X (7(7 = P X X BB
Donc, le moment de la résultante par rapport à une droite est égal au moment analogue totale des composantes.
23. Moment de deux forces parallèles par rapport à unplan. — En abaissant des points d’application de deux forces parallèles et de leur résultante, des perpendiculaires a un plan que l’on nomme Plan des moments, un reconnaît , coinine pour les moments par rapport à une droite, que le moment de la résultante par rapport à un plan est égal au moment total de ses composantes.
24. Forces parallèles en nombre quelconque. — Supposez que les forces parallèles soient en nombre quelconque, et que vous en ayez,
«6 UBUXIÈUE PARTIE.
par exemple, cinq à «ix. Cherchei la réiultanle de denx quel* conques d’entre elles ; composeï cette résultante avec la troisième force, puis celte résultante des trois preroiërea arec la quatrième, puis encore la résultante des quatre premières avec la cinquième, et ainsi de suite. La résultante totale ainsi obtenue est égale à la somme des forces composantes ou i la différence entre la somme de celles qui agissent dans un sens et la somme de celles qui agissent dans un sens opposé. De plus, son action a lieu du cAté de la plus grande des deux sommes. On soit encore que le inoiueut de la résultante totale est égal au moment total des composantes, etc. — Des hommes qui font effort sur des cordons parallèles, des chevaux qui tirent sur leurs traits attachés à des palonniers, sont des exemples de forces parallèlesquiseprésenlent fréquemment dans la pratique.
2S. Travail de la réeultanle de plutieurt force* parallèles, — Je suppose qu’un corps soit tiré dans un sens par un certain nombre du forces parallèles P, Q, R(^ fig. 44 ), et dans un autre sens par les Forces parallèles aux premières P', Q', K, et qu’il suit entraîné dans le sens des forces P, Q, R. 11 est visible que le chemin décrit par le point d’application d’une force est ici le même quelle que soit la force; et qu'ainsi son travail sera donné par le produit de cette force et do petit chemin commun ô tous les points d’application. Le travail total est, comme on sait, égal à la somme des travaux des forces P, Q, R qui agissent dans un sens, diminuée de la somme des travaux des forces P", ff, R qui agissent dans le sens opposé, c’est-à-dire, qu’il équivaut au petit chemin commun multiplié par la somme ou la différence de toutes les oumpusantes , ou enfin par la résultante. Or, le produit du petit chemin commun et de la résultante n’est antre chose que le travail de cette dernière. Donc le travail de la résultante d’un nombre quelconque de forces parallèles est égal au travail total des composantes.
3ff. Emploi des moment* pour trouver la position de la résultante. — D’après les théorèmes sur les moments, on sait que le moment de la résultante par rapport à un plan est égal au moment total des composantes. Appelons AT ce moment total, r la distance du point d’application de la résultante au plan. On a
R y. rs=^K; d’où =
ÉQLlLUmE DES l'ORCKS ET DYNAMIQUE.
r e«t préoiliëment la distance entre le |ilnii des niomenis et un autre plan parallèle sur lequel la résultante est située. Si l’un connaissait encore le moment total des composantes par rapport à uii antre plan, un aurait , comme précédemment , un nouveau plan devant contenir la résultante, en sorte que cette dernière serait a l’inter* section des deux plans ainsi obtenus,
27. Emploi de la romaine. — La romaine consiste en on fléau qui tourne autour d'un axe C ( fig. 45 ), suspendu n un point fixe et dont l’un des bras reçoit à son extrémité A le corps P dont on veut trouver le poids, tandis r|ue l’on applique sur l’autre bras un poids constant Q à une distance convenable BC. Pour qu’il y ait équilibre, il faut (2° partie, 18 ) que la résistance des forces P et 0 passe par le point fixe C, ou que l'on ait P X & X
D’où BC = — X P*® suite BC = /* X En supposant
que le poids étalon Q suit de 1 kilogr.,si le corps P pèse f’, 2'‘, 3'’, 4^, 5'’,.... les distances auxquelles lu poids constant lui fera équilibre seront “ÎAC, iAC, \AC, SAC,..., Ainsi, la division de la roiuaine se borne a porter sur son bras le plus long des divisions égales nu bras le plus court ; si ce dernier est de 1 pentimètre les divisions du l’inslrnnicnt seront espacées entre elles du 1 centiinè* tre. Ainsi, par exemple, lorsijue le poids curseur sera .i 15 centi* mètres du point C le corps pèsera 15 kilogr. La constriictioii de la romaine est, comme ou le voit, basée sur un principe Fort simple j elle donne lieu néanmoins .i des considérations délicates, sur lus* quelles nous rcriendrons quand il sera (piestion du levier.
CEsraa at aasvirt bes cuebs.
28. Centre des forcée parallèlee. — Quel que soit l’anglade deux Forces parallèles F*, 0 avec la droite AB { fig. 46 ), qui passe p.ir leur point d’application , l’intensité de leur résultante B cl la position C de son point d’application sont les mêmes, parce que l'on a toujours fl = P -{- et P X -^<7 = Q X BC. Par conséquent, CO point C demeurera invariable, si les com;v)santcs, rcsi.inl p.ir.il-
lèles entre elle*, viennent à tonmer autour de leurs points d’apjilication respectifs. Pareillement, si l’un a trois forces P, Q, S, et que, joignant le point d’application C de la résultante R des deux premières au point D d’application de la troisième, on cherchera celui de la résultante des deux forces R et S, on des trois forces données P, Q, S; on reconnaîtra que le point O où leur résultante T est appliquée, est indépendant de l’inclinaison des trois composantes .lutour de leur point d’application. On étendrait facilement cc raisonnement à un nombre quelconque de forces parallèles, lesquelles auront un point par lequel leur résultante passera constamment.
Ce point est ce qu’on nomme Centre de$ force» parallèle».
29. Centre de gravité. — Un corps quelconque se compose d’une infinité de parties pesantes qui sont comme les points d’application d’autant de forces verticales ou parallèles. Leur résultante est ici une force égale à leur somme ou au poids total , et son point d’application s’obtiendra par la combinaison de ces forces parallèles entre elles. Ce point, qui doit appartenir au corps comme les points d’application des forces parallèles dues à la pesanteur, s’appelle
CENTRE OK GBAVITt.
80. Détermination pratique du centre de gravité d’un corpt. — Le centre de gravité d’qn corps étant le centre de toutes les forces verticales qui sollicite les molécules pesantes dont il se compose, il est évident qu’il doit demeurer invariable lorsque ces forces sans cesser d’ètre parallèles, s’inclinent autour de leur point d’application. An lieu de faire tourner les forces, que l’on fasse an contraire tourner le corps. Dans ce mouvement les forces conserveront leur • direction verticale , et leur résultante , c’est-à-dire le poids total , '
exercera toujours son action suivant une verticale passant par le même point, c’est-à-dire par le centre de gravité du corps. De là résultent deux mojrens fort simples de le trouver quand le corps est invariable. Un corps suspendu à un fil s’arrange de telle sorte que l’effort pour le soutenir fai t équilibre à la résultante de tous les points partiels des molécules de ce corps. Ainsi, la direction AC ( fig. 47 ) du fil qui le supporte est immédiatement opposée à la verticale qui passe par le centre de gravité G, ou bien le point C par lequel le corps est suspendu au fil et le centre de gravité G appartiennent successivement à la verticale AC qui passe par le point
ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE
d’attache extérieur A. Si l’on change le point du corps C par lequel il est suspendu au fil, on aura autant de ligues droites qui coucour* ront au centre de grarité.
Par la même raison , il est possible de soutenir le corps sur une pointe ( fig. 48 ) toutes les fois que la verticale de son centre se confond avec celle de la pointe, et toutes les positions du corps qui satisfont à cette condition donnent autant de lignes devant contenir le centre de gravite. Les points supérieur ou inférieur où deux de ces lignes percent respectivement la surface du corps étant connus, on conçoit que des ouvertures rectilignes pratiquées d’outre en outre donneraient le centre de gravité par leur intersection commune. Reste à trouver les points inférieur et supérieur où une même verticale concourant nu contre de gravité d’un corps rencontre sa surfacé. Suspendez ce corps à nn fil , alignez de part et d’autre deux fils à plomb sur le fil do suspension, et faites tracer sur la surface du corps, avec un crayon , la section comprise dans ce plan vertical. Recommencez l’opération par un nouveau plan vertical passant par le même fil de suspension , les deux sections ainsi obtenues se croiseront aux deux points cherchés.
8 1 . Recherche du centre de gravité par te calcul ou par la géométrie, — Cette méthode devient impraticable pour les corps très-lourds, ou pour ceux qui sont fixes, ou pour ceux qui n’existent pas encore et dont la construction est seulement en projet. Eu général, lorsque la forme d’un corps est définie géométriquement ou par un dessin, voici comment on peut connaitre son centre de gravité. II faut diviser le corps par une suite de plans, chercher le moment du poids de chaque partie par rapport à un plan quelconque, et prendre la somme de tous ces moments; cette somme, d’après ce qu’on a vu dans la théorie des forces parallèles, est égale au moment du poids total, c’est-à-dire, au produit de ce poids multiplié par la distance de son centre de gravité à un plan arbitraire. Partant cctle distance sera donnée par le quotient de la somme des moments partiels divisée par le poids total. Si l’on opère de meme par rapport à un deuxième et un troisième plan arbitraire , un aura deux nouvelles distances du même centre. Âipsi, ce dernier sera situé à l’intersection des trois plans respectivement parallèles .à ceux des moments. Huis cette méthode, déjà fort longue en soi, peut être abrégée selon les ciroonstauccs , surtout quand il s’agit de trouver le centre de
90 DKUXIÈUF. PARTIE.
gravité des corps homogène». On nomme ainsi ceux dont deux parties quelconques pèsent le iiiciue poids à égal volume.
32. Centre de grarité des corps réguliers. — L’expérience apprend qu’une barre ydB ( fig. -iO ) parfailenienl hoiirogène, en bois ou en fer, que l’un suspend par son milieu Ch un fil, y demeure en équilibre. Le centre de gravite de cette barre est donc situé nu milieu do sa longueur. On voit aussi sans difficulté qu’il doit êtfe dans la milieu de l’épaissi’ur. Si la barre supnorlc à ses deux bouts une sphère flf, elledcmeure encore en équilibre quand ellcesl suspendue par son milieu. Le centre d’une sphère en est également le centre do gravité, car en la suspendant à un fil par un des points quelconques de sa surface , la verticale du fil passe constamment par le centre C de la sphère. C’est un principe général que le centre do gravité de tous les corps réguliers cl homogènes se confond avec leur centre de figure. Voilà pour(|noi un prisme droit, ou un cylindre droit ont leur centre de gravilé sur le milieu de leur longueur, et (pie ceux d’un cercle ou d’une droite sont placés l'un an propre centre du premier, l’autre au milieu de la droite. C’est ici le lieu d’observer que le centre de gravité d’une surface n’ist autre chose que celui d’un corps d’une ties-[ictile épaisseur, et tel qu’une feuille de tôle, de papier, elo. I.a même considération s’applique à une ligue droite dont l’épaisseur et l.i largeur sont très-petites par rap[iorl à sa longueur.
33. Centre de grarité des corps symétriques. — On dit qu’un corps homogène est symétrique par rapport à un plan, lorsque ce dernier coupe en deux parties égales tontes les perpendiculaires qui lui sont abaissées et qui sont terminées à deux extrémités opposées du corps. Il est symétrique par rapport à une droite, quand il a deux plans de symétrie passant par cette droite. Une surface plane est symétriipie par ra|iport à une droite, lorsque celle-ci coupe également les perpendiculaires terminées de part et d’autre an contour de la surface. Dans tous les cas, le centre de gravité de ces corp» ou surfaces est situé dans leur plan ou dans leur droite de symétrie. Considérons, par exemple, une courbe ayant AB fig. 80) pour droite de symétrie, et pour laquelle on a déterminé les centres de gravité G et G' des moitiés supérieure et inférieure. Ces deux moitiés, étant rabattues l’une .«ur l’autre, leur" centres de gravité G «t fî* devront
ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE
eotncidsr : oe qui revient à dire, qu’avant le rabattement cea inèmeii centres étaient situées sur une droite GG' perpeiidiculaire à àB et à des distances égales de oet axe.CeIn posé, si l’on concentre ces deux moitiés à leurs centres respectifs G et G' , GG' n'est plus qu’une droite toriniiiée par deux points matériels dont le centre de gravité est évidemment à son milieu O ou S'ir AB, — Un raisonnement analogue pourrait être appliqué à un corps à trois dimensions symétriques par rapport à un plan. — Le centre de gravité d’une . surface qui a deux axes de symétrie, est à l’interseclioii du ces deux axes. Le grand axe et le petit axe d’une ellipse sont des axes de symétrie qui se coupent au centre de l’ellipse. Ce qui indique pourquoi ce centre est aussi celui de gravité do l’aire plane contenue dans cette courbe. — Le rectangle a aussi son centre de gravité à l’intersection de ses diagonales, parce que cette intersection coïncide avec l’intersection des perpendiculaires qui passent par les milieux des cùtés opposés. Lorsqu’un volume a une droite de symétrie ou deux plans de symétrie, nous avons dit que son centre de gravité devait se trouver sur cette droite. — Le cylindre droit à base elliptique a deux plans de symétrie déterminés par les grands et petits axes do ses deux bases opposées. Son centre de gravité se trouve donc sur la droite qui joint leur centre G ( fig. 51 ), et il est évident qu’il sera en même temps nu milieu de cette droite.
D’autres corps sont partagés symétriqucnient d’une infinité de manières. Telle est la sphère dont tous les plans de symétrie passent par le centre; c’est pourquoi ce dernier en est aussi le contre de gravité. *
' 34. Centre de gravité des corps réguliers non homogènes. — Si le corps régulier n’est pas homogène, on le regarde d’aboéd comme tel, cl le centre de gravite O ( fig. 52 ), obtenu dans cette hypothèse, donne lieu à une première approximation. On supposera ensuite que le poids du corps, supposé homogène, y soit concentré; après quoi, rotranchant ce poids p du poids total P, on observera que la différence P — p est le reste du poids négligé jusqu’alors à l’égard de la partie plus pesante. Soit O' le centre de gravité du volume de cette dernière, il faudra partager la droite OO' par un point tel que l’on ait
p X == (P-p)KO',
at le point K sera le centre de gravité réel. t
di
8S. Centre de gratilé des corps coupés par franches parallèles. — Quand on peut partager un corps en une suite de tranches parallèles et connaître le centre deigravité de chacune d'elles, le centre de gravité de tout le corps est sur la ligne qui contient les centres de toutes les tranches. Eu effet, composez deux de ces tranches entre elles, puis leur résultante avec une troisième et ainsi de suite, et vous reconnaîtrez que le centre de gravité total doit appartenir à cette ligne.
36. Parallélogramme, parallélipipède euhe, — Soit, par exemple, le parallélogramme ABCD ( hg. 68 ] , décomposé en une suite de tranches très-étroites et jiarallèles au côté AB, le centre de gravité de chacune d’elles étant à leur milieu, et tons ces milieux étant situés sur la droite fi^qui passe par les milieux des côtés opposés
et 27(7, il en résulte que le centre de gravité du parallélogramme doit se trouver sur celte droite, et comme on peut voir aussi de la même manière qu’il est contenu sur la droite ^2 qui joint les milieux des deux autres côtés opposés AD et BC, il est donc à leur intersection O. — Un raisonnement analogue conduirait à prouver que le centre de gravité d’un euhe on d’un parallélipipède quelconque est à l’intcrscctiun des trois droites qni passent respectivement par le centre de gravité de deux faces opposées.
37. Triangle. — Le triangle ABC ( fig. SA ) étant partagé en tranches très-minces et parallèles au cùlé AC, on reconnaît comme précédemment que les centres de ces tranches sont tous compris sur la ligne BD qui va du sommet B an milieu 27 du côté AC, et qu’ainsi cette droite doit contenir le centre do gravité du triangle. Ce meme centre, par une raison analogue, doit également appartenir aux deux droites qui joignent chacun des deux autres sommets A el C aux milieux F el E des côtés opposés BC et AB. Donc enfin le centre de gravité d’un triangle est à l’interseetion commune des trois droites menées de chaque sommet au milieu du côté opposé. Il est aussi celui du système de trois boules égales placées aux sommets du même triangle; car le centre particulier de gravité de deux boules placées aux extrémités de la droite AC est sur le milieu 27 de cette droite, et ce dernier point sera tel qu’on pourra y eoncentrer les doux boules. Joignons le point 27 à la troisième bonle B par une droite BD : celIc-ci contiendra évidemment le centre do gra-
ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE
Tilé des trois boules ; et comme on rcconnailrail suinblnblcmeiit qne ce même centre appartient encore aux droites CE et on voit qu’il coïncide avec celui du triangle. Remarquons que, puisqu’il y a deux boules à l’extrémité D de la droite BD, et une seule au sommet B, le centre de gravité G de toutes trois partagera la ligne BD en denx parties, telles que
DGr='~BG=\^B.
Donc enfin le centre de gravité d’un triangle est situé sur la droite qui passe par le milieu de sa base et par le sommet opposé j il se trouve sur le premier tiers de cette droite à partir de la base. On voit encore que sa hauteur au-dessus de la base est le tiers de la hauteur du sommet opposé.
38. Quadrilatère quelconque. — La règle suivante a pour but do trouver le centre de gravité d’un quadrilatère quelconque ABDC (fig. SS ). Menez les deux diagonales ADeK BC qui sc coupent en F ; portez la partie la plus courte >/Fde l’une d’elles AD sur clle-mème de D en H, et après avoir joint le point H an milieu Ë de l’autre diagonale BC, divisez l’intervalle EH en trois parties. Le centre de gravité G du quadrilatère sera au premier tiers de cet intervalle à partir du milieu de la deuxième diagonale.
39. Pyramide triangulaire. — Une suite de plans parallèles à la
base de la pyramide triangulaire ( fig. SS Ws ) donne
lieu à des tranches triangulaires parfaitement semblables à cette base, et tous leurs centres de gravité seront sur la droite SG' qui va du sommet S au centre de gravité G' de la face ABC, parce qu’ils sont les uns et les autres semblablement placés. Ainsi la droite 56' doit contenir le centre de gravité de la pyramide. Comme il y a quatre sommets et quatre bases dans la pyramide triangulaire et que celle-ci peut se décomposer en tranches parallèles à tonies ces bases, on voit que $en centre de gravité ett à l’intersection des quatre droites qui joignent chaque sommet au centre de gravité de la base opposée. Ce centre de gravité est aussi celui de quatre boules égales respectivement placées an sommet de la pyramide. Car on reconnaît sans peine que le centre de gravité des trois premières A, B, C coïncide avec ceini du triangle ABC, et que celui de toutes quatre appartient à la droite qui joint le sommet 5 nu centre de gravité
Digilized by Goc^le
9i liLLXIKAIE rAPiTlE.
(lu 1.1 base ABC. Maintenant que nous Barons que le centre de parité de la pyramide est précisément celui des quatre boules égales, nous pouvons en trouver la position sur5C'en observant que trois d’entre elles peuvent être considérées comme concentrées en G' et que la quatrième est seule située sur l’autre extrémité S de la droite. Ainsi le point G doit partager la droite SG' en parties réciproquement proportionnelles aux poids que ses deux bouts supportent et qui sont triples l’un de l’autre; donc, on a
GG'=\SG, ou GG'=iS'G’;
d’où il résulte que le centre de gravité d’une pyramide triangulaire est êurla droite qui joint un êommet au centre de gravité de la base opposée et au premier quart de celte droite à partir de la base. U est encore évident que la hauteur de ce même centre de gravité audessus de la base est le quart de la hauteur du sommet opposé.
40. Pyramide à base quelconque, — La proposition précédente est également applicable à une pyramide dont la base est un polygone ( fig. 66 ). Non-seulemcnl son centre de gravité est sur la droite qui joint le centre de gravité de la base au sommet, mais encore un peut décuippuser la base en une suile de triangles qui serviront eux-niènies de bases à pareil nombre de pyramides triangulaires dont la somme forme la pyramide totale. Ces pyramides ayant pour sommet commun celui de la pyramide donnée, on voit que tous leurs centres de gravité, ainsi que celui do cette dernière, seront situés sur un plan parallèle à celui do la base et élevés du quart de la hauteur de celle du sommet. Donc, enfin, le centre de gravité cherché est au premier quart à partir de la base sur la droite qui joint le centre de gravité de la base au sommet opposé. De la pyramide on passe nu cône à base qiiclounque. Pour avoir le centre de gravité de celui-ci il suffit de joindre le centre de gravité de la base au sommet par une droite et de déterminer, à partir de la base, le premier quart de cette droite.
41. Polyèdre quelconque. — Puisque tout polyèdre se décomposa en pyramides triangulaires et qu’en vertu du théorème des mon.ents, le moment du poids ou du volume de ce polyèdre, par rapport à un plan, est égal à In somme du moment des poids ondes volumes de ces pyramides, il est toujours possible de trouver la
ÉQUrUBRE DES FORCES ET DYNAMtOUF,. 9j
position du centre de grnvilé de ce polyèdre par rapport à trois pians quelconques.
