P. c= lOOde-f 4000 e

11 faut observer que 4000 e est la quantité de travail absorbée par le frottement, que 1000 e est le travail utilisé et que le travail de la puissance devient 5000 e. Ainsi, dans cet exemple, on voit que la résistance utile no reçoit que le cinquième du travail de la puissance. Divisons l’expression précédente par e; on aura

P CD PI -fP

^ ÀR P T" 2/P

d’où

puissance qui est fort petite comparalivcmeiil à la résistance 1000'‘. Ainsi, l’aTanlage do la presse à coin est que son travail peut s’exécuter avec une faible puissance. Toutefois cette machine est défectueuse à cause de la grande quantité de travail quu les frottements absorbent h eux seuls.

11 y a deux espèces de dispositifs pour une presse .à coin. Le premier est un grand bassin ABCD ( fig. 178 ) dans lequel on établit la matière II à presser contre une de ses parois CD, et qui reçoit un on plusieurs coins a, a', a", que l’on enfonce de force entre des blocs b, b', b", .... terminés par des plans inclinés comme ceux des coins que l’on enfonce. Le second consiste dans un châssis ( fig. 17â ) placé debout et composé d’une semelle, d’un chapeau, et de montants fortement consolidés par ,dcs liens de fer boulonnés. Co chapeau est rempli de coins alternatifs, tels qu’au les voit dans la figure 174 et qui serrent le corps que l’on veut comprimer contre un plateau supérieur. Il convient dans ces divers systèmes que les extrémités des coins soient extrêmement solides, ou qu’ils soient susceptibles de la moindre déformation possible. On voit d’ailleurs que le placement et le déplacement de ces coins exigent une perte considérable de temps.

117. Effet dn choc dans l’emploi du coin. — Presque toujours l’enfoncement des coins s’opère par le choc : en indiquant les diverses actions qui se développent alors, nous montrerons que ce mode est une source de nouvelles pertes de travail. Quand un marteau vient frapper la tête du coin, il y a deux époques distinctes d’aclipn ; l’une qui correspond à la durée du choc, c’est-à-dire à l’intervalle compris entre l'instant où le marteau frappe et l'instant où la compression mutuelle du marteau cl du coin est la plus grande ; l’autre qui vient ensuite et pendant laquelle le corps ou matière à presser donne par sa i éaelion naissance à une résistance analogue à la force que nous avons précédemment désignée par P et à des frottements dus aux pressions Q cl II que cette résistance produit sur les cùlés du coin. De plus, l’inertie du coin qui est mis en jeu par le choc, agit d’abord comme résistance pendant la durée du choc ; puis elle devient puissance coutro lu véritable résistance P à vaincre.

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DVN VMIQUE.

Qn’arrive-l-il pendant la première époque? c’est que le choc développe à chaque instant, entre le marteau et le coin, des pressions Tariables et mesurables en poids ■ ces pressions sont d’autant plus considérables que la durée du choc pendant laquelle elles ont fieu est pins courte. Or, la résistance de l'inertie qui aiij'incnte avec ces pressions motrices leur fait continuellement équilibre, ainsi que les frottements produits par celte inertie contre les côtés du coin ; d‘où il suit que le travail de ces frottements pendant la durée du choc est perdu pour l’inertie, quand celle-ci devient ui\e puissance contre la résistance P. Ce n’est pas tout. Une partie du travail des pressions motrices a été consommée par la déformation du coin, qui ne peut manquer de s’opérer par suite de leur grande intensité. Quant a l'action que conserve l’inertie du coin, après le choc, on reconnaîtra sans peine, comme dans le cas précédent (2° partie, 110), que son travail ou la moitié de la force vive du coin sera égal nu travail de P augmenté du travail des frolteraents dus .à celle dernière résistance. D'où l'on voit qu’en partant immédiatement du travail du marteau ou de la moitié de sa force vive, une grande partie de ce travail est consommée inutilement'par la déformation du coin et par les frottements que la résistance de l’inertie occasionne pendant la durée ^u choc et que ces perles n’auraient pas lieu si le coin était simplement soumis à des pressions ordinaires.

S’il s’agit de la presse à coin dont le détail a été donné (2' partie, 116), on fera attention que, par suite dn choc du In masse m ( fig. 175 ) contre le coin mobile ÀBC, ce dernier doit glisser le long de la face ah du coin fixe, et que tous les points du coin ABC sont animés d’un mouvement de transport parallèle au côté AC. Par conséquent, les ré-sistances opposées «à chaque petit instant par l’inertie des diverses parties du coin ABC, seront autant de forcc.s dont la résultante, c’est-à-dire l’inertie totale du coin, passera par

le centre do gravité G et sera égale à .rtf X ^ étant la masse

du coin, et o le petit degré de vitesse imprimé dans le petit temps t. Conuaissant'la direction de cette force, ou pourra exprimer sa pression sur le côté BC et par suite le frottement qu’elle doit faire naître. Enfin, en formant les produits do l’inertie et du frottement par les petits chemins respectifs de leurs points d’ap|dication et en égalant leur somme à la quantité du travail de la force de percussion dn marteau diminuée de celle que consomme la déformation triit£ nr. arc. isn. 14

3t0 DEUXIÈME PARTIE.

da coin, on aura tont ce qu’il faut pour conclare la force d’inertie regardée comme puissance à l’égard de la réaction du corps B que l’on Teut comprimer.

118. Forme» diterte» du coin et ton application aux outil». — > malgré le désarantage du coin sous le rapport des consommations inutiles de travail qu’il occasionne, cette machine est universellement en nsage. La forme prismatique n’est pourtant pas toujours celle qu’on lui donne. Lorsque le coin est une pyramide à trois on quatre faces ( fig. 176 ), les considérations relatives à l’équilibre entre la puissance et la résistance sont analogues à celles du prisme. La première est égale et opposée à la résultante de trois ou quatre forces qui dépendent des longueurs de chaque face et de la grandeur des côtés qui forment la tète. Le coin consiste encore dans un prisme tronqué. Souvent enfin , ce n’est antre chose qu’nn cône surmonté d’une tête cylindrique ; mais la condition de son équilibre rentre dans celle du coin isocèle, c’est-A-dire que la puissance est à la résistance dans le rapport du diamètre de la tète à la longueur du côté du cône.*

Exemple» d’outil». — Presque tous les outils des arts se rapportent au coin : tels sont les divers ciseai^, les couteaux, les clous , les limes , etc. — Les limes sont des prismes méplats dont les surfaces sont striées d’entailles Eûtes an ciseau. Ces entailles pratiquées sous un certain angle sont recroisées par d'autres faites sous un angle diiïérent, de manière à former de petites pyramides, ou un grand nombre de coins dont les pointes ou tranchants arrachent la matière. — Les scies ( fig. 177 ) sont un assemblage de coins , dont la face inférieure est légèrement inclinée en se dirigeant vers le tranchant b. Ce dernier dans le sens do l’épaisseur de la lame s’incline alternalivcment d’une dent à l’autre, tantôt à gauche et tautût à droite. Enfin, ces dents sont dévoyées de part et d’autre du plan de la lame , de manière à former ce qu’on nomme la voie, afin que l’ouverture faite dans le bois soit plus large que l’épaisseur de la scie, et que celle-ci puisse jouer plus librement.

Tous les coins, quels qu’ils soient, sont toujours destinés k agir par leur tranchant ou par leurs extrémités pointues. Il y a donc pour chaque outil un angle convenable selon lequel il convient de le terminer. Trop aigu il pourrait se rompre j il ne saurait s’enfoncer au contraire s’il était trop obtus. Pour avoir la limite des incli-

ÉQÜlLinUE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 211

naisons des faces qui aboutissent au tranchant de chaque outil , il faudrait étudier parmi les outils destinés au luêrae usage celui qui marche le mieux ; cette étude est du plus haut intérêt pour l’ouvrier. Quoi qu’il on soit, on voit qu’il y a une relation nécessaire entre l’angle du coin, et la résistance des matières à diviser. Si cette ma* tière est très-dure, comme du fer percé à froid, l’angle du biseau ( fig. 178 ) sera de 90” j les emporte-pièces, les burins sont do ce genre. Pour des matières moins dures, l’angle n’a pas besoin d’étre aussi ouvert. Les ciseaux des varlopes, par exemple, sont terminés par des angles réduits à 30°. Remarquez que ces ciseaux taillent le bois dans la longueur de ses fibres, et que ces dernières offrent une résistance beaucoup plus forte perpendiculairement à leur longueur, aussi donne-t-on un angle plus obtus à la besaguë, laquelle est destinée à travailler le bois dans un sens perpendiculaire à scs fibres. Cet angle devient au contraire extrêmement aigu pour l’instrument avec lequel on coupe les substances molles, telles que les viandes et le pain. Il eu est de même à l’égard des rasoirs, parce que les poils, quoique durs, ne sont pas, à cause de leur isolement sur la peau, susceptibles d’une grande résistance.

En général, tous les outils donnent lieu à des frottements qui consomment, ainsi que nous l’avons vu, une quantité énorme de travail comparativement à celle qui est utilisée. Mais si elle augmente à mesure que l'angle du coin devient plus aigu, elle diminue aussi avec le rapport du frottement à la pression, et l’on sait que ce rapport est moindre scion que les surfaces sont plus polies ou plus onctueuses. C’est ce qui démontre la nécessité de donner du poli aux outils, et de frotter fréquemment leurs tranchants avec des matières grasses ; et parmi ces dernières on devra préférer le suif au vieux oing. Enfin, comme on agit par le choc, il faut que l’outil suit résistant et de bonne qualité.

L’inclinaison sous laquelle on présente l’outil à la matière n’est pas non plus indifférente. Soit un ciseau ABCD ( fig. 170 ) terminé par le plan incliné CD et chassé perpendiculairement à la surface LM de la matière par une force F. Si le tranchant C se trouve à l’extrémité de la face AC parallèle à la force F, il est évident que la résistance Q contre cette face est bien moindre que la résistance R exercée contre la face inclinée CD ; car, d’après ce qui précède, l’une est proportionnelle à aC, tandis que l’autre est proportionnelle à (7i>, Il résulte de là que le ciseau tendra à marcher

212 DEUXIÈME l’AUTIE.

vers la gauclie jilnlûl que versladrbile,'el qu’aprcs un petit enfoncement aC il cessera de s’avancer. Mais alors l’ouvrier ne manque pas de retourner l’instrument , la face CD en avant, et la i&ccAC en arrière ; puis il enlève la partie aCD, en inclinant légèrement et en faisant mordre le tranchant de façon que la nouvelle face inferieure éprouve à son tour une résistance moindre. Ces deux opérations seront continuées alternativement jusqu'au fond du trou ou de la mortaise que l’on veut pratiquer en LM.

Dans le rabot, le ciseau est couché, et le fer tendrait à s’enfoncer de plus en plus, si l’instrument appuyé sur la surface du bois qu’on veut aplanir ne s’y opposait ( fig. 180 ), et si d’ailleurs la face cd par sa grande résistance ne tendait .à relever l’instrument. Aussi le fer a-t-il deux positions distinctes, selon qu’on veut enlever de minces copeaux, on faire des rainures dans le bois. Pour le premier objet, le tranchant (7 est en avant, et la facecd couchée en arrière. Bans le second cas, l’outil est retourné et la face cd occupe une position antérieure et verticale. Ces exemples démontrent donc bien le rôle que joue l'inclinaison des faces dans l’eifct des outils.

' PitCES QUI TODSSElVr OD EOrLIST LES l'SES SCB LES ACTEES.

un. Idée du frottement produit par le mouvement de$ piècet qui tournent sur elles-mêmes. — I, es pièces de rotation, telles que les roues, et qui tournent sur d’autres pièces, occasionnent dans leur nioiivcmcnt des frottements auxquels on doit avoir égard dans lu calcul des machines, cl dont la nature est difl'éreiite selon que ces roues portent sur leurs appuis par des tourillons on par des pivots. On nomme tonrilluns des cyliudres oa (fig. 181) dont le diamètre est le plus petit possible cl qui sont fixés perpendiculairement au plan de la roue, dans le prolongement de l’axe de cette dernière, et aux extrémités de l’arbre de couche. Ce dernier consiste d’ailleurs dans un cylindre AB beauconp pins gros que les tourillons et «jui traverse la rono à son milieu cl dans le sens de l’axe de son mouvement. Ces tourillons a reposent dans une lioilc CmD

Éf^lüiUlUlE DES l-QUCES ET ÜYAA.MIVÜE.

( Eg. 182 ) de forme cyliudriqiie concnvc, par une arête perpendiculaire à leur circonférenee. — ■ Le pivot a une forme analogue à celle du tourillon, <i ce n'est qu’il appuie par le cercle qui terininesa tète, contre le fond d’une crapaudine EFGHIK ( fig. 183 ). Si les directions des forces qui fout tourner la roue dans eu dernier cas étaient telles que le cylindre du pivot fut en outre pressé latéralement par une arête, contre le cylindre de sa crapaudine , la résistance serait curapliquée des doux frotlciuenls simples dont il s’agit J mais ordinairement on s’arrange de manière que la pression totale s’exerce dans la direction du l’axe du pivot. Oc ces doux frottements, l’un qui a lieu de la part d’un pivot contre le fond do sa crapaudme, est analogue à celui de deux surfaces glissant l’une contre l’autre, et son rapport à la pression s'obtient encore à l’aide des deux tableaux exposes au n° 106. Quant à celui du tourillon dans son palier, Coulomb a fait des expériences qui démontrent que ce frottement est de beaucoup inferieur au premier. Il n'y aura d’ailleurs plus à tenir compte do l'adhérence parce que dans le mouvement de rotation des pièces sur des paliers, les surfaces nu frottent que sur une arête ousur une surface fort petite. Nous donnerons en sou lieu le tableau de Cuulumb, .sur eu nouveau genre do frottement; mais il convient auparavant de parler du celui d’un pivot contre lu fond de sa crapaudine.

120. Frottement d’un picot contre ta crapaudine. — 11 ne sutlit pas de connaître le rapport du frotlenieut à la pression dans le mouvement des pièces Je rotation; il faut encore savoir cumiuent ce frottement se comporte avec les autres forces qui lu sollioileat, selon les deux dispositious que nous venuns d’indiquer. Cojiimeuçonspar le cas d’un pivot qui tourne autour de son axe, et pressé contre sa crapaudine par une force N ( fig. 184 ) que nous supposerons agissant dans la direction do cet axe. Mais si cette force N perpendiculaire à la surface pressée passe par le centre du curclu du pivot, il est permisde la regarder comme la résultante des pressiou.s partielles qui ont lieu sur tous les élémeuls de la base, du sorte qu'elle est répartie propurtionnellcment dans tous les points du cette surface. Ainsi, désignant par a un petit élément et par ^ la

snrfacetotalc,-^^sera évidemment la partie de la pressio

supporte ccl élément; cl /" X lo t’roltemcnt qui s'exerce sur

214 DEUXIÈME PAETIE.

cet élément. Non-seulement ce frottement sera cenaë appliqué ou centre do cet élément, mais encore il agira dans une direction iminédialement contraire à celle du mouvement du pivot, c’eat-à-dire perpendiculairement au ra jon du cercle décrit par ce centre autour du centre du pivot.

Si donc on appelle r ce rayon, ou le bras de levier de ce frotte»

ment partiel, f X ° X oe sera autre chose que le ino-

ment du frottement qui est exercé sur l’élément a. Maintenant, si je considère tous les éléments du cercle ABD, tels que qui sont groupés dans un même secteur ACB dont l’angle au centre est très-petit ; il est visible que les frottements produits dans ce groupe d'éléments pourront être regardés comme perpendiculaires au rayon Co qui passe par tous leurs milieux, ou comme parallèles entre eux ; et eu vertu de leur parallélisme, leur résultante sera égale à leur somme, parallèle à leur direction commune, et appliquée nu centre do gravité de la surface ACB, dont tous les points sont sollicités par ces forces parallèles. Ainsi , la résultante sera

^ N ACB ^ jg levier, il sera \ R ( 71 étant le

rayon du cercle), attendu que le secteur ACB est un triangle dont le cciilrc do gravité est aux deux tiers du rayon Cô qui va du sommet C au milieu o dp la base AB. Ainsi , 1 moment de cctle résultante, ou la somme des moments de tous les petits éléments qui entrent dans la composition du secteur ACB sera égale à