AT

et, en mettant poar g sa valeur 8'*,81, on troure, tout calcul fait,

Ainsi que nous l’avons dit, le nombre m est relatif à la bielle A laquelle la puissance est appliquée, et non au volant, si ce dernier était, comme cela arrive quelquefois, monté sur on arbre différent de l’axe de la puissance. Il n’y a que le nombre nqui soit arbitraire. A la vérité plus n sera grand, moins sera considérable la variation de la vitesse, et si l’on veut que la vitesse ne varie que très-peu, ce ne pourra être qu’à l’aide de très-grandes valeurs données an poids

P du volant. Si n = 1000, on si la vitesse varie seulement de

en plus on en moins , le poids P sera dix fois plus considérable que quand « k 100. Or, les volants coûtent cher, et une augmentation de leur poids produit sur leurs appuis des pressions d’où résultent des frottements capables d’absorber à eux seuls plus de la moitié du travail du moteur. Par exemple, un volant du poids de 20 000 kilogr. éprouvera sur son tourillon un frottement de S 000 kilogr., lorsque

le rapport /du frottement à la pression est Que ce volant fasse

SO révolutions par minute ou une demi-révolution par seconde, et que son tourillon ait SO centimètres de diamètre, c'est-è-dire 0*‘,60 de circonférence, le travail absorbé par le frottement du volant pendant 1" équivaudra à

S000*-X^— , ouàOOO''--;

e’est<ô-dire que cette résistance abaorberait à elle seule le travail de huit chevaux à 78 ^ " chaque, par seconde.

On ne peut donc arbitrairement choisir le nombre o, et sa détermination dépend de In comptiraison qu’il faut faire des avantages et des inconvénients qui y sont inhérents. Au reste, cela dépend du but qu’on veut remplir. Si des machines doivent marcher avec beaucoup de régularité, on fera » = IS ou 20, et on réduira ce nombre à 10 quand Ica machines ne doivent avoir qa’cne régnlarité médiocre. Les Anglais, pour les machines à vapeur destinées è faire mouvoir des filatures, élèvent le nombre « à 20, mais il y a exagération.

67. Volant dei manivelles à double effet. — Lonqae lu manÎTelle est à double effet, le c.ticul du volant est nnalogue, si ce n’est qu’ici le travail de la puissance dans une révolution s’élève à ir , F. Par conséquent, pour que ce travail fût égal à celui de la résistance au bout d’une même révolution, on poserait ir . F = ir P . Q. Les positions du bouton de la inanivclle où les vitesses maximum et minimum sont également différentes, sont ici fixées par une autre valeur de AD = 0,64 , r. Calculant enfin la corde qui joint, dans une même demi-révolution , la position où une vitesse minimum a lien à celle qui corresjiond à une vitesse maximum, ainsi que l’arc sous-tendu par cette corde, on sera à mêiiie de trouver, comme précédemment, la différence du travail de la puissance et du travail de la résistance pendant l’intervalle d’une vitesse minimum à une vitesse maximum. Si on égale le double de cette différence à l’accroissement de force vive que le volant a absorbé, si de plus on fait attention que le travail de la puissance pendant une seconde

est représenté par aura, pour le volant de la mani-

velle à double effet, cette relation.

PV,'

■ nXJV

Maintenant, si on compare cette expression à celle qni est relative à la manivelle à simple effet, tout s’y trouve semblable à l'exception du facteur numérique, qni est cinq fois plus considérable pour la manivelle à simple effet que pour la manivelle à double effet. Sonc à vitesse égale la première exige un poids de volant cinq fois plus grand. Cette conclusion démontre tout l’avantage qu’il y a à régulariser autant que possible le mouvement indépendamment de l’emploi du volant : car le poids do ce volant se réduirait au quart si la puissance était répartie sur les deux bras d’une manivelle don-

blc à simple effet; et il ne serait plus que de ~ si la puissance

agissait sur une manivelle triple, etc.

58. Idée sur le calcul d’autres volants. — L’exemple précédent de la manivelle pour lequel nous avons déterminé les dimensions du volant, et qui se rapporte aux machines à vapeur, cesse d'ètrc applicable dans une infinité de circonstances. Tout à l’heure la résis-

DBS MACHINES ET DES MOTEURS. <• 5fi9

tance était suppusée constante et continue, et In direction de la puissance yarinil à chaque instant par rapport au bras de la niani* velle. Or, il arrive souvent que l’action du moleur demeure constante, et que In résistance qui varie, soit parce que l'outil, comino la scie, est doué d’un inouveinent alternntir, soit pareeque la direction de la résislnuce change continuellement, soit encore parce que la résistance éprouve des intermittences. I,es calculs sont alors différents les uns des autres pour la détermination du volant nécessaire à la régularisation du mouvement. Il conviendra toujours d’étudier comment les choses se passent dans une révolution ou plutôt dans une période complète, et de rechercher les deux positions d’équilibre, ou celles pour lesquelles le travail instanlané do la puissance et celui de la résistance sont égaux, parce que ces deux positions correspondent à l’instant où la vitesse est devenue maximum et minimum. Si, en outre, on calcule les quantités de travail dépensées par la puissance et absorbées par la résistance pendant l’intervalle de ces positions, et qu’on égale le double de leur différence absolue à l’augmentation ou à la diminution de force vive du volant, cette relation traitée, comme on l’a fuit, avei^ la condition que les plus grande et plus petite vitesses ne dépassent point de certaines limites, conduira n rcstiniation convenable des dimensions du volant. Hais, comme ces calculs doivent être renouvelés autant de fois qu’il y a de cas particuliers, il est impossible d’assigner une règle générale. Ninis allons donner quelques exemples qui serviront de guides dans la marche qu’on doit suivre.

1° Laminoir». — Un laïuinoir consiste dans deux cylindres en foule, tournant, chacun, sur deux tourillons, selon un muuvemciil convergent du côté où une barre de fer rouge est présentée à leur intervalle, et divergent du coté où celte même barre s’en échappe ( fig. S68 ). Le fer se trouve aplati et allongé par l’effet de ces doux cylindres; mais comme il no peut être d’une longueur indéfinie, et que la barre, après avoir passé une première fois entre les deux cylindres , doit être replacée au-dessus du cylindre supérieur pour être ramenée à l’ouvrier chargé de la présenter de nouveau , il arrive que le travail du laminage n’est point continu et qu’il éprouve des interruptions. Le moteur continuant ô agir pendant la durée de ces iiilcrraitlenccs, la vitesse augmente gr.iduellomcnl et acquiert sa limite supérieure au moment où la barre va être présentée, puis elle diminue, parce rpie le travail instanlanédo la rv>sis-

IROlSItJlE l'ARTlE.

tiiMcc du Fit rriuportc sur celai du moteur, et elle se réduit à s,i limite itiFci'icurc à l’iiulant où la barre est entièrement sortie du laminoir. La détermination des dimensions du vulant est ici Fort simple, attendu i|ue In titessc wiaximiias eorrespoud è l'instant où In bnrre est présentée, et la ritesse mi'aimum à l’instant où la barre s’est éehiippée des deux cylindres. Si, par l’observation ou par le calcul, on pouvait trouver la quantité de travail nécessaire pour Faire passer la barre cl qu’un eu retranchât celle du moteur dépensée pendant la durée de ce passade, le double de cette diSerencc sera é{’al à In perte do Force vive du volant pendant que sa vitesse descend (lu maximum nu minimum. Ruinmant donc S la dilFérence absolue de ces deux quantités do travail, parmi lesquelles celle de 1a résistance du Fer est ici la plus grande, ^ et e les titesses maximum et minimum delà circonFérctiCc moyenne du volant, P le poids de ce dernier, on aura la relation

Ce volant doit être monté sur l’axe de l’un des cylindres, et comme cbacuti de ces derniers doit Faire environ moyennement vingt tours par minute, un counaitra la vitesse moyenne f', du volant. Si, d’ailleurs, un se donne pour condition que les vitesses maximum et

minimum ne dépassent point la vitesse de régime, ou f', , de — I-,

en pics ou eu moins, on pourra effectuer le calcul comme pour la manivelle, en Faisant n = IS ou 20. On se doniicra, eti outre, pour preuiiëre cunditiou, que le travail du moteur dépensé pendant une période complète, ou pendant rinlcrvallc où une barre est présentée deux Fuis, soit égal au travail de la résistance consommée par la barre, augmenté de celui des Frottements.

2“ Scierie. — Le vulnnl d’une scierie exige des considérai ions qui ne ressemblent plus à celles du laminoir. Ou sait que le muuvemeat vertical de va-et-vient est transmis au châssis do la scie, par l’inlermcdiaire d'une bielle, au moyen d’une manivelle éiiarbrée â ùn nxequi reçoit son mouTCracnt de la puissance { fig. 860 ). Dans ce travail la scie ne mord qu’en descendant, et elle rcmunle à vide. Ainsi, le bouton de la manivelle, dans ta dcini-révubition ascendante, est chargé du poids de la bielle et du châssis ; en descendant, au contraire, le bouton Favorise l’aclioii de la puissance, et est

IIFS MACHINES KT DES MOTEÜUS.

poussé (le haut eu bas par le poids de la bielle et du chAssis, diminué do In rrsislance de la scie cunire le buis. Cette dernière, qui augmente avec l’épaisseur et la nature du bois, sera supposée d'une valeur moyenne, ou telle qu’elle conviendrait pour une pièce de bois du chêne, sans nœuds et d’un pied d’équarrissage. Cela posé, vous examinerez de point en point et pour tous les petits arcs élémentaires égaux décrits |iar le bouton, comment varient le travail insinntanc de In puissance et celui de la résistance pendant une révolution compictej les positions où ces travaux deviendront égaux seront évidemment celles où les vitesses sont devenues minimum ou maximum. Si on calcule ensuite la quantité totale de travail dépensée ]iar la puissance et par les résistances pendant l’intervalle du minimum au maximum de vitesse, et qu'on égale le double de cette différence absolue à l’accéolssemeiit de force vive du volant, un déduira encore le poids de ce dernier pour que les vitesses demeurent dans une limite assignée.

t° Filature». — Il y a certaines machines dont toutes les pièces sont douées de mouvements continus, et dans lesquelles il s’opère des variations qui rendent leur actinh fort irrégulière. Telles sont les filatures, dont tous les métiers Sont mus à la fois par un même moteur, et où quelques-uns d’entre eux sont souvent arrêtés momentanément par leurs ouvriers respectifs sans qu’on puisse immédiatement modifier le travail du moteur. Il serait alors difficile de régler le mouvement, si on ne voyait par soi-mèine ce qui sc passe dans l'atclicr, et si on n’observait moyennement le noiitbrc des métiers dont le mouvement est suspendu, ainsi que la durée de Cette interruption. Supposons, par exemple, que le travail de tous les métiers réunis suit de 24 chevaux, et qu’il soit réduit A 20 quand on suspend trois ou quatre métiers pendant un nombre moyen de secondes représenté par t. Le travail de la résistance ainsi réduit pendant ce temps équivaut A 20 X 711 X f*’ ' i car n’ooblions |)as que le cheval représente le travail de 75^ élevés A un inètre pendant une seconde. Supposons, en outre, que le travail du moteur qui fait marcher rétablis.seinent soit de 2A chevaux. L’excès de ce travail sur celui do la résistance réduite par l’interruption des quatre métiers sera do 23 — 20 ou S chevaux; cet excès répété pendant t secondes, équivaudra à 8 X 73 X et produira au bout de ce temps sur le volant une vitesse F plus grande que la vitesse f', correspondant au régime ordinaire de la

ar

machine. Donc — (F' — F,' ) sera l’accroissement de force vire

du TolanI, el il sera égnl à 2 X ^ X O'' aura donc

imaginons qn’on reuille que la ritesse F n’excède pas F, de

on posera F = F„ ou 1,21 . F,‘; d’où

r.’ = 460/, ou PF,’

De cette relation rien n’est plus facile que de conclure le poids du Tolant. Au lieu de il sera bon de prendre pour l'excès de la

Quand , ru lieu d’un molrnr quelconque, la filature est mue par une machine à vapeur, on détermine le volant de cette dernière, indépendamment de la considération des métiers, et en faisant « =S0, )ii)ur ren<lrc ce volant un peu puiss.'int. Telle est au moins la méthode des Anglais. Nous croyons, au contraire, qu’il vaut mieux d’.sixird chercher ce premier volant, en faisant n = 16, et calculer ensuite un autre volant pour régulariser la machine filante. Si le poids de ce nouveau volant est plus considérable que celui de la machine à vapeur, c’est une preuve que n doit dépasser 16 et qu'il faut l’augmenter ; s’il est moindre, c’est une preuve qu’on doit se borner nu premier volant de la machine à vapeur. La régularisation d’action dans les filatures est d’autant plus essentielle, que la perfection du travail en dépend.

S’il s’agit d’un moulin mû par une roue hydraulique, il n’y a point à établir de volant, parce que la meule agit symétriquement sûr le grain et qu’elle fait elle-même fonction de cette pièce. Hais si le moulin marche nu moyen d’une machine è vapeur, celle-ci ii’nura pas besoin d’un volant à beaucoup près aussi puissant, et en général ce genre de machine doit être régularisé indépendamment de l’outil, sauf a régulariser ce dernier, si ses intermittences étaient trop furies.

»tS

K9. Tracé de$ engrenages ; eonditions. — Lorsqu'un se propose de transiiK-lire le mouvement circulaire continu d'une manière uniforme et régulière, nous avons vu (3* p-irtie, 26) que cette transformation pouvait s’opérer à l’aide de chaînes ou courroies enroulées sur des tambours. Mais quand les machines sont puissantes, il vaut mieux armer les couronnes de dents qui s’engrènent et conduisent les couronnes de la iiièmo manière que celles-ci roubient l’une sur l’autre par simple contact primitif. Pour trouver les circonférences de deux mues destinées à rouler l’une sur l’autre, nous avons vu qu’il suffisait de connaître le rapport qui existe entre 1rs nombres de leurs révolutions simultanées, ainsi que la position du leurs axes dont l’intervalle peut d’ailleurs être quelconque, et cependant tel que les diamètres des roues consecutives soient compris entre deux pieds et six pieds, parce qu’en effet en dehors rie CCS limites les roues exigent beaucoup de sujétion pour être exécutées. Enfin, si les axes sont parallèles (et c’est le cas dont nous nous occuperons d’abord), on partage leur intervalle CC ( fig. 870 ), en parties C7' et CT, réciproquement proportionnelles aux nombres do révolutions qui s’opèrent en même temps autour de ces axes, et on obtient ainsi les rayons des circonférences primitives. Si, maintenant, on monte des tambours égaux à ces circonférences sur les axes CC de manière à se presser l’un et l’autre, et qu’oti fasse tourner le premier aulnqr de C, il entraînera l’autre tambour autour de C, et celui-ci décrira deux ou trois révolutions pendant que l'autre n’en décrira qu’une seule, selon que son rayon sera hi moitié, le tiers, etc., du rayon du second. Pour remplacer ces tambours par des roues dentées dont les vitesses leur soient proportionnelles, les dents ne sont point placées sur les circonférences primitives, mais sur des couronnes intérieui-es à ces circonférences, et elles s’étendent au dehors de ces dernières. Chaque circonférence primitive est la séparation do ce qu’on nomme le creux et la saillie d'une dciit.

M4 TRÜlSiÈM^

Le tracé dea eiigreiiagos est soumia aux conditions suiraDles : l®que les dents d’une même roue soient ég.ilea; 2* que leurs espacements soient les mêmes sur ica deux roues; 3® que leur forme extérieure soit symétrique par rapport n lu ligne milieu de chacune d’elles; 4° qu’elles ne se pressent point avant d’arriver à la ligne des centres CC, ou plutôt que ce suit sur cette ligne que les dents coiumcnccnt à se toucher; 5° enfin, que les courbes par lesquelles Jes dents se poussent ou se conduisent soient tclleinent tracées que les roues se conduisent avec des vitesses angulaires qui soient cunstaniment dans un niëiiie rapport on dans celui qui a lieu pour les circnnfcrcnces primitives, si ces dernières sé conduisaient par leur ainiple contact.

paiiitii coaaiTioa. — La simplicité de In solution et la facilité de l’exécution matérielle des engrenages exigent que les dents d’une même roue soient luutcs égales et disposées légnliércmenl autour de la couronne. Mais il n’est pas nécessaire que l’épaisseur, c’està-dire la dimension comptée sur la circonférence primitive, suit la même d’une roue à l'autre. Pour une roue en fer, la dent sera moins épaisse que pour une dent en buis : il faudra, nu contraire , plus d’épaisseur aux dents de la roue qui tourne le plus vile, parce qu’elles sont plus cx|Misées à l’usure.

oEcxiXis cusDiTioa. — On nomme jsas d’un engrenage la distance mesurée .sur la circonférence primitive de la racine d’une dent a la racine do sa consécutive. Ce pas doit être le même non-seulement d’une dent à l’autre, mais encore sur les deux roues. Car, puisque l’engrèncment est successif d’une roue.à l’autre, ces dents se gêneraient réciproquement, si les espaces décrits simultanément par lus circonférences primitives pendant rengrèiiement n'étaient égaux entre eux. Il résulte de celte condition que les nombres des dents des runes sont proportionnelles aux diamètres des circonférences pi imitives, de sorte que l’une d’elles ayant, par oxcniplo, 16 dents, l’uulreen aura 30 si le rayon de cclle-oi est double de celui de la première. C’est ordinairement sur ces eircuiiféreiiccs primitives, dites auui circonférences de passées, que la division s’effectue, et nous reviendrons sur les méthodes les plus convenables à cet effet. Nous feront remarquer qu’une dent pciidaut ton eiigrèiiemcnl avec une roue se trouve logée entre deux dents do celle-ci, et qu’elle a besoin d’un certain jeu qu’on réduit au dousièiuo de l'épaisseur des dents pour des roues bien faites et à nn sixième pour des roues

plu* grostièrM, L’inicrvallc vide entre deux dents d’nno roue équivaut, par cnnséquent, à l’épaisseur des dents de l’autre roue, augluenléc du jeu, en sorte que le pas est égal à In somme des épaisseurs de chaque dent de l'une et l’autre roue plus le jeu.

TioisitiEcasDiTios. — Comme il arrive sourenldans les mnehiues, que les roues ne tournent pas toujours dans le même sens, il faudra que chaque dent soit Icrniinée symétriquement par deux coiirhcs semblables, afin qu’elle suit propre ù conduire les dents de l'autre, ou à en être conduite indifFércinuicnt.

QisTSitsscoxDiTiox. — Lorsquc les dents do deux roues s’approchent de la ligne des centres CC, ces dents vont à rencontre l’une de l’autre. Lorsqu’au contraire ces dents engrenées s’éloignent de CC, elles tendent à s’écarter. D’après cela, conformément à la 4° condition, il faut faire en sorte, autant que possible, que les dents ne commeuccnl à se pousser qu’à partir de l’instant où elles sont arrivées à la ligne des centres CC.On évitera ainsi l’ctfct des aspérités et des arcs-boutements, en vertu desquels deux dents viennent ù se froisser ou à se heurter en avant de la ligne des centres, en présentant la pointe ou la tête, et se brisent si elles no sus|>endent entièrement le mouvement, La forme des dents n’est, en général, point arbitraire ; jamais on ne leur donnera celle d’une courbe concave, ou d’un carré ou d’un trapèze, non pas parce que les roues ne sauraient encore se transmettre le mouvement uniforme, mais bien à cause des arcs-boutcmeiits ilangereux qui résulteraient si deux dents do cette espèce se rencontraient avant la ligne des centres. Ou voit, en effet, qu’en ( fig. 371 ), où le sommet commun des dents tend à se rapprocher de CC, il est impossible que le mouvement se continue sans qu'il y ait rupture, parce que la somme des distances <7// -j- C^i' est ]> CC. .Au delà do la ligne des oentres, où l’angle S tend à s’ouvrir, le mnuvemenl peut s'opérer librement.

Cintuitii coxoïTioa, — Les dents doivent toujours avoir une forme arquée qui leur permette de se mettre en tangence l’une <à l’autre dès qu’elles sont eu prise. On tient de plus à cette condition dans lu tracé des faces qui se poussent, que la vitesse d’une roue soit transmise à l’autre dans un rapport constant, afin que les engrenages soient bien déterminés. Mais on y satisfait encore d’une infinité de manières. Car on peut so donner à volonté la conrbe des dents du l’une des roues, de la roue C, et on trouvera toujours {mur l’antre

TRULsIEJIE PAiniE.

C une courbe aiinlogiio qui sera conduite iiniFurnu-inent par la preniicre, ou coimue si les deux roues roulaient par leurs cercles priinilifs. En effet, si amb' ( fig. 372 ) est la courbe attachée à la couronne de C, et que amb soit la courbe correspondante sur l’autre roue, cette dernière courbe devra être constaininent touchée par la première pendant que les deux cercles C et C tournent simultanément, ou bien encore, ce qui revient nu même, pendant que le cercle 6' demeure fixe, l’autre C roule autour de la circonférence primitive du premier, en roulant lui-meme sur son propre cercle primitif. Dans ce derttier mouvement la courbe o'niê' changera de place, et de |roint de contact avec la courbe amb, de sorte que cette dernière sera précisénrent l’enveloppe de toutes les positions de la première. Si on fait attention que, dans le roulement du cerclu C' autour du cercle C demeuré fixe, tous les points du cercle C, ainsi que ceux de la courbe a’mb, décri verrt de petits arcs élémentaires autour du point de contact T des deux cercles primitifs, et que les éléments do contact des deux courbes de dents se confondent avec l’utr de ces arcs, c’e-st une preuve que les normales cotumuttes à l’une et l’autre derrt pcrrdarrt qu’elles se touchent, doivent |iasscr par le contact des deux circonférences primitives.

60. Méthode générale pour le tracé des courbes des dents. — Lorsque, se donnant la courbe des dents de l’un des cercles, ou veut trouver la courbe correspondante sur l’autre cercle, la question est susceptible de se résoudre physiquement. Prenei en effet deux cercles de planches, égaux aux circonférences primitives , que vous appliquerei tangentiellciucnt l’un à l’autre sur la surface d’un plan. Armez le cercle dont la courbe est donnée d’un patron ou modèle égal à cette courbe, et fixez l’autre cercle invariablement. C’est autour de ce cercle que vous ferez rouler le cercle qui porte un patron, vous rendrez d’ailleurs ce mouvement non susceptible de glissement, l°en liant les deux centres par une verge ayant un jeu autour des axes de ces centres; 2° en enveloppant le cercle mobile d'une bande de parchemin dont les extrémités sont fixées sur les circonférences de ces cercles. Quand le mouvement sera donné au cercle mobile, tracez sur le plan ou table avec un crayon toutes les jiiisitions du palriin, et l’enveloppe de toutes ces positions vous P préMUilera In courbe de lu dent du cercle fisc. îliis no pareil svs-

ÜEs AIAClllNES tr DES MOTEL ilS. 377

lèiiic deviriit d’une exécutiun trop difficile pour en ci>pérer uuc exActitiide >uffisante.

Voici un procédé graphique qui s’applique à tous les patrons de dents imaginables donnés à l’un des cercles. Soit a ri ( fîg. 373 } la courbe du patron fixée au cercle C, cl a'i'b' la même courbe embrassant entre elle et la première sur la circonférence primitive de C un arc de cercle Tt', égal au pas du l’engrenage. Soit de même TV le même pas sur la circonférence primitive C? ; ici un suppose que les dents des deux roues se pousseront à jiartir de la ligne des centres. Ainsi on a arc 7't' = arc TV. On divisera ces deux arcs en un mémo nombre de parties égales, en 3 par exemple ; nous aurons sur le premier les points dedivision T, 1', S'et t’, et sur ledeuxièraearc TV les points du division T, 1,3 et <. Uaintenant de T comme centre on décrira un arc de cercle dont le rayon est la plus courte distance de ce point à la courbe atb'. Cotte plus courte distance est donnée par une ouverture de compas telle que l’arc de cercle touche la courbe sans la couper. Cherche! de lu niênie manière la plus courte distance de la division 1' sur l’arc Tt', à la courbe a't'b', et du point 1 correspondant sur l'arc rcdécrivrxavoc cette plus cuurtedislance un nouvel arc do cercle. De même, du point 3 de cet are Tt décrive! un troisième arc de cercle dont lu rayon est donné par la plus courte distance de la division 3' à la courbe a'f'è'. Sachant en outre que la courbe de dent cherchée pour le cercle C doit passer par le point /, on n’aura plut qu’à tracer l’enveloppe à tout oes arcs de cercle ainsi obtenus.

En pratique, on peut sc contenter do diviser les deux pas des cercles primitifs en deux parties égales, de tracer doux arcs do cercle, et de faire passer la courbe par le point t et tangenticllcmcnt à ces deux arcs. Veut-on agir plus simplement cncoroV cherche! l’interleclion i de la preniièrc normale Tt ( fig. 374 ) avec la courbe a't'b'; joigne! I, et par le milieu n do cette droite, éleve! une perpendiculaire no qui coupe le cercle primitif C en o. Ce point 0 sera le centre d’un cercle ayant pour rayon oi = ot, et l’arc décrit représentera d'une ninnière suffisamment exacte la courbe de la dent du cercle C qui doit conduire la courbe dunnee du cercle C. En y réfléchissant , on verra sans peine que ce procédé est fondé sur ce que In ligne qui joint le contact des dents au point de contact T des circonférences primitives, est, coimuo nous l’avons fait voir, en même temps

378 raOISlËME PARTIE.

ane normale oominune aat courbe* de* deux dent* en priie.

61. Dhisieiu dei eirconfirtncei primitive*, ■. — La plu* grande difflcullé contisle à obtenir lur chaque oircuiiférence primitive le* puint* de divinion dont ritilervalle constitue le pas. En *e rappelant d’abord que le* nombres de cos point* sont prupurtiuunels aux rayon* de* cercle* primitif*, on connaîtra d’abord en combien de partie* ce* eirconférenoe* doivent être partagée* pour (atisf.iirc aux condition* du raouvomont. Si ce* nombre* sont dos multiples de 8, do A, do K, et de 0, on partagera d’abord les cercles dans le nombre de partie* indiqué par l'un de ce* derniers facteurs, et cela à l’nidc de* prnoédé* que la géométrie enseigne^ puis ou agira séparément sur chacunede ces grandes divisions, de manière à avoir les nombres do dents voulu* *ar le* cercles primitifs. En général, r étant le rayon de l’un d’eux, Ssr sera sa circonférence; et *i le nombre des dents doit être 17, 81 ou n, l'are qui mesurera le pas de l’oiigrenago sera

représenté par enfin par La difficulté n’est

pas ici. d'avoir l’are, mai* plutêt la corde qui le *uu*-tend. On y parviendrait en divisant 860 par 17, par 81, ou par n, et le quotient représenterait la nombre de degré* d’un tel are, de sorte qu’avec un rapporteur, on pourra marquer sur chaque oerole primitif les points de division. Mai* les rapporteur* ne sont jamais assox divisés pour que l’opération *e fasse avec précision. Cuiiuaissant le* angle* au centre de ces arcs, un pourrait encore employer uue table do corde*. Mai* de tous ces moyens, le meilleur est le suivant quand l’arc est fort petit, ainsi que cela arriva à l’égard du pas de* dent*. Dé-

signons par e le quotient — , la corde qui sous-tend cet arc est

1 ouver-

égal à a ^ 1 — Ce calcul fait, donnera ledegré d’o

tore deooinpaspour tracer le passurchaquecircooférenoeprimilivc.

68. />•* courbes ginératriees dan* le* engrenage*. — Nous appellerons courbe génératrice celle que, dan* un engrenage, on *e donne sur une des deux roues, pour on déduire la ouurbe convenable à chaque dent de la roua qui doit engrener avec la première. Tonteluii, le nombre de* courbe* génératrices employée* dan* 1a praliijuc est fort polit ; ce* courbe* sont ( fig. 875 } ; 1* Un cercle

entier dont le centre est sur la circonférence priraitire de la couronne à laquelle il est attaché; 2° une droite dirigée au centre de la couronne; 3° la développante dont le tracé s’obtient en divisant le cercle dont elle dérive en une inRnité de parties égales trèspetites, en menantdes tangentes parchaque point dedivisiun égales en longueur à la somme des divisions comprises entre les points do contact et celui d’origine do la courbe, et en faisant passer une courbe par les extrémités de ues tangentes. Cette courbe est d’ailleurs engendrée par l'extrémité d’un fil tendu qui se déroule le long d’une circonférence. Les formes des dents correspondantes d’une roue pour les trois espèces de courbes génératrices fixées à celle qui engrène avec elle^ s’ubtieudraiciit aisément à l’aide du tracé indiqué dans le précédent numéro.

63. Lanlertu à futeaux cylindriques , — On ap|ielle lanterne une petite roue armée de cylindres ou fuseaux parallèles à l’axe dont la section est un cercle, et dont les axes sont sur la oiroonférence primitive de la roue; ces fuseaux s’assemblent par lus extrémités sur deux plateaux ou tourteaux ( 6g. 376 ). Pour tracer les dents do l’autre roue, ou disposera la lanterne (7 ( fig. 377 ) de telle sorte que l’un de ses fuseaux touche la ligne des centres au point 7* do contact des cercles primitifs; ce point sera aussi la racine de la dent qui doit saisir le fuseau sur la ligne des centres; et si Tt est le pas de la roue C sur sa circonférence primitive, lo point < sera égale, nient la racine de la dent qui doit quitter un fuseau de la lanterno lorsque celui qui le suit doit être saisi dans la ligne des centres. Joignons le point T au centre a du fuseau en avant, la droite Ta sera une normale au cercle do ce fuseau, et, par conséquent, Tb la plus courte distance du point T à ce cercle. Par le point t et le point b nous ferons passer un cercle dont le centre se trouve sur la circonféronoe C on o; un. aura ainsi la courbe de dont qui doit conduire un fuseau; lu pointé sera en outre la saillie de nette dent, parce que, si clic était plus viourte, la dent quitterait le fuseau qu’elle a engrené, avant que le fuseau consécutif ne fût parvenu dans la ligne des centres où il doit être en prise. Ainsi, l’arc décrit du point comme centre, et d’un rayon égal à Cb, limitera extérieurement les dents de la roue C, Il est entendu que le pas de l’engrenige a été réglé d’après le diamètre des fuseaux, l'épaisseur des dents et le jeu qn’on juge convenable. Celte épaisseur étant

rnOlSlEMK

d’ailleurs mesurée sur la circonFércnce primitive, rien n’est plus facile que de lermiiier la dent par une cuurbe égale et symétrique à celle qu’on vient de trouver. Les dents ne s’étendent ici que jusqu’à la circonférence primitive de C; un les termine au dedans decette circonférence p.vr un creux où les fuseaux puissent se loger arec *im jeu d’autant moindre que la matière de la roue est plus dure. Ces creux sont définis soit par des courbes arbftraires, suit par des rayons qui partent des racines do deux dents consécutives.

Dans les cric», le inouvcnicnt se transmet par rcngroneinent de la lanterne; mais coniine elles sont fort petites, les fuse<iiix ( Cg. 378 ), nu lieu de s’appujer sur des tourteaux, sont liés au centre de rolatiun par des bras arbitraires qui n’enveloppent pas les points de louche des dents contre ces fuseaux.

On remarquera qu’en conserrant le tracé précédent , une lanterne ne peut conduire une roue qu’cji poussant sus dents avant l’arrivée sur la ligne des centres ; si un voulait que l’action du fuseau sur la dent eût lieu encore à partir de 1a ligne des centres, il faudrait que la dent eut une forme concave du cûtédu fuseau qui la conduit, ce qui n'est pas admis en pratique. Ou doit donu éviter de faire conduire une roue par une lanterne. Li-s fuseaux des lanternes frottant plus souvent que les dents, leur diuiuelre doit être des J aux | de l'épaisseur du ces dernières, supposées de nièine matière. Les fuseaux no doivent avoir que la longueur nécessaire pour le jeu des dents entre les plateaux de la lanterne. Il n’y a que la simplicité de construction qui puisse faire adopter les lanternes dans les miicliines, attendu leurs divers inconvénients. Un des plus graves c'est que le point de contact de la dent avec le fuseau ne varie presque pas sur le fuseau, tandis que le contraire arrive sur la dent; le frottenietit ne s’exerçant , par conséquent, que sur l’étendue d’un très-petit arc sur les fuseaux, ceux-ci s’useraient trèspromptement, s'ils n’élaient construits en Fonte. Lesfuseaiix mobib's autour de leur uxiysont très-défectueux; ils acquièrent du jeu à la longue et occasionnent des secousses.

Si, dans les constructions cl-dcssus, on suppo.se que le rayon de la lanterne devienne infini, on aura le cas d'une crémaillère droite avec fuseaux cylindriques ( fig. 379 ); le centre de tons les fuseaux est la ligne primitive de la crémaillère, et la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre sur cette droite équivaut au rayon delà circonférrncc priinitivc du cercle destiné à engrener aviTCcIto

nF.S MACniNES ET DES MOTEURS, crrniaillère. Il est facile de voir qne l.t forme îles dents de la roue est une développante; car celte courbe serait engendrée par la droite primitive des fuseaux en roulant autour de li\ circonférence primitive de la roue. On voit encore que, d'après les raisons déjà spécifiées, on ne doit employer ce système qu’autant que ce serait la roue qui conduirait la crémaillère.

Lorsqu’au contraire une crémaillère est destinée à conduire une lanterne, le tracé des dents de cette crémaillère droite s’effectue absolument de la même manière que pour une roue ; la courbe obtenue par la méthode générale devient une cycloïde dont la génération est due à un point d’une circonférence qui roule sur une droite. On tracera d’abord le cercle primitif de cette lanterne, e’està dire celui qui contient les centres des fuseaux ( fig. 380 •) ; une tangente à ce cercle sera la ligue primitive de la créiuaillère, et devra contenir les naissances des dents de celle dernière. La profondeur des creux de la crémaillère scr.i déterminée par une droite parallèle a la ligne primitive, et passant à une distance égale au jeu qu’on veut donner. La saillie des dents sera enfin fixée par la condition que chacune d’elles abandonne un fuseau, au iiioment où la consécutive saisit un nouveau fuseau. Ce système est quelquefois emplovc ( par exemple, dans les scieries) pour faire mouvoir une crémaillère, à di.mls courbes, par une laulerue; mais cela est défectueux, attendu qu’ici, comme dans le cas général, les fuseaux ne peuvent pousser les dents qu’en avant de la ligne des centres. Si on voulait qne ces fuseaux n’agissent encore qu’à partir de la ligne des centres, il faudrait donner aux dents une forme concave, ainsi qu’il a déjà été expliqué plus haut.

64. On appelle pignon toute roue où la génératrice adoptée pour ses dents est une droite convergente au centre ( fig. S8I ). Les dents d’un pignon ne sont autre chose que des prismes renfermés entre deux rayons, et qui so terminent extérieurement à la circonférence primitive de ce pignon. Ces droites sont ainsi limitées parce qu’elles doivent être conduites par les dents de l’autre roue; mais, pour ne pas laisser d’aré/« vire à la partie extérieure des Bancs, on les termine du côté de la circonférence primitive par un arc de cercîo peu bombé. Quant au tracé des dents, il s’effectue en cherchant l’enveloppe de plusieurs arcs de cercle, dont les centres sont sur les divisions dn pas de l’autre roue et dont les rayons sont égaux

591 TRniSifMF. l’ARTIE.

aux plus courtes distances des divisions correspondantes du pas du pignon à I.i droite génératrice do sa dent. Si les dents de la roue doivent être courtes, on se bornera à un seul arc de cercle. En un mot, îe trace s’efFectuera par la méthode générale indiquée au n°59, et en admettant que le pignon ne doit être poussé qu’â partir do la ligne des centres. Mais il en est ici du pignon comme de la lanterne; ce pignon doit être conduit par l’autre roue. Si le contraire arrive, et qu’il suit lui-même destiné à conduire la roue, il faudra alors armer ce pignon de dents qui devront la pousser en agissant contre des flancs droits pratiqués sur cette roue et convergents à son centre. On s’arrangera de manière que cette action ne commence qu’à partir de la ligne des centres. C’est niéme quand deux dents se pousserunt sur la ligne des centres, qu'un fixera le Creux de l’une et l’autre roue au moyen d’uii creux suffisant qui empêche que le creux ne soit atteint par la pointe des dents engageas. Enfin, les saillies seront telles que chaque dent conduise le flanc de l'autre roue jusqu'au moment où les deux dents suivantes se trouveront sur la ligne CC.

On passe aisément du cas général qui précède à celui d’une crémaillère, en supposant infini le rayon de la circonférence primitive du pignon; les flancs de ce dernier deviennent alors perpendiculaires à la dircelion de la crémaillère et se terminent extérieurement a sa ligne primitive. Le cercle primitif de la roue est tangent n cette dernière ligne, et ses dents sont des des’eluppantes produites par le roulement de la droite ziB ( fig. 38â ) autour du cercle C. Si on veut que la crémaillère conduise à son tour la roue C, on armera la crémaillère de dents courbes, et la roue C do flancs droits assez creux pour que les dents de la crémaillère o’y soient pas arrêtées par leur pointe.

68. Tracé d«$ cames en général, — Les considérations précédentes sont applicables aux cames qui soulèvent les pilons, ou à celles qui agissent sur des leviers mobiles autour de points fixes. Le premier cas est celui d’une roue qui conduit une crémaillère, et le deuxième celui d’une roue qui conduit ce pignon. îlais cuiiime les cames doivent conduire longtemps, et que leur développement est beaucoup plus grand que celui des dents d’un engrenage, on conçoit pourquoi leur tracé doit être plus rigoureux que celui de ces dernières.

5fS

1® Came de pilon. — Une lige rrrliciilc Z ( fig. "83)porlc en saillie nn nienlonhet BE, que soulève une came, ou courbe, fixée à une circonférence priinilive tangente « 1.1 droite toi licale AÈ décrite par l’extrémité du lueiilonnet. Toutefois, le vcritable cercle qui porte la came doit être en retrait arec un certain jeu en arrière du cercle primitif, naiiilenant, pour que le mouvement de l’arbre C transmette son moUTenienl uniforme au menloiinet, il faudra tracer la came comme un en agit d’après la méthode générale. Le chemin parcouru par le mentonnet devra èire égal au chemin décrit sur la circonférence primitive, en sorte que la courbe de cette came sera une développante dérivée de la circonférence primitive tangeUte à la droite AB. Tfi ( flg. 384 ) étant la hauteur verticale dont le mentonnet doit être soulevé à partir de la ligUe de* centres, on cherchera l’arc Tfi' que doit décrire la circonférence primitive pendant lé soulèvement; on partagera la hauteur FS et le pas F6' dans le même nombre de partie* égalés ; l’énveloppe des cercles décrit* avec les rayons BT, BT, 4F, etc., et de* points F, 1', S', S', etc., sera la courbe cherchée, qui n’est autre qu’une développante. Tantèl la came est pleine et armée d’un tenon pour être fixée sUr la roue qui doit la porter ( fig. 88S ); tantôt elle est ëvidée ( fig. 386 ); tantôt enfin c’est une simple lame courbe ( fie- *87 ).

2° Came d'vn levier mobile, — Suppo.sons un levier AT{Bg. 888 ) mobile autour de l’axe C, et destiné à imprimer un mouvement uoifurroeà la tigey^fid’un piston. Imaginons que le levier véFdoive en outre recevoir son mouvement do l'arbre C ; on demande quelle sera la forme de 1.1 came de ce dernier. Ou supposera d’abord qu’à la position initiale du levier AT, son inentuUnet TO soit sur la ligne des centres CC’, Connaissant la vitesse de rolalioii du levier F d’après les conditions du problème, ainsi que celle de l’arbre C , unpattagera d’abord l’inlervalle CC'en deux parties CFet C’F, réciproquement proportionnelles à ces vitesses ; ces parties seront les rayons des deux cercles primitifs tant du levier que de l’arbre; le mentonnet du prejuierest ici une droitedirigée versC. Si la position la plus basse du levier curresi>ond à l'instant où le mentonnet prend la position O, on partagera l’are primitif Tt en un certain nombre de partie* égale* ires-pelites, en quatre, par exemple; on portera ces même* parties de T en t' sur le cercle primitif de l’arbre; puis on tracera l’enveloppe de tous les arcs décrits des points F, 1, S,

38i TRniSlÈStK PARTIE.

3, (' de l’nrc Ti comme cenlrex nrec des rayons éfynax aux plus courtes distances des points dedivision de l’arc 7/(7’, 1', 5', 3', . . . .) à la droite Ct, La courbe o'/i"3"3''. . . . sera la forme cherchée de la came, en tant que celle-ci transmettra le mourement uniforme au levier AT. L’amplitude OT du mentoonet sera obtenue en rapportant l’extrémité d de la courbe par un arc de cercle •or la ligne CT en O.

Quand la came doit rester peu de temps en contact, ainsi qu’il arrive pour les marteaux à choc, la forme de la came est indifférente, et il est inutile de chercher à rendre momentanément le mouvement uniforme, parce que le choc détruit la régularité du iDOuveroent. A la vérité, daus les deux exemples précédents, il y a également choc ; mais la came conduit longtemps,* et d’ailleurs on a le soin de rendre la vitesse du mouvement très-faible.

66. Tmcé dei cames dans le cas où l'on veut éviter le choc. — Quand on veut éviter le choc, il n’est plus possible de satisfaire à la condition de l’uniformité du mouvement. Il suffit de faire en sorte que la came et le inentonnet se prennent et se quittent tangcntiellenient à la direction du mouvement de l’arbre moteur qui porte la came. Si, par exemple, l’arbre C ( fig. 389 ) doit faire tourner le levier CD sans choc, ct l’abaisser jusqu’à la position CCT, on disposera l’arbre C très-prés de la position initiale du levier, ct la perpendiculaire C’a donnera le point a de contact delà came avec lu face supérieure du levier. De même, en abaissant In perpendiculaire Cb pour la position extrême du levier, le point b sera le |K>int de contact d’écAoppée delà came. Mais ou cunnait aussi l’angle aC'b' que décrit l’arbre C pendant que le levier passe de CD en CD^ ! si donc on rapporte le point b en b' sur le rayon Cb' qui fait avec Ca l’angle décrit par l'arbre, on aura les deux éléments extrêmes de la came.

Un système analogue s’emploie pour faire mouvoir un pilon sans choc; le montant du pilon est fendu par une disposition moiséu ( fig. 390) ct semblable à celle du n° 28 , afin de laisser passer la came. Ici la vitesse du mentnnnct est nulle à l’instant où il est saisi par la came, mais elle croit progressivcineni. On pourrait donc encore se proposer de tracer la came de façon que lu viles.e du roentunnetou du levier soit accélérée suivant une loi donnée. On voit à l’avance que plus la came sera courbée, plus la vitesse variera aven douceur. Si on veut que la vitesse soit éteinte à l’instant

où la canic abandonne, il suffira, comme nous l’avons Fait, que la came soit encore tangente à l’extrémité du mentonnet ou du levier. On aura soin, tout en donnant beaucoup de courbure à la came, que le mentonnet ou le levier, en s’échappant, ait le temps d’arriver à sa position do repos avant que l.i came suivante soit arrivée en contact, autrement il y aurait choc et une partie de la course anéantie. C’est par eetio raison qu’on enlève do In came en arrière tout ce qui pourrait s’opposer an mouvement du mentonnet ou du levier devenu libre. Ces dispositifs de cames où l’on cherche à éviter le choc ont, pour le cas des leviers, l’inconvénient que, vers la Sn du contact, il y a repos on interruption ; parce que l’extrémité b de la came doit parcourir le bout blï du mentonnet (figure du levier) qui a déjà été parcouru pendant la durée de la rotation du levier. Mais cet inconvénient est insensible, lorsque le centre de rotation C de l’arbre c.st Ircs-éloigné de l’extrémité des canie.s; car la perpendiculaire bD' diffère d’autant muins de l’arc décrit par l’extrémité è de la came que la longueur CbvtX plus grande relativement à hiy.

67. Engrenage à déeeloppante». — On se donne la développante o'mfc' ( fig. 391 ) d’un certain cercle C Aî'nsscx peu distant de sa circonférence primitive, développante qui est ta courbe d’une dent fixée au cercle dont C est le centre ; je dis que l’antre courbe du cercle primitif en <7 qui touche le cercle primitif C en T sera une antre développante amb, tangente à la première en un point m sur la normale commune KK' passant par T, et que cette développante um6 appartient au cercle CK touché par la normale KK', et concentrique au cercle primitif C, C’est ce qu'il serait facile de reconnaître en employant encore le procédé du n° 60, pourvu qu’en prolongeant les points de division des circonférences primitives en avant et en arrière de la ligne des centres, et nu delà du point où la courbe a'mV rencontre son cercle primitif. Mais il est plus simple d’avoir recourt à cette propriété que la courbe amb est aussi une développante. Voici comment on peut la démontrer. Toutes les normales à la développante a'mb' sont tangentes nu cercle CK' ; on sait en outre que l’autre courbe cherchée amb touche continuellement a'mè'en des points m tels que lu normale commune KK' en chacun de ces points passera par T, point de contact des cercles primitifs. Donc cet normales communes se rstiTlt as aie. isa.

586 TnOISlKME PARTIE.

confuntlronl Ionie* aTpc la tangente invariable TK' au cercle CK', ou avec 1.1 langente au cercle CK, ou bien encore avec la (angenle commune aux deux cercle* C K' el CK, Partant anmi, le* normale* à la courbe aMi se confondront aussi lucoessivement avec la lan* gentc TK de ce dernier cercle ; ce qui n'.inpartient qu'à une déve* loppanle produite par rciiroulement d’un fil Kpa de AT en • autour du cercle CK. On peut d’ailleurs démontrer, réciproquement, qu’en prenant pour courbea de dents les développante* amb el a'mb' de* cercle* CK et CK', tangent* a une droite KK' passant conitam* inciil par le point de contact T des cercle* primitifs, la condition de l’uiiiformilc de mouvement est satisfaite, caries tangentes mX’ et mK' étant, d’après la propriété des développantes, toujours égales aux arcs aK el a K', on voit que a cheminera autant que a'. Mais on a la proportion

CK ; CA’ ;; CT ; cr.

Donc les circonférences primitives, décrivant des arcs proportionnels à ceux que décrivent les cercles CK cl (7 A', décriront ellesuiéiiies simulianéinent des arcs égaux.

Voici mainlciianl une propriété particulière anx dents à développante. Niiimuuns P l’elTort sur l'une et l’autre roue suivant la tangeiile en T, à leurs cercles primitif*; N la pres.sion normale exercée par les deux dent* suivant la direction invariable AA'; il y aura, à cause du luuuvemenl uniforme, équilibre entre l’effort P cl la résistance N : autrement dit, le moment de la puissance P CT sera égal au luomeiit de la résistance jV X CA; d’où l’on tire