ü DEUMt.MF, PAItTlE
lion Hu frollemenl (3* partie, 103), dans le rapport de la hauteur à la base de ce plan. Donc, on aura
f" : O :: k : Hrr,
cl, par conséquent, , 3rr . F = Q . h ;
ou bien, à cause de Stc . F = ^xli . F, on trouvera encore
3rfl. F=Q . *,
relation qui cunduil à la nicmc conclusion que tout à l'heure.
(icltc manière d’envisager le inouvciuenl de la vis s’applique Irès-facileinenl nu cas où l’on veut faire entrer en cotisidéralion les * frottements. En effet, on a vu que, dans le cas d’un plan incliné , tonte force horizontale F capable d’y élever un poids (J, et de vaincre en même temps la résistance du frollenient , était donnée
[i’’ partie, 108) par la formule F = ^ f • ^ Jious fe-
' ‘ UC — f . oc
rons remarquer que, dans celle formule, le cticfliciciil /'est le rapport du fruttoincnl à la pression, relatif aux surfaces des substances en contact, c’est-à-dire ici de la vis et de son i^rou, que SC et AC ( fig. 317 ) repré.scntent des fractions qui expriment le ra|>port de la hauteur et do In base du plan n sa longueur, que ac bc sont des fractions cx[iriinanl les rapports des composantes parallèles et perpendiculaires au plan, à la force horizontale motrice /"prise pour unité, et qu’enfin le terme /■. fcc dans le dénominateur est pris iiégalivciuent confurmement à l’observation qui a été faite au raèinen” (108). Or, le triangle abc, qui représente lu force motrice «fc prise po\ir unité et ses deux cuinposanles ac et fcc, est semblable au triangle ABC, parce que l'angle cab est égal a l’angle BAC cl l’angle cfco égal à l’angle CBA . Donc, la fraction cfc .sera égale à la fraction CB, et la fraction ca a la fraction CA. Faisant cette substitution dans F, nous aurons
0{BC + f.AC)
CA —f.JiC '
Il est évident encore que les longueurs BC cl AC sont toutes deux proportionnelles an pas A et à la circonférence 3rr de l’hélice moyenne dont l’inclinaison est celle du plan incliné que l’oti a substitué à la suifnce du blet. Oela résulte ininiérliatement de la
ÉQUIIJBRE DES FOllCES ET DYNAMIQUE. 2SS
propriété qu’a celle hélice, qiia ses éléments en prujcclion'horizontale et en projection verticale sont toujours dans un rapport constant. On pourra donc mettre h et 2vr à la place de BC et de AC :cdx cela revient à multiplier les deux termes de la fraction qui entre dans l’expression de F, par le rapport commun des deux dernières grandeurs aux premières. On aura donc évidemment
g (A + /. 2Tr)
2rr — / . 4 ’
et, par suite.
1 trr—fh'
2rr
Blnison a toujours 2îrfî . F= 2.Tr . F, donc on aura, en définitive.
’irr — fh'
relation qui nous apprend que la quantité de travail 2t/I . Fdu la puissance est plus grande que la quantité de travail g . 4de la résistance, et qu’elle est augmentée de toute celle qu’absorlie le
frottement, c’est-à-dire de
Ixr—fh •
130. Dimensions à donner à la vis à filets carrés; influence de son frottement. — Si l’on fait attention que dans l’expression
A* I 4jr*f** ,
f . g *2 — quantité de travail absorbée par le frotte-
ment de la vis à filets carrés, le numérateur croit plus rapidement que le dénominateur quand on fait augmenter 2xr, c’esl-à-<lire la circonférence ou le rayon do l'hélice moyenne, on rcconnait sans peine que ce rayon influe pour beaucoup à l’égard de ce travail nuisible. C’est pourquoi l’on doit tâcher do le diminuer le plus IHissible dans chaque cas, sans rien 61er à la solidité de la vis. Soit 4o ( fig. 218 ) le rayon de l'hélice intérieure ou du noyau, ao celui de l'hélice extérieure ; on donne ordinairement à la saillie
■iaa DEUXIÈME PARTIE.
ab de.^ filets une longueur égale » son épaisseur ad mesurée dans le sens de l’axe, et pour la facilité de rexécution on fait les vides égaux aux pleins, c’esl-à-dire que ad = ad'. D’après cela, s’il n’y a qu’un filel de vis, ou si les profils abcd, a'b'c'd’ cuiisceutifs appartiennent au même filet , le pas aa’ sera égal à 2ad — 2aê : autrement dit, la saillie du filet est égale à la moitié du pas. S’il y avait deux filets distincts, c’est-à-dire, si a', a" appartiennent au même filet, le pas a' a" serait double du précédent ou iab. La saillie serait alors lu quart du pas, etc. On emploie ainsi plusieurs filets de vis, afin de pouvoir faire varier le pas sans changer la grosseur du noyau qui a des dimensions détermini^s, ainsi qn’oii va le voir.
Les vis à filets carrés étant ordinairement en fer, et les écrous en cuivre, le noyau et les filets doivent avoir une solidité snlfisante pour ne pas se déformer sous lu poids O de la charge qui les sollicite parallèlement à l’axe. Or, la surface de rupture du noyau étant T . bo, et chaque millimètre carré de cette surface pouvant porter inoyenncmeiil sans perdre son élasticité, 0 kilogr. environ ; ou aura 6t . bo, — O; d’où l’on tirera la valeur de bo en millimètres. Admettant ensuite que l'écrou nu doit pas embrasser moins de trois filets successifs afin que l’engrènement suit convenable et qu’il s’usc moins vile, son épaisseur sera égale à 6ad ou Qab, et la surface de rupture des filets le long du noyau sera . bo , à
cause qu’il y a autant de plein que de vide. Comme la charge pourrait agir tout entière sur les extrémités a, a' des filets et qu’elle aurait ainsi un bras de levier double de celui de la surface do rupture ch, c'b’ de CCS filets, ou ne devra prendre que la moitié de la quanlité ci-dessus , c’est-à-dire 3a6 . t . ho ; la résistance de la matière (cuivre et étain) qui compose l’écrou, diflerant peu de celle du fer, on devra égaler la quantité ci-dessus à la surfaces- . ho, de rupture du noyau ; d’où l’un tirera la saillie
ah = ^ bo environ.
tJ
Il est évident que ces dimensions ne sont pas tellement absolues qu'on ne puisse aucunement s’en écarter ; seulement elles nous paraissent les plus convenables en général relativement aux hypothèses qui ont été faites. Très-certainement l’usure et le frottement
ÉQUILIBRE DES FORCES ET DINAMIQDE. 2!57
seraient moindres en augmentant la hauteur de l’écrou, cl en fai- -sant la saillie a& plus petite que ad, par exemple moitié. Quoi qu’il en soit, en reprenant nos premières hypothèses, le rayon bo ou celui de l’hélice intérieure étant de 3ot, le rayon de l’hélice extérieure sera 4oi,' donc le rayon moyen r sera égal à leur demi-somme, ou
à -jr ab, on enfin à A, à cause que la saillie ab doit être moitié du 3 4 ^
pas A. Faisant cette substitution dans le travail consommé sur la
vis par le frottement au bout d’une révolution complète, ou dans
f 0 — 77— J 0“ trouve, toute réducliou faite , et en rempla-
ZfT — J h
22 122/. Oh
çanl , par , x \ — f~'
Supposons l'écrou en cuivre et la vis en fer nous pourrons prendre (deuxième tableau du n° 106 ci-dessus) /= 0,17, ce qui se rapporte au cas où les surfaces ont longtemps frotté et se sont polies • on aura donc, pour la quantité de travail absorbée,
