ACB — ^R . A'CB

Maintenant, si on détermine de la même manière les moments des frottements qui ont lieu sur les autres éléments semblables à AA'ffB de la surface comprise entre les deux cercles de rayon 7? cl 71', et qu’on en fasse la somme, cette somme donnera le moment du frottement total qui a lieu sur l’anneau. Or, il faut remarquer, 1° que

f • TV

cette somme renfermera le faoleur commun — — « — > 2° que

Je second facteur se composera de deux termes dont l’un sera le pro-

duit de — 71 multiplié par la somme de tous les secteurs ACB qui formentla surface du cercle extérieur ou t . 71», 'et dont l’autre re-

tranché sera le produit de 71' multiplié par la somme de tous les «

secteurs A' OB' du cercle intérieur, ou jiar x . R*. On aura donc pour le iiioiueal tulul du frottenicul de l’auiicau l’expression

OU cette autre, après toute réduction ,

Eutiii, si on noiuiiie l la largeur AA' ou BR de l’anneau, r le rayon uioycn de cet anneau ou lu distance de son milieu au centre, le cal-

cul apprend que

revient à r -J- Nous ap-

pellerons cette valeur r„ et le moment total du frottement de l’annoau deviendra en définitive f . N . r,. Mais, comme/. N est

lui-même le frottement total, on voit que r, ou r -{- est en-

core ici le bras de levier moyen du frottement de l’anneau, supposé concentré à une distance r, de son centre.

Puisque le frottement total f . N peut cire regardé comme ayant

son poiut d’application à une distance du contre égale à

ou à r-|- = r„ selon que le pivot frotte sur un cercle entier

ou sur un anneau, et d’ailleurs le petit chemin décrit par ce point d’application est censé situé daus la direction même de cette résistance, la quantité de travail élémentaire cousommée par le frottement sera donc égale au produit de f N ut de ce petit chemin décrit. Or ce dernier, en désignant par s, l’arc décrit à Tunité du distance pendant un très-petit temps, aura dans les mêmes circou.

stances, pour valeur -^B . s„ our,«,.l)ouc, enfin, la quantité élémeu-

taire de travail cherchée sera représentée ou par B . s, . f , N, oupar/. r -| — j s,. Plusieurs remarques doivent être

KQDlLIliRE DES FORCES ET DYNAMIQUE.

faites à cet égard; le coefficient /'du frottement sera ici déduit des deux tableaux donués nu n° 106, parce que le pivot glisse cunlru sa crapandinc, et que ce mouvement est lu même que celui de deux surfaces eu contact.

La quantité de travail du frottement augmentant avec le rayon du cercle entier du pivot, ou avec le rayon moyen de l’anneau, il y a de l’avantage à diminuer autant que possible ces rayons ; mais cette limite est elle-même relative à la solidité du pivot. Au reste, c’est dans ce but que l'on amincit quelquefois les pivots en forme conique ( fig. 186 }. Souvent encore on termine leur extrémité inférieure par une surface convexe ( fig. 187 ), ainsi que le fond du la crapaudine; il faut alors considérer seulement le petit cercle de contact qui a toujours une ccrtaiuo étendue par suite de la compression et de l’user. Nous finissons ce paragraphe en rappelant que le moment du frottement se trouvera facilement quand cela sera utile, puisqu’on remplace cotte résistance par une force unique égale au produit de la pression totale multipliée par un certain coefficient obtenu dans les tables, et que le bras de levier de celte force n’est autre chose que ce que nous avons calculé sous le noju de bras de levier tnoyen du frottement.

121. Frottement d’un tourillon dans un palier ou hoîte. — Nous savons que le tourillon est un cylindre posé sur un autre pur une arête; un a soin d’ailleurs de leur donner peu du jeu, c’est-u-dirc une três-faible diffcrence entre leurs rayons , afin d’éviter toute espèce d’emboilement, lorsque la pièce qui s’appuie sur ce tourillon est mise eu mouvemeut. Mais, cumiàie le frottement qui eu resuite a été reconnu par Coulomb bien inférieur à celui qui a lieu selon les circonstances prévues par les tableaux du n“ lOG, nous coiumencel ons par présenter lu troisième tableau, relatif aux pièces de rotatiou.

DEUXIÈME PABTIE.

TROISIÈME TABLEAU. Froltcment des axes dans leurs boites.

ISDICATIOS DSS AXtS BIS (S EXPtaiISCS.

U » l<r« •urfaert rtaot parle tuifoIrMUot onottteuM*

B » «rre uo eoduit qui n'avait pat Aid rvnoiiTolé drpuii longtempa, quoique 1a

machine eût aervi oontinurllemciit

Axa de ebéoe Tcrl, dao* une bulle de gaîao avec nn enduit de euif

» m l'enduit étant r«*n^e et lea tarface* reatanl enc(um*M. * ....

m m apr«« avoir arrri Irtnglempa, san* qtiVn eût rafratohi rendait . »

m » dane une butiR d'orme enduile de luif * .

» B rendait étant eMuvé, et le* aurfaee* reataot onctueuaec* . • • .

Axa de btii* dan* une boile de i^aTac enduite de «uif.

a m l'anduit étant easuyé et le* turface* reatant onctueu»e*. ......

a » dan* une boite d'orme enduite de »uif. ............

a • rcnduîl étagt ea*oyé , le* aurfaca* mtant oocldéOM* . ••...•

EsamiDODS maintenant le r6Ie que joue ce Frottement au milieu des autres forces qui sollicitent la pièce de rotation. Lorsque celle* ci est an repos, il est évident que le tourillon A ( fig. 188 ) do cette pièce occupe le point oie plus bas du cercle poq qui constitue le profil de sa boite. Si la machine est ensuite mise en mouvement, le tourillon A tournera autour de son point d’appui contre ce palier; et il cheminerait même indéfiniment, sur la surface de ce dernier , si elle était de niveau. Mais comme il n’eu est pas ainsi, le tourillon A montera sur le palier poq, tant que les efforts moteurs l’emporteront sur le frottement, puis il s’arrêtera en un point m dont l’inclinaison de la tangente sera telle que le frottement soit capable d’y retenir le tourillon. Ce dernier, posé ainsi par un point m sur la surface poq, no saura s’y maintenir en équilibre, à moins que la résultante do toutes les forces qui agissent sur le tourillon, y compris le frottement (2” partie, 99), ne passe par le point d’appuis», et qu’elle ne soit perpendiculaire à la tangente. Or, le frottement s’exerce le long de cette tangente et est immédiatement appliquée au point m. Donc, la résultante JV de toutes les autres forces devra aussi passer par ce point et selon une direction quelconque mlV. La seconde condition que la résultante du frottement et de cette force N soit perpendiculaire à la tangente, revient à celle que la

Digilizec by CoogI

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 219

cotnposantodo la première dans la direction de cette tangente soit immédiatement égale et contraire au frottement.

Prenons sur miV une partie md égale à l’unité, et formons sur md le rectangle datüh, La composante de N perpendiculaire à la tangente sera (2* partie, 108) N . ma, pression qui donnera lieu au frottement f . N . ma, f étant un des coefficients donnés par le troisième tableau. Enfin N . mb sera la composante de JV le long de la tangente, et l’on aura

. mb — fN . ma;

d'où

ma’

relation qui indique que le rapport du frottement à la pression sur le tourillon est immédiatement donné par l’inclinaison do l’angle de la pression N arec la tangente au cercle de ce tourillon menée par le point d’appui. On aura ainsi le moyen de trouver géométriquement ce point d’appui. Quant au frottement, il est f, ma . N. Remarquons que le triangle rectangle mad donne

1 = nta mè = ma -j- . ma,

ou 1 = ( 1 ;

d’où

ma =

et, par suite,

ma . N N

Telle sera donc l’expression du frottement autour du tourillon IV ; et pour l’avoir il ne suffira pas de multiplier la résultante des forces données par le coefficient f; il faudra encore diviser le produit f . N par ^ P . Toutefois, on remarquera que lorsque /"est

moindre que , j/ 1 ne diffère presque pas de l’unité ; en

sorte que le ffotteraenl est sensiblement f . TV ou le même que si la résultante iV était perpendiculaire au tourillon, quoiqu’en réalité elle ne le soit pas.

Lorsque le tourillon reste fixe et ne fait pas corps avec la roue, la roue tourne alors de manière que c’est sou propre centre Â

i)tl,\ltillv l'AlU'lfc.

( Gg. 189 ) qui demeure fixe. Le bras de levier de ce froUoment est alors le rayou de l’œil de la roue, le<{unl est plus grand que le ' tourillou à cause du jeu, au lieu que quand le tourillon est mobile, comme dans le premier cas, c'est nu contraire le rayon de celui-ci qui est le bras de levier du frutlemeut. Donc, à égalité de rayon, il y a du désavantage à ne pas rendre le tourillon mobile.

JV . f

L’expression du frottement

étant indéi>endante de

la longueur du tourillou, on voit qu’on ne gagne rien à rallonger ou à le raccourcir; il n’y a que la résultante iVqui puisse modifier l’intensité de cette résistance. — La quanti té de travail consommée par ce genre de Frottement est encore très-facile à mesurer; elle est égale au produit do la résistance, et du chemin décrit sur la circonférence du tourillon. Si l’on rcpiésente par r son rayon, et par s, l’arc décrit à l’unité de distance, on aura r X pour l’are développé sur le tourillon dans un temps quelconque, et /" . iV X X *i pour la quantité de travail absorbée par la résistance du frottement.

122. Idée sur /es dimensions des tourillons. Avantage des couteaux. — La quantité de travail consommée étant reprcsciitée par . . . . f . jy , r . s, , ou observera que dans cette expression, les quantités f, N ol s, ne sauraient être clmiigécs, attendu qu’elles dépendent des substances en contact, des forces np|iliqnécs, et du mouvement convenable à la luachine. Il ne reste donc que r, ou le rayon du tourillon, dont on puisse disposer. Plus il est grand, plus la quantité de travail consumniée est considérable. Si dune un veut le réduire, il faut construire le tourillon en substance très-dure, en acier, par exemple. On peut encore lu diminuer, dans le cas où les forces applii^uées sont d’une faible intensité. Dans toute autre circonstance, il n’y a pas moyen d’affaiblir les frottements des tourillons. Il arrive quelquefois que, pour empêcher l’arbre ou les tourillons de glisser dans le sens du leur longueur, on les interrompt par des espèces de renflements ( fig. 190 } qui circulent dans des logements plus profonds que ceux des tourillons. Ces renflements sont ordinairement des troncs du cône opposés par une base commune. On leur donne la forme d’un tronc du cône, afin de diminuer la portion de surface qu’ils présentent à la paroi qui leur sert pour ainsi dire de guide. Maison commettrait une erreur grave, si l’on prétendait diminuer le frottement, en laissant rouler l’arbre sur l’arête

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 2'21

circulaire de ce renflement, sous prétexte que cette circonférence est, pour ainsi dire, une ligne innihématique.

Loin d’avoir rien gagné, on augmenterait an contraire la quantité de travail du frottement, parce que celle-ci ne dépend pas du plus ou moins de longueur du tourillon, et parce qu’elle croîtrait proportionnellement au rayon du cercle commun aux deux cônes de renflement dont il est question. Cette modification n’a d’ailleurs rien de commun avec les couteaux, dont l’emploi est fort avantageux. II faut d’abord se rappeler que leur usage est borné au seul cas où une pièce de rotation ( fig. 191 ) ne doit faire i]uc de petites oscillations. Les couteaux sont alors des espèces de coins qui supportent l'axe, et dont les pointes sont arrondies en cercle fort petit. Le mouvement s’opérant autour du centre de ce petit cercle, et le frottement no s’exerçant que sur l’arc de ce dernier, on voit comment, pour des efforts même considérables, la quantité de travail fN . r X »i peu appréciable , attendu la petitesse du rayon r. C’est en terminant son axe de suspension par des couteaux, qu’une balance est rendue semblable.

123. Frottement dit de seconde espèce, ou produit par le roulement de deux surfaces. — Il est encore une dernière espèce de frotteraent qui résulte de deux surfaces qui roulent l’une sur l’autre. Mais ici, comme les parties de ces surfaces s’appliquent entre elles une à une, et qu’elles se détachent les unes des autres perpendiculairement à la direction du mouvement qui est celle de la tangente commune, il n’y a point, à proprement parler, de frottement dans ce mouvement, ou du moins il est assez faible pour être négligeable.

Quand un rouleau chemine en roulant sur un plan, les arcs des divers points de sa surface se dévcIo[)i>cnt sur celle du terrain; et le frottement n’existe pour ainsi dire pas, surtout si ce rouleau est Lien cylindrique et que la surface suit unie. Eu général, ce frotte- ' ment, dit de seconde espèce, est d’autant moindre que le diamètre du cylindre mobile est plus petit. Une roue dedeux pieds de diamètre qui roule sur un terrain, et qui est chargée d’un poids de lOOkilogr., donne lieu a une résistance qui ne dépasse pas le trentième de la pression, c’est-à-dire 3 kilogr. Toutefois, si le corps roule sur une surface raboteuse, telle que du sable, de la terre, etc., cette résistance devient sensible.

Iæ frottement de roulement présente, dans les voitures, des résis-

222 DEDXIÈME PARTIE.

tances réelles, sarlont quand le terrain est contpressible, et que les roues s’y enfoncent; car ces voitures sont ensuite obligées de se relever sur on plan incliné, et elles exigent alors une nouvelle quantité de travail. Hais, en général, lorsque la snrfaoe sur laquelle un corps chemine en roulant, reste plane et la même sur une certaine étendue, on peut regarder le frottement de roulement on de seconde espèce comme très-petit. Son peu de résistance explique l’emploi des rouleaux dans le transport des blocs de pierre, on des plus lourds fardeaux ( fig. 193 ). C’est, comme l’on sait, sur deux rouleaux qu’est portée la charge ; et ces rouleaux cheminent enxroêtues sur des madriers établis à la surface du terrain, afin qn’ils ne puissent pas s’y enfoncer. Un troisième rouleau, placé en avant des deux premiers, reçoit le bloc ou la charge au moment oà la rouleau d’arrière est dégagé ; celui-ci est remis en avant et destiné à recevoir la charge au moment on elle est poussée jusqu’à lui, etc. Telles sont les opérations à faire successivement. Le frottement du roulement consomme incomparablement moins de travail que si le bloc de pierre, ou fardeau, était traîné sur la surface même du terrain.

134. Emploi du frottement de seconde espèce pottr diminuer les autres frottements. — Le frottement de seconde espèce, combiné, soit avec le frottement des surfaces qui glissent les unes sur les autres, soit avec le frottement des tourillons, peut diminuerces frottements ainsi que leur quantité de travail. Représentons-nous, par exemple, une roulette et un axe qui lui est fixé et dont les tourillons peuvent tourner dans une crapaudine ( fig. 193 ); supposons une charge P en équilibre sur cette roue, et placée sur une table horizontale et tangente à la circonférence do la roulette. Si cette dernière ne pouvait tourner, il est évident que la puissance F, capable de faire glisser la charge P sur la surface de la roue, serait égale à f . Pf c’est-à-dire au frottement de glissement qui résulterait do la charge P. Mais, si on rend aux tourillons la faculté de tourner sur leur palier, la charge P portera elle-même sur les tourillons, et ce sera sur ces derniers que le frottement f . P sera produit. Appelant rieur rayon et », le chemin décrit à l’unité de distance, f . P "y.. T . s, sera la quantité de travail de ce frottement, et elle devra être égale à celle de la puissance F capable de la vaincre. Or, le chemin parcouru par le point d’application de cctle paissance

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

et dans an direction sera égal au développement de r.src de la circonférence delà roulette, décrit en même temps que celui dufrottement, c’est-à-dire à Ji . {R étant le rayon de la roulette). Ou aura donc

d’où F=fPX^-

Donc, la puissance F, de fP qu’elle était avant le roulement de La roulette, est réduite à /P X ^ > ou dans le rapport du rayon do

tourillon à celui de la roulette. Il en est do même de sa quantité de travail, qui diminue aussi selon ce rapport. On remarquera que si les surfaces de jiB et de la roue étaient tellement polies que le coefficient /fût très-petit, ou que le frotlemeot de glissement en Af devint moindre que f , P • ou que F, les roulettes ne tourneraient pas; mais cette oircoustanoe n’arrive presque jamais dans la pratique.

Quoi qu’il en soit, les roulettes fixes ont l’avantage de diminuer la quantité de travail que développerait le frottement si ces roulettes n’existaient pas. Telle est, par exemple, dans les scieries, la disposition des oboriots qui amènent la pièce de bois sous l’aotion de la scie ( fig. 19A ); l’utilité des rouleaux tournants à axe fixe, snr lesquels ces chariots' cheminent, devient ici de toute évidence.

Lorsqu’un tourillon est destiné à supporter une charge considérable, sa grosseur doit être proportionnée eu conséquence ; mais comme la quantité de travail consommée par son frottement augmente à la fois avec la pression qu’il éprouve et la grandeur de son rayon, il importe de réduire cette quantité de travail et voici par quel moyen. Imagines que ce tourillon A ( fig. 19é ) repose snr deux grandes roues de rayons R et R', qui, elles-mêmes, peuvent tourner avec des tourillons de rayons r et r beaucoup plus petits que les premiers. Décomposons, au moyen du parallélogramme, la charge ou pression du tourillon A en deux autres forces iVet N', dirigées suivant les lignes qui joignent son centre à ceux des grandes roues. Si ces dernières ne tournaient pas, le frottement du tourillon sur la première ( R ) serait f , N; et celui qni aurait lieu sur la

22 i DEI'XlftME PARTIE.

(Icuiième ( li'j ncrnil f . iV'. Li qnnnüté de trarail totale consomluéc sur le tourillon serait enfin

(/. ;v + /-. iv')^ .

A étant le rayon du tourillon et *, le petit are décrit .à l’unité de distance de son axe. Hlais si, an contraire, cliaqiie j;randc roue a la faculté de se mouvoir autour de son tourillon respectif, on reconnaît, d’après ce qui précède, que le frottement f . iV snr le

tourillon ^ est réduit .à . A' X > et le frottement f . ÎT \

f . N" 'A -TT* Partant, la quantité de travail devient ainsi ....

^ fN X "1" f^’ ^ j » quantité bien inférieure à celle

(/IV -f- /IV' ) As, qui aurait eu lieu sans le concours du roulement des deux ^andes roues, et d’autant moindre que R et R' sont pins grands par rapport aux tourillons respectifs r et r. Une disposition de tourillon établie sur ce principe donne lieu .à une sujétion que l’on doit éviter, à moins de circonstances toutes particulières. Quand un tourillon repose snr deux ou trois roulettes ( fig. 196 ), il est assez ordinaire qu'il s’use inégalement, et qu’il fasse naître sur leurs surfaces des cavités qui ne loi permettent plus ensuite de tourner.

Nous sommes naturellement conduits an dispositif des tourillons de la cloche de Mutte à Metz. Comme elle no doit faire que des oscillations et nou des révolutions, il convient, au lieu de roulettes, d’avoir recours à des secteurs d’une amplitude à peu près égale à colle d’une oscillation. Ces secteurs, au nombre de trois ( fig. 107 ), tournent avec des tourillons très-petits comparativement à leurs rayons respectifs, et sont placés l’an au-dessous, et les deux autres à gaucheet à droite du centre du tourillon delà cloche, de sorte qnece dernier, quand il est mis en inouveraent, repose constainiuent sur le premier, et alternativement sur Tun des doux autres. La pression du tourillon princip.-)! étant égale à la résultante de la force centrifuge de la cloche et de son poids, qui est au moins de 18 000 livres, ou conçoit que les frottements de .son tourillon absorberaient une énorme qunnüté de travail, si on ne l’avait diminué par l’influence du roulement de ces grands secteurs; celte diminution se calcule d’ailleurs, comme nous l’avons montré pour deux cercles, au moyen

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 225

du rapport des rayons de chaque tourillon des secteurs aux rayons de ces derniers. Le balancier supérieur, qui supporte deux tiges fixées ellcs-mënics à ch.aquo secteur latéral, a pour but d’empêcher que ces secteurs ne tombent tout à fait lorsque la cloche est poussée contre l’un d’eux par l’effet de sa force centrifuge. On a dans ces derniers temps présenté un appareil analogue, comme s’il s’agissait d’un perfectionnement nouveau ; mais celui que nous venons d<x décrire est inventé depuis nu moins trois cents ans.

Supposons actuellement que la roulette, au lieu de tourner sur son axe fixe, soit mobile sur un plan AB ( fig. 198 ), et que In charge P, au lieu de reposer sur la circonférence de la roulette, repose sur une chape qui reçoit elle-même l’axe de la roulette : non-seulement la pression aura lieu sur l'essieu, mais encore, quelque part que soit placée la puissance F, le chemin décrit par son * point d’application sera le même que celui qui est parcouru par l’essieu de la roulette. Les raisonnements sont d’ailleurs toujours les mêmes, c’est-à-dire que le travail de la puissance est égal à celui du frottement autour de l’axe, en négligeant toutefois le frottement de roulement qui a lieu en M. Remarquons que le chemin parcouru par la puissance est égal à l’arc que développe la circonférence de la roulette, ou à /? X *i > *1“® celui qui est parcouru

par le frottement autour de l’axe, dont le rayon est r, est égal à r X »i7 l’on tire

et, par suite, F = f . P X

Telle est la théorie des roulettes de lit, ou des roues de voitures. Dans ces dernières, l’essieu ne tournant pas, c’est autour du centre de la roue que le mouvement de celle-ci s’opère, de sorte que r est nécessairement ( 2° partie, 121 ) plus grand que le rayon de l’essieu. On termine ordinairement les extrémités de cet essieu en forme de cônes dits futée» ( fig. 199 ) dont l’arête inférieure est sensiblement horizontale. Le rayon, ou bras do levier du frottement, est alors la distance du centre de la roue au point de contact de cetlo dernière avec la fusée. Dans l’emploi des voitures, nous ne pourrions faire abstraction du frottement deroulement sur le terrain. On conçoit, cii effet, qu’une roue qui parcourt une surface couverte de

TstiTt OC aie. ISO. IS

UtUXlKMK l•AK'^IE.

Siti

pierrailltii rciicuiitre <lei ubslacles qu’elle doit fraiicliir uu écraser, et qui produisent une résistance plus ou moins considérable.

La force de traction, par rapport à la charge, est d’an huitième sur une route en cailloutis ou en pierres concassées ; d’un douiième sur uneroute dont les pierres sont plus serrées ; d’un vingtième sur une route pavée j d’un trentième sur une route damée et bien unie. Quand une voiture roule sur une surface bien lisse, telle que de la glace ou de la neige, il arrive que les roues no tournent pas ; c’est qu’alors la résistance du terrain eu contact des roues est moindre

que f . P

Le rouleau du laboureur ( fig. 200 ) destiné à briser les mottes de terre est encore du même genre. Sa quantité de travail diminue avec le rayon de son boulon, et est d’autant moindre que le rayon de sa circonférence R est plus grand par rapport au rayon r du boulon.

ün voit enfin l’avantage des grandes roues ; car, si on ne les employait pas, et que la charge fût tirée ou trainéc à terre, l’effort de

traction deviendrait f . P, ei le coefficient f serait à peu près de

Sur la neige et la glace il devient, au contraire, très-petit, et de là l’usage des traîneaux dans lesquels un se passe de roues. — Les triquc-balcs, qui servent au transport des lourds fardeaux, ont des roues de huit à dix pieds. Tontes les fois qu’une voiture a des roues d’inégale grandeur, il faut charger davantage les roues de derrière qui sont les plus grandes, que celles de devant, afin que leur résistance ne soit pas inégale, ou qu’elles ne s’usent pas plus les unes que les autres. Les roues de voitures ont ordinairement de trois a six pieds de diamètre : trop grandes elles augmentent la dépense, ainsique l’instabilité de la charge ( 2* partie, 102 et lOi).

125. Résistance due à la raideur des cordages. — Considérons un rouleau ( fig. 2U1 ) tournant^sur un axe, et portant à su circonférence une gorge dans laquelle est passée luic corde. Uu poids O est suspendu a Tune des extrémités, tandis qu’une puissance f' agit à l’autre pour le faire monter par l’intermédiaire de cette corde. Celle-ci, par suite de sa roideur, oppose une certaine résistance du côté de (>, pour se plier autour du rouleau, et doit nécessairement consommer une partie de la force motrice F. La mesure do la résistance

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. Siî

(lue à la roideur des cordes a été encore l’objet de plusieurs expériences deCoulomb, d’après lesquelles il résulte que, pour un rouleau donné, celte résistance se compose de deux parties dont une demeure constante quand la corde est la même, et dont l’autre varie proportionnellement an poids Q suspendu. En désignant par K la première, et par J y. Q la deuxième partie, la résistance totale d’une corde sera exprimée par K I . O- K peut être regardé comme représentant la roideur constante qui provient delà torsion ou tension naturelle des fils ; J est celle qui est relative à la tension de la même corde pour un kilogramme de résistance. Coulomb observe, en outre, que celle roideur varie en raison inverse des diamètres du rouleau ; en sorte que, si JT -}- / . 0 est la roideur d’une corde autour d’un rouleau de 1 mètre do diamètre, et que

AT 4- JQ

Si? soit le diamètre de celui que l’on considère, — 4^ donnera

la mesure de cette roideur autour de ce dernier. Il ne reste donc pins qu’à avoir le tableau des valeurs do ilT et de / pour les cordes employées dans la pratique, lorsqu’elles sont pliées autour d’un rouleau de 1 mètre de diamètre, puisqu’il suffira de diviser la roideur (|ui en résulte par le diamètre du rouleau véritable autour duquel la corde peut être enroulée.

Toutefois, comme il est impossible de prévoir les diamètres de toutes les cordes, et qu’il y en a une infinité, Coulomb a encore donné la loi sur la roideur en vertu des diamètres des cordes. II

distingue 1° les cordes blanches, sèches ou mouillées j lescorde.s à demi usées, soit sèches, soit mouillées; S" les cordes goudronnées ; 4° enfin, les ficelles. La roideur des premières est à peu près proportionnelle au carré des diamètres de ces cordes; celle do la deuxième classe varie comme la racine cubique du carré des diamètres; celle de la troisième classe est proportionnelle an nombre des fils de caret de chaque corde {voyes plus loin dans la table). Quant à la roideur des ficelles, elle varie proportionnellement à leur diamètre.

DEUXIEME I-AIITIE.

üüs

lAULEAl lies }wtds nicessui les pour plier différentes cordes autour d'uH rouleau de de diamètre.

I. CORDES BiARCRES SÈCHES. — Itoicteur proportîonnette au carré du diamètre.

ÉOUILIBRE DES EOKŒS ET DWAMIOl'E.

»« V. coiots GODDRO.'i^Ées. — Roideur proportluimclle au nombre dei fdi de caret.

(Le* oordot M c<jmpo«eot urdiUAirrment de txui* toroni ou ourde* niuini grw««ra entreUcée* et \urdur«; Ie« loroa* «uot furuie* eus-uiâtne* d'un oertaiu miiubre do ticello» ou brini i{u'wu iiuinai'*' de caret.)

roiBt *t 1 ■Itbi bi BOB6CBVB BB COBDI,

BOIBBCB raOB 1 S. | BB CBABOB

OB VALBBB BB I. |

1 CAftKT.

OB TALBCa BI A*.

Obsemalions. — La roideur des ficelles ou cordes au-dessous de 1 cuiitiinèlre de diamètre s’obtient, selon les circunstances , des tableaux n°* I, II, 111 et IV, eu y réduisant les valeurs de K et de I, {iroportiuiincllenieiit à ces petits diamètres. — Les nicmes valeurs, dans le tableau n° V, sont proportionuelles au nombre des fils de caret de la corde. Deux applications sont nécessaires pour iiiontrer l'usage des tableaux ci-dessus.

On demande la résistance delà roideur d'unccorde blanche sèche, de 3 centimètres de diamètre, chargée d’un poids de 400 kilogr. , et s’enroulant sur un rouleau dont le diamètre est 0'°,I50. Je cherche dans le tableau n° 1 la corde qui se rapproche le plus delà proposée : son diamètre est de deux ccntiiuctrcs ; le rapport des doux diamè-

très est — = 1,5, ont I e carré donné par le tableau annexé et

qui est à deux colonnes, est 2,25. C’est par ce coefficient que je multiplie les valeurs 0,222460 et 0,0097382 de A' et de I, qui correspond au diamètre de 2 centimètres. Les produits sont 0**, 50

et 0^,0210. La roidenr de la corde serait par conséquent

' 0,50 -j- 400 X 0,0219 ou 9‘‘,26 si le rouleau était du 1™. Divisons alors cette résistance par 0™,50 qui est celui du rouleau proposé ; le quotient, 18‘‘,52, sera la roideur véritable de la corde.

La corde est supposée mouillée, à demi usée, de cinq centimètres de diamètre, et chargée de 2000 kilogr. On suppose, en outre, un diamètre de 0"',25 au rouleau. A cet cfi'ct nous aurons recours au tableau u" IV, et nous y choisirons d’abord la corde de 4 centimètres.

dont le diamètre est immédiatement iiiférienr à 5 centimètres. Le

rapport de ces deux diamètres étant ^ <*u 1,30 environ,

et la puissance — de ce rapport étant 1,483 d’après le tableau à

deux colonnes annexé, on multipliera par 1,483 les valeurs 0,889570 et 0,0194708. Les produits l'‘,33 et 0'‘, 03880 sont tels que la somme 1S32 + 1000 X 0,03886, ou 30^,18, serait la roideur de la corde sur un rouleau de 1 mètre. Divisant donc par le diamètre 0,35, le quotient 130'‘,73 sera la roideur demandée.

CAICDI. DES tOlU ST DI lECRS ItSISTASCIS.

136. Roue plane, eollicitée par deux forces situées dans son plan, et à égales distances du centre de rotsUion. — Une roulette plane ( fig. 303 ) tournant autour de son tourillon, peut être tirée en sens contraire par deux forces F et O, situées dans son plan et tangentes à sa circonférence, et elle donne lieu à des conditions d’équilibre qu’il importe de connaitre pour la pratique. Les circonstances seront d’ailleurs les mêmes lorsque ces forces ne seraient pas tangentes à cette circonférence ; il suffit que leurs direotions soient l’une et l’autre à des distances égales du centre : car on peut toujours se représenter le cercle tangent à ces deux droites, et raisonner sur ce nouveau cercle comme sur la roulette. Cela posé, ces deux forces appartenant à un même plan perpendiculaire à l’axe du mouvement, il faudra, pour l’équilibre, que la force F ou la paissance détruise à chaque instant l'effet de la résistance Q on que les quantités de travail élémentaires qu’elles développent soient égales. Ur, les points d’application et £ de ces forces appartenant à un même cercle, les chemins qu’ils décrivent simultanément seront égaux; et puisque les produits de ces chemins par les forces F et (J doivent être aussi égaux, il en sera de même de ces forces. Donc on aura F = Q.

Il y aurait effectivement équilibre dans le cas de l’égalité des

ÉyUILlBUE DES FORCES ET UYN.VM1()0E. 951

deux forces, si l’on faisait abstraction du frutteinent produit par le tourillon de la roulette sur sa crapaudine. Ce frottement existant, la puissance F n’aura pas seulement à vaincre le travail de In résistance Q ; elle aura encore à surmonter le travail occasionné par l’autre résistance. D’après cela, on voit que la roulette est soumise à trois forces, qui sont la paissance, la résistance et le frottement, et qu’elle doit être en équilibre sur sa crapaudine; ce qui ne peut avoir lieu (2° partie, 00) qu’autant que la résultante de ces trois forces passe par le tourillon et à son point de contact avec la crapaudine. Or, déjà la force du frottement s’y trouve naturellement appliquée; il devra donc en être de même à l’égard de la résultante des deux forces F et Q. Cette dernière, que nous nommerons N, n’est autre chose que la pression sur l’appui, et elle y produit le frottement f . N dont le bras de levier rest le rayon du tourillon. £n ap|>elant file rayon de la roulette, F . It, O . R et f . JV . r seront évidemment les moments de la puissance, de la résistance et du frotterneiit, dont le premier, favorable au mouvement, est égal à la somme des deux autres qui lui sont contraires. On aura, par conséquent,

F . R = O . fi f . N . r.

Ayant le niuroent F . R, on divisera par R, et ou en conclura l’effort F de la puissance ; mais cela suppose que l’on connaisse la pression N, laquelle est la résultante de la résistance donnée O et de la force F qu’on ne connaît pas encore. Il peut arriver deux cas ; ou que le rayon du tourillon r soit très-petit par rapport à R, ou qu’il lui soit comparable. Dans le premier cas, on remarquera que, dans la relation F. R=Q.R-\-r.f. N, l’erreur serait fortpetiteen ne déterminant qu’approximati veinent la valeur de ;V, et, par suite, Ae f . N, Car, en la multipliant par r, l’erreur à laquelle le produit r . f . N donnera lieu sera très-minime, comparativement à F . fl et à 0 . /{, vu la petite dimension du rayon du tourillon r.

Reste maintenant à expliquer comment on aura cotte valeur approchée. Si l’on fait d’abord abstraction du frottement, on a F -=z Q, Prolongeons ces deux forces jusqu’à ce qu’elles se rencontrent en M, et faisons attention que la résultante fV de deux forces égales est la diagonale Mo du losange Macb dont les côtés Ma et Mb sont égaux à Q. Cette diagonale devra d’ailleurs passer

par le centre C ila cercle. Joignez les rayons AC, BC et la corde AB; observez que les diagonales Mc ct'aA du losange sont perpendiculaires entre elles, que Md est la moitié de la diagonale ou N.

I.es triangles ACD et aMd sont d’ailleurs semblables : car ils ont chacun un angle droit, l'un en D et l’autre en d. Enfin, l’angle CAD ayant ses côtés perpendiculaires à ceux de l’angle aMd, ces deux angles sont égaux. On aura donc la proportion

Md ; Ma AD : AC,

Ma Y, AD O X AD Md = ^ ^ ,

et, par suite,

La pression TV sur le tourillon sera alors facile à calculer, puisque cela se borne à multiplier la résistance donnée Q par le rapport de la corde qui sous-tend l'arc compris entre les directions des forces, au rayon du cercle. Ou aura donc

FB = Q . B-^rf.

Veut-on avoir la quantité de travail que doit dépenser la puissance en un temps déterminé? S étant l’arc parcouru par son point d’application, FS sera cette quantité de travail, et si s, est le même arc décrit à l’unité de distance, on aura

S = Bs, ou FS = F . B$,.

11 suffira donc de multiplier la relation des moments par s,; ce qui donne

Cette nouvelle égalité indique que le travail de la puissance est égale à la somme du travqil de la résistauce, et de celui qui est consommé par le frottement. Arrivons au deuxième cas où le rayon du tourillon r est comparable au rayon B de la roulette. On fera

ÉQUlLinaE DES FORCES ET DYNAMIQL E. i2l>5

d'abord attention que lu pression Ncs\. la résullanlc des deux forces F et Q, et que F devant toujours être plus grand que O, la résultante est trop faible quand on substitue 0 à F. Appelons N, celte

dernière résultante, c’est-à-dire ^

il en sera de même de la valeur de F déduite de cette relation

Toutefois celte valeur F,, ainsi obtenue, est déjà plus grande que Q. Si donc je regarde maintenant la pression N comme la résultante de deux forces égales à F, et que je fusse

il est évident que cette nouvelle pression TV. sera trop forte et qu’il en sera do même de la valeur

Ainsi, puisque la véritable expression du la puissance est plus petite que F, et plus grande que F, , que, de plus, elle diffère très-|icu'do toutes deux, il sera permis de lu regarder comme égale a leur F F

moyenne ou à — ! — ^ -, ou bien à

iV. +

Celte inclhode, comme on voit, revient à considérer la pression comme une moyenne entre les deux résultantes de la puissance et de la résistance, 1° en supposnnt à la puissance la valeur qu’elle uuruit indépendamment do la considération du frottement, et à la résistance sa valeur donnée; 2° en supposant à la puissance une seconde valeur approchée, et à la résistance celle qu’elle devrait avoir pour faire équilibre à celte uouvelle puissance, si le frottement n’existait pas. Nous verrous tout à l’heure que cette méthode est générale.

127. dfé/»e roue soumise à deux forces siluées dans son plan, mais

DEUXIÈME l'AnXlE.

à de» dialance» inégales du centre. — La puissance agit ({uelquefuis sur une roue hors de son centre et à une distance difiërente de celle de la résistance; elle peut être, par exemple, appliquée à un corps fixé à la circonférence de la roue. C’est ainsi que, pour faire tourner une roue, un homme exerce son action contre une cheville, tandis que le poids, ou la résistance à vaincre, exerce la sienne sur le cercle lui-inème. Les raisonnements sont encore analogues aux précédents, quoique les forces F et 0 ( fig. 203 ) cessent ici d’ètre égales. Ainsi, en désignant par B la distance y/C de la première au centre cl par Jt' la distance CB de la deuxième, ces deux forces, qui sont d’ailleurs toujours situées dans le plan de la roue, et par conséquent dans un plan perpendicidaire à l’axe du mouvement, devront, pour qu’elles se fassent équilibre, détruire leur effet réciproque, si l’on fait abstraction du frottement : autrement dit, leurs quantités du travail seront égales. Or, s, représentant le chemin parcouru à l’unité de distance dans un même petit temps par rapport au centre, pour tous les rayons compris dans le plan de la roue, Ji», et B'», seront les chemins décrits par les points d’application A c\. B des forces F et Q, et l’on aura F . B», et Q . B"», pour leurs quantités de travail. Donc, on a

FBi, = OB'»,, ou FB = OB',

ou enfin r = — ,

et cela indépendamment de la considération du frottement. Si l’un veut en tenir compte, il est évident que son moment, plus celui de la résistance, doit être égal au moment de la puissance.

On fera voir encore que, puisque l’équilibre subsiste, il est indisl>ensable que la résultante de ces trois forces, on seulement celle de la ptiissance et de la résistance, passe par l’appui du tourillon eontre son palier; et on reconnaitrait en même temps que cette résultante N, des forces F et Qt n’est autre chose que la pression exercée contre les surfaces frottantes, que le frottement est f . JV, et qu’enfin f . N . r est son moment. Ainsi, on aura

FB = QB: f . N . r.

Avant d’aller plus loin, nous ferons remarquer que, puisque la résultante ^doit passer par le centre C de la roue, on peut la sup-

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

poser appliquée en ce point et l’y dccomposer en deux autres dont les directions sont parallèles aux forces /^et Q, et qui produiront CCS dernières, niais appliquées en C; ce qui montre qu’on peut imaginer ces forces transportées en un même point de l’axe, et les composer ensuite en une seule de laquelle résulte la pression sur l’axe.

Des difficultés analogues an cas précédent se représentent ici pour la détermination de N, attendu qu’on ne connaît pas à l’avance la ^ valeur Fde l’une de ses composantes. Hais on fera deux hypothèses, selon que le rayon du tourillon r est très-petit ou comparable à 1{. Dans le premier cas, on prendra pour F la valeur trop faible

Q . ; je dis trop faible parce que F doit vaincre à la fois le tra-

vail de la résistance et celui du frottement. On cherchera d’abord

la résultante N, des deux forces ^ et Q. Puis on aura une

nouvelle valeur do F, au moyen de la relation

FR = QR' -f fN.r,

ou de ^ ^ + /-^V, . 1.

J’appellerai /*, cette valeur très-approchée, dont on se contentera tant que r sera très-petit par rapport .à R. Hais si le rayon r est comparable à A ou à la distance y/ C, il faudra recourir à la dernière méthode indiquée précédemment. Ainsi, ayant déjà la première valeur approchée F,, on fera attention que F, est plus grand

que