parallélogramme AEBF, et nous reconnaîtrons, à cause de AE — A' B’ et de AF = A" B", ce principe : qu’un chemin rectiligne parcouru peut toujours se décomposer en deux chemins relatifs sur deux directions quelconques, et que ces derniers sont les côtés parallèles à ces directions, d’un parallélogramme qui a pour diagonale le véritable chemin parcouru. Réciproquement, quand on a les oheinins relatifs dans deux directions quelconques, un en déduit le chemin véritable, au moyen do la diagouole du parallélogramme sur les deux premiers.

•4. Parallélogramme des vitesses. — On a dit ( 1” partie, 16 et suiv. ) que la vitesse d’un corps en mouvement est représentée par l’étendue du chemin décrit dans un même tenqis tres-cimrt, et qu’il n’y

ÉQUILIBRE UES EÜBCES ET DYNAMIQUE

a que le caa du mouvement uniForino où le temps pendant lequel s’estime la vitesse puisse être pris aussi »raiid qu’on voudra. Or, lo chemin AB étant décrit par le corps, en même temps que les chemins A" B", le premier pourra cire reijardé comme sa vitesse

véritable, et les deux autres comme ses vitesses relatives. Ainsi, la vitesse véritable d’un corps est la diagonale d’un parallélogramme construit sur ses deux vitesses relatives estimées dans des directions quelconques.

5. Cas du mouvement curviligne ou du mouvement varié. — Si le niouveiiicnt est curviligne, la diagonale rectiligne AB ne peut plus représenter le chemin décrit. Si le mouvement était varié, cette même diagonale ne donnerait plus l’intensilé de la vitesse, dans le cas où il s’agirait d’un intervalle Sni de mouvement. Il convient alors de déterminer par nue suite de temps inHuiment petits et égaux , les chemins élémentaires décrits simultanément sur deux axes. Autant un aura de couples de ces petits chemins, autant un construira de parallélogrammes dont les diagonales dunnrront les véritables petits chemins élémentaires. Mais alors, comme les dispositions consécutives^/ et Jî ( fig. 24 ) Mint très-rapprochées, une diagonale telle que AB se cunFondra sensiblement avec la courbe et pourra être regardee comme la tangente de cette dernière. Dans la construction de chat|uc parallélogramme on peut, pour plus de facilité, doubler, quintupler, etc., les deux chemins relatifs currespundants, sans que la direction de la diagonale suit altérée j seulement, le chemin qu’elle donnera sera double, quintuple, etc., du ohemin réel.

6. Méthode de Roberval. — larrsque la loi du mouvement d’un point e.st connue dans deux directions quelconques , il est toujours possible, d’après ce qui précède, de mener une tangente à la courbe que décrit ce point. L’ellipse, par exemple, s’engendre en fixant à deux points F, F' ( fig. âfi ), que l’on nomme ses foyers, les extrémités d’un fil FAF' d’une longueur égale à son graud axe, et en promenant uue pointe A dans toutes les positions où le fil peut être tendu par cette pointe contre les foyers. Puisque dans les inouvelueuts du point descripteur, la longueur du fil FA-\- F' A est toujours la même, il est évident que la portion FA s'allonge de la même (piaiililé que celle duni su r.icujnrcil l'auiru poi tiou curres-

UEUXIKME PARTIE.

pondante FA. te point A tend donc à décrire ou décrit en effet deux chemins simultanés égaux sur les rayons Tectcurs FA et FA. Ainsi, prenant sur le prolongement de FA une partie quelconquo AB, et sur FA une partie AB' — AB, construisons le parallélogramme ABCF. La diagonale AC sera la tangente à l’ellipse en A . On obserTera que ce parallélogramme est ici un losange, et qu’à cause de l’égalité des angles BAC et CAB', la tangente à l’ellipse jouit de la propriété que les angles qu’elle forme avec les deux rayons vecteurs sont égaux. Cette méthode, duc à Ruberval, est fort utile dans tous les cas où l’on connaît la description organique de la courbe.

7. Indépendance de» vitesses simultanées dans un même corps. — On a fait voir comment un pouvait décomposer un mouvement on deux autres, et réciproquement, et cela parce qu’en réalité un cor[is peut être animé de deux ou plusieurs vitesses simultanées. Supposez que, pendant qu’un bateau chemine sur une rivière, un homme se dirige d'un bord à l’autre do ce bateau, et que, parlant de A ( fig. SB )p3r exemple, il suit arrivé en B au moment où lo bateau est parvenu dans une position telle que le point A soit en A' et le point B en F. Quoique l’homme n’ait parcouru que lo ebomin AB sur le bateau, il n’en a pas moins décrit par rapport aux rives le chemin AF ; car il est luù à la fois et de la vitesse qui lui est propre et de celle qui est propre au bateau. Cela posé, ce même espace AF serait encore décrit si le bateau marche d’abord de A en et que l’homme se transporte ensuite de A ca F ; ou si le bateau s’arrête pendant que l’homme va Aa A B et qu’ensuite l’homme demeurant au repos en B, le bateau s’avance de A en A'. — Autre exemple : La terre tourne en même temps que lo bateau précédent marche, et l’homme peut lui-même marcher sur ce bateau. Cet homme est ainsi animé do trois vitesses simultanées, dont on trouvera la résultante, en les composant les unes après les autres. — Considérons enfin un corps posé sur un certain nombre de feuilles de papier placées les unes au-dessus des autres sur une table à rou-

On peut d’abord tirer la table, elle entraînera dans son

mouvement les feuilles do papier et le corps de manière que le tout sera animé d’une vitesse commune. Si , outre ce mouvement général, un homme tire la feuille de papier inférieure, cette feuille sera, ainsi que toutes les autres et le corps, animée do deux vilcs-

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DÏNAMIQÜE

8e* composantes. Qu’nn autre homme fasse encore mouvoir la deuxièine feuille de papier, celle-ci et toutes celles qui lui sont superposées , recevront leurs vitesses qui se composeront en une seule. En un mot, quand un corps a plusieurs mouvements simultanés, le véritable mouvement est le même que si le corps recevait l’une après l'autre toutes les vitesses qu’il possède en même temps. Delà cette règle : la résultante de plusieurs vitesses simultanées s'obtient en construisant un polygone { fig. 27 ) dont les côtés sont égaux et parallèles aux vitesses composantes, et en joignant le point de départ à l’extrémité du dernier côté.

8. Indépendance de l’action des forces simultanées, — L’action d’une force sur un corps, qu’il soit en repos ou qu’il soit déjà en mouvement, est toujours la même et lui imprime dans l’une et l’autre circonstance les mêmes degrés de vitesse. Que vous abandonniez, par exemple, un corps à son propre poids, la pesanteur lui imprimera les mêmes degrés de vitesse à chaque instant, si ce corps part de l’état de repus ou s’il a déjà reçu un mouvement quelconque de la part d’une autre force. Par exemple, quand une bombe décrit dans l’air une parabole; la vitesse que le mobile possède à chaque instant est toujours la résultante MB ( fig. 28 ) do la vitesse MQ qu’il a reçue à l’instant qui précède immédiatement l'instant que l’un considère, et du degré de vitesse très-petit MP que la pesanteur lui imprime pendant l’intervalle de temps aussi très-petit qui sépare ces deux instants consécutifs. Ainsi, lorsque deux forces seront appliquées à un même corps, elles lui imprimeront à chaque instant et simultanément les degrés do vitesse qui leur sont propres. Nous avons dit ( 1" partie, 71 ) que ces degrés étaient, d’après une lui générale de la nature, proportionnels aux intensités des forces.

9. D’après cela, soit un point matériel A ( fig. 29 ) sur lequel agissent deux forces P eiQ représentées en grandeur et en direction par les droites AB et AC. Il est visible qu’elles lui imprimeront simultanément, et dans leurs directions respectives, les mêmes petits degrés de vitesse Am, An, que si clics le tiraient chacune isolément. La vitesse tutalequi en résulte sera d’ailleurs (2” parlie,8) donnée par la diagonale ./rdu parallélogramme Amrn. Imaginons, dans une direction opposée à celle de celle diagonale, une force Al

DliLLMEMIi l'AUTIE.

qui détruise la vitesse résuUaiilo y^r. Le inouveineiit ne pourra plu* alors iiailre, en sorte que la force A', détruisant ainsi l'effet de P et Q, fera équilibre à ces forces. Suit porté AD—X sur la diagonale : ou conçoit que AD produira le iiicuiu effet que les deux forces P et Q, ou qu’elle sera leur résultante : or, leur force PQ et leur résultante AD ou X sont proportionnelles aux degrés de Titesse Am, An et Ar, qu’elles impriment simultanément, c’est-à-dire aux côtés et à la diagonale du parallélogramme construit sur leurs directions. D’où résulte ce principe, connu sous la dénomination de parallélogramme des forces, que la résultante de deux forces est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les intensités de ces forces. Il ne faut pas oublier que l’intensité d’une force est représentée par une ligne prise dans sa direction, et cuntenunt autant d’unités linéaires qu’il y a de kilogrammes dans la mesure delà force. On voit cncorequeles forces se combinent entre elles comme les chemins et les vitesses. C’est, nu reste, ce que l’expérience confirme. Si, pur exemple, ou attache à une corde ACB ( fig. 30 ), fixée à ses deux extrémités, un poids B de 15 kilogr., il est possible do mesurer avec deux pesons les efforts qu’il exerce sur les directions CA et CB. Portant ensuite au-dessus du point C, et dans sa verticale, une longuenr CD prupurtionuelle à 15, et construisant le parullélugramme CaDb, ou trouve que les côtés Ca, Cb sont proportionnels aux efforts indiqués par les pesons.

10. Décomposition d’une force en deux autres. — De ce que deux forces appliquées en un même point donnent lieu à une force unique, réciproquement une force quelconque peut se décomposer en deux autres agissant sur deux directions données. Soit Ar (fig. 31) une force appliquée en A, et que l’ou veut décomposer en deux autres dirigées sur AB et AC ; on les obtiendra au moyen du parallélogramme y^mrn. Le côté Am sera la première composante, et le côt^ An la seconde. Si les composantes sont perpendiculaires entre elles et qu’on appelle PQ ces forces cl li leur résultante, on a, a cause du triangle rectangle Arm, et de rm = An,

Ar = Am -{- An, ou iî* s= i*' -j- (p,

cl, par suite.

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 7îS

Au lieu d’extraire la racine carrée pour obtenir la réaultante dus deux forces P et Q, qui sont perpendiculaires entre elles, on aura une valeur suffisamment approchée au moj'en de cette formule qu’il faut admettre,

P étant la plus grande des deux composantes.

11^ Quantité de travail d’une force sur une résistance qui ne lui est pas immédiatement opposée. — Jusqu'à présent on a sui>posé que la résistance était immédiatement opposée à la force destinée à la vaincre. Considérons maintenant le c.ns où la résistance a lieu dans une tout autre direction quo celle de la puissance et où le point d’application de cette dernière ne peut se mouvoir que dans le sens de la résistance. Soit, par exemple, une force AR ( fig. 32 ) appliquée sur le corps A et que nous nommerons R, et supposons quo le corps A ne paisse se mouvoir que dans la direction AB. Décomposons la puissance R en deux autres forces : l’une P = AP, perpendiculaire à AB, et l’autre Q—AQ, située sur la drotte AB, et par conséquent immédiatement opposée à la résistance qu’il faut vaincre. Puisque le corps A ne peut céder dans le sens perpendiculaire à AB, la composante no tendra qii’à presser le corps A sans le faire cheminer et par consé<)ucnt sans produire du travail. Quant k la coniposantç 0, elle est immédiatement opposée à la résistance des corps, et, d’apres ce qui est dit, si Aa est le chemin très-petit décrit par le corps sur la direction AB, qui est aussi celle de 0 ou do la résistance, la quantité de travail élémentaire qui vaincra cettu résistance sera mesurée par le produit 0 X Aa. Telle sera aussi lu quantité de travail effectif produite par la force Jf. Si l’on abaisse du point a la perpendiculaire ar sur la direction de R, la distance or ne sera que le chemin décrit par le puiiit d’application de cette force et estimé dans sa direction. Or, les triangles AQR et Aar, étant rectangles et ayant un angle coiuniun en A, sont semblablc.sce qui .donne la proportion

Aa I Ar ;; AR '. A Q, ou Aa \ Ar \\ R \ 0;

d’où la force R est aussi égale nu produit RyC^Ar : ce qui apprend que la dépense de travail d’nne force qui n’i'st point immédiatement opposée à la résistance, est égale au produit do cette puissnncojnul-

76 «EL'XIÈME PARTIE.

tipliée pnr le chomia que parcourt son point d’application et qui est estimé dans la direction propre de la puissance. Il serait facile do faire voir que le cheminer, estimé dans la direction propre de la force 7?, est en réalité le chemin que décrit le point d’application de cette force.

12. Qtianlilé de travail pour faire mouvoir un corps pesant sur une courbe, — Lorsqu’un corps de poids P est assujetti à se mouvoir sur une courbe y/ ( fig. 38 ), In quantité de travail élémentaire que la pesanteur dépense pour lui faire décrire un petit élément BC, est, d’après ce qui précède, égal au produit de P et du chemin b'o' estimé sur la verticale. C’est aussi la mesure de la quantité de travail dépensée parallèlement à l’élément de la courbe. Eu ajoutant toutes les quantités do travail élémentaires en vertu desquelles le corps a décrit toute lu courbe, on trouvera que la somme, ou la quantité de travail dépensée pnr la pesanteur, est égale au poids P multiplié par In somme de tous les petits chemins estimés verticalement, ou par In hauteur AD' =U, ou bien au produit Py,H.Za produit est également le travail de la force qui agirait immédiatement dans le sens même du mouvement. Or, on sait ( T” partie, 78 j que le double de ce dernier travail est égal à la force vivo du corps,

c’est-à-dire au produit — X étant la vitesse qu’il possède

dans le sens do la courbe au inoiueut de la du du travail. On aura donc

2i» y^U == ^ X ou »= %gU ;

c’est-à-dire que In vitesse acquise par une courbe sur une certaine hauteur est la même que s’il tombait verticalement sur cette hauteur. On voit encore que la quantité do travail que doit dépenser un moteur pour faire monter un corps pesant le long d’un plan ou (l’une surface quelconque, est toujours mesurée par le produit du poids de ce corps et de lu hauteur verticale du point où il doit monter.

13. On a démontré ( 2° partie, 11) que la quantité élémentaire de travail d’une force dont le [>oint d’application est mû dans une direction difiérente de celle de lu force, était mesurée soit par le

produit do celte Force et du petit chemin estime, scion sa direction, soit encore par le produit du chemin réel décrit par le point d’application et de la composante de la force dans la direction du mou- Tement; et remarquons que cette composante n’est autre chose que la projection do la force sur le chemin parcouru. D’après cela, considérons les deux forces PeiQ (Rg* RA) appliquées au points/, Ji leur résultante, j4a le petit chemin parcouru par leur point commun d’application. Abaissons des points P, Q, R sur la direction Aa les perpendiculaires PP', QQ, RR’ ÿ la projection de la force P ou AP sera évidemment A P', et celles de (> et fl seront A(^ ci AR . Quant an travail élémentaire de P, ce sera Aa X AP', et on aura pour ces deux forces O et R les produits de Aa y, AQf et AttXAR. Or,

A R == AP— RF,

et comme

RP' = r'P = AQf,

et, par suite,

ARY^Aa = AP'Y'fà — AO’Y^o-

Cesl ici le lieu d’observer que la composante AP' de P est dirigée dans le sens du mouvement Aa, tandis que la composante Af/ de Q est dirigée en sens contraire, de sorte que le travail effectif de ces forces ou leur travail total doit cire ici la différence des travaux de chacune de ces deux forces. Ce même travail en eût été la somme si les composantes des deux forces P et Q, sur la direction du mouvement Aa, eussent été dirigées l’une sur l’autre dans le sens de ce mouvement. Quoi qu’il en soit, nous voyons que le travail élémentaire de la réeultante de deux force» est égal au travail des deux composante», et ce dernier travail est la somme ou la différence des travaux que produisent chacune d’elles selon qu’elles agissent dans le même sens ou dans des sens opposés.

lA. Moment de la tésultante de deux forces, — Le petit espace Aa peut être décrit de diverses manières. Si l’on suppose, par exemple, que le point a soit appliqué A une barre de manège AO ( fig. 35 ),

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DEUXIÈME l'AUTIE.

qui tourne autour d’un point O pris arbitrairement sur le plan des deux forces, l’espaee élémentaire Aa devient un petit arc de cercle qu’il est permis de regarder comme une petite ligue droite perpendiculaire à AO. Les petits chemins estimés Ah, .4dc, Ac, sur les directions des forces P, Q, et do leur résultante /?, sont donnés par les pieds des perpendiculaires abaissées sur chaque force, de l’extrémité a du petit chemin décrit; et les quantités élémentaires de travail qui sont aussi mesurées par le produit de la force et du petit chemin estimé sur sa direction, sont respectivement pour P,

PXAb, OXAd, et PXAc.

On nomme bras de levier des forces P, Ç, R, les perpendiculaires, telles que Op, Oq, Or, abaissées du centre de rotation O sur leurs directions. En examinant ce qui est relatif à la force P, on reconnaît que les deux triangles AOp et Aab sont semblables, attendu qu’ils sont rectangles en /) et en 6 et que l’angle OAp de l’un est égal à l’angle yéoi de l'autre. Ce qui donne la proportion

Ab ; Aa \\ Op \ AO ;

d’où Ab:^OpX^-

Ainsi, la quantité de travail de la force;’, ou PXAb, devient R^OpX On trouverait de même pour celle dcQ,

OXOqX et pour celle de R, RXOrX ^ Mais nous

avons fait voir (2' partie, 13) que la dernière était égale à la somme ou à la diflFéreiicc des deux premières, selon que les forces P, 0 agissaient dans le même sens ou en sens contraires. On aura donc

7ixo.x^=(fxo,x^j±(exo,x^^j....

ou bien, supprimant le facteur commun ^ et en désignant parr,

ÉQÜILIRlfE DES FORCES ET DTNAMIQUE.

J), q les bras de levier des forces B, P, O,

Rr = Pp ± Qq.

On nomme momenl d’une force le produit de celte force par son bras de levier. Ainsi, le moment de la rcsultanlc de deux forces qui concourent en un même point est égal à la somme ou à la différence des moments des deux composantes, selon que ces dernières agissent sur leur point commun d’application dans le même sens ou dans des sens différents.

1 8 . Deux points d'application de deux forces peureni être ramenés à un seul. — Jusqu’ici on a supposé que les deux forces étaient appliquées à un seul cl même point , et cependant deux forces P el O agissent pour l’ordinaire sur un même corps en deux points différents, tels que B cl C ( fig. 86 ). Quelle que soit leur action sur le corps, il est évident qu’elle ne sera pas changée si l’on traverse celui-ci par deux barres rigides ^B et y^C, situées dans les directions respectives des deux forces données. Ces deux barres iront concourir en un point yd, et celui-ci leur étant invariablement lié, ainsi qu’au corps lui-mènie, il sera permis de regarder les forces P ci 0 comme appliquées à ce point ytl. La résultante ylR s’obtiendra alors au moyeu de la diagonale du parallélogramme y-iPBQ , où elle rencontrera la siirrnce du corps au point D que l’on considérera ensuite comme le point d’application delà résultante 7?. Maintenant , si le corps tend à se mouvoir autour d’un point quelconque O, le point -7, qui est le point commun d’application des deux forces PQ et de la résultante B, décrit un petit arc de courbe que l’on considérera comme une droite sur laquelle toutes ces forces pourront être projetées, et l’on sera amené il conclure encore que le travail de la résultante est égal au travail total des composantes. Pareillement on déduirait que le moment de la résultante B par rapport au point 6) équivaut au moiueul total des deux composantes Pci O par rapport au même point.

16. Extension du théorème des moments. — Les relations précédentes que nous venons d’établir, soit entre les quantités do travail , suit entre les moments des forces et de leur résultante , ont lieu de quelque manière que le point de rotation O ait été choisi

d.nns le plan des forces ; mais elles sont particulières an monvemenl des points de concours do leurs directions considéré comme leur point d’application. Ces relations subsisteront-elles en ayant égard au moiivenicnl des véritables points Ji, C et D, où les forces P, O, R sont appliquées sur le corps. Remarque/ que chaque moment respectif no dépend que de l’intensité de la force ctde la grandeur de la perpendiculaire abaissée du point O sur sa direction. Le moment de la force P, par exemple, sera le même , soit qu’on la suppose appliquée au point extérieur soit qu’on la suppose appliquée au point B, où sa direction rencontre la surface du corps. Par conséquent, le théorème des mouvements est vrai, lors même que les deux composantes P cl Q ont des points d’application différents.

17. Extension du théorème des quantités de travail. — Si l’on parvient à démontrer que la^juantité de travail d’une force est la même, quel quo soit le point qu’on choisisse sur sa direction pour point d’application, il est évident que le théorème des quantités de travail évaluées d’après le mouvement du point de concours commun à deux forces et à leur résultante est également applicable lorsque les quantités de travail de ces forces sont mesurées d’après le mouvement de leur point respectif d’application : or, il peut arriver trois cas , selon que le corps a un mouvement de rotation, ou un mouvement de translation, un un mouvement quelconque.

FsnisR c*s. — Le corps et par conséquent la direction yiP d’une force quelconque étant supposé avoir un mouvement de rotation autour d’un point O { fig. 37 ), deux points quelconques A c\. B de cette droite décrivent autour de ce point des angles égaux et tels que les petits arcs Aa, Bb sont proportionnels à leurs rayons

respectifs AO cl BO. On aura donc Or la quantité

de travail de P , estimée par le mouvement de son point d’application supposé en A, a pour mesure P X X Op. Estimée d’après le mouvement d’un autre point B d’application, elle a pour mesure P X X Op ; et ces deux quantités do tra-

vail sont égales, puisipic leurs expressions se composent des mêmes facteurs P, Op et des facteurs égaux • • • •

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

Dicxitn CAS. — Si le corps n’a qu’un roonTement de translation, les deux points d'application quelconques A el B { fig. 38 ), pris sur la direction de la force P, décrivent des chemins Aa et Bb qui sont égaux et parallèles. Par conséquent leurs projections Aa , Bb', sur lu direction de P, sont égales, ainsi que les deux quantités de travail P X yrfo' et i* X

THoisitsE CAS. — Le mouvemcnt étant quelconque, supposons qne la droite d’une force quelconque ait pris, en vertu de ce mouvement, la position yi,B„ et que denx points quelconques A et B de la direction de la force se soient transportés en a et b, sur la droite A,B, ( fig. 39 ). Ce mouvement peut être regardé comme décomposé : 1° en un mouvement do rotation autour d’on point quelconque O, centre d'un cercle tangent aux deux positions infiniment voisines do Li droite ; 2° en un mouvement do translation qui s’opère sur la deuxieme position. Ainsi, Aa et Bb étant les véritables chemins des deux points d’application quelconques cl B, CCS chemins seront encore les véritables espaces décrits si ces deux points parcourent d’abord les petits arcs concentriques et BB, autour de O, et si les mêmes points A et B ie transportent ensuite en a et 6 par un mouvement commun de translation. Projetons CCS divers mouvements sur la direction AP de la force. P X ■^0'' >^>'3 !■> quantité de travail d'après le mouvement Aa du point d’application A, et P Y, Bb' celui de la même force estimé d’après le mouvement dn point B, Or, on a

Aa' = Aie! — AlA, et Bb’ = B^b' — B,'B.

En multipliant la force P par Aîa' ou par B, b', les travaux élémentaires seraient ceux qui auraient lieu s’il n’y avait en qu’un simple mouvement de translation dans le sens de AB, et nous avons démontré par le deuxième cas qu’ils seraient égaux. Donc, un a

De même, les produits P X A,' A et P Y. B,'B sont égaux, attendu qu’ils mesurent les quantités de travail dues au mouvement de A et B dans l’hypothèse où la droite AB aurait un simple mouvement de rotation autour de O. D’où l’on tire

Tnviît SI sir., 1X0. 6

Sa DF.OXIÈMK PARTIE,

et , par luile, yi,'a' — = B,'b' — B,'B,

ou ^o' = Bb', on enfin P X — P Y-. •

Ainsi, In relation qui a lieu entre la quanlilô de travail de la résultante et le travail total des eomposanles subsiste dans tous les eas, quels que soient les points d’application de ces forces et la nature de leurs mouvements.

18. Cal où le moment de la résultante est nul, — Nous avons fait voir (2' partie, 14) que, r,p, ijf étant les bras de levier de la résultante A et de ses deux coniimsantes P, O, on avait Itr = Pp-iz Oq ( fig.33 ).0n remarquera d’abord que le moment de larcsiiltanto Rr ne peut être nul sans que les moments des composantes Pp et Qq ne soient égaux et de signes contraires. Or , le produit Rr devient 0, ou R — Q, ou pour r = 0. Dans le premier cas la résultanleest nulle, et il est évident que l’équilibre du corps subsiste de lui-même. Dans le deuxième cas, la per|tendieulaire r, abaissée du centre de rotation sur la direction do la résultante, étant réduite à xéro, cela indique que la direction de cette dernière passe par le point de rotation on par le point fixe. D’un antre cèté, l’égalité des monientsdes composantes revenant à l’égalité des quantités de travail de ces forces, et ces quantités s’entre-détruisant puisqu’elles sont de signe contraire, ou voit que le corps est en équilibre, autour d’un point fixe sous l’action de deux forces, lorsque leur résultante passe par ce point.

roSCES VAIALLllES.

19. Analogie entre deux forces concourantes et deux forces parallèles. — I.< s piiiieipesqui ont étéexposés sur la combinaison de deux forces concouranics P Q agissatit contre un corps de forme quelconque nous ont appris, J°que leur résultante R concourt au point O ( Og. 40 ) d’intersection des deux composantes; 2” que le moment de la résultante pris par rapport à nu point K quclcon-

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ÉQrinimE dk9 forcks et nYNAMinrK. «s

qae, tiloë dans le plan des fiiroes, est égal au moment total des composantes, o’est-à-dire é la somme ou à la diflërenoe de leurs moments, selon qu’elles tendent é faire tourner le corps autour d’un point K dans le même sens ou dans des sens différents. Les propriétés indépendantes du point de l’éloignement du point commun d’application O ne cessent point d’aroir lieu lorsque ce point de conrergenoe est placé A une très-grande distance, ou lorsqueles forces deviennent sensiblement parallèles. On peut même regarder ces forces comme telles dès que leur point de concours est suffisamment éloigné. On s{iit, par exemple, que l’aotion de la gravité converge vers le centre de la terre et que trois corps pesants li^ entre eux par des barres rigides sont soumis à des forces analogues A des forces précédentes P, Q, B ; toutefois on regarde ces forces de pesanteur comme parallèles, et alors nos théorèmes leur deviennent applicables. Ainsi, la résultante de deux forces parallèles Cst.siluée dans leur plan et leur est parallèle; son moment par rapport à un point quelconque de leur plan est égal au moment total des deux composantes.

20. Rétultante de dewc forte» parallèle», eroit»aat par rapport à an point. — Passant ainsi à la limite de deux forces concourantes, considérons deux forces parallèles P ei 0 appliquées aux points ji et B d’un corps ( fig. 41 ). Soit pris sur leur plan un point arbitraire K, et une perpendiculaire à K abaissée de ce point sur ces forces. Enfin R est supposée être leur résultante. On aura

A X ATc = P X Kac -f Q X Kb,

parce que les deux forces P et Q tendent A faire tourner le oor|ts (lu même côté autour du point K. Ce résultat étant indépendant de la position de K, imaginons qu’il suit placé en a. Ou a

Ka = 0, K = ac et Kb = ah,

l’expression précédente devient fl X •«= O X Si le point K est transporté en b, on a fle » bc, Ka = ab et Kb =» 0. Cette substitution étant faite dans l’égalité générale des moments, on a R he ~ P y. ab. Ajoutant à cette dernière l’égalité particulière Ry,ac=: Oyab, on trouve fl(oc -{- èc) = (fl -j- (?) aè, ou A se fl -{- (^ A cause de oc -f- cA eè. Donc la résultante de deux forces parallèles agissant dans le même sens mt égale leur

somme. Supposons que le point K soit placé au pointe; les Forces P et tendront à faire tourner le corps en sens contraire autour. Les moments de P et ^ seront alors de signes différents, et leur égalité générale deviendra R y, Kc = P Ka-Q XKb. D’ailleurs, dans la position du point K en c, on a Kc = 0, ou R y Kc = Q, Ka = ac et Kb = bc. Faisant ces substitutions dans l’égalité générale, on trouve Pyac = Oybc; ce qui nous apprend que la résultante partage l’intervalle des points d’application des composantes en parties réciproquement proportionnelles à ces forces lorsque ces points sont situés sur une droite perpendiculaire à leur direction. Si les deux forces P et Q> an lieu d’ètre dirigées dans le même sens, sont dirigées dans des sens opposés, le moment de la résultante devient ici égal à la différence des moments des composantes, et en passant par une série d’opérations analogues aux précédentes, on trouve que la résultante R est égale à P — 0, c'est-à-dire à la différence des composantes, et qu’elle agit dans le sens de la pins grande.

2 1 . Exlension de» propriété* de* force» parallèle», feur» point» d’application étant quelconque». — Ces théorèmes ne sont encore démontrés que lorsque les points d’application des forces P, Q, R appartiennent à une même droite Kb, perpendiculaire à leur direction ; mais les deux composantes P et 0 appliquées à un corps ont le plus généralement leurs points d’application sur une droite rigide oblique par rapport à la direction de ces forces. Soit pris un point quelconque K' ( fig. AS ) sur cette droite, et abaissons une perpendiculaire bTR" à ces forces. Les points yrf". B", C des composantes et de la résultante R satisferont aux relations précédentes, et comme les parties K'C, K A" et K S' sont proportionnelles aux parties obliques KC, K A et K B, on aura encore

R X KC = P X K A -f Q X KR-

Quant au point d’application de la résultante sur le corps, après l’avoir déterminé en C sur la droite AB, on pourra supposer que la résultante est appliquée en c, à l’extérieur du corps. On remarquera que , dans l’égalité R X KC = P X K A -j- Q X KB, il ne s’agit plus seuluinent des perpendiculaires abaissées d’un même point sur les composantes parallèles et sur leur résultante; elles sont ici reibplacées par les simples distances de leurs points respeotifs

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 8it

d’application à un point quelconque K, situé comme eux sur une même ligne quelconque.

22. Moment de deux forcée parallèles par rapport à une droite. — Lorsque deux forces sont parallèles, on ne prend pas seulement leurs moments par rapport à un point et on emploie souvent leurs moments par rapport à une droite. De tels moments sont le produit de chaque force et de la perpendiculaire abaissée de son point d’application sur la droite ou axe des moments. Ainsi , A, B ( Rg. 43 ) étant les points d’application des forces PO et de leur résultante R, LK‘ l’axe des moments qui rencontre en K la droite AB de leurs points d’application, on a