II

rt, par suite, r =

On pourra , afin de rendre les calculs plus simples , faire T = 8.000.000 pour la fonte et T = 20.000.000 pour le fer forgé. Ces nombres sont plus ronds que ceux qui sont portés au tableau du 11° 72. Ce calcul étant fait ainsi que le précédent, on choisira le plus grand des deux rayons obtenus. On ajoutera A ce rayon, encore trop faible, une plus-value relative A l’usure, que Tredgold estime nu sixième du rayon du tourillon, mais qui noos parait plutôt devoir être proportionnelle au travail du frottement, et que JVv

nous estimons égale A pour on tourillon qui marche toii-

ÜES MACUliXES ET UES MUTEUUS. 4il

jonrs. Dans cette dernière furinule, v est la vitesse effective à la circonférence du tourillon, et A' la pression qu'il supporte.

La règle de Trcdgold pour évaluer le diamètre d’uu tourillon consiste dans cette formule, iV=60 d*, daus laquelle TV représente la pression du tourillon en kilograïuincs et d le diamètre de ce tou> rillon évalué en centimètres. Ainsi, pour A^= 0000 kilogr., un trouve d = 10 cenlinièlres. Cette charge est celle de l’arbre des martinets de l’usine des Pucelles a Mets, dont le tourillon est de 11 centimètres. Il est vrai qu’en ajoutant à 10 le sixième en sus, comme le veut Tredgold, pour tenir compte de l’usure, on aurait avec sa formule un peu plus de 1 1 oentimètres.

86. Arbre* en boit ou en foute. Calcul de leur* dimeution*. — Les arbres en bois sont tantôt d’une seule pièce, et tantôt composés du plusieurs parties. Dans le premier cas la pièce est taillée à 6 ou 8 pans dans le sens de son profil ( fig. 435 ), ou même elle est circulaire. Pour lui donner cette dernière forme, des hommes la font tourner sur place autour de son axe par une manivollo armée du béquilles, et un ouvrier enlève avec une gouge toutes les partiu.s du bois excédantes. Si l’arbre se compose de plusieurs pièces, un donne à celles-ci la forme de voussoirs, de façon que leur réunion forme un arbre creux qui se maintient tel, nuu-seulomeiit par leur arcboutement, niais encore par la pression extérieure d’une fret te dont on les enveloppe les uns et les autres. Au lieu de remplir le vide intérieur, il vaut mieux le laisser, et faire porter le tourillon par un manchon à bras en foute. Les frottes peuvent d’ailleurs se composer do deux parties armées de pattes qu’on rapproche à volonté an moyen d'écrous et de boulons ( fig. 436 ).

Lorsqu’un arbre est en fer forgé on en fonte, sa grosseur est an moins égale à celle du' tourillon. En général , il n’y a que les petits arbres qu'on construise en fer forgé. Si les arbres en fonte ont une grande portée, on les ronfle vers leur milieu.

Les dimensions d’un arbre se calculeront par les règles précédentes dans l'hypothèse de la flexion et de la torsion.

1» Fiction. — Les forces qui agissent sur les arbres des machines se réduisent presque toujours aux poids des arbres et des pièces montées dessus; le tourillon ayant la solidité suffisante, ou n’aura qu’à supposer que la flexion se produit vers le milieu de l’intervallu des tourillons. A cct effet un ddeomposera ciucun des poids des

pièce» montées rar l’nrbre en deux forces appliquées l’anc an tonrilloii lo plut Toiiin, et l’autre au milieu de l’arbre ; les premières composantes seront détruites parla résistance des tourillons. Tontes les antres, appliquées an milieu de l’arbre, seront ajoutées au poids total de cet arbre et formeront une somme que je nomme iP, laqnelle est censée agir sur le milieu d’une pièce appnyéc librement à ses deux extrémités. D’après ce qui a été dit au n" 8S, l’arbre aura les mêmes dimensions que s’il était enc.sstré par un bout et sollicité à l’autre par une force P, moitié de celle qui agit à son milieu. On

aura, en serlu du u' 77, i* X ^ ™= ■fi • d’où

L est la longueur de l'arbre. R ou le coefficient de résist.-iiicc à la rupture est donné par le tableau du ii" 72. On pourrait, pour abréger, faire R = 700.000 pour le clicne, égal à 8.000.000 pour la foute, et égal à 14.000.000 pour le fer forgé. J’observe eu outre que le rayon rsera celui do la section milieu de l’arbre. Si l’nrbro est creux, on défalquera le moment delà résistance du creux pour avoir P y^L, ainsi qu’il a été dit (3* partie, 83), et en nommant P le rayon du creux, on aura

PyL = R.^-R.^.

Lorsque r' est connu d’avance, cette formule donnera r. Il en sera de roemo si le rapport de r' à r est donné, ou si, par exemple, '

r wK -^r, La méthode que nous Tenons de donner, quoique approchée, est cependant bien snAsanle pour la pratique.

2* Tortion. — La résistance A la torsion est indépendante de la charge; mais elle dépend des efforts tangcnticls aux roues montées sur l’arbre. Si l’une d’elles est poussée dans un sens par la puissance, l’antre est poussée en sens contraire en vertu de la résistance. L’arbre tend A se tordre entre les deux roues, comme si l’une était fixe. Rien n’est plus facile que de trouver l’effort tangcnliel F k cbaqnc roue d’après le travail qui Icnr est communiqué (S* partie, 70). Nommant JTIe rajon de l’une de celles pour laquelle l’effort est F, et considcr.vnt l'autre roue comme fixe, r lo rayon de

l’arbra, on aura cette relation des dimensions do l'nrbrOi pour qu’il ait une résistanoe suffisante à la torsion (3* partie, 80),

FX K=T.~;

Les cAtes ou nervures ajoutées à un arbre ne contribuent point à augmenter sa résistanoe à la torsion.

Si l’arbro était mît par une inoniTelle, le calcul s’offccliicrait de la même manière. F serait l’effort exercé sur le bout de la manivelle et K la longueur do son bras. Cet effort se déterminera d’ailleurs d’après ce qu’on a dit touchant le travail des inanivelles. On fera la manivelle plus forte près de l’arbre qu’.à l’extrémité, suivant la forme de la parabole d’égale résistance (3" partie, 77), et on calculera les dimensions de sa plus grande section près de l’arbre, de la même manière que pour le balancier d’une macbiiio à vapeur, et d’après l’intensité de l’effort F qui a lieu sur le bouton. Ilest inutile de répéter que des deux rayons obtenus pour la section d’un arbre soit par la considération de la flexion , soit par celle de la torsion, on devra choisir le plus grand.

87. Botte*. — Les roues en bois, à petites dimensions on de deux mètres de diamètre, ont trois à quatre bras; elles en ont cinq à six ( fig. 427 ), ou même huit , quand elles sont grandes. Ces bras s'assemblent à roi-bois ou à tiers-bois dans l’arbre, et sont destinés à porter les jantes de la roue. La construction de ces roues est trop variée pour que nous entrions dans plus de détails.

Les roDM dentées en fonte se coulent d’une seule pièce avec leurs bras qnand elles sont petites on d’un diamètre inferieur à trois mètres. On fait les rois ou bras plus larges au moyeu que vers la couronne de la roue, suivant ce qu’indique la parabole de moindre résistanoe. Ils sont plus minces que la jante n’est large, et on les renforce latéralement par des côtes on nervures suivant la forme abdc (fig. 428), pour s’opposer à la flexion latérale. Voici une table, donnée par Tredgold, des proportions des rais, selon la nature des efforts exercés a la circonférence des roues, en supposant à ces dernières un mètre de rayon, et six rais.

La première colonne de ce tableau contient les eft'urls tangentiels à une roue; la deuxième, la largeur la plus grande du milieu du rayon dans le sens du mouTement ; la troisième, l'épaisseur ou la saillie de la nervure qui fortifie lu rayon. Pour avoir ces mêmes dimensions pour uno roue d’un tout autre rayon qu’un mètre, on les multipliera p.ir (/ r, r étant le rayon donné. On pourrait encore ici calculer la largeur des ruis par les formules précédentes, on supposant que la rupture se fasse à la base des rais, et que son extrémité du côté de la jante suit sollicitée par l'effort de la couronne. A la rigueur, comme les rais sont au nombre de six, on no devrait prendre que le sixième de cet effort.

Tredgold suppose qu’on donne aux rais une épaisseur perpendiculaire au plan de la roue, et égale au tiers do l’épaisseur de la jante mesurée perpendiculairement à l’axe; mais il n’indique pas cette dernière dimension. On fait volontiers l'épaisseur de la jante égale à cinq centimètres pour les grandes roues de quatre à six mètres, et à deux ou trois centimètres pour les petites roues d'un mètre. Dans tous les cas elle ne sera jamais moindre que l’épaisseur des dents, afin qu’elle soit en rapport avec la puissance qui sollicite la roue.

L’épaisseur de la jante des roues en fonte doit aussi être déterminée par la considération du retrait de la fonte lors de la coulée, et ètromise en rapport avec les dimensions des bras, lorsque ceux-ci doivent être coulés avec la jante. Il nous semble que les rapports les plus convenables sont ceux qui permettent à la junte et aux bras de se retirer également pendant le refroidissement. Or, il est certain que la couronne et les bras tendent alors à diminuer à la fois dans la proportion de la longueur de ces derniers ; de sorte que, si le refroidissement s’opérait suivant la mémo loi , tant pour les bras que pour la jante, à chaque instant, ou si le retrait était proportionnellement le même, il n’y aurait ni tension ni traction réciproque des jantes sur les rais; tout se retirerait ensemble. A cct effet on remarquera que la chaleur contenue à l’instant de lu coulée est proportionnelle au volume de chaque partie, et le calorique qui s’échap(K) proportionnel à 1a surface extérieure de refroidissement. Si donc le rapport du volume à la surface est le même pour les rais et pour la jante, la pièce se retirera également dans toutes ses parties. Calculant, par conséquent, le volume et la surface do la jante, puis ceux des rais, on verra si les rajipurls rcs|)ectif8 du volume à lu

4i« rnOISIÈME PARTIE.

surface sont les mêmes, Oa aura scia daas celte recherche de tenir cpmptcde la surface développée des nervures. Celte règle apprend que la largeur moyenne des rais doit être presque égale à la largeur de la jante estimée parallèlement à l’axe, lorsque les épaisseurs des rais sont les mêmes que celles de la couronne.

Quand la roue est grande, ou qu’elle a quatre mètres et au delà, on fait la janled’oneseolepièco,et on y assemble les bras au moyen de clefset d’étriers boulonnés, ainsi qu’on le voit sur la figure 430. Les bras peuvent être en bois on en fonte. Dans le premier cas, ils se réunissent sur un noyau on manchon en fonte embrassant l’arbre. Ces bras entrent dans des espèces de vides, ou bottes saiU lantea mm, ouvertes du côté extérieur, et y sont maintenus soit par des brides enfer é> (6g. 430), soit par un plateau en fonte P (6g. 4S0). Lorsque les bras sont en fonte, ils font corps avec le roanohoii. Souvent les roues fort larges sont soutenues par plusieurs jantes et par plusieurs systèmes de bras.

£n6n, si la roue tourne fort vite, et ai la jante est épaisse et composée de plusieurs morceaux, comme les volants, la force centrifuge fait effort pour détacher la jante. Cette action est égale à

X ~ » cl 1 dsns cette expression , P représente le poids do la

ianle, V sa vitesse, et rson rayon. Ces morceaux de jante sont réunis entre eux par des liens de fer encastrés et boulonnés, et atlochés avec les bras au moyen d’étriers boulonnés.

tQoiusai DU nviDU.

88. Surfaces de niceau. — Après nous être occupés de la mécanique des solides, nous allons passer à celle des fluides. Sans entrer dans le détail desdéfinilions sur les fluides, qui ont été établies d.ms les Préliminairet de notre Cours do la première année, ainsi que dans tous les ouvrages de physique, nous nous bornerons à dire qu’ils se distinguent en deux genres principaux, le genre liquide

et le genre gazevx ; que les liquides demenrent en repos snr le fond d’un vase ouvert à sa partie supérieure et que les fluides gazeux s’y étendraient indéfiniment par suite de la répulsion réciproque qiio le calorique exerce entre leurs molécules. Néanmoins tous les principes que nous allons déduire seront communs aux uns et aux autres. C’est une loi générale de tous les fluides pesants que quand ils sont en équilibre ou en repos, leur surfaco libre est de niveau ou perpendiculaire dans tons ses points à l’action do la gravité. Si, en effet, cette dernière force n’était pas perpendiculaire à la surface du fluide, on pourrait décomposer cette force pour chaque molécule en deux autres, l’une perpendiculaire A la surfaco et l’autre située dans le plan tangent a la surface près do la molccule -, bien que la première soit détruite par la résistance de la surface, il n’eu est pas de meme de la seconde composante , car elle produirait le mouvement sur sa molécule d’autant plus facilement que toutes les autres molécules seraient entraînées par des coiiiposanles analogues. On voit , d’après cela , que la surface d’un liquide en repos ou en équilibre doit avoir tous ses cléments perpendiculaires à la direction de la gravité. A la surface de la terre , la mer, les grands lacs sont terminés par des surfaces de niveau à peu près sphériques, dont le centre est celui de la terre ; dans une petite étendue, le niveau des liquides (oomme, par exemple, pour l’eau contenue dans un vase] est un plan horizontal.

89. Principe de l’égalité de preiiion. — Considérons un fluide pesant contenu dans un vase ABDC ( flg. 4SI ), et dont MN est la surfaco do niveau. Les diverses parties de ce fluide au repus ou en équilibre sont soumises à deux espèces de pressions dont Tune provient de la gravité, et l’autre d’une cause extérieure qui presse sur tous les points de la surface MN. Eu faisant d’abord abstraction do la gravité, examinons comment, dans l'étal d’équilibre du fluide, la pression extérieure se transmet de molécule à molécule jusqu'aux parois du vase. Si cet équilibre subsiste, il est clair qu’il ne sera pas troublé par la supposition qu’une portion m quelconque de ce fluide SC congèle ou se solidifie. Pour que cette portion ne puisse prendre aucun mouvement , il faut qu’elle suit pressée de toutes jiarts, de façon que la résultante des pressions qu’elle éprouve soit zéro. Parmi toutes les combinaisons qui sont susceptibles do satisfaire à celte condition de l’équilibre, la combinaison spéciale et

4^8 TROISIÈME l'ÂRTiE.

caractéristique des fluides est celle en vertu de laquelle, toutes les pressions exercées sur les fnces qui terminent un fluide sont égales entre elles si ces faces sont égales, ou proportionnelles i ces faces si celles-ci sont inégales.

Voici comment on reconnaît qu’en effet l’équilibre a lieu lorsque les pressions d’un fluide sont également réparties ou transmises sur ses diverses faces, ou sur celles du vase qui le contient, quelle que suit la forme de ce dernier. Soit ABC ( fig. 432 ) un triangle plan fluide dont les cétes AB, BC et AC sont pressés également dans tons leurs points, ou supportent des pressions résultantes proportionnelles à leurs longueurs, pressions qui sont évidemmen t appliquées & leurs milieux G, F et D, selon les perpendiculaires LO, FO et OH. Je dis qu’un tel triangle est en équilibre. Car d'abord ces trois perpendiculaires concourront en un mémo point, ceutre du cercle circonscrit ou triangle. Prenant sur chacune d’elles les parties OL, 01 et OH , proportionnelles aux pressions qu’elles représentent et par suite aux cétés AB, BC et AC, et construisant sur deux do ces pressions 01 ci OH le parallclograumie OIKH, sa diagonale OK sera égale à la résultante dos pressions exercées sur les côtés BC et AC. Le triangle OIK, dont les deux côtés 01 et IK sont à la fuis perpendiculaires et proportionnels aux deux côtés BC ci AC du triangle est évidemment sem-

blable à ce dernier. Donc son troisième côté OK, c’est-à-dire la résultante des pressions des côtés en question, est aussi à la fois perpendiculaire et proportionnel à c’est-à-dire, en un mot, qu’elle est égale et directement opposée à la pression que supporte ce troisième côté. Or, il y a équilibre entre trois forces, toutes les fois que la résultante de deux d’entre elles est égale et directement contraire à la troisième force.

Si le fluide est contenu dans un polygone plan quelconque ABCED{ fig. -433 } dont les côtés sont également pressés dans tous leurs points, l’équilibre se vérifie. de la même manière. Car la résultante des pressions sur AB et BC passera par le milieu du côté AC du triangle ABC et lui sera à la fois |>erpendiculaire et proportionnelle, de sorte que les pressions AB et BC seront remplacées par la pression proportionnelle exercée sur le côté AC. On ferait voir de même que la pression proportionnelle exercée sur le côté DC du triangleZ).,^é7 pourra être substituée aux pressions sur Da et AC, ou remplacer les pressions proportionnelles qu’éprouvent les

trois c6léf AB, BC et AD da polygone. Il ne reste duni; qu’à voir si l’équilibre a lieu sur le triangle DCE, dont les trois eûtes DC, DE eX EC sont également pressés sur tous leurs points. Or, il est crident que cet équilibre est justifié d’après la proposition précédente. Ainsi le fluide est en équilibre lorsqu’il est contenu dans un polygone plan dont les côtés sont pressés également dans tous leurs points.

Si le fluide est renfermé dans une pyramide triangulaire, pressée par des forces proportionnelles à ses quatre faces, ces forces perpendiculaires h ces faces iront encore concourir en un même point, et il serait facile de prouver que la résultante de trois d’entre elles serait à la fois perpendiculaire et proportionnelle a l.a quatrième face, ou qu’elle serait égale et directement contraire à la pression de la quatrième face. Delà pyramide triangulaire on passe aux polyèdres, puisqu’ils peuvent se décomposer en pyramides triangulaires ayant une face commune, chacune à chacune. Enfin, on justifie l’équilibre d’un fluide sur une surface courbe quelconque dont tous les points sont également pressés, puisqu'une telle surface peut être regardée cuiiime un polyèdre d'une infinité de faces. D’où nous conclurons que,- quelle que soit la forme d’un vase dons lequel un fluide est contenu, ce dernier y sera toujours en équilibre, pourvu que les pressions transmises dans tous les puiuts de ses parois soient égales; et comme un fluide jouit de la propriété exclusive de transmettre également la pression dans tous les sens, l’éqnilibre sera toujours possible, quelle que suit la forme du vaso qui le renferme.

Celte proposition très-importante fait voir qu’un fluide supposé sans pesanteur, qu’on renfermerait dans un vase, ne saurait, en réagissant contre les parois, soit par lui-mème, soit en vertu de la pression extérieure d’un piston, produire aucun mouvement sur le vase. Car les pressions qu’il exerce contre les parois du vase étant les mêmes dans tous les points du vase,il y a nécessairement équilibre, quelle que soit la figure de ce dernier. C’est ainsi que quand du vin de Champagne est contenu dans une bouteille, celle-ci ne tend pas a glisser, et cependant le fluide réagit dans tous les sens.

90. Définition de la prettion, moyens de la multiplier. — Le principe de l'égalité de pression nous permet de définir la pression exercée par un fluide sur une surface donnée. Car si tous les points

de celle dernière sont égalemeut preités, la pression lotnio tpiVlle supportera sera proportionnelle à la grandeur de son aire. Noinmanl p le nombre do kilogrammes de la pression par unité do surface ou pour un mètre carré, ^l'aire en mètres carrés de la surface qu’on considère, on aura p A pour la mesure de la pression qui agit sur la surface A. On peut donc multiplier à volonlé une pression exercée sur un fluide, puisqu’il suffira d’agrandir la surface contre laquelle réagit ce fluide. C’est ainsi qu'en pratiquant à un Tase une petite ouverture ou un petit tuyau fermé par nn piston ( fig. 484 ), une pression modérée sur oe dernier se distribue sur toutes les parois du vase, et devient énorme sur les surfaces de ces dernières quand elles sont considérables. Si, par exemple, la surface du piston étant des centimètres carrés, sa pression est de S kilogr., et que la surface intérieure des parois du vase soit de 10 000 centimètres carrn, les parois supporteront une pression totale do b X 10000 ou de 60 000 kilogr. Considérons encore un liquide dont nous faisons toujours abstraction du poids, contenu dans deux vases communiquant entre eux par un canal O (fig. 486) et pressé par un pistpn que sollicite une force P. On demande la pression totale que transmettra ce liquide contre la face d’on piston B qui s’oppose à sa sortie. Si je nomme s la surface du piston moteur, p la pression qu’il reçoit pour une unité de surface, on aura évidemment P = ip. Or, celte pression unitaire p doit, à cause du principe d’égalité de pression, être transmise intégralement è tous les points du liquide, et par suite A tons les points do la surface du piston résistant B, surface que je désigne par s; en sorte que la pression totale qu’il recevra sera égale à sp. D’oA on voit que les pressions totales des pistons A et A sont proportionnelles à leurs surfaces respectives s et S, ou que celle du piston B sera dix fois, cent fois plus grande que celle du piston-/, selon que5scra égale A 10s, à 100s. Mais ce n’est point une raison pour que le travail du piston résistant B augmente dans la rocnie proportion; il ne peut mémo être qu'au plus égal au travail du piston moteur A. En effet, si je désigne par H la hauteur dont ee dernier descend, le travail dépensé par ee piston est égal » P B oa i ip ü. Soit A lu hauteur de course dont monte le piston résistant |>cndant que l’autre est descendu de B, le travail de ta résistance du piston B aura pour expreuion S p y, k. Mais l’eau n’étant pos sensiblement compressible, ne sanrait avoir changé de voiutne pendant