F.B=.IÎ.O + «(^ ) + '■■/■■ A

Divisant par R, on trouvera

Mais cette valeur F, est trop faible pour la puissance, parce que dans l’estimation de la pression N, noua avions supposé cette puissance simplement égale à Q. Toutefois F, étant déjà plus grand que 0, il est évident que si nous prenons pour pression la résultante iV, de deux forces égales à F, et appliquées en C, la nouvelle valeur

sera à son tour trop forte. On voit donc clairement que comme d’ailleurs la véritable puissance ne diffère que de très-peu des quantités obtenues F, cl f,, elle sera suffisamment exprimée par la moyenne

^ I K -\-IQ r A-, +

Il arrive fréquemment dans la pratique que les deux forces, puissance et résistance, tirent les deux branches de la corde ( fig. 203 ) selon des directions parallèles et verticales. Telle est, par exemple, la circonstance de l’homme qui tire de l’eau d’un puits. Non-seulement il tire verticalement sur une poulie, mais il en est do même à l’égard du sceau qui apporte Tcaii. Dans ce cas il y a une simplification notable, en ce que la pression N exercée sur les tourillons de la poulie, et qui est la résultante des forces parallèles F et Q, devient ici égale à leur somme/' -}- Q. Si d’ailleurs la poulie est très-pesante, ou que, les deux forces étant peu considérables, le poids m de cette poulie leur devienne comparable, ce sera une Iroi.sièmc force qu’il faudra comprendre dans les deux autres pour l’évaluation de la pression sur le tourillon. On aura donc

yV,== m, . ou N = F O — «i.

25S DEUXIÈNE PARTIE.

»cloii que les eordüiis seront tires l’un et l’aulre do haut en bas ou (le bas en haut. Il en serait de incracdu cas plus général on les deux forces F el O ne seraient plus parallèles, et où l’on aurait à tenir couipledupoidsde la poulie; la pression N, à laquelle le frottement sur le tourillon est toujours proportionnel, serait encore la résultante des trois forces F, Q et m que l’on combinerait deux à deux à l’aide du principe du parallélogramme.

Pour mieux faire apprécier l’inllueiice du frottement, et de la roideur des cordes dans la poulie, nous appliquerons un exemple au cas particulier d’une puulie à deux cordons parallèles. On aura alors

et F=0+-^ÿ^+f{F+0+m)^.

Supposons 0 = 1000 kilogr., li ou le rayon do la circonférence à laquelle les deux forces sont tangentes = 0,20, r ou le rayon du

tourillon = 0’”,02,/'le coefficient du frottement pour du fer

sur du cuivre sans graissage, et enBn imaginons que la corde soit une corde blanche sèche dont le diamètre soit de 2 centimètres. Des trois termes de la yalciir de F, le premier Q est la résistance 1000 kilogr. qui serait aussi celle de lu puissance abstraction

faite des autres résistances. Le deuxième est relatif à la

roideur de la corde ; les valeurs de K et de I, d’après le tableau 11° 1 du paragraphe 12S, sunt pour la corde de 2 centimètres, 0^,2225 et 0'^,00974. On a d’ailleurs R = 0°*,20. Donc, on aura , pour l’expression numérique de la roideur de la corde,

= 24'“, 906 = 2B^ environ.

Quant à la résistance du frottement /■( F -}- m nous

prendrons pour F la valeur approchée 1000^, qu’elle aurait sans le frottement, et pour wi 20* qu’on suppose être le poids de la poulie;

ÉyUlLIBUE DES FORCES ET DYNAMH,)L'E. -‘T.l

et IIUU9 auront

/If + » + e)-^ i ( 1000 + JO + iooo)5|î

-jxsojox-iV—

On aura dune, en définitive,

Sans les résistanees, celte valeur de F eût été de 1000 kilogr.

Si au lieu de li = 0,20, nous avions B = 0,1, la raideur de la corde deviendrait 80 kilogr., et le frottement 80'*, 56 , en sorte que la puissance serait augmentée de 100'* sur 1000** par suite de ces résistances. Or, le travail consiste ici dans le produit du poids Q ou de 1000'* et du chemin parcouru. Ce dernier chemin étant aussi celui delà puissance, on reconnaîtra facilement que son travail, par l’effet des résistances tant de la roideur de la corde que du frottement, est augmenté d’un vingtième, ou d’un dixième, selon que le rayon est de 2 décimètres ou de 1 décimètre ; fractions qui ne sont point à négliger.

129. Équilibre de la poulie mobile, — Jusqu’ici l’axe de la poulie a été supposé demeurer immobile ou n’avoir aucun mouvement du transport -, et cependant les poulies peuvent être mobiles, ou soutenues par leur gorge sur une corde dont un bout est tiré par une puissance et dont l’autre est attaché à un crochet fixe en Q ( fig. 206 ). Cette même poulie est, en outre, embrassée par une chape ou espèce de fourche qui porte les tourillons de la poulie, et dont la queue se termine en un crochet destiné à recevoir le poids qu’on veut soulever. Ce système est précisément celui des réverbères des rues. De quelque manière que la puissance F soit appliquée, son objet est d’élever un poids P qui presse immédiatement l’essieu de la poulie sur sa chape , et qui fait naitre au point fixe Q une tension telle que la résultante de cette dernière composée avec la puissance F détruise le poids Pou lui soit égale et immédiatement contraire; ce qui exige que les deux branches delà corde de suspension suffisamment prolongées se rencontrent en un même point O snr la verticale de P. Donc, réciproquement, si on regarde le

HECXIÈME PARTIE.

jiuids T* comme immédintcmcnt appliqué en O cl qu’uii le dëcomjioRO en dent .lulrcs forces Oael Ob, dirigées .suivant les tangentes au cercle de la ponlic, l’une sera la tension Q et l’autre la force F. Or, l’équilibre serait ainsi établi indépendamment du frottement et des autres résistances ; toutefois cette décomposition donne dqà une première valeur approchée de la puissance F.

Pour avoir lu véritable, il faut observer qu’elle doit vaincre nonsculenient la tension 0 de l’autre branche de corde, mais encore le frottement qui s’exerce au tourillon et qui est proportionnel au poids à soulever P; il faudra également tenir compte de la raideur de la corde en B, ou du c6lé de la tension résistante Q. Ainsi , le moment de la puissance P sera égal à celui de 0 augmenté de ceux delà roideuret du frottement. Donc, on aura

F.R==O.B + ^f/^ . R + rf.P.

Quant à la valeur de 0, celle force est la composante de P décomposée suivant un losange, attendu que la verticale de ce poids passe par le centre de la poulie cl partage l’angle des directions de /' cl é>en parties égales; cl l’on ferait voir, comme au n° 126, qu’on aura

Donc, en définitive, on parviendra au moment F . R de lu puissance dont le quotient qui résulte de la division par R donne la valeur cherchée do F.

130. Équilibre des moufles. — On nomme moufle le système de plusieurs genres de poulies portées sur une chape commune ( fig. 207 ). Quand on fait usage de cette iiiunhine , elle doit se composer de deux moufles , dont l’une est fixe, cl l’autre mohile; une corde tirée par une puissance F embrasse tour à tour les poulies d’une chape à l’autre; enfin la inonile mobile porte le fardeau R qu’on veut élever. En observant le jeu de cette machine , on reconiiait facilement que la longueur du cordon sur lequel est uppliquée la puissance F augmente de la somme de tous les raccourcissements des autres cordons partiels, et que ces derniers sont, chacun, égaux à la montée du poids R. Par conséquent, s’il y a quatre cor-

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. ii\

lions en sus de belui de la puissance, le chemin fMircoiirii par la résistance sera le quart de celui que décrit celte dernière ; il en sera le sixième, si le nombre des cordons, outre celui de F, est porte à six. L’équilibre est alors soumis à une condition bien simple, quand nn fait abstraction des frottements; car le travail de la puissance F, ou son produit par le chemin qu’elle parcourt, étant égal au travail de la résistance R, c’est-à-dire à son produit par la hauteur dont elle moule, cela revient à dire que la puissance serait le quart ou le sixième de la résistance, selon que le nombre des cordons qui soulèvent le poids est île quatre ou de six. ^

Mais, si l’on veut tenir compte des frottements, il faut marcher du poulie en poulie, ainsi qu’il suit. Pour la poulie n° I, la tension <, du dernier cordon est la résistance, tandis que la tension du cordon adjacent en est la puissance. Observant en outre que les cordons sont parallèles, et appelant R„ r„f, K, /, le rayon de cette poulie, celui de son boulon, le coefficient du frottement, et les coefficients relatifs à la roideur de la corde, on aura, pour l’équilibre de la poulie n° I,

relation qui donnera t, au moyen de Quant à l’équilibre de la poulie n° 2, où devient la résistance, tandis que la puissance est la tension/, du troisième cordon, on aura

ce qui donnera <, au moyen de /, un de /,. La poulie n° 3 donne lieu à cette autre relation

Enfin, de la poulie n° 4, en remarquant que f, n’est autre chose que la puissance cherchée F, on obtient

F . fî, = ü, -f r J (/. -f F) ;

de sorte qu’en dernière analytoun arrive à la puissance F au moyen

TRIITI os mtC, ISO. 16

(le/, qu'un iiecuDii.iilpns.Mnisfaisims atlenliuii que tous les cunluiis smil ]>nr.'illclrs , cl (jiic les tensions /,,/,, I, el /, , qui supporteiil le poids /?, peuvent être regardées cumine des cumpos.antes de celle résistance, et cette dernière comme égale à leur somme. On aura donc

Celle méthode ne laisse pas que d’être asseï pénible; mais on peut la sinqdifier par une considération suffisamment eiaote. Ko effet, si les tensions /,, /,, /, el /, servent à soutenir le poids H, y compris celui des chapes et des poulies, il est évident que sans le frottement et la roideur des cordes, elles seraient égales entre elles.

On prendra dune /, comme étant égal a —, et Ton cheminera de

poulie en poulie puur en déduire des valeurs correspondantes pour

/,, /,, /,, lesquelles seront plus grandes que /, ou que --p en sorte

que leur somme surpassera R. Hais, comme cela ne saurait être, on en conclut que ces tensions sont trop fortes, ,

Maintenant, si l’un suppose que les véritables tensions soient proportionnelles à celles qui viennent d’être obtenues et dont la somme est R' R, on aura de nouvelles valeurs approchées des premières en partageant leur véritable somme qui est R en parties proportionnelles aux deuxièmes; ce à quoi l’on parviendra en miil-

tipliant celles-ci par la valeur de /„ qui en résultera, sera

X 17 ou Tori O" recommencera les e.'ilculs que 1 ou pour- 4 /• 4/i

suivra jusqu'à ; enfin, li l’aide de cette dernière considérée comme résist.-iiicesur la poulie ii°4, on tirera une valeur plus approchée de la puissance

Pour mieux faire comprendre l’esprit de cette méthode, nous l’appliquerons à un exemple particulier. Les rayons des poulies II” 1, 2, 3 et 4, c’est-à-dire R„ R„ R, et R^, sont de 0"*,08, O™, 12, 0'",16el 0™, 20. Les rayons r„ r,, r,, r,, de leurs boulons, sont tous de 0'",02. lui corde, qui passe dans les gorges des poulies, est une corde blanche sèche cl a 0",02 de diamètre, de sorte que les coefficients K cl / relatifs à sa roideur sont encore, comme au n" 128, 0^,2225 et 0'^,00974. Enfin, nous supposerons que le coefficient /

ÉQUILinRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. âi.->

est j ou celui du frotteiuent de fer sur cuivre sans graissage, et que le poids à soulever, y compris celui des poulies, est 1200 kilogr., ou

que 71= 1200 kilogr. Sans le frotlcuient ou aurait /, = — —

fpnrce que le nombre des cordons qui supportent ensemble le fardeau est de i), ou t, = 300'“. Faisant celte hypothèse dans la rela-

tion de la poulie n“*

K + It,

un,

imaginant que la valeur de t, qui entre dans le terme du frottement est égale d’abord à 300'“ comme f, , on aura I, = 339'“. Passant à la deuxième poulie et eonsidérant la résistance t, comme < gale à 330*“, on trouvera/, =368'“. Passant encore à la troisième poulie, on tirera de la valeur do /, = 368 celle de = 391^. La somme “1~ *1 ■{“ O** 1398^, est évidemment plus forte que le

poids total 1200'“. Pour avoir des valeurs plus approchées, on mul-

tipliera chaque tension préeédente par le rapport 0,86 ; ce qui donnera

))our 0,88 X 300, (

ou pa r

Afin d’avoir la valeur de Fou de la puissance, un posera l’équation

et on substituera à la valeur 336 kilogr. ; ce <|ui donnera

= SSC* 9'“ -J- 8'“ environ = 353'“.

Or, sans les frottements et la roideur des cordes la puissance n’eût été que de 300 kilogr. ; ces dernières résistances l’augmentent

donc de 53 kilogr. ou de -^environ; et, comme la quantité de

tnivail de la puissance est proportionnelle à son intensité, on voit que le moteur doit dépenser |>our vaincre la roideur et le frutte-

ment un sixième de travail en sus de ee qu’il lui faudrait si ces résistanees n’existaient pas.

131. Equilibre des rouet en général. — Les cunditinus d’équilibre n'utrrcnt pas plus de difficultés à l’égard de roues queleonques montées sur un meme arbre qui repose lui-mèine sur deux tourillons; ce qu’il importe c’est que les forces soient appliquées dans le pl.nn de ces roues ou dans des plans perpendiculaires à l'axe; antreinent les composantes de ces forces, |iarallelcs <i l’axe, pousseraient celui-ci contre les épaulcmenls des coussinets et y produiraient un frottement (2” partie, 120) dont le bras de levier peut être considérable.

Toutefois il y a des cas où la décomposition est nécessaire; cette circonstance arrive pour les roues d’angles. On cherchera alors l’effort qui pousse dans la longueur de l’arbre , ainsi que le travail des frottements qui s’exercent aux épaulements, et ce travail sera compris parmi ceux que doit vaincre le travail de la puissance. Si la résistance utile est un poids Q ( hg. 208 ) suspendu à une corde qui s’enroule autour de l’arbre, la puissance /''appliquée taiigentiellement à la roue tirera de bas en haut et de haut en bas, selon que son point d’apfilicatiun sera, par rapport au treuil , du niéme côte ou d’un côté différent que le point d'a|iplic.ition de la résistance. Quelquefois la puissance agit au bout d'un levier, cuinnie dans ces mécanismes appelés Ao^uets, à l'aide desquels on charge les tonneaux devin sur les voitures. Tantôt encore la puissance agit sur des roues à chevilles , sur des roues à marcher, sur des cabestans, sur des roues dentées, sur des roues à cordes sans fin, etc. ; le tour prend toutes sortes de dispositions différentes , mais qui rentrent les unes dans les autres, quant aux conditions de l’équilibre.

Quoi qu’il en soit, la force F étant appliquée tangentiellcmcnt à un cercle de rayon R ( Gg. 208 ), sou plan perpendiculaire à Taxe du tour coupera l’arbre suivant un autre cercle égal à celui qui correspond à In section du plan qui contient la résistance Q. Si E est le point d’application de celle résistance , nous pouvons imaginer par ce point cl par l’axe un nouveau plan qui rencontre le petit cercle contenu dans le plan de la force F, en un point £” situé de l’autre côté du treuil et symétrique par rapport au point E. Appliquons au point E' deux forces et Q„ égales cl parallèles à 0, et <|iii soient directement opposées. Ces deux forces qui s’entre-dé-

ÉQUiUBRE DES FORCES ET DYNAMIOlJE. S4!>

tniisent no Fatigueront pas la roue, et ne sauront en rien altérer le mouvement. De plus, la Force Q, et la Force 0 se composeront en une seule S, rg-alc au double de l’une d’elles ou à iQ et qui passera par l’axe, en sorte qu’elle ne pourra Faire aucun travail. L’équilibre est donc réduit à celui des deux Forces F et Q', égale à Q, qui sont ainsi ramenées dans un seul plan perpendiculaire à l’axe du tour. En suivant la marclic du numéro 127, on verra que, sans la considération du Frottement, les travaux de ces Forces doivent être égaux , ou qu'en appelant s, le petit an; décrit par le tour à l’unité de distance, et S, Jf les distances des Forces F et Q' ou Q à l’axe, un a

^ FRi, = OR'tit ou FR — QR'.

L’équilibre exigeant que la résultante des Forces/^ et Q' ou Q pa.sse par l’axe ou que l'on reproduise ces Forces en C ( fig. 209 )< on aura alors les Forces F, Q et S, toutes trois appliquées à l’axe, et qui pourront être, chacune, décoraposces en deux Forces parallèles appliquées aux centres des tourillons A et B. De cette manière on aura deux groiqies de Forces dont les unes concourent au premier tourillon et les autres nu second. Appelons iV, la résultante des unes et N, la résultante des autres, f . N, sera le Frottement exercé sur le tourillon A,e\ f . N, le Frottement exercé sur le tourillon B. Leursqunntilés de travail seront d’ailleurs rs,f.N, et rs,f. A',, et devront être vaincues par le travail de la puissance F, en outre du travail de la résistance Q. Donc, on a

FRs, = OR's, -f- r», /yV, -j- rs. /" . yV. , ou, en divisant par s„

FR = QR' + rfN. + rf^,.

Ces calculs de la décomposition des Forces F, Q' et S ou iQ, en couples de composantes parallèles appliquées aux tourillons ^ et Bt prouvent que, lorsque ceux-ci ont des rayons égaux r, lu nsullat est le même que celui qui est relaliF à un seul tourillon pressé par la résultante du toutes les Forces extérieures données, et transportées en un niénie point; on comprendra d’ailleurs parmi ces Furces le poids de tout le systèiuc du tour, et, en désignant par A' celle ré-

2JC IlKÜXitMF, l'AKTIK.

sullante totale, on aura

F . R = OF' + r . f . N.

(!c qu’il C!it essentiel de retenir de* raisonneinenU qui viei iieut d’clrc exposés, c’est que dans le calcul on peut agir comme li les forces étaient dans un seul plan, quelle que soit la distance de ;eux qui les contiennent en rc.slité , et calculer le frottement comn ss’il n’y avait qu’un seul tourillon. Quand l’axe des roues est vertic il, le poids P de ces roues porte sur le pivot inférieur qui fait fon ition de tourillon, et produit sur le fond de la crapaudine un frotte neiit /■pdonlle bras de levier est (2“ partie, 120)deux tiers du ray< n de ce pivot que j'appellerai r. On comprendra donc parmi lesmonents

des résistances le moment //’r . Le reste rentrera dans la cas

général que nous avons détaillé.

132. Roues combinéet. — Les roues dans les machines sont souvent combinas entre elles de manière à se transmettre le moiiveinent selon des conditions données. Ou connaît trois moyens principaux pour CCS conibinaisons dans le cas de deux roues à axes parallèles : 1“ l’emploi de cordes, de courroies ou de chaînes sans fin ; 2" le contact naturel et le roulement des couronnes ou tambours de ces roues; 3° l’engrenage de dents ou de courbes en saillies fixées aux couronnes. Dans ces circonstances U‘s puissances, en transmettant leur action d’une pièce à l’autre , font naitro des frottements qu’il est utile de connaître, parce qu’ils ne sauraient être toujours négligeables.

133. Résùtancos dues aux tensions des courroies. — Lorsque deux tours se communiquent entre eux par une corde ou courroie sans fin (fig. 210), la puissance F est appliquée à l’un d’eux ; son action se transmet par une des branches de la corde à l'autre tour sur le- ([uel la résistance opère. En désignant par T la tension do la branche de cordc qui lire sur le deuxième tour et par t la tension de l’autre branche qui cède, et en considérant ce qui se passe sur ce dernier tour, on reconnaît qu’il ne tourne qu’en vertu de la différence T — t des tensions, et qu’il est ainsi sollicité d’une part par la puissance T — t et de l’autre [wr la résistance Q. Faisant d’abord abstraction du l'rottcment , on trouvera celle différence T — t par l’égalité de sa quantité de travail à celle de Q. De celle nia-

DigilizedbyC':)iijtl(

ÉQÜiMBRE DES FORCES ET DYNAMIQliK.

l'iicre on n’obtient, et d’une manière ajiprochée, que la difiërence (les tensions, et non les tensions individuelles sur chaque branche.

On remarquera toutefois que quand le système est en mouvement, la branche qui entraine le tour auquel la résistance est appliquée, est plus tendue que celle qui cède, et que les tensions .sont les mêmes (|uand le système est au repos; do sorte qu’il est permis de supposer que l’une s’auj^mente de ce dont l’autre diminue, ou que In première a sur la tension primitive un excès précisément égal à celui de la tension primitive sur la seconde. Donc, la différence entre les tensions T et / est double de cet excès, et si l’on appelle celui-ci Jï , la différence approchée T — t déjà obtenue précédemment pourra être représentée par 2IÏ. Si nous désignons par r la tension avec laquelle la corde ou la courroie a été primitivement bandée, nous aurons

7’ = r JT, et < = r — A'.

D’après cela, un voit que si l’on connaissait T, on en déduirait Teïl; puis regardant la pression exercée comme la résultante JV des trois forces T, t et Q, on égalerait de nouveau le travail de T — t à celui de O augmenté du travail absorbé par le frottement du deuxième tour sur son tourillon pruportionuel à la pression ainsi calculée.

On considérerait de mémo le travail de T — (ainsi obtenu comme le travail à vaincre sur le premier tour par la puissaucc F, laquelle aurait également a vaincre le travail consommé par le frottement autour de- son tourillon; ce frottement serait d’ailleurs lui-mème proportionnel à la résultante dos forces F, T et t; et l’on verra enfin que le travail de cette puissance est égal au travail de 0 augmenté des quantités de travail absorbées par les frottements sur l’un et l’autre tourillon. Mais cette connaissance dépend évidemment de celle de la tension primitive 7*. Or, cette tension^est arbitraire; il suffit qu’elle suit seulement capable d’entrainer le deuxième tour dans le mouvement imprimé par le premier à la corde. Il est vrai qu’en augmentant outre mesure celte tension primitive, ce serait aussi augmenter le frottement des tourillons (|ui croit avec cette dernière.

En général, la tension primitive do la courroie doit ëlrc telle que le deuxième tour ne puisse glisser sous l’action de la résistance O, ou (jue celte dernière soit moindre que le frotleincnt de la corde <ju courroie sur ce même tour. Soit K' le rayon de l’arbre sur lequel

lu résisluiice Q .‘«git , et /?,' le rayon du tambour qu’embrasse la