partie de poids p', cette quantité de mouvement serait

comme toutes ces quantités de mouvement sont parallèles, leur somme donnera la quantité de mouvement totale du corps, laquelle

\ f,ouMxf.

Ainsi, la quantité de mouvement totale d’un corps roù parallèlement à lui-mème est égale à la masse de cc corps multipliée par la vitesse commune à tous ses points.

46. Mouvement d’un corps lorsque la force motrice est appliquie à son centre de gravité. — Lorsqu’un certain degré de vitesse o est appliqué à tous les points d’un corps pendant un très-petit temps t, on peut calculer (2° partie, 44) la force d’inertie totale de ce corps, puisque, M étant la masse de ce dernier, on a

M Xy

aura pour expression

ÉnilII.IBRE BES FORCES KT.DYXAMIQUF.. 99

Nous savons en outre que celle force d’inertie est appliquée selon la direction coniiunne du nionvemcnt , au centre de gravité du corps. Par conséquent, si l’on suppose qu’à l’instant où le degré o de vitesse va naître, on applique en sens contraire du mouvement et au centre de gravité une force précisément égale à F, il est évident que celte force introduite arrêtera le mouvement. Cela posé, si l’on applique au centre de gravité d’un corps une force motrice A' ( fig. 60 ) , elle lui imprimera un mouvement de transport parallèle. Car celle force X sera égale et directement contraire à la force d’inertie totale f qu’elle fait naître. Autant il y aura de parties du corps, autant il y aura de petites forces partielles /", f , f", . . . . dans lesquelles la force F se subdivisera et qui toutes seront proportionnelles aux poids de ces parties. Ainsi,/ — ^

Les degrés de vitesse que chacune d’elles imprimeront à leurs par-

lies respectives seront ' , - — ^ — , „ — , ou simplement

ftt fit ffi

F t fti

— — , en remplaçant /,/',/", .... par leurs valeurs — F, tH* F t

F, . , . , et comme — est précisément le degré de vitesse

qu’imprime au centre de gravité la force F ou la force X qui lui est égale, on reconnaîtra que pour qu’un corps reçoive un mouvement de traneport parallèle, il faut que la force motrice ou la résultante des forces motrices qui lui sont appliquées passe par son centre de gravité.

47. Mouvement d’un corps lorsque la force motrice no passe plus par le centre de gravité. — Si la force motrice A' était dirigée suivant une droite .dB ( fig. 61 ) en dehors du centre de gravité G du corps, on peut prévoir que le mouvement ne sera plus de transport. En effet, si ce mouvement était parallèle dans tous les points, il naîtrait des forces d’inertie partielles dont la résultante passerait par le centre de gravité G, et si on remplace celte dernière par une force Feontraire au mouvement, cette force F appliquée en G devrait l’arrêter et produire l’équilibre; mais il est impossible que deux forces telles que F et A appliquées aux extrémités d’une droite on barre dG, puissent s’entre-détruire à moins qu’elles n’exercent leur action dans la direction de la barre. En général, si des forces

ÎOO DEUXIÈME PARTIE.

«'fissent d’une manière quelconque sur un corps libre, ce dernier reçoit un inourcment compliqué d’un mouTemenl de translation nu centre de pravité, et d’un mouvement relatif ou de rotation autour de ce centre. Les géomètres ont de plus trouvé que, quel que fût le mode d’action des forces, le mouvement du centre de gravité était le même que si toutes les forces y étaient transportées parallèlement. Ainsi, d’après la composition de ces forces, on peut tonjours trouver le mouvement du centre de gravité, et c’est surtout ce qu’il importe de connaitre. Ia9 centre de gravité de la bombe qui décrit une trajectoire dans l’air, a une vitesse bien antrement rapide que la vitesse relative des autres points autour de ce centre, en sorte que ce mouvement de rotation n’exerce qu’une très-faible influence. La loi du mouvement du centre de gravité est, d’aprè.s ce qui précMe, facile à trouver. Car si on appelle X la résultante de toutes les forces motrices transportées à ce centre parallèlement à elles-mêmes, F la force d’inertie totale, on a X = F. D’ailleurs

F = M Xj partie, 44);

d’où l’on tire t? = —

la

V sera le petit degré de vitesse imprimée à un instant quelconque pendant le très-petit temps t. Enfin, de ce petit degré de vitesse, on passe aux vitesses acquises au bout d’un temps quelconque et de là aux espaces décrits.

48. Force vice totale imprimée à un corps mû parallèlement à lui-méme. — Ce que nous avons dit précédemment s’applique encore à la force vivo totale que possède un corps lorsque toutes ses parties ont un mouvement de transport parallèle. En effet, F étant

la vitesse générale, ^ X sera la force vive de la partie dont le

poids est p, — X colle de la partie de poids p’ , etc.; de sorte que la somme de toutes ces forces vives, c’est-à-dire la force vive totale, sera F^ (~^ ^ ’ ' ) ’ ““ ^ ^ ' ^

résultat prouve qu’on a eu raison dans l’estimation de la force vivo de la voiture du ronlier, de l’évaluer d’après la masse de la voiture

ÉQCILIBRE DES FORCES ET DY.NAMIQLE.

en bloc, au lieu de rechercher téparcment les forces vives des roues, du corps de la voiture, etc. .

49. Concluiion relative au mouvement do transport. — Les considérations que nous venons de développer font voir que dans les niouveraents de transport d’un corps ou d’un système de corps, Us calculs pourront être simplifiés, puisqu’il est permis de faire abstraction de la forme extérieure des corps, de coocen t rcr leur masse totale autour du centre de gravité , et de raisonner sur oc point coratne sur la masse totale.

Tas V Ail. Da LA rasANTEDn daxs lk aowaaEST o’es coars ou d'vv systèie de CORPS, divers équilibres de ces corps.

80. Théorème général sur le travail de la pesanteur. — Jusqu’ici nous avons justifié la concentration de la masse d’un cor|is autour de ^n centre de gr.avité, seulement lorsqu’il s’agit d’un mouvement de transport parallèle. Ajoutons que cette concentration devient, en général, impossible lorsque toutes les parties de ce corps reçoivent des mouvements différents les uns des autres. En effet, les forces d’inertie partielles ne sont plus parallèles entre elles, et leur résultante, c’est-à-dire la force d’inertie totale, ne peut plus être égale à leur somme. Mais, si dans ces mouvements divers on veut évaluer lé travail de la pesanteur pendant un temps quelconque, les actions exercées par cette force sur toutes les parties du corps nu cessent pas d’ètre parallèles et verticales, et, comme leur résultante, et Te poids total, passe constamment par le centre de gravité, ou raisonnera sur le mouvement do ce point comme si la masse y était concentrée, en faisant abstraction du mouvement de rotation de toutes les autres parties du corps; puis on évaluera la quantité do travail dépensée par la pesanteur d’après le produit du poids total et du chemin parcouru par le centre de gravité dans le sens vertical. Si, par exemple , le centre de gravité d’un corps animé d’un mouvement quelconque va de la position C à la position G' ( tig. G2 ) en décrivant une courbe quelconque, on multipliera le poids P de ce corps par la hauteur verticale G'R dont aura monté lo centre de gravité, afin d’obtenir le travail dépensé par la pesanteur dans J’intervalle des deux positions. Ce théorème, à l’égard du travail de la pesanteur, loin d’être particulier au mouvement d’un seul

DtUXIÈME l'AUl'lE.

corps, s’étend à rrnieinble dus pièces liées entre elles, et telles que les roues, les barres, les leviers, etc., dont une luacbine est pour l’ordinaire composée. Si vous calculez In somme des quantités de travail dépensée sur chaque pièce par In pesanteur, vous reconnaîtrez que cette somme est la même que la quantité de travail dépensée sur le centre général de gravité de tout le système. En générai, soient p,p,p", .... les poids de diverses pièces liées entre elles; h, h', h", .... les hauteurs dont leurs centres de gravité particuliers inoiitent ou descendent dans le passage d’une position à une autre, en vertu de leurs mouvements respectifs d’ailleurs quelconques ; P la somme de tous ces points, et z la hauteur dont le centre de gravité général est monté ou descendu. Ou aura

Pz=ph p’k' -f p"A"+ ....

Dans cette égalité, il Faudra ajouter entre eux tous les travaux dépenst^ par la pesanteur sur lus centres de gravité qui ont un lAtuvement ascendant, et retrancher au contraire de cette somme les quantités do travail relatives aux ccnties de gravité qui se sont abaissés. Cela résulte de ce principe, déduit de la résultante des forces parallèles ( 2° partie, 2o ) , que la quantité de travail de leur résultante est égale h la somme des quantités de travail des composantes qui agissent dans un sens, diminuée do la somme des quantités de travail de celles qui agissent dans le sens opposée Ou peut en voir la démonstration directe, en rapportant, dans chaque position, à un même plan de niveau >iB ( fig. G3 ) , des centres de gravité des différents corps, par des perpendiculaires abaissées sur ce plan. Soient 11,11', H", .... les distances perpendiculaires .à des centres de gravité des poids yr, p',//', .... lors de la première position du système, P la somme de ces poids, Z la distance au même point pour la meme position du centre do gravité général, un aura, en vertu du théorème des moments,

PZ = pU -t- P H' -j- p"H" + ;

pour la deuxième position du système, on aurait encore PZ, = pU, 4- P h; -f p”u:' -f . . . .

Les deux égalités étant retranchées terme à terme l’une do l’untre.

leur differenne donnera

En supposant que le plan de niveau AB demeure inferieur à tons les points partiels, on remarquera que Z, — Z est la hauteur s dont le Centre de gravild général a monté ou descendu, selon que Z, est plus grand uu pins petit que Z ; qp’il eu est du luému des dilTérences Jï, — N, ffj — B', .... lesquelles sont égales aux quantités h, h' J h", .... et sont positives ou négatives selon que le centre de gravité des points partieuliers/),p',js", .... ont monté ou descendu. De plus, les quantités P(Z, — Z), p{H, — //), p'[B' — H'),.... •ont les produits des forces par les chemins parcourus dans leurs directions propres , c’est-à-dire les quantités do travail partielles dues à la pesanteur. Ainsi, le travail total dA à la pesanteur sur un système de corps pesants en mouvement, est égal d la somme des travaux des poids qui montent , diminuée de celle des travaux des poids qui descendent,

ïil. Equilibre des corps pesants. — Silesystème des corps pesants est dans une position telle qu’en passant à une position voisine, le centre de gravité général demeure sur une même ligne de niveau , ou que l’on ait Z, := Z, dans ce cas la quantité de travail P {Z, — Z) devleiit nulle et l’on a

pk + p'h" + ....= 0.

Donc, dans une semblable position , la quantité de travail à dépenser pour en déplacer le corps est nulle, les quantités de travail partielles de la pesanteur sur chaque corps s’eniré-détruisent, et il y a équilibre dans le système. Telle est la condition d’équilibre des corps pesants qui sont seulement soumis à la gravité. Toutefois, Cet équilibre se présente sous divers états, selon la nature des positions du système. Si, après avoir dérangé un peu l’ensemble du système des pièces, le centre de gravité général descend, on conçoit qu'il tendra à descendre de plus en plus et qu’il faudrait dépenser une uertaine quantité de travail pour le ramener à sa position primitive. Un tel équilibre est dit instable, parce que le système tend évidemment à s’en écàrler. Au contraire, si, en déplaçant un peu l’ensemble dés pièces, le centre de gravité général s’est élevé, c’est une preilve que ce déplacement a exigé une ccriainc quantité de travail que la pe-

Hauteur tend à restituer; l’équilibre est alors ttable; parce que le système est sollicité à y revenir, quand on l’abandonne à lui-même. Enfin si, après un dérangement analogue au précédent, le centre de gravité général ne monte ni no descend, la quantité de travail dépensée est toujours nulle ; le système n’a aucune tendance ni à revenir a sa première position, ni à s’en écarter. Eu un mot l’équilibre est indiffèrent.

52. Exemple» de» diverte» espèce» d'équilibre, — Considérons, par exemple, une tige tournant autour d’un point fixe ( fig. 64 ') et supportant à sa partie inférieure un corps symétrique par rapport à la ligne milieu qui va du centre de rotation au centre de gravité général G. Il est évident qu’il y aura équilibre , lorsque la tige occupera la position verticale jiG. Je dis de plus, que l’équilibre est ici stable ; car, en éloignant le système de la position ^G, le centre de gravité monte de G en G' en décrivant l’arc GG', et il a fallu dans ce déplacement dépenser une quantité de travail que la pesanteur va restituer aussitôt qu’on abandonnera la tige à elle-inèmo. A la vérité elle fera une suite d’oscillations autour de y^G, mais leur amplitude diminuera par suite do la tendance de la ligne à occuper sa position primitive y^G. Supposez la tige dans une situation opposée à la précédente ( fig. 65 ) : si elle est encore parfaitement verticale, la résultante de toutes les forces de pesanteur ou du poids total plisse par le point d’appui; il n’y a point de raison pour que le corps s’incline plus à droite qu’à gauche, attendu sa symétrie par rapport à la ligne y/G. Toutefois cet équilibre est instable; car, pour peu que le système soit dérangé, le centre de gravité descend de G en G', et il faudrait ensuite une certaine quantité de travail pour le ramener à la position ydG.

Quand un cône ( fig. 66 ) est posé sur sa base et qu’on vient à l’incliner, le centre de gravité de ce cône décrit un arc qui l’élève ; partant, ce corps, abandonné à lui-mérae, revient à sa première position. Si, an contraire, on appuie le cône sur sa pointe rationnellement, il y a encore équilibre comme lorsque ce corps reposait sur sa base ; mais le plus petit mouvement sufiit pour faire descendre le centre de gravité. La première position du cône correspond à l’état d’équilibre stable, et la deuxième à celui d’équilibre instable.

Un cylindre elliptique placé sur on plan de niveau est en équilibre stable ou non stable, scion que le grand axe ou le petit axe de

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. lOU

sa base elliptique est parallèle à ce plan ( fi;;. 67 }. Une boule sphérique qui se ment sur un plan de niveau offre l’exemple d’un équilibre indiflërent. Le centre de gravite ou le centre de figure do cette boule demeurcà la même hauteur au-dessus du plan, et la quantité de travail employée à le déplacer à chaque instant est toujours nulle, do sorte que le corps dans toutes scs positions a plus de tendance à s’arrêter qu’à s’éloigner. Un cylindre parfaitement circulaire est encore dans ce cas.

Les ponts-levis ne sont autre chose qu’un système de pièces à l’état d’équilibre indifférent, ou qtii demeure en équilibre pour toutes les positions possibles. Pour que cette condition soit remplie, il suffît de s’assurer que le contre de gravité général de la bascule et du tablier, dans toutes les positions possibles, à la liaison de ces corps est à la même hauteur ou parcourt un môme plan de niveau.

Les chariots, les voitures ne doivent, à proprement parler, exiger > aucune quantité de travail dans leur transport horizontal, et par conséquent leur centre de gravité total no doit ni monter ni descendre pendant leur mouvement.

Si certaines roues de moulin tantôt se ralentissent et tantôt s’accélèrent, c’est qu’elles ne sont pas cintrées, ou que leur centre do gravité G est en dehors du centre A des tourillons ( fig. 68 Cette roue devient analogue au pendule qui offre altci^nativemeut les caractères de l’équilibre stable et non stable : d’abord l’équilibre est ttahle lorsque le centre de gravité de la roue occupe la position la plus basse; puis ce centre de gravité moule en s’écartant de la verticale AB, et la pesanteur pendant ce mouvement ascendant diminue sa vitesse par petits degrés successifs; arrivé au point le plus haut, le centre de gravité G prend de nouveau une position d’équilibre qui est instable, parce qu’au delà la pesanteur accélère la vitesse jusqu’au point le plus bas que nous avons pris pour point de départ, et dans lequel la vitesse redevient la même.

La balance consiste principalement dans un fléau à bras égaux ACel CB ( fig. 69 ), armé de couteaux dont l’arète D repose dans l’œil d’une chape double suspendue en E. Les deux extrémités du fléau |iorlent deux bassins extrêmement égaux qui doivent contenir, l’un le corps à peser, et l’autre les poids étalous. Une balance peut être •omrde, folle, ou paresseuse, selon qu’elle tend à revenir vers sa position horizontale ou à s’en écarter, ou qu’elle demeure en équilibre ou en repos sous toutes sortes de positions, Frener en particulier le

lüO DEUXIÈME PAimt;.

moment du poida de chèque pièce dont la balance le oompou par rapport à un plan de niveau AB, et divisez la somme de tous cet moments par le poids total de la balance. Le quotient vous donnera la hauteur du centre de gravité G au-dessus de on plan. Sa position sera déterminée, attendu que ce centre doit être compris dans l’axe de symétrie (7F du système. Lorsque le centre de gravité sera audessous du point d’appui D des couteaux , la balance sera tourit, parce que l’équilibre est stable; s’il est au-dessus, la balance est folle et l’équilibre instable ; enfin, l’équilibre est indifférent et la balance /raresseuse, lorsque le centre de gravité de la balance et le point d’appui des couteaux du fléau sur la chape se confondent. Les bonnes balances sont celles dont le centre de gravité est placé audessous du point d’appui sans en être ni trop près ni trop loin.

tQCiLii|i iT üOEvinat > ta coars solibi uiax»

58. Équilibre d’un eorpi libre. — Quand des forces appliquées à un corps se font équilibre sur ce corps, ou qu'elles ne changent point l’état de son mouvement, ou quand elles s’entre-détruisent, il est nécessaire que la somme des quantités de travail des forces qui entrainent le corps dans un sens soit égale i la somme des quantités de travail des forces qui l’entraînent en sens contraire. Pour se rendre raison de ce principe, concevons que l’on ait composé les premières forces qui agissent d’un côté en une seule, et qu’on ait fait de môme à l’égard de celles qui agissent de l’autre côté : le système des forces sera ainsi réduit à deux forces uniques qui devront se faire équilibre; et cet équilibre aura lien quand les deux forces seront égales et directement opposées. Mais lorsquedeux forces sont égales et contraires, la quantité do travail de l’une est égale i la quantité de travail de l’autre , et si d’ailleurs on admet que la quantité de travail de chacune d’elles est égale à la somme des (|uanlités de travail de» forces données dont elle est composée} on

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ÉQUILIBRE UES FORCES ET UYNABIQUE. 107

reconnaîtra ainsi la condition d’équilibre que nous avons énoncée ci-dessus (*).

54. Équilibre et tnouretuent det machines. — Considérons une machine composée de roues qui sont soutenues par des appuis et qui Se communiquent le mouvement, soit par des dents, soit par des chaînes un par des courroies. Imaginons qu’une Force ou puissance fasse tourner la première roue, celle-ci éprouvera une réaction de la part de la deuxième. Cette réaction à son tour devient pour la deuxième une puissance qui tend à la faire marcher ; mais cette deuxième éprouve sur les appuis qui la lient à la troisième, une réaction qui est une véritable résistance à son propre mouvement, et qui devient puissance pour cette troisième roue. Remplaçons maintenant les appuis de deux pièces voisines par les efibrts de réaction qui y sont exercés : chaque pièce deviendra un corps libre, et pour qu’il y ait équilibre autour de ce corps, il faudra que

( * ) Vsioi une démontlration plus rigoarciue pour loi Icctcun qui n« «e oontentertieni

pas de celle do Uile. Soient P, Ç, R, S ( fiç. 70 ) des forces appliquées à un

corps solide de forme quelconque. Prenons dont rinterieur de ce corps trois points quelconques a, h, e, que nous re0arderoos comme les sommets d*un triangle invariable abc, et décomposons chaque force en trois autres selon les droites Aa, Ab et Ac, dirigées du point d'application A de la force h chaque sommet. De cette manière nous obtiendrons trois groupes de composantes qui concourront respeclivemeot aux points a, b, c, et qui auront pour résultanics, le premier la force le deuxième la force X, et le troisième la force Y. L'équilibre est ainsi réduit à celui des trois forces X» X, Z, et il ne sera pas troublé si Ton suppose que les côtés ab, ac, be deviennent fixes tour à tour.

^Dans l'hypothèse du côté fixe ab, les deux Forces X et X sont détruites par la résistance de ce côté, et si la troisième force Y u’élait pas située dans le plan abe, elle le ferait tourner autour de ab. On démontrerait semblablement que les forces X et ^ doivent être comprises dans ce même plan abc coromo la force Y. Maintenant, pour que ces trois forces se fassent équilibre dans ce plan, il faut que l'une d'elles soit directement égale et opposée a la résultante des <leux autres, ou que la résultante de toutes trois soit nulle, condiliou qui entraîne celle que les trois forces coooourenten un même point. Si la résu I. tante des trois forces X, X, X est 0, la somme de leur quantité de travail est nulle. La quantité de travail de chacune d'elles est d'ailleurs égale à la somme des quantités de travail d'un même groupe, et la chose ést évidente puisque ces composantes ont un même point d'application. Ainsi, la somme des quantités de travail det forces X, Y, Z peut être remplacée par U somme des quantités de travail de toutes les forces groupées au* tour de a, b et c. Mais ces dernières, ajoutées trois par trois , donnent la quantité de travail de chacune des forces proposées P, Q, R, S. En sorte que la somme des quantiléi de travail des forces X, X» Z u'est autre chose que la quantité de travail des foroo P, Q, R, S. D'où l'on voit que dans l'équilibre d'un corps solide, la quantité Ma(ê de travail des forces qui le sollicitent est égale à zéro.

la quantité do travail des forces qui tendent à faire marcber le corps dans un sens, soit égale à celle des forces qui le font marcher en sens contraire. A l’égard d’une pièce particulière, cela revient à dire que le travail de la puissance qui la fait mouvoir, est égal à celui do la résistance opposée par la pièce suivante ; en raisonnant de prcmhe en proche, depuis la pièce qui reçoit l’action du moteur jusqu’à celle qui fait l’ouvrage et qu’on nomme outil, ou reconnaît que la quantité de travail do la puissance équivaut à celle de l’outil. En un mot , quand des forces travaillent à l’aide de machines, ou par l’intermédiaire de corps sur d’autres corps, il faudra distinguer les puissances des résistances, et on trouvera que le travail des unes est toujours égal à celui des autres. Si les corps se pressent, s’étendent ou se frottent, les nouvelles résistances qui résultent de ces actions seront comprises parmi les résistances, hiea que ces actions soient inutiles au travail que l’on veut obtenir. L’équilibre peut avoir lieu, soit que le corps reste en repos ou qu’il soit en mouvement. Dans le premier cas, les quantités de travail sont celles qui seraient produites par un petit dérangement du système. Dans le deuxième cas, les corps ne peuvent avoir qu’un mouvement uniforme, leur inertie n’éUnt point alors mise en jeu • les quantités do travail sont mesurées uniquement d’après le mouvement do chaque point d’application des forces, sans que l’inertie entre pour rien dans la comparaison de ces quantités. On conçoit par exemple, que quand une roue tourne régulièrement , l’inertie est tout à fait nulle. Il n’en est plus de même quand la vitesse varie ou que le mouvement ne demeure pas constant. L’inertie lui est contraire ou favorable selon que la vitesse s’accélère ou diminue : on doit alors, dans ces circonstances, comprendre l’inertie parmi * les résistances ou les puissances. Mais la condition du mouvement est toujours la même, c’est-à-dire que le travail des puissances est encore égal an travail de toutes les résistances augmenté du travail de l’inertie, lorsque le mouvement s’accélère, ou diminué de ue meme travail si le mouvement se ralentit.

85. Relation entre le travail des forces sur un corps libre et sa force vive. Exemple sur les trajectoires d’un corps pesant. — Toutes les fois que des forces appliquées à aû corps libre font accélérer ou retarder son mouvement, l’inertie de ce corps se développe, et en vertu du principe de l’aotion égale à la réaction, elle doit être en

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ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 109

é<]iii]ibro AT6G les forces <jui sollicitent le corps j ou bien sa (]unnlitc de travail sera égale à la somme des quantités de travail simultanées des forces qni poussent le corps dans un sens, diminuée des quantités de travail qui poussent ce corps dans un sens opposé. Mais on a vu (1” partie, 8B) que quand un corps prend deux vitesses à deux instants quelconques, le travail de l'inertie est encore mesuré par la moitié de la différence des forces vives que le corps possède au premier et deuxième instant, ou par la force vive qu’il gagne on qu’il perd selon que le mouvement s’accélère ou se ralentit. Donc le travail total de plusieurt forcée eur un corpe dans «m tempe qwlconque eet toujours égal à la moitié de la force vive gagnée ou perdue par ce corpe au bout du même temps.

Soit, par exemple, une bombe dont P est le poids et qui part du point ( fig. 71 ) avec une vitesse initiale K Si la pesanteur n agissait pas sur ce projectile, il suivrait la direction primitive T*. Mais, en vertu de cette force verticale qui est unique dans le cas où le mouvement a lien dans le vide, la bombe est continuellement détournée de sa direction, et décrit en définitif une ligne courbe et nous savons (2° partie, 12) que pour un corps qui décrit un espace quelconque de courbe et qui n’est soumis qu’à l’action de la gravité le travail est égal au produit do son poids et de la projection verticale de cette portion de courbe. Ainsi , à l’égard de la bombe, pendant qu’elle sera transportée de ^ en B, le travail dépensé par la gravité sera Py.BC, ou P y H en faisant BC.

Enfin, appelant F* la vitesse que possède la bombe en B, ~ y

sera sa force vive en — X sa force vive en B et

"g^^' — ^ force vive qu’il aura perdu' pendant son

passage de A en B, dont la moitié doit être la quantité de travail développée dans le même intervalle par la force extérieure qui est ici celle de gravité. On aura donc

Divisant les deux membres de cette égalité par le facteur oommuii P et les multipliant par 2^, on trouve

110 DKUXIÈME l'ARTIE.

Büiic In di(Tér«noe des carrés des tîIcsscs dans deux positions quelconques de la bombe qui se meut dans le vide est égale à la différence de niveau des deux positions multipliée par le double de la Vitesse g que la pesanteur imprime au bout de la première seconde. Supposes que la bombe arrive à terre en D, alors sa hauteur If sera nulle. D’on f"’ — = 0, ou f" . Donc, une bombe

dans le vide, tombe à terre avec une vitesse précisément égale à celle qu’elle a reçue au commencement du mouvement. On remarquera encore quêtant que le projectile monte la pesanteur ralentit de plus en plus la vitesse, et que quand le projectile descend elle restitue à la vitesse ce qu’elle lui avait d’abord enlevé, de sorte qu’à des points également élevés sur les branches ascendantes et descendantes, la vitesse redevient la même. La description de la trajectoire dans le vide s’obtient par des considérations fort simples et fondées sur l’indépendance des mouvements divers d’un même corps et des actions dues aux forces qui le sollicitent dans les directions de ces mouvements (3° partie, K et 8), En effet, on peut regarder le corps comme animé de deux mouvements, l’un horixontal selon l’axe Ax, et l’autre vertical selon l’axe Ag. Les vitesses initiales dans le sens de ces mouvements seront les composantes de la vitesse initiale, estimée d’après le principe du parallélogramme des vitesses. Comme dans le sens horiiontal il n’y a aucune force motrice, le corps décrira dans cette direction de petits espaces égaux pendant une suite de petits temps égaux élémentaires. Mais dans le sens vertical la pesanteur pendant ces mêmes petits temps égaux diminue la composante de la vitesse initiale, de petits degrés égaux de vitesse, de sorte que la loi des vitesses verticales acquises par le corps au bout de ces petits temps égaux est 1 facile à connaître, ainsi que les espaces décrits. Quant aux vérit.ables positions de la bombe qui ne sont que des points de la courbe , elles seront données par l’intersection des parallèles aux deux axes, menées à des distances de l’origine A égales aux espaces décrits simultanément dans le sens horixontal et dans le sens vertical. Si la trajectoire est décrite dans l’air, la résistance de ce fluide diminue considérablement les vitesses des mobiles. La description de la courbe peut encore se faire, pourvu que l’on ait des tables indiquant en poids les résistances qui correspondent à telle ou telle vitesse et au calibre du projectile. Ainsi, connaissant la vitesse initiale et deux composantes, on aura en poids la valeur de la ré-

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

sislance initiale, et par auite les composantes horizontale et verticale de cette force au commencement du mouvement. De ces composantes, l’une est la force motrice de la bombe dans le sens horizontal , et elle diminue la vitesse horizontale primitive, d’un petit degré facile à évaluer pour un petit temps, ce qui donne ainsi la vitesse horizontale acquise au bout de ce même petit temps. L’autre composante de la résistance ajoutée au poids de la bombe donne la force motrice dans le sens vertical ; on déduit de cette dernière le plus petit degré de vitesse dont la vitesse verticale primitive est diminuée pendant le même petit temps que nous avons choisi , ainsi que la vitesse verticale acquise au bout du dit petit temps. La résultante des deux nouvelles vitesses acquises horizontalement et verticalement donnera lieu à une nouvelle résistance qne l’on trouvera dans les Tables et que l’on décomposera gp deux antrea forces ^horizontale et verticale. Les intensités de ces deux forces s’obtiendront, d’ailleurs, en les considérant, ainsi qne leur résultante, comme proportionnelles aux viteues acquises déjà déterminées. Puis on cherchera le petit degré de vitesse dont la vitesse horisontale s’est accrue ou diminuée au bout d’un temps petit , égal au premier, par la nouvelle composante horizontale à la résistance ; on en fera de même dans le sens vertical, en prenant pour force motrice le poids de la bombe augmenté de la composante vertieale de la nouvelle résistance. On voit que de cette manière on parviendra aux vitesses acquises au bout du deuxième petit temps, tant dans le sens horizontal que dans le sens vertical. En continuant ainsi on déterminera la lui de toutes les vitesses acquises, ainsi que tous les espaces parcourus. Au moyeu des espaces parcourus simultanément suivant les directions horizontales et verticales, on construira la trajectoire de la même manière qu’il a été procédé dans le vide. Quant aux espaces réels décrits. Us servirent à faire connaître le développement de la trajectoire.

«OCTEHE^T d’cS COEM ACTOCE b’i!!» AXE.

56. Le travail de forces quelconques faisant tourner un corps autour d’un axe est réduit à celui de leurs composantes dans un plan perpendiculaire à cet axe. — Lo principe démontré ( 2* partie, 1 8 ) da travail des forces sur un corps peut s’étendre à des cas quelconques. Noos allons l’appliquer à celui où un corps tourne autour d’un axe fixé et lié invariablement à cc corps. Imaginons une force R s’exerçant cii un point (fig. 72 ) d’un corps qui tourne autour de LM,ei décomposons cette force en deux autres, l’une 0 parallèle à LM, et l’autre P danikn plan perpendieulaire à cette môme droite et passant par son point d’application A. On remarquera que P est la projection de la force R dans ce plan, et que les composantesdecette dernière peuvent s’obtenir par le procédé indiqué (2* partie, lOj. En agissant de la même manière à l’égard des autres forces appliquées au corps, on les réduira à deux groupes dont l’un se composera do forces parallèles à l’axe et l’antre de forces situées dans des plans qui lui sont perpendiculaires; et de plus la somme des quantités de travail de ces deux groupes sera précisément égale au travail total des forces données. Or, le travail du premier groupe est égal au produit de la résultante des forces parallèles qui le composent multiplié par le chemin que parcourt le corps selon leur direction, c’est-à-dire dans le sens de l’axe; et comme le corps ne peut cheminer sur cet axe auquel par hypothèse il est lié invariablement, on voit que le chemin décrit par les points d’application des forces parallèles est nul, et qu’il en est de même à l’égard de leur travail. Ainsi, le travail total des forces données se réduit, en définitif, à celui de leurs composantes, ou de leurs projections dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation et qui passent par leurs points respectifs d’application.

57. Travail des forces qui font tourner un corps autour d’un axe, — La quantité do travail des forces appliquées à un corps qui peut prendre un mouvement de rotation se réduisant à celle de leurs projections sur des plans perpendiculaires à l’axe, il reste encore à déterminer lo travail de ces dernières. Soient P ( fig. 73 ) l’une

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 113

de ces composantes, A son point d’application sur le corps, et C le point où l’axe coupe le plan perpendiculaire qui contient la composante P. Abaisses du point C la perpendieulaire CD à AP, et observes que l’on a démontré (2° partie, 17) que la quantité do travail d’une force est toujours In même, quel que soit le point sur sa direction, dont on considère le chemin parcouru. Ainsi, la quantité de travail do la force P, estimée d’après le chemin du point D, est la même que pour le point A, Or, le point D décrit dans un très-petit temps tun arc S dont CD eti le rayon. Ainsi, la quantité de travail de P sera P ")(, S. Mais on n’a pas besoin de mesurer immédiatement pour chaque composante le petit arc que décrit le pied de la perpendiculaire abaissée de l’axe sur sa direction, parce que quand un corps tourne, tous les points qui lui sont attachés invariablement, décrivent simultanément des angles égaux,” et par suite des arcs proportionnels à leurs distances de l’axe. En appelant, par exemple. S' l’arc décrit par le point Df autour de C, on aura

S : y cd : cip;

d’où