Corp» de forme quelconque. — Lorsqu’un corps est terminé

par des surfaces courbes, ou une aire plane par une courbe quelconque, il faut décomposer le corps ou la surface en petites parties de forme analogue aux précédentes, calculer chaque moment partiel par rapport .à un plan nu à une droite, et divi.scr la somme de ees moments par le volume, total ou par la surface que l’on considère.S'il s’agit, par exemple, d’obtenir le centre de gravité de Faire plane quelconque CabDde ( fig. 37 ) , tirons dans son plan une droite quelconque AB, et partageons cette aire en une suite de tranches très-minces et perpendiculaires à cette droite. La tranche abcd pburra être regardée comme un rectangle dont le centre de gravité g est à son milieu. Son moment partiel sera égal â abdc 9' étant la longueur de la perpendiculaire abaissée de

• ce centre de gravité, ou une moyenne entre les distances af et cf des extrémités de la tranche à la droite Prenant ensuite la somme de tous les momenis partiels trouvés de la niéme manière, on la divisera par Faire totale mesurée d’après la méthode de ThomasSimpson,et le quotient donnera la distance du centre de gravité cherché à la droitc^Æ. On recommencera l’opération par rapport à une autre droite, pour que la position de ce centre de gravité suit complètement arrêtée.

43. Utilité du centre de gravité pour la mesure de certains volumes. — La considération du centre de gravité est très-utile pour la cubaturede certains volumes, fort dilTicilesà évaluer par les méthodes ordinaires. Tels sont la vis, Féchiffre d’un escalier. Telle est encore la surface de révolution engendrée par le mouvement d’une eourbe plane CDE ( Bg. 38 ) autour d’une droite v/i? situé danssun plan. Supposez celle courbe dticoupée en petites parties rectangulaires dont les côtés soient perpendiculaires et [larallèles à l’axe. Chaque rectangle engendrera autour de l’axe un petit anneau partiel, et lu somme de tous ces anneaux réunis dounora le volume total de la surface de la révolution. Soit r la distance depuis Faxe jusqu’au centre d’un petit rectangle quelconque. On sait que le volume d’un anneau dont le proBI est un rectangle a pour mesure Faire a de ce rectangle multipliée par la circonférence moyenne de l’anneau,

9G DEIXIÈAIE PARTIE.

laquelle est ici 2*r (t al le rapport ” de la circonférence au diamètre) : car la base circulaire d’un tel anneau étant développée en limite droite forme un trapèze dont la longueur moyenne est précisément celle de la circonférence muyenne 2rr développée. Donc, enHn, le volume do l’anneau élémentaire engendré par le rectangle que l’on considère est exprimé par le produit 2»-rXo> ou iiry^ar. Les anneaux qu’engendrent d’autres parties rectangulaires a', a",.... ont de même pour expression de leurs volumes respectifs, X oV, 2tX“"'‘"' Parlanl lo volume total de la surface de la révolution sera égal à

2a- (ar-}-oV'-{-o"r"-J- ).

Or, le produit ra étant le moment d’un élément plan par rapport A l’axe, la somme or-{-oV'-|-a"r" sera égale au moment de l’aire totale yi de la courbe, ou au produit de cette aire et de la distance li de son centre de gravité à l'axe. Par conséquent le volume tot.nl devient irR X oe qui indique que le volume d’une surface de révolution est donné par le produit de l’aire de sa courbe génératrice et de la circonférence qu’a décrite le centre de gravité de cette aire. Si, au lieu d’une circonférence, le centre de gravité n’en décrivait que le dixième, le quinzième, etc.-, le volume engendré serait réduit au dixiéme, nu quinzième de celui qui aurait lieu pour une circonférence complète; mais ce volume partiel n’en serait pas moins donné par le produit de Taire totale de la courbe et du chemin qu’a parcouru son centre de gravité. — Cette dernière remarque s’a]iplique aux corps à pruRl constant, aux échiffres d’escalier, toutes les fois que ceproKI demeure perpendiculaire à une certaine ligne droite ou courbe dans toutes ces positions. Car, chaque portion du corps compris entre deux profils voisins est une véritable surface de révolution qui a le profil pour aire génératrice et dont Taxe est «à Tintcrsection des deux profils, en sorte que ce volume partiel sera donné par le produit du profil et du petit chemin qu’n décrit son centre de gravité dans Tintcrvalle des deux positions. D’où l’on voit que le volume total se compose du produit de Taire du profil multiplié par la somme de tous les petits chemins on par le chemin total que le centre de gravité de Tairea parcouru. Veuton avoir le volume d’un échiffre d’escalier contourné en hélice? on calculera Taire de la section perpendiculaire à l’hélice moyenne ( fig. 89 ), c’est-à-dire, à Thélice engendrée parle centre de gro-

K(JOI[,IBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 97

vile de In section verticale et rect.'ingulaire de l’échiffre. Puis on multipliera l’aire de la section par la longueur de cette hélice, et ce produit sera le volume cherché. — LeS déblais d’un fossé en excavation sont ordinairement des volumes dont les profils sont constants. On les évalue en multipliant l’aire du profil constant par le chemin de son centre de gravité.

MOCVIXEST DK TRAKSFOIT PAKALltlE d’cK CORPS OU d’dTI STSTIRE DE CORPS.

44. Force totale de l’inertie d'un corps ou d’un système de corps dans un mouvement de transport parallèle. — Le mouvement d’un corps ou d’un système de corps est dit de transport parallèle, lorsque tous ses points ou toutes ses parties décrivent simultanément et dans un très-petit temps des chemins égaux et parallèles. Appelons V le degré de vitesse commun imprimé à toutes les parties par les forces motrices pendant le temps t. La force d’inertie f de Tune

d’elles dont le poids est p sera mesurée par ~ X Quant à la

force d’inertie/'^ d’une autre partie du poids p', elle sera ~X "j»

attendu que ledegré de vitesse imprimé à cette dernière est le même que celui qui a été imprimé à la première pendant le temps t. De pins, comme chaque force d’inertie partielle est située dans la direction du mouvement propre de chaque partie et que tous ces mouvements sont eux-mêmes parallèles, on voit que toutes les forces d’inertie partielles f f, . , . , seront aussi parallèles, et que leur résultante, c’est-à-dire la force d’inertie totale F du corps ou du système, sera égale à la somme f ou à

J ^ — ' ' * ^ ; leurs poids /> + />' -f- -J- ••• • lo

poids total P, et — la masse totale M. Donc, enfin, on aura

TRAITÛ DP. SÉC. ISD. ï

Reste à trooTer le point d’application de la force P, Or, il faut remarquer qne les forces d’inertie partielles f, f , f\ .... seront • proportionnelles aux poids p, p , p", .... des parties auxquelles elles sont appliquées, et qii’ainsi le point d’application de la résultante F devra se confondre avec le centre d’application des poids p, p', p”, .... c’est-à-dire aven le centre de gravité du poids entier du système. Donc, la force totale d’inertie d’un corps ou d’un système de corps mus d’un mouvement parallèle se mesure par la masse entière du corps que l’on multiplie par le rapport du petit degré de vitesse imprimé et du petit temps pendant lequel il a été communiqué. Enfin, cette force totale d’inertie a son point d’application au, centre même de gravité du corps ou du système de corps.

C’est par ce motif qu’Eulcr avait aussi nommé le centre de gravité, cenl/'ed’inerfte. Toutefois ces deux points ne coïncident qne quand les mouvements sont parallèles , et cette coïncidence cesse pour toutes les autres circonstances de mouvement.

45. £)tfants<« Male de mouvement d’un corpt. — En désignant par F la vitesse du mouvement parallèle d’un corps supposé uniforme dans un instant quelconque ; on sait que la quantité de mon-

vement d’une de ses parties de poids p est - X Pour une autre