S' X CD CD

en sorte que connaissant S on connaîtra aussi S. Au lieu do prendre l’arc décrit par un point arbitraire, on prend ordinairement celui qui est décrit par un rayon égal à l’unité ; si CD^ est cette unité on aura

5 = y X CD;

en appelant r la grandeur de la perpendiculaire CD, et désignant l’arc de Cl/ par 5,, afin de se souvenir que cet arc a pour rayon l’unité, on aura enfin

Pour une antre composante P' dont la perpendiculaire abaissée de l’arc a pour longueur r', on trouverait de même

Ainsi, les quantités de travail des cpmposantes perpendiculaires à l’axe sont P y. rS, et P X lemarquera que les produits

TStlTt DS «te. INS. •

Digiliz- C^."iOgle

P ,r cl P .r' ue sont que les momenls de ce» composantes. Donc , le travail des composantes, et par suite celui de la force donnée qui lui correspond, est égal a l’arc commun S, multiplié par le moment de la composante. Sachant en outre que le travail total des forces données est égal à la somme des travaux de celles qui agissent dans un sens, diminuée de la somme des travaux de celles qui agissent en sens contraire ; on en conclut que leur travail total pour faire tourner un corps est égal à l'unité de distance de l’axe, multipliée par la difiërence de la somme dus moments de leurs perpendiculaires à l’axe et qui font tourner le corps dans un sens, et do la somme des moments de ces mêmes composantes qui font tourner le corps dans l’autre sens.

S8. Équilibre d’un corp» autour d’un axe. — Si les forces données se font équilibre autour de l’axe, leur travail total est nul, ce qui ne peut avoir lienqu’autant que la somme des moments des composantes perpendiculaires à l’axe qui agissent dans un sens , est égal à celle des moments des composantes qui font tourner le corps dans un sens opposé.

K9. Exteneion du principe de» force» vice» au mouvement de rotation. — Lorsque des forces sont appliquées à un corps qui tourne autour d’un axe de rotation, le mouvement qu’il prend ne peut être que perpendiculaire à cet axe ; si les forces ne sc font pas équilibre, le mouvement s’accélère ou se retarde, et il nait, sur chaque partie du corps, des forces d’inertie qui agissent dans la direction du mouvement, et dont les quantités de travail forment une même somme que celles qui sont développées dans le même temps par les forces motrices. Quand tous les points du corps sont animes de vilessm simultanées qui sont égales, rien n’est plus facile que d’évaluer le travail total de l’inertie pendant un intervalle de temps quelconque ; il est égal à la moitié du produit de la masse totale du corps, multipliée par la différence entre les carrés de la vitesse commune qni a lieu an commencement de l’inter» aile et de celle qui a lieu à la fin. Mais, lorsque toutes ces parties sont animées do vitesses différentes en même temps ( et c’est ce ipii arrive dans un moment de rotation ) , il faut estimer, au commencement et à la fin de l’intervalle, la force vive de chaque partie du corps, faire la somme de toutes celles que possèdent ces parties au commeiioemeiit de l*in-

lÎQÜIMBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. 11S

tervallc, et la somme de toutes celles que ces parties possèdent à la fin J puis retrancher ces deux sommes l’une do l’autre pour avoir l’accroissement total des forces vives. La moitié de ce résultat étant le travail de l’inertie, et ce dernier devant être égal au travail développé par les forces données, ou plutôt ( 9' partie, 67 ) par leurs composantes perpendiculaires à l'axe, on peut dire que dans tout nionvcment de rotation d’un corps, le travail des composantes perpendiculaires à l’axe de rotation est égal à la moitié de l’accroissement des forces vives du corps. Afin de tirer parti de cette relation, il faut une méthode pour obtenir la somme de toutes les forces vîtes que possèdent au même instant les parties d’un corps qui tourne antour d’un axe de rotation.

60. Méthode pour estimer la force vive totale d’un corps qui tourne autour d’un axe. — Considérons, par exemple, une petite partie m ( fig. 7A ) située à une distance r de l’axe de rotation LM, Soient V la vitesse qu’elle possèdes un instant quelconque, p son poids;

M SB masse, on - ; la force vive de celte partie sera - X oM 9 9

m X Si l’on en fait autant pour toutes les autres parties et qn’on ajoute toutes les forces vives qui ont lieu dans un même instant, on observera que la vitesse ^de chaque partie différera selon sa distauce r à l’axe. Elle lui sera d’ailleurs proportionnelle, attendu que toutes les parties du corps tournent simultanément; en nn Mot on pourra trouver les vitesses comme les petits chemins simultanés décrits. Or, on a vu que 5 étant le chemin décrit par la partie m,

on a 5 = r X

Divisant celte égalité par t, ou par le petit temps employé à décrire S,

on tire

On sait que la vitesse, dans un mouvement quelconque, est égale à an très-petit chemin du mobile, divisé par le temps employé à le S S

décrire. Ainsi, F = On aura de même -^=i^,.La viteMe^',

qui n’est autre chose que la vitesse relative au chemin 5',, ou à celui qui est à l’unité de distance, est ce qu’on nomme vitesse angulaire

du corps. Enfin, delà relation ~ = r on tire cette autre,

V=rF, qui indique que la vitesse d’un point quelconque possédant un raouTcmcnt de rotation , est égale au produit de sa distance à l’axe par la vitesse angulaire du corps. Parconséquent, la force vive de la partie m du corps sera La force vive simultanée de la

niasse m' serait de même m'r'‘‘F,'‘. Enfin, la somme de toutes ces forces vives, c’est-à-dire la force vive totale, sera, à cause que Fi‘ est facteur commun, -f- m'r’’ -(- m"r"* Remar-

quons que si le mouvement vient à changer, il n’y a que la vitesse

angulaire F^ qui varie, tandis que le facteur ' . .

wir* -j- m'r' tn'V'’ se reproduit encore dans l’évalua-

tion de la nouvelle force vive. Cette quantité, que les géomètres ont désignée par moment d’inertie, je l’appellerai /, en sorte que la force vive du corps devient F,' X Donc, la force vive d’un corpe gui tourne autour d’un axe, eit égale au carré du produit de ta viteste angulaire, multiplié par ton moment d’inertie. Supposez maintenant que par suite d’une accélération causée dans le mouvement, la vitesse angulaire F, soit, au bout d’un certain intervalle de temps, devenue F,', la force vive à ce dernier instant sera F,’’ X A parce

que 1 ne dépend nullement de la vitesse. On aura donc

I X X pour l’accroissement de force vivo pro-

duite pendant cet intervalle, lequel doit être égal au double des quantités de travail des forces données, ou même au double de celles que produisent leurs composantes selon des plans perpendiculaires A l’axe. Supposons encore que ces composantes soient réduites à une seule force F, et que le chemin estimé dans sa direction, et parcouru pendant l’intervalle de temps que l’on considère, suit B, ou aura

I y. yî’ — I y. = ^e.

Gl. Détermination du mouvement d’un corps qui tourne et qui est tollicilé par une force. — A l’aide du principe précédent on est à même do trouver l’intensité de la force motrice qui fait tourner un corps, quand on connaît la vitesse angulaire de ce corps à deux instants, et le chemin décrit par le point d’application de la force pendant l’intervalle qui sépare ces instants. Réciproquement, si une force analogue à la précédente est donnée , ainsi que le chemin donné

Digiiizcc l'v G(«)gk'

ÉQUIUnRE DES FORCES ET DYNAMIQUE.

par son point d’application, on 'peut conclure l’accélération de la vitesse angulaire du corps. Supposons, par exemple, une roue montée sur un arbre horizontal et qui tourne autour de son centre ( fig. 75 ) ; un poids P est suspendu à une corde enroulée autour de l’arbre. On demande la vitesse que la roue prendra, lorsqu’à p.irtir du repos, la corde ou le {>oids sera descendu de la hauteur H, et par I le moment d'inertie de la roue; I X sera la force vive acquise

et on aura d’où

et, par suite,

62. Application aux volants. — Un volant consiste dans nne ronc ou pièce qui tourne autour d’un arbre horizontal et dont les jantes en fonte, tenues à une assez grande distance de l’axe de rotation, sont liées par des bras à cc dernier. Imaginons que des forces soient appliquées à cetto roue entre deux instants ]iour lesquels la vitesse angulaire du mouvement soit successivement P', et P,' ; il faudra que l’accroissement de la force vive de la masse du volant soit égal au double du travail total des deux forces , ou que l’on ait

I ( — = iFE,

ce qui donne la différence des carrés des vitesses. Si la quantité do travail développée par les forces demeure la même pour riiitervallo de temps compris entre les instants où la vitesse angulaire du volant devient P, et Vi et que l’on augmente son moment d’inertie /, ^FE

la fraction -j- diminuera, et par conséquent ces vitesses angulaires différeront d’autant moins. Et , comme le moment d’inertie est eu raison composée et de la masse du volant et de la distance a laquelle cette masse est rejetée loin do cet axe, ou voit qu’il est toujours possible de disposer ce volant do manière que le mouvev

DEUXIEME l'AllTlE.

ment soit très-peu irrégulier, lors même que la quantité totale de travail développée par les puissances serait très-grande. Remarquons encore que si les puissances agissent entre elles de manière qu’elles accélèrent le mouvement, cet excédant de quantité de travail devient une force vive qu'emmagasine le volant. Si, au contraire, de nouvelles résistances surviennent et que le mouvement se ralentisse, l’inertie du volant s’ajoutera au travail des forces qui favorisent le mouvement pour vaincre ces résistances. Ainsi, l’utilité du volant consiste à absorber l’excès chi travail de la puissance sur la résistance pour le restituer ensuite à la puissance, quand le travail de celle-ci devient inférieur. Aussi y a-t-il certaines machines où sans un volant le moteur ne saurait faire marcher l'outil. Si, par exemple, un moteur est destiné à faire marcher une scie, il est évident que le travail de cette dernière n’est pas le même pendant sa montée et pendant sa de.scente, parce (pic la scie ne mord dans le bois que quand elle descend. Ainsi le travail du moteur, supérieur à celui de l’outil pendant une demi-oscillation, doit lui devenir inférieur pendant la demi-oscillation contraire. Dana le premier cas le volant s’accélère et absorbe de la force vive ; dans l’autre cas, au contraire, cette force vive est restituée et ajoutée à celle du moteur, pour vaincre le travail de la résistance devenu alors plus grand.

63. Dûtance de l’inertie d’un corps qui tourne autour d'un are. — On sait que si une masse tn reçoit dans un très-petit temps t le

degré de vitesse v, la mesure do la force d’inertie f est ^ Pour

une antre masse m on aurait f = — ~ — , et ^ — •

Si de plus les masses m, m', m", font partie d’un même corps qui tourne autour d’un axe, leurs petits degrés de vitesses respectifs sont évidemment proportionnels à leurs distances r, r', r". Donc, en désignant par v, le petit degré de vitesse imprimé à l’uiiité de distance de cet axe, on a

e «= rr, , r' = r'p,, «" = r"r„

d’où

X 7, mV X 7, et /"= «"r" X

ÉQLILIBUE UKS FORCES ET DYNAMIQUE.

Mais si cet acorui‘seiiient de vitesse angulaire v, a été prodait sur le corps par la force motrice /^perpendiculaire It Taxe et appliquée à une distance li de cet axe, cette force est la mesure de l’inerlio du corps et doit faire équilibre n toutes les forces d’inertie partielles .... en sorte que le moment FR sera égal à la

somme des moments fr, f'r, f"/' Substitunnlà f, f, f", ....

leurs valeurs mr X ■y > X y > m"r' X y» • • • • Of*

enfin

FR = -y ( mr’ -|- mV’ ) ,

ou

Donc, le moment de l’inertie totale du corps qui a un inouvement de rotation est égal au moment d’inertie de ce même corps par rapport à l’axe, multiplié par le quotient du petit degré de vitesse angulaire imprimé et du petit temps pendant lequel ce petit degré a été communiqué. Malgré l'analogie qui existe entre le moment de l’inertie d’un corps, et ce que nous avons nommé son moment d’inertie, on reconnaît qu’il ne faut pas les confondre l'on avec l'autre. I,a meme équation

ou

FR X t

nous apprend que quand on connaît la force motrice /'qui imprime à un corps un mouvement de rotation autour d’un axeperpendioii laire à sa direction, on trouvera à chaque instant le petit degré du vitesse angulaire o, communiqué, pourvu que l’on calcule le moment d’inertie du corps par rapport à l’axe. De là, il est possible, au moyen d'une courbe qui a pour abscisses une suite de (>elils temps t égaux, et dont les ordonnées sont les vitesses acquises, du déterminer la lui de ce mouvement.

64. Théorème sur le moment d’inertie d’un corpi par rapport à un axe quelconque. — Le moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe quelconque, moment que, dans tout ce qui précède, noos avons représenté par la lettre/, n’est autre chose que la somme des produits des diverses masses qui composent le corps, multipliée

par le carre de leura distances respectives à l’axe. De tous les moments d’inertie d’un même corps, les plus faciles a obtenir sont ceux qne l’on prend par rapport à un axe qui passe par son contre de gravité. Il est donc important de trouver le moment d’inertie par rapport à un axe quelconque, au moyen de celui qu’on détermine par rapport à un axe parallèle passant par le centre de gravité. Soient GU ( fig. 76 ) ce dernier axe, £JV un axe quelconque parallèle à GH, m une petite masse du corps GKU par lequel nous imaginerons un plan perpendiculaire à ces deux axes qui les coupe en a et en b. Formons le triangle amè > et abaissons du point m la perpendiculaire md à ah, on aura, d’après la propriété connue du triangle,

( mb)' = ( OTo )’ -j- ai’ (Soi X

Désignant par r la distance mi du point in à l’axe quelconque LIH, par r, celle ma du mémo point à Taxe GH du centre de gravité , par JITla distance constante ai des deux axes qui est encore celle du centre de gravité a l’axe LM, et par d la distance ad du point M au plan mené par GH perpendiculairement à celui qui contient les deux axes : l’équation précédente devient

et multipliant par la masse m,

m . r* a= m . r,* -f- m . 2iï .m,d.

Pour d’autres masses m', m" on trouvera

m' . 1^* = m' . r.« -f m' . K’ iK . m' . d',

m" . r"' = -f- m" . A:» -f 2AT . m" . d".

Ajoutant toutes ces équations terme à terme, et appelant I le moment d’inertie mr* wV' m"r"’ par rapport à l’axe quelque LM,] et /, le moment d’inertie mr,’ mV,'* -j- m"r,"’ . . . . par rapport à l’axe GH qui passe par le centre de gravité, on arrive à cette dernière relation ,

I scs I, -|- K' (m -j- m’ m". • . . ) -j- 2AT (m . d -|- m’ . . d’’).

Or, m -{-m' -]- m"-{-. ... est la masse totale du corps;

m. d-j-m'. d’-{- m" , d"-{- .... est lu somme des produits dcchaquo

ÊQUILIIJRE DES FORCES ET DYNAM1(,)UE. 121

masse partielle par sa distance à nu même plan perpendiculaire à celai des deux axes, uu bien celle des moments du ces masses par rapport à ce plan, ou Lien encore le moment de la masse totale M parla distance du centre de gravité au plan. Mais le centre de gravité du corps est situé sur l’axe GH et par conséquent aussi dans le plan du ces moments : donc, la distance à co plan est nulle, et il en est de même de la somme m , d m . d' m" . d" -f-*-** Donc la relation précédente se réduit à cette autre,

Ainsi , le moment d’inertie d’un çorpt prie par rapport d un axe quelconque est égal au moment de ce corps pris par rapport à un axe parallèle qui passe par son centre de gravité , augmenté du produit de la tnasse de ce corps, multipliée par le carré de la distance de son centre de gravité au premier axe. 11 résulte de ce théorème que si les dis* tances des diverses molécules d’un corps à son centre de gravité sont petites comparativement à celles qui séparent ce centre de l’axe de rotation, on pourra tout simplement prendre pour le moment d’inertie le produit de la masse du corps par le carré de la distance de son centre de gravité à l’axe. Enfin, si l’on multiplie les deux termes de l’égalité /=/,-]- MK^ par le carré de la vitesse angulaire y, avec laquelle le corps tourne autour de l’axe extérieur LM, un aura

Or» y' X 1® force vive possédée par le corps ; f'i’ est celle qu’il posséderait s’il tournait autour de l’axe parallèle passant par le ceutre de gravité avec la même vitesse angubiire^, ; MK?y^ est la force vive du même corps en le supposant concentré à son centre de gravité. Donc la force vive d’un corps qui tourne autour d’un axe est égale à la force vive de ce meme corps concentré à son centre de gravité, augmentée de celle qu’il posséderait s’il tournait avec la vitesse angulaire qui lui est propre autour d’un axe parallèle passant par ce centre. Enfin, quand les dimensions du corps sont très-petites par rapport au centre de rotation, ou que /, K y^ négligeable par rapport à / X ® simplement

/ X MK^yj", c’est-à-dire que la force vive d’un corps est égale au produit de sa masse et du carré K’y,’’ de la vitesse de son centre de gravité.

UEUXIESIK l’AUTlE.

6S. Moment d’inertie d’un corps par rapport à ses volumes partiels.

— Les momeiils d’inertie dont il n été jusqu’ici qiicüliun sunt relatives aux masses partielles m, m', m" .... d’un curps. Or si le coq>s est homogène et que l’on désigne par D sa densité ou le poids d’un mètre cube de la matière de ce corps, par a, a', a" le volume des niasses tn, m', m", .... ces dernières sont égales à

DXa Dy,a Dy^a" . ...

— , , , parce que les poids de ces masses

ne sont que le produit de D multiplié par leurs volumes respectifs. Ainsi, le moment d'inertie «ir’ pourra être mis sous

cette autre forme

(af+aV>4-aV'>+ ),

le moment d’inertie du corps par rapport à son volume étant or’-j- o'r’’ -j- o'V"’ .... Il suffira de le multiplier par la densité du corps divisée par la gravité g pour en conclure le moment d’inertie par rapport à la masse.

60. Moment d’inertie de divers corps par rapport à leurs volumes. — Nous allons maintenant indiquer divers moments d’inertie de volumes tout calculés.

1“ Le moment d’inertie d’une barre ( fig. 77 ) dont la longueur est a, pris par r.apport a un axe passant par son milieu et qui lui

est perpendiculaire, est

2» Le moment d’inertie d’un cylindre droit à base circulaire ( fig. 78 ) dont le rayon est r, et c la longueur parallèle à son axe,

est , en nommant r le rapport 3,142, ou , de la oirconference au diamètre, ^ cr^.

3° Celui d’une jante ou d’un anneau rectangulaire concentrique à l’axe ( fig. 79 ) et dont a est l’épaisseur parallèle à cet axe, b la longueur dans le sens du rayon, enfin r le rayon moyen, est

2vra6 ^ ^ 0“ »i™pien>8nl 2sT.oi.r*, à près, quand

b est moindre que j r,

4" Celui d’un segment snhériqne pris par rapport an diamètre

ÉgUlLIBUE DES FORCES ET ÜÏNAMiyUE. 123

passant par le niilioa de ce segment ( fig. 80 ), r étant le rayon de la sphère, et /la flèche du segment, est ......

^ r* — J- rooment d’inertie de la sphère

entière par rapport à un de ses diamètres est t . r^.

5" Celui d’un cène droit à base circulaire ( fig. 81 ) dont r est le rayon de la base et a la hauteur, pris par rapport à cette hauteur

comme axe, est -^oH. Par conséquent celui d’un tronc de cône

drqjt dont a est la hauteur, r et r les rayons de la grande et pe-

titebase, pris par rapport à l’axe, sera r-

6° Le moment d’inertie d’un ellipsoïde, en nommant a, b, c ( fig. 82 ) ses trois axes, et E son rolume = ^ xabc, pris par rap-

port an diamètre a, est ( è’ + *’)•

7“ Celui d’un parallélipipède rectangle dont les trois côtés sont a, b, c ( fig. 83 ), pris par rapport à un axe passant par son centre

et parallèle à l’arète a, est — abc (ô’ -j- c’) ; le moment d’inertie

étant pris par rapport à une droite parallèle à o et passant par le milieu de la face qui a h et a pour côtés, est -^abc (b^ 4c’).

8“ Celui d’un prisme droit à base de trapèie ayant b, b' ( fig. 84 ) pour le plus grand et le plus petit côté parallèles, c pour hauteur perpendiculaire à la fois sur les milieux de ces côtes ; ce moment, pris par rapport à un axepassant par les milieux des grandes bases ô des trapèzes et parallèle aux arêtes a, est

oc

/ô'-fô'’ , c’ b-\-Sb’\ [ 24 +0 b+b’J'

1 if' —I—

Quand iet b’ sont moindres que -g- c, on peut négliger — — ,

sorte que le moment d’inertie devient

-^(i^ai'),à^prèa.

12Î DEUXIÈME l'ARTlE.

0° Si l’on remplace les trapèzes du prisme ci-dessus par des segments de paraboles, dont c ( tig. 8S ) est la longueur du grand axe, b la corde perpendiculaire à cet axe qui termine la parabole , le moment d’inertie par rapport à une droite parallèle aux arêtes a

du prisme et passant par le milieu de è est -^abc

Quand b sera moindre que -^c l’on prendra

J abc ^c' = a.b.c\ à ipres.

la

Ce dernier article est en partie relatif aux bras des balanciers, etc., dont la forme doit approcher de celle de la parabole , pour offrir une égale résistance dans tous les points.

67. Application det momentt d’inertie. — Par exemple , dans le cas d’un marteau qui tourne autour d’un axe O ( fig. 86 ), et dont P serait le poids de la tète, R la distance à l’axe O de son centre de gravité, on pourra ( partie, 64 ) , attendu que les dimensions de cette tête sont ordinairement assez faibles à l’égard de la disp

tance JR, prendre -- . R“ pour la valeur approchée du moment

d’inertie. Quant à celui du manche, on l’obtiendra immédiatement d-’après le résultat (7°) ci-dessus, puisque sa forme est à peu près celle d'un parallélipipède rectangulaire, tournant autour d’un axe parallèle à l’une a de ces arêtes et passant par le milieu b de son épaisseur. £n prenant donc c pour sa longueur et nommant P son poids, R' la distance de son centre de gravité à Taxe, D sa densité, sou moment d’inertie à cause de D' X = P’ *cra

ab

lî

(6.-f c*)-f — abcR' = — 'y 9

La recherche du moment d’inertie se siraplifte pour le volant , en remarquant que toutes ses parties sont rejetées à une distance de l’axe qui est sensiblement constante. Ainsi , en appelant R le rayon moyen du volant, les distances r, r', r'’ , . , , des masses tn, m', m"

à cet axe seront égales à R, d’où / = — X Quant à la force

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE

Tire da volant dont V est la vitesse angulaire, elle est exprimée

par le produit I X ou par — X -W' X Pour avoir la

vitesse angulaire du volant, on comptera le nombre de tours qu’il fait dans un temps détermine; on multipliera ce nombre par 2v,

ou par enfin, le quotient de ce produit, divisé par le nombre

de secondes contenues dans la durée de l’observation, ne sera autre chose que la vitesse angulaire. Supposons que f', soit de 3*" pour un volant dont le poids P est 200 kilogr. et le rayon moyen JR est 2°*, on aura, en remplaçant g par 0"*,81 pour l’expression du

moment d’inertie X 4 = 720, et pour celle de la force «,ol

vive, 720X = dont la moitié représente une quantité de

travail de 8240 kilogr. absorbée par l’inertie du volant et restituée ensuite lorsque la puissance cessera entièrement d’agir.