VIII
TBtOlU ET tTABUaSEURT DES TOLAIfTI.
8S. /bme ordinaire des volants et expression de leur force tire. — II n’est pas toujours possible de régulariser le travail d'un moteur ou d’une résistance par l’emploi des manivelles doubles ou triples, et quand on est réduit à se servir d’une manivelle simple, ou a vu, au chapitre précédent, que les variations du travail instantané ne laissaient pas que d’ètre assez sensibles. Il en est de même dans toutes les circonstanees où tantôt le mouvement alternatif a lieu, tantôt la puissance ou la résistance, ou toutes deux à la fois agissent par intermittences. Le moyen le plus général de satisfaire à la condition de la régularité du travail, est sans contredit le volant. 11 se compose ordinairement d’un anneau en foute à section rectangulaire ( fig. 266 ), relié à l’axe au moyen de bras de même matière ou de bois qui s’assemblent sur un noyau ou moyeu commun, monte sur la partie mirrée de cet axe. Quelquefois aussi un se contente de placer à l’extrémité des bras, dus masses métalliques auxquelles un donne, quand elles sont isolées, une forme lenticulaire, dans la vue de diminuer la résistance de l’air; mais ce dernier moyen doit être proscrit a cause des dangers qu’il présente. Pour avoir la force vive d’un volant, nous renverrons au o° 67 de la 2* partie, duquel il résulte que si on nomme P le poids du volant, P la vitesse de sa circonférence moyenne ou l'espace qui y
est décrit dans une seconde, — P' esi la' force vive de ce vo-
lant, en se rappelant que V équivaut au produit de la vitesse angulaire et du rayon moyen.
56. Paient pour une manivelle à simple effet. — Nous commenceronspar l’établissement du volant dans lecas le plus fréquent qui se rencontre pour les machines, c’est-à-dire dans celui de la manivelle dont le bras jiB ( fig. 807 ), sollicité de haut en bas par la force Vagissant sur une bielle verticale pendaut le premier demi-tour EBG, fait tourner l’arbre À, ainsi qu’une roue M, dont la réaction
360 TR01S1ËUË PARTIE. .
en JV en fnit mouvoir une .lalre deslinco à vaincre l’cfFet utile. J’appelle Q la résisloiice de haut en bas que cette dernière roue oppose et qui sera mesurable en poids sans être cependant pour nous un poids véritable à soulever. Dans ce calcul nous ne tiendrons aucun compte de l’inertie de la roue W, parce que son diamètre est peu de chose parrap|>ort à celui du volant, dont la grande masse est toujours rejetée le plus loin jiossiblede l'axe de rotation, afin qu’il puisse acquérir uue grande force vive. Cela posé , considérons le système à un certain état de mouvement , et observons que, d’après ce qui a été dit au n° 49, le travail instantané de la puissance F sur la bielle est variable j que ce travail croit de E en C, décroit de C en G où il devient 0, et qu’enfin il est nul pendant toute la demi-révolution aserndante GUE, Quant au travail instantané de Q, comme cette résistance est constante et qu’elle demeure tangente à la circonférence do la roue M, il est nécessairement constant. Tant que le travail instantané de la puissance F l’emporte sur celui de Q, la vitesse s’accélère ; mais elle ne saurait s’accélérer indéfiniment, parce que le travail instantané de la puissance finit par diminuer, et qu’il arrivera un moment où il sera devenu égal à celui de la résistance. A cet instant la vitesse aura acquis sa plus grande valeur, ou sera parvenue à sou maximum, Le travail instantané de la puissance décroissant encore, deviendra moindre que celui de la résistance, et de cette nouvelle inégalité, contraire à la première, résultera un ralentissement tel que la vitesse dimini^era de plus en plus.
Mais, comme le travail de la puissance ne peut décroitre indéfiniment, et qu’il arrive tin instant où il croit de nouveau, on voit que tant qu’il demeure inférieur à celui de la résistance, le ralentissement se continue, mais de moins en moins, jusqu’à l’instant où le travail instantané de la puissance est devenu égal à celui de la résistance. A co moment la vitesse a cessé de décroitre; mais elle est parvenue à son minimum ; car, au delà, le travail de la puissance l’emporte de plus en plus sur celui de la résistance ; la vitesse augmente alors, et arrive enfin de nouveau à son tnaximum.
Si maintenant nous supposons sur l’arbre ^ un volant capable d’une grande force vive, et qu'on se reporte aux deux époques où la vitesse du système est la plus grande et la plus petite, il est évident que la force vive du volant se sera aussi, à ces mêmes époques, preme ou dituingée, et on sait f|ue raocroissemeni ou |a diminur
DKS MACHINES ET UES MOTEUKS.
tiou de la force TÎve de ce vulant devra être ëjjale ( puisqu’on fait abstraction de l’inertie des autres pièces) nu double de la différence absolue entre lo travail dépensé pnr la puissance et le travail absorbe par la résistance pendant l’intervalle des deux époques correspondantes nu maximum et au minimum de vitesse (S° par-* tie, 1, dixième principe). Cette relation à établir n’offre aucune difficulté, puisque noos savons calculer les quantités de travail des diverses forces. Examinons maintenant quel est l’effet du volant.
Sa force vive, avons-nous dit, est — X ou — X * . 9 9
A étant son rayon moyen, et e, sa vitesse angulaire, laquelle est proportionnelle au nombre de tours du volant dans un temps déterminé, nous reconnaissons déjà que, pour un même nombre de tours, la force vive du volant croit proportionnellement à son poids, et au carré de son rayon ; autrement dit, pour un rayon double, triple, la force vive du volant devient quatre, tieu/Tuis plus grande. * D’où il suit que celle force vive sera considérablement augmentée, surtout par le rayon. Si nous nous reportons vers les instants où la machine s’accélère, la force vive qu’absorbe le volant est toujours égale au double du travail de la puissance diminuée de celui de la résistance, cl en supposant que toutes les circonstances de ce travail soient les mêmes, n’est-il pas évident que la vitesse angulaire s’accroîtra d’autant moins que le poids et le rayon du volant sont rendus plus considérables? 11 y a donc lieu de régler le poids et les diminutions d’un volant de telle façon que sa vitesse angulaire ne dépasse pas une certaine limite, ou pour qu’elle varie seulement
de ~ en plus ou en moins. Telle est aussi la marche que nous
suivrons dans l’exemple de la manivelle à simple effet. Nous admettrons que dans la résistance 0 on ait compris celle du frottement, c’est-a-dire que ce frottement, déterminé à l’avance par lu calcul, sera multiplié par le rapport du rayon du tourillon de la roue M au rayon AN, et que ce produit sera ajouté à la résistance variable de l’autre roue. Cette somme sera pour nous ce que nous entendrons désormais par Q.
La première condition à remplir, o’est qu’au bout de chaque révolution, le travail total de la puissance F suit égal à celui de la résistance Q. Car si le premier était plus grand, la vitesse s’accroîtrait dp révoliitioii PU rcvulution, et la machine serait mal réglée,
Or, nom noos tu (S* partie, AO) que le travail de F dani la pramière demi-réToIution ECG e«t X ou F X comdie ' la pniuanoe ne travaille point pendant l’autre demi-révolution ascendante GUE, il est évident que le produit F . 3r représente I encore le travail de la puissance pendant une révolution oonapièle. D’ailleurs le travail de la résistance Çqui ne cesse d’agir pendant tonte la durée d’une révolution tangentielleinent à la roue Af dont on représentera le rayon par R, ce travail, dis-je, aura pour valeur %r . R , Q (r étant le rapport 3,1416 de la circonférence au diamètre). Ainsi, en vertu de notre première condition énoncée, on
F . ir s= . R , Q,
et, par suite,
Telle est la valeur de la résistance ponr que le mouvement puisse te maintenir.
Cherchons actuellement les dispositions de la manivelle pour lesquelles la vitesse du volant devient la plus grande et la plus petite, A cet effet nous nous rappellerons que le travail instantané de la puissance F, en un point quelconque A, a été trouvé (3° partie, 40)
égal à F X X Supposez que le boulon de la manivelle
soit en E, et qne celle-ci tourne de gauche k droite. Il est évident qn’en cette position le travail instantané de la puissance est nul, quoique la résistance agisse toujours; toutefuis la manivelle tourne, et si la puissance n’agit pas encore avec prépondérance, son travail instantané augmente : ainsi la vitesse ne cessera de déoroitre jusqu’à ce que le bouton soit parvenu dans un point B, où le travail instantané de la puissance sera devenu égal à celui de la résistance. Mail, pendant qne le bouton parcourt le petit arc àfiquej'ai nommés, le point d’application de la résistance Q parcourt sur laoiroonférence de la roue itf un arc IL semblable à bB, et tel qu’on a '•
bB ou
Diaitized bv Goo^le
OU
Le point B, où les denx travanx instantanés sont éganx, est d’ailleurs celui où la vitesse dn volant cesse de déoroitre, et il sera déterminé par cette relation, due à l’égalité des travaux instantanés de la puissance et de la résistsmce,
ou, en remplaçant Ll par sa valeur trouvée tout à l’heure,
Cotte relation se réduit, en définitive, à
fx^d^qXR-
Mettons à la place de(^sa valeur donnée (a), on trouve encore
ou AD = ^ =s= 0,818 . r.
Telle est la valeur de AD, o’est-h-dire la distance au centre A, dn pied de la perpendiculaire abaissée du point cherché B, sur le rayon horixonlal AC. Cette distance est, comme ou voit, environ le tiers du rayon de la manirolle.
Lorsque ensuite le bouton quitte le point B, le travail instantané de la paissance l’emporte sur celui de la résistance, et la vitesse s’acoclère jusqu’à ce que de nouveau ces deux travaux instantanés soient devenus égaux ; alors la vitesse du volant a acquis son «MS'imitNs. Ce point doit être évidemment au-dessous du rayon horisontal AC, parce que sur ce rayon le travail instantané de U puissance est le plus grand possible, et qu’il a dù décroître pour redevenir égal à celui de la r^istance. Du reste, la position B" de la manivelle pour laquelle la vitesse du volant est un maximum, s’obtient par le même calcul que tout à l’heure, et elle est déterminée par la valeur y//> encore égale à 0,818 > r; oe qui prouve que les points B et B", pour lesquels la vitesse du volant est un msnimMM et un tnaximum, sont sur une même corde BB' perpendiculaire au rayon horisontal AC, et dont la distance au centre
3Ui
est 0,818 . r. Passé le point le travail instantané de la puissance est plus petit que celui de la résistance; il reste uicnic nul pendant toute la demi-révolution ascendante, de sorte que In vitesse décroît et reprend son premier mtntmNm quand le boulon est parvenu en E. En un mot, l’action de la puissance variant du la même manière à chaque révolution, les vitesses redeviennent les mêmes, quand le bouton arrive aux mêmes positions.
Pour calculer le poids du volant, nous considérerons ce qui sc passe dans l'intervalle do la position fi à la position fi'. Désignons par y la vitesse maximum du volant comptée sur son rayon moyen,
et qui a lieu quand le volant est en fi' .' — X force
vive du volant pour cette position do la manivelle ; de même, P
— X sera la force vive du volant à l'instant de la position fi de
la manivelle, c représentant la vitesse minimum de ce volant. Ainsi, P P P
— — — c% ou — ( — c’ ) exprimera l’accroissement do
force vive qu’aura absorbé le volant pendant l’intervalle des positions fi et fi' do la manivelle. Le travail de la puissance F pendant ce méiue intervalle sera F X corde fifi'. D’ailleurs, un a
corde fifi' iBD,
BD = [/là'— 7d*= — (0,818 . r)* =□ 0,048 . r,
d’où fifi' = a X 0,948 . r = 1,896 . r.
Lo produit F X evrde fifi' deviendra donc 1,890 . r . F. Si nous voulons avoir le travail de la résistance Q pendant l’intervalle dont il s’agit, on remarquera que ce travail n'est autre chose que le produit de 0 multiplié par l’arc que son point d'application décrit pendant que le bouton décrit l’arc fifi', ou que ce travail sera R *
égal à ^ X ifc fifi* X c de la table det arcs et des
cordes eorrespondantes, et sachanl que la corde fifi' = 1,896 . r, on trouve que l'arc fifi' = 2,4938 . r. Par conséquent, lo travail cherché de la résistance deviendra
Q X J, 4988 . r X 4* QX
Digitij xl by Coogle
Remplaçant dana cette expression O par la valeur donnée d’après
Fr *
In condition première et qui est on trouve que le travail résistant équivant à
2,4938. 7Î, oua f oua F
ou cmfin à 0,7938 . r . F, * ’
'L’excès du travail de la puissance sur celui do la résistance sera évidemment
r . F { 1,896 — 0,7938 ), c’est-.à-dire, 1,102 . r . dont le double 2,204 . r . F équivaut à l’accroissement de la
force vivo du volant, ou à — { f'’ — v’ ), On aura donc, en dé-
finitive, cette égalité.
Je nomme Vx la vites.se moyenne du volant, c’est-à-dire celle qui correspond an régime voulu pour le sjslèrar. Si le poids de ce volant doit être tri que sa vitesse ne croisse ni ne décroisse de plus
de de la moyenne ou en général de —, il est évident que les
10 fi
vitesse* maximum et minimum do volant seront représentées, l’une F F
par F, -j -, et l’autre par F, Ainsi, les trois vitesse*
F, F, et V formeront entre elles une proportion par différence dont
la raison sera — - : si d’ailleurs F surpasse de cette quantité — 1
H fi
la vitesse F, , et que celle-ci surpasse la vitesse o de la même
quantité, c’est comme si surpassait r du double — On aura dono
ou F — e =
Mais il est visible que si V
3G6 TROISlfeViE PARTIE.
on a aussi F' t> a= if',. Donc, si on multiplie f' v par f'’ — O, et qu’on se rappelle que le produit do la somme de deux quantités par leur difEëreuce est égal à la différence de leurs carrés, on en conclut
Substituons cette dernière expression dans la relation (&) du to- Uni, on trouTcra '
P xy*
et, par suite, PF,’ = 3,S0A X .r .F.
On Toil ainsi que PF,’ sera connu. Mais on obtient la xitesse moyenne F, du volant d’après le nombre de tours qu’il doit Faire dans un temps déterminé et d’après le rayon de son anneau. Par conséquent, l’équation finale à laquelle nous venons d’arriver. Dons donnera le poids P du Volant.
On peut parvenir i l’expression du produit PF,’ sons une autre forme, et la définir par le nombre des chevaux do force qui constitue le travail du moteur et par le nombre de tours que doit faire le récepteur dans un temps déterminé, dans une minute par exemple. Si noos appelons, en effet , m ce dernier nombre, 2m . r . F sera le
travail du moteur pendant une minute, et — ou — —
ce même travail pendant une seconde. Désignant par TPle nombre de chevaux-vapeur contenus dans le moteur et capables d’un travail de 7S kilügr. élevés à 1 mètre pendant une seconde, on aura
tn.r.F -.i „ „ 30 . 75 . iV 2250 . Af
TP-XW, r-e ;; = —
Après avoir remplacé r . F par celte nouvelle valeur, dans l’expression de PF|’, on trouve
PF.’m=2,304x4^X
