HIE

Arrivons i la détermination du moment de la pression résultante du fluide ; elle se réduit à trouver le point d’application de cette dernière. Four obtenir ce point d’application , nous chercherons d’abord le moment de ces pressions par rapport à un plan quelconque, et nous choisirons pour ce plan le plan de niveau supérieur, MN. Il est évident que, dans ce cas, le bras de levier de la pression sur l'élément quelconque ah sera A, en sorte que le moment de cette pression partielle sera A X v/xA, ou r . / . x . A*. Un moment analogue s’obtenant pour une autre pression partielle, il ne s’agira

plus, pour avoir la somme de ces moments , que de chercher une somme de prndails tels que xh^. Cunsidërez une pyramide régulière dont la base soit un carré qui a pour côté sa hauteur H, il est évi» dent que toutes les sections do cette pyramide parallèles à cette base seront des carrés, et que leur côté est aussi égal à leur distauce au sommet ( fig. 444 ). Désignant p.ar h une de ces distances, et cherchant le volutue intercepté entre deux tranches distantes entre elles d’nne quantité très-petite et égale à «, la produit xh' sera oe volume intercepté, et la somme de tous ces volumes équivaudra au volume total do la pyramide, ou è

Donc, la somme des moments rl ( xh' x'h'^ . . . ) aura pour

IIP

valeur x , expression dans laquelle II représente la hauteur tu-

taie du niveau MN au-dessus du pied dn batardeau. Si nous divi-

xlH' H 3

sons — J— par la pression totale ou par xlH X le quotient— H

indique que le point d’application do la pression totale ou le eentn

d»prt$Mon, est situé aux — de la hauteur entière de la face verli-

cale à partir du niveau, ou au tiers de celte même hauteur à partir du point le plus bas K. Donc le moment Mal de la pression par rapport à ce dernier point sera

ou s- — lOW* .

Égalant enfin ce moment à celui que nous avons obtenu pour le poids du batardeau, nous aurons cette relation.

1000 UlE' = 1000 ou

on enfin, Sæt H V i* 0,408 .J/.

L’expérience apprend que les batardeaux doivent avoir au moins 1* d’épaisseur, pour ne pas laisser l’eau s’y infiltrer. On fera done toujours E = 1™, tant que la hauteur ^ dn bnl.'irdean sera inoin-

440 TUOISIÈMK PARTIK.

dre que S**. Dans les constructions un se sert d’une règle empirique fort simple pour 6xer l’épaisseur des murs de qnai qui soutiennent à la fois l'ean et la poussée des terres. Le talus extérieur de ces murs

étant à on prend à la moitié de la hauteur , l’épaisseur

égale au -^de cette hauteur. Pour les bnjoyers d’écluse, cette même

épaisseur s’élève à la moitié de la hauteur j c’est plus que le calcul précédent n’indique.

Si les digues sont en terre, on leur donne S mètres d’épaisseur au sommet, et éomme elles sont terminées par des talus naturels en amont et en aval, on s’assure seulement qu’elles peuvent résister au glissement.

98. Épatt$ettr dt$ chaudiiret d vapeur, de» tuyaux de conduite, etc. — Nous avons vu que quand un fluide est contenu dans un vase, il exerce en tous ses points deux pressions ,dont l’nne , dite hydrotlatique, duc soit à une pression extérieure exercée par un piston ou de toute autre manière à sa surface, soit à la tension même du fluide, se distribue uniformément sur tous les points du vase, et dont l’autre, due au poids du fluide, est proportionnelle à l’abaissement do chaque point du vase au-dessous du niveau supérieur. Hais il arrive souvent que la pression hydrostatique est très-considérable par rapport à la charge du fluide, et qu’on peut faire abstraction de la pression duc au poids. Cette circonstance est prinoi|>alement applicable à la vapeur contenue dans une chaudière ou dans des tuyaux de conduite, et rend très-facile le calcul des épaisseurs des vases dans lesquels elle est renfermée.

Considérons donc une chaudière ou tuyau cylindrique ( fig. 445 ) dans lequel la vapeur exerce une pression on tension représentée par P par unité de surface. Si R est le rayon intérieur du cylindre et / sa longueur parallèle à l’axe, ixR X ^ *era sa surface intérieure et ixRl X P pression totale que cette surface supporte. Si, en vertu de celte pression, le tuyau tend à se dilater, et que son rayon devienne A r, r étant un très-petit accroissement do ce rayon, ce petit accroissement représentera le chemin parcouru par les divers points du vase dans les directions de la pression, en sorte que ixRlp X ** travail dépensé par la pression totale pen-

dant In dilatation r. N|i>s la circonférence intérieure, de2vAqu’cUi|

son déTelopperoenl, est derenue 2r {R -{- r), et s'est aussi accrue de Srr.

Cette dernière valeur sera évidemment le chemin parcouru par le point d’application de la résistance des parois à cette véritable traction. Nommons B le coefficient de la résistance à la traction de la substance qui constitue le tuyau , e son épaisseur , / X * Taire de son profil , et Bl la mesure de sa résistance. Par conséquent, le travail de la résistance de la chaudière sera £le X Sv**' Hais, en vertu du principe de la transmission du travail, le travail de la puissance est égal à celui de la résistance ; d’où

%rRlpX r = BU)Xirr,

ou bien, en supprimant les facteurs communs aux deux termes,

et, par suite, .

Dans cette formule les longueurs sont rapportées à l’unité de mesure qui est le mètre; est la pression de la vapeur par mètre carré. On fera p = 10830^ ,. ... = 20660'', .... selon que la pression de la vapeur sera de 1,3,.... atmosphères. On se rappellera que la valeurdeDest égale à 8.000.000^ pour le fer laminé,égale à 4.000.000^ ponrlatèledecnivre,égaleà840.000^ pour le plomb, et à 800.000^ pour le verre.

Lorsque, dans un cylindre vertical, la charge du fluide cesse d’être négligeable, on décomposera le cylindre en tranches, et on cherchera sur chaque tranche la pression exercée par unité de surface en y comprenant celle qui est due à la charge. La formule précédente donnera pour chaque tranche des épaisseurs différentes et plus considérables à mesure que la tranche se rapproche du fond. Hais, comme en pratique on construit les chaudières ou les tuyaux avec une épaisseur uniforme, on choisira celle qui est trouvée pour le fond.

Jusqu’ici on'a supposé au tuyau ou à la chaudière une longueur indéfinie; et il arrive souvent que l’un ou l’autre est terminé par un fond qùi rend le système plus solide. Dans tous les cas on ne doit point compter sur cet excès de solidité. Si ce fond n’était pas appuyé contre un plan inébranlable, il conviendra de lui donner une épaisseur capable de résister à toute la charge du fluide qu’il

«apporte. Cette question , qui n’a point enoore éli «bordée dan« tuutc «a rigueur, peut être traitée ainsi qu’il suit, avec uue approximation suffisante pour la pratique.

Comme ce fond fait corps avec le cylindre, on le supposera réduit A une xone ABDC ( fig. 448 ), symétriquement placée par rapport au centre O et dont la largeur AB soit égale au rayon R. Puis on regardera cotte lone comme un corps prismatique encastré h ses deux bouts et chargé à son milien d’un poids égal A la pression tol.ile du fluide sur le fond. On calculera l'épaisseur de celte pièce comme on l’a fait pour celle de la vanne (S* partie, 94) et il est évident que l’épaisseur obtenue pour la «me ABDC conviendra à fortiori pour les autres bandes du fond. Enfin , il est encore uno dernière considération qu’on ne doit pas négliger, c’est que le fond ne puisse pas être arraché du cylindre. Or, en cherchant la pression totale sur le fond, qui comprend, bien entendu, la pression hydrostatique et celle qui est due au poids du fluide, on la supposera également répartie sur la surface de l’anneau. Si on détermine la résistance de ce même anneau, laquelle est proportionnelle à sa surface et s’estime faciloinent , on verra si cette dernière est plus grande que la pression totale.

90. Équilibre det corps flottants. — Considérons un liquide en équilibre dans un vase; il est visible que cet équilibre ne sera pas troublé si on suppose qu’une masse quelconque O ( fig. 447 ) do ce liquide s’enveloppe d’une croûte très-mince et parfaitement solide. Dès lors cette masse O pourra être regardée comme un fluide renfermé dans un vase, lequel repose sur la tranche PQ qui lui est immédiatement inférieure, ^comme sur un plan invariable ; et, d’après ce que nous avons vu (8° partie, 92), la pression que la masse O exercera sur celle tranche, ou qui sera détruite par cette tranche, sera égale au poids du volume O du fluide. Remplaçons maintenant ce volume O do fluide par un corps de même volume et de matière différente; puisque la tranche fluide oppose à ce corps uno pression égale au poids du volume fluide dont ce dernier tient la place, on doit en conclure que ce corps ainsi plongé perd de son poids une quantité précisément égale A celui d’un pareil volume du fluide. Ce principe, découvert par Archimède, est employé on physique pourtrouver la pesanteur spécifique ou la densité des corps.

Lorsijiic le corps est moins pesant que le volume du fluide égal

DES HAailNES ET DES MOTEURS.

Ail tien, il flotte i la lorfaoo de l’ean de manière à y rester en équilibre. Ce qui eiige que la réiultante des pressions verticales qu'il éprouve de bas en haut de la part du fluide soit égale et directement contraire à la résultante de tontes les forces de pes.mtour qui sollicitent ce corps de haut en bas. La première résultante est, comme nous venons de le voir, égale an poids du volume de fluide déplacé par le corps, la seconde est le poids du corps lui-même. Ainsi, pour première condition de l’équilibre du corps flottant, il faut que le poids du volume de fluide déplacé soit égal an poids total du corps. La seconde condition résulte de ce que les résultantes des deux genres de pression sont l’une et l’autre vertieales, et qu’ainsi elles doivent se confondre sur la même verticale, et comme l’une passe par le centre de gravité du fluide déplacé et l’antre par le centre de grnsrité du corps, on reconnaît qu’il faut en outre que ces deux centres de gravité soient situés sur la même verticale. Telles sont les deux conditions relatives à l’équilibre des corps flottants.

Blais la stabilité de cet équilibre est indispensable pour empêcher le corps de chavirer. Soit, par exemple, un bateau en équilibre sur un fluide dont le niveau est yiB ( fig. 448 ). Ce dernier plan, qu’on nomme plan de fiottaiton, est tel que, prolongé dans l’intérieur du bateau, il en sépare au-<lessous de lui un volume dont le poids en fluide est égal à celui du bateau et de sa charge, et cela quelle que soit la position du bateau. D'où il suit que si, dans l’intérieur de ce dernier, on fait passer une suite de plans séparant de la carène des volumes égaux entre eux et à celui de l’eau déplacée par le bateau, ces plans se confondront tour à tour avec le plan de flottaison tontes les fois que le bateau prendra les positions convenables. Mais ces plans peuvent être regardés comme enveloppant une même surface courbe abc, à laquelle ils sont tangents -, de sorte que, dans toutes les positions possibles, cette surface demeurera tangente au plan de flottaison Nous pourrons donc la regarder comme liée invariablement an bateau, et comme forcée de rouler sur le plan AB. Si maintenant on mène è cette surface deux normales infiniment voisines qui se coupent en o, ce point sera lu centre de rotation autour duquel la surface acb tournera en même temps que le bateau et le centre de gravité de ce dernier, pour passer à une position infiniment vutsino de l'équilibre voisin. Or, on sait (2* partie, 51 ), que l’équilibre sera stable ou non stable,

414 TROISIËUE PARTIE.

selon qnc, ponr un changement de position très-petit, le oenlre do gravite dn système s’élève ou s’abaisse ; ce qui arrive ici scion que, sur la verticale primitive d’équilibre oc, le centre de gravité du bateau est au-dessous ou au-dessus do ce point o, qu’on nomme mètacentre. Donc l’équilibre sera stable toutes les fois que le centra de gravité du bateau est au-dessous du mètacentre, et que, par conséquent, la stabilité de l’équilibre sera assurée quand le centre de gravité du bateau est plus bas que le centre de gravité du fluide déplacé. Mais il ne s’ensuit pas que cette condition soit indispensable ; car cet équilibre aurait encore lieu, lors même que le centre de gravité serait plus haut, pourvu qu’il demeurât inférieur au mètacentre. Supposons deux bateaux égaux entre eux et flottant dans un liquide dont le niveau est en MN ( fig. 449 ). A vide ils déplacent un certain volume d’eau dont le poids est égal aux poids des deux bateaux. Si on ajoute dans leur carène une charge de 2000 kilogr., ils s’enfonceront dans l’eau jusqu’à ce que le volume d’eau déplacé so soit augmenté d’un nouveau volume pesant 2000 kilogr.

Imaginez que dans cet état on attache an système dos bateaux une corde dont l’extrémité est fixée à un objet qu’on veut enlever au fond de l’eau, et que la corde ait été fortement tendue au moyen de cabestans ; on conçoit que si on enlève à ces bateaux la surcharge des 2000 kilogr., la pression du fluide contre les bateaux de bas en haut surpassera de cette même quantité leur poids : ainsi ils agiront sur le fardeau qu’on veut soulever avec cet eSbrt de 2000 kilogr., et l’enlèveront si la fésistance de ce fardeau est inférieure à cet effort.

Au lieu d’àvoir recours au mode des chargements, on peut, dans les ports de la Manche, profiter de la marée montante; on en a même agi ainsi à Cherbourg pour enlever les débris du batardeau dont un avait fermé le passage do l’avant-port pendant la durée de l’excavation de son bassin.

Si on suppose une itiasso fluide dans un vase, en communication avec un tube mince vertical, ouvert à sa partie supérieure a ( fig. 460 ), il est évident que, dans l’état d’équilibre entre les pressions hydrostatiques qui ont lieu, tant dads le vase que dans le tuyau, le liquide occupe dans l’un et l’autre le même niveau BiN. Si on ajoute une surcharge a la surface de l’eau dans le vase, l’eau t’y abaissera, et elle s’élèvera 4aqs le tuyau jusqu’à co que la hau->

tear de la colonne en b .lo-dcisus du niveau ÂB dans le vase fasse équilibre à In surcharge. Cette propriété fournit un nouveau moyen de peser les corps; on peut même établir sur le tube une échelle indicatrice des poids qui, placés sur le piston AB, font élever la colonne d’eau à la hauteur des degrés de cette échelle. Mais les inconvénients de cette méthode consistent dans les frottements dn piston AB; il faudrait avoir recours à rexpérience pour en tenir compte et tracer l’échelle. C’est sur ce principe qu’est fondé le système de la balance destinée à peser les voitures sur lés routes. Peut-être vaudrait-il mieux faire reposer les voitures sur un grand cylindre flotteur qui, à mesure qu’il s’enfonce, déplace un plus grand volume d’eau, et fait élever le niveau supérieur de l’eau dans le vase même qui le contient. Ou aurait également un tube indicateur en communication avec le vase, et où l’eau s’élèverait à la même hauteur que dans le vase. De cette manière on éviterait l’inconvénient des frottements dont nous avons parlé à l’égard de la première balance.

au roaru.

07. Potnpe atpiranle. — Quoique la description des pompes ait été faite dans beaucoup de traités de (ihysique, il est nécessaire d’en donner une idée succincte, afin d’expliquer ensuite leurs propriétés squs le point de vue mécanique. ABCD ( fig. 4SI ) est un tuyau cylindrique vertical plongé dans un fluide dont le niveau est LM, et ouvert par les deux bouts ; il est évident que le niveau s’établira dans l’intérieur du tuyau à la hauteur de LM, parce que le niveau de cet intérieur et celui de l’extérieur sont chargés d’iine même pression, qui est la pression atmosphérique, et qu’il faut que les deux charges sur l’extrémité ouverte soient égales. Si, de plus, on y adapte un piston dont le jeu puisse s’exercer dans son intérieur, alternativement de haut en bas et de bas en haut, on aura ce qu’on nomme une pompe aspirante. Car, si le piston est

nmenô sur I.i surface do l'eau de Façon qu’il ii’y ait pas d’air iiilerpusé entre cette surface et la base inférieure du piston, et qu’on élève ensuite oc piston, il sc produira, ou plutèl il tendra à se produire au-dessous du piston, un vide que l’eau remplira aussitôt. Four concevoir en vertu de quelle pression l’eau s’élève ainsi avec le pistou, il faut observer qne la pression qui agit sur BC de bas en haut, et qui provient du niveau extérieur, est égale à la pression atmosphérique augmentée de celle qui est due à la charge BB de ce niveau. Quant a la pression antérieure qui résiste de haut en bas contre BC, elle est seulement due au poids de la colonne de fluide remplissant l’espace du tuyau laissé au-dessous dn piston ou de la colonne abCB, Donc, la pression résultante, qui pousse le fluide de bas en haut, équivaut à la pression atmosphérique plus le poids d’uue colonne de fluide ayant BB pour hauteur, moins le poids d’une colonne du même fluide de hauteur aB ; en un mol, cette pression équivaut à la pression atmosphérique diminuée de celle qui est duc à la charge de la Imutour Ba, c’est-à-dire à la charge do l’eau déjà élevée en arrière du piston au-dessus du niveau LM. Donc, l’eau pourra s’élever jusqu'à une hauteur où lo poids de sa charge an-dessus du niveau fera équilibre à la pression atmosphérique, et cumme cette dernière pression est celle d’une colonne d’eau ayant 10'”,38 do hauteur, il faut en conclure que l’eau ne suivra pas le piston au delà do 10'",33 au-dessus du niveau LM à l’aide d’une pareille pompe. Quoiqu’eti effet la pression barométrique soit telle que nous venons de la définir, plusieurs causes s’opposent à ce que l’ean puisse être élevée à la limite supérieure qu’elle assigne. D'abord l’eau du puits renferme environ cinq pour cent d’air naturel, qui se dégagera immédiatement au-dessous du piston, parce qu'en cet endroit la pression do liquide est nulle, et il on résultera une certaine réaction de bas en haut qui s’ajoutera à la charge du liquide pour contre-balancer l’action extérieure de l’atmosphère sur le niveau LM. Cette réaction se détermine facilement, puisqu’on connaît la quantité d’air à l’état naturel qne contient un certain volume d’eau, et que, d’après la loi deMariolte, sa tension varie en raison inverse de ses divers volumes. A cette réaction se joint encore celle do la vapeur qui se forme dans lo vide produit par le piston, et dont la tension relative à la température du lieu est plus forte en été qu’en hiver. Enfin, un piston ne joint jamais herniéliqucment les parois du corps do pompe, et

donne issue .soit ù l’air extérieur, suit à IV.xu qui sc trouve nu-dcssiis du sa surfaee supérieure : oet etfct est mèiuc tel que si le piston restait au repos, le dessous finirait par se remplir d’air naturel; mais la levée du piston se fait trop vite pour qne la capacité laissée au-dessous du piston ait le temps de se remplir d’air. Quoi qu’il en soit, on voit que le pistou , dans les pompes aspirantes, uepeut s’élever au-dessus du niveau LM, que d’une qnautité inférieure à la hauteur 10°’,St2, dont le poids d’eau mesure la pression atmosphérique ; cette hauteur liraitéo est au plus de 30 pifjds dans les pompes parfaites, et do 38 pieds dans les pompes ordinaires. Si maintenant on conçoit deux soupapes à clapet m, ns ( fig. 453 ), destinées i fermer ou à ouvrir deux ouvertnres pratiquées dans l’épaisseur du piston, de manière à faire communiquer, selon les circonstances, l’intérieur du corps de pompe avec le dessus du piston, et qu’en même temps le fond BC soit garni d'une soupape is à coquille ou du forme conique qui intercepte on rétablisse hi communication des eaux du puits avec l’intérieur du corps de pompe, vous auret une idée asses complote de la pompe aspirante. Les soupapes mm ( fig. 453 ) sont des lanières de cuir fixées par un bout au piston et chargées d’une rondelle de plomh, de telle sorte qu’elles ne penvont s’ouvrir que do bas en haut. Quant à la soupape à coquille <s ( fig. 454 ), c’est un petit tronc conique implanté sur une tige verticale mobile dans des guides et qui tantôt s’applique sur le fond BC et tantét s’en détache de bas en haut.

Voici maintenant en quoi consiste le jeu de ces sonpapes. Supposes que le piston, à partir du fond BC ( fig. 453 ), suit soulevé; le fluide au-dessous de BC va réagir en vertu de la prmsion atmo i sphérique extérieure sur le niveau LM, diminuée de celle de la charge dn liquide intérieur au-dessus de ce niveau, et U soulèvera la soupape à coquille «, qui demeurera ainsi ouverte pendant toute la durée de la montée du piston ou do l’aspiration. Quant aux soupapes snm, comme il se forme un vide pendant la durée de l’ascension au-dessous du piston, elles seront tenues fermées par la pressimi atmosphérique supérieure. Arrivé au haut de sa course , imagines que le piston vienne ensuite à descendre, le piston va rencontrer le fluide, et ce dernier transmettant la pressioa imprimée par le moteur au piston, jusqu’à la soupape », celle-ci sera forcément fermée. Mais alors aussi le fluide contenu dans l’intérieur de la pompe, an-dessous dn piston , réagit ««mire les clapets mm,

et ceux-ci s’ouvrent dès que la pression du liquide, et celle que le moteur impriiuenu piston, l’emporte sur la pression atmospliérique extérieure. De cette manière tout le fluide compris entre le bas du piston et le fond BC aura passé au-dessus de In surface supérieure du piston , après une descente complète , sauf les portions qui se seront perdues par suite des fuites et qui seront rentrées dans le réservoir commun. Si maintenant on établit un dégorgeoir en d ou tuyau au-dessus de la course du piston, l’eau passée au-dessns du piston pendant la.descente, s’échappera pendant une nouvelle ascension. Telle est la manière dont le jeu se continue indéfiniment dans la pompe aspirante.

Dans la pratique , on ne peut faire parcourir an piston qn’un espace limité. Cette conrse est de cinq à six pouces quand la pompe peut être manœuvrée par nn seul homme, et de cinq àlJsix pieds pour les machines puiuantes. 11 convient que la partie du corps do pompe parcourue par le piston soit un cylindre parfaitement alcié dans son intérieur. Le reste de la pompe n’exige pas autant de précision. De ce que l’espace parcouru par le piston est si court , il n’est plus nécessaire que la soupape a clapet, qui laisse passer l’eau du réservoir à l’intérieur du corps de pompe, soit placée à la hauteur du niveau LM ; elle peut dune être établie au-dessns.

Les pompes généralement usitées à Mets consistent dans deux cylindres en bois A ol B { fig. 465 ), de deux pouces de diamètre intérieur, et réunis bout à bout par uu cylindre de cuivre C, d’un diamètre intérieur uu peu plus grand; lequel est destiné à recevoir le piston, et qui, par cette raison, se nomme l’<My>ira(e«r. La partie au-dessus est le corps de pompe. Quant au cylindre £, il porte au haut la soupape à clapet n, et il est terminé au bas par un vase métallique, ou grenomllirt, percée de trous et qui empêche que les corps flottants ne montent dans la pompe. Ainsi que je l’ai dit, les diamètres intérieurs de et B sont égaux ; le diamètre du piston doit aussi en diflTércr le moins possible, mais il est rendu un peu plus grand, afin que les ouvertures pratiquées dans ce piston donnent à l’eau simultanément une issue au moins égale à l’aire intérieure du corps de pompe. Si cette issue, ainsi qu’on le verra, était moindre, les étranglements qui en résulteraient, occasionneraient uue perte de force vive ou une diminution dans le travail utile.

Uu autre dispositif consiste à faire le tuyau inférieur un peu plus étroit que le corps de pompe dans lequel se meut le piston, à cou-

l)i:S MAf.UlNES ET DES .MOTEURS. 419

(1er cc tuyau aapirnteur, ai le réservoir est éloigné de l’espiioe où le piston doit se mouvoir, et ù établir la soupape n ( fig. 4K6 ) qui doit donner passage à l’eau dans le corps de pompe au sommet du tuyau. Mais il peut arriver que, quoique le jeu du pistou ait lieu à une hauteur inférieure à la limite où l’eau no puisse plus monter au-dessous de lui, l’eau s’arrête dès sa première aspiration dans le tuyau aspirateur, et ne parvienne plus dans le corps depompe après un second coup de piston.

Nons considérerons seulement le cas où la soupape dormant» n est placée au bas du tuyau aspirateur, ab ( fig. 457 ) est la position la plus basse du piston, et a'b' sa position la plus haute. Avant la première aspiration, l’air contenu dans la partie efhg est censé à la tension naturelle, et il se dilate, lorsque de la position ab le piston passe à la position supérieure a'b‘ ; pendant celte ascension, l’eau monte tant que cet air se dilate, et s'arrête en cd au moment où le piston est en a'b', et il est évident que la pression do l’air renfermé entre cd et a'b' est moindre que la pression atinospliérique agissant sur le niveau LM, puisque la pn^ssion due au ressort de l’air intérieur, augmentée do la charge dA, fait équilibre à la pression extérieure sur le niveau LM. Lorsque le piston descend de a'b', la soupape n se ferme, et celles du piston ne s’ouvrent pour donner le passage a l’air compris entre sa surface inférieure et le niveau cd, qu’autant que cet air intercepté n acquis uuc pression supérieure ù la pression atmosphérique qui agit au-dessus du piston. Par conséquent, lorsque le piston est parvenu à sa position la plus basse ab, l’air compris dans l’espace e/i/c est ù la tension dcl’uir extérieur. Appelons H la hautenr 10‘°,33 de la colonne d’eau qui mesure cette tension. A' la hauteur d’eau contenue dans le tuyau aspirateur au-dessus du niveau LM, On voit que, pour une seconde ascensiondu piston, l'air compris dans l’espace e/dc occupe l’espace abb'al efdc, si la colonne d'eau ne change pas sa hauteur A'. Or, en vertu du principe de Mariotle, la tension sera alors mesurée par

une hauteur d’eau égale à—; — ^rr-r^r—rr t puisque les pressions “ oA . A O efdc ’ ^ ‘

varient en raison inverse des volumes, et il est évident que l'eau

ne montera pas dans le tuyau aspirateur toutes les fois que

A' -I ; — , qui mesure la pression de haut en bas sur

' ab . ba efdc

gh, est égale à H, ou plus grand que //, hauteur qui repré.senle lu rniiTL nr vrc. isn.

pression exercée de bas on haut contre gh par la pression atmosphérique sur le niveau LM. Cctio dernière condition peut être satisfiiile, quoique la hauteur a'b' au-dessus de LM soit inférieure ê celle qui correspond à la pression atmosphérique. Le calcul apprend que cet accident n’est pas a craindre tant que la hauteur du corps de pompe au-dessus du niveau du réservoir est moindre que vingthuit pieds.

98. Pompe atpirante et foulante, et pompe timplement foulante. — Dans la pompe aspirante et foulante, le piston ne porte plus de soupapes à sa surface et refoule l’eau dans sa descente. Il y a toujours une soupape dormante n ( fig. 458 ) au sommet du tuyau aspirateur comme dans la pompe précédente. Le piston aspire l'eau pendant sa montée; puis en descendant ce piston la presse fortement au-dessous de lui, et s’en échappe par un tuyau latéral pour s’élever à la hauteur voulue, qui ici peut être quelconque, selon la pression que le moteur exerce contre le piston. On place à l’entrée de ce tuyau une soupape S, qui s’ouvre du dedans au dehors du corps de pompe, et qui , en retombant par son propre poids pendant l’aspiration, empêche l'eau du tuyau latéral de descendre.

Dans les pompes foulantes le corps de pompe est coudé; le piston joue dans la partie inférieure plongée du corps de pompe au moyen d’un système de manœuvres dont le plan est perpendiculaire nu tableau et qui embrasse le corps de pompe sans le remonter. Au-dessus do la course du piston qui, comme nous l’avons dit , s’effectue au-dessous du niveau LM ( tig. 459), est un diaphragme percé d’une ouverture que ferme une soupape E, capable de s’ouvrir de bas en haut. Une semblable soupape F est adaptée à la surface supérieure du piston , et couvre les ouvertures dont il est percé de part en part. Pendant la descente du piston , la soupape E est fermée et la soupape A’ est ouverte. Pendant la montée, le contraire arrive : la soupape /"du piston reste fermée; l’eau refoulée do bas en haut par le piston force la soupape E à s’ouvrir et s’élève dans le corps de pompe. La hauteur à laquelle elle montera ne dépendra ici que de la force du moteur qui fait mouvoir le piston.

Nous renverrons pour plus do détails sur la pompe aspirante, sur la pompe aspirante et foulante, et sur la pompe simplement foulante, nu 3* volume du Coure de Géométrie et de Mécanique induttrieUes, de M. Dupin, 10” leçon, page 31 1 et suivantes.

DES HACHINES ET DES MOTEUBS.

99. Travail de» pompe». — La disposition des ]>oinpet varie à l’infini , mais il existe deux principes communs à toutes les espèces :

1* Le volume de l’eau élevé à chaque coup de piston est un peu moindre que celui de U course cylindrique du piston, et c’est ce qu’il est aisé de voir d’après les descriptions précédentes ; je dis un peu moindre, à cause des fuites que permet le vide qni subsiste toujours entre le corps de pompe et le pourtour du piston ;

î' Le travail développé sur la tige du piston est égal au travail des Frottements et résistances, plus an travail équivalent au produit du poids d’eau élevé à chaque oscillation et multiplié par la hauteur comprise depuis le niveau LBÊ inférieur jusqu’au dégorgeoir de la pompe. Ce dernier travail représente évidemment , d’après nos théorèmes, reffet utile ; on peut cependant encore le démontrer pour chaque cas individuel.

Dans les pompes foulantes le piston en de.scendant ne produit ancun travail' utile. Hais en montant il a à vaincre la pression d’one colonne de fluide dont la base est celle du piston et dont la hanieur est celle du dégorgeoir au-dessus de la tète du piston. Nommont H la hauteur du dégorgeoir au-dessus du niveau LM du réservoir, y la hauteur variable de ce dernier au-dessus de la tète du piston, H-\-y sera la hauteur totale de la colonne d’eau qni presse le piston de haut en bas. Mais ce même piston est pressé de bas en haut par le niveau LM avec une force égale au poids d’une colonne d’eau ayant y pour hauteur; ainsi le piston résiste de haut en bas avec une pression mesurée par la différence H y — y, ou H. Si je nomme tr le poids d’un mètre cube d’eau, A la base du piston, v .A . If »eva la pression utile que doit vaincre le moteur pendant la montée, et si j’appelle £ la course du piston, x .A ,H ,B sera le travail utile. Or,

x.A.U.B^w.A.By^Ui

yÿ . £ est le poids du volume d’eau égal à la course du piston, c’està-dire le poids de l’eau monté à chaque coup; donc le travail utile dans la pompe foulante équivaut effectivement au produit du poids de l’eau élevée â chaque coup et de la hauteur du dégorgeoir audessus du niveau inférieur.

Dans la pompe aspirante et foulante, lorsque le piston moute, sa surface supérieure est pressée de haut en bas par l’atmosphère, et

«a surface inférieure de bat en haut par une pression atmosphérique moins la hauteur y du point de sa course où il se trouve au-dessus du niveau LM ; c'est comme s’il était pressé de haut en bas par une colonne de liquide ayant en hauteur l’élération y du piston audessus de ce niveau ; son travail instantané utile est donc égal à X . jiy .b, h étant l’espace très-petit <(ue le piston parcourt pendant un temps élémentaire. Or, Aby est le moment du volume élémentaire de course par rapport au niveau LM, la somme de tous ces moments multipliée par x représentant le travail utile pendant une ascension, on voit que si on nomme y, la hauteur du centre de gravité du volume de la course totale dont B est l’amplitude, le travail total pour une course ascendante du piston sera xABy,. Pendant la descente, le piston est seulement chargé du poids du fluide contenu dans le tuyau latéral, et si on nomme s, la hauteur du dégorgeoir au-dessus du centre de gravité de la course du piston, le travail utile que le piston aura à vaincre pendant sa descente sera xABt,. Ainsi, pendant une oscillation complète , le travail utile sera xAB (s, -j- y,). Or, la somme s, -f- y, n’est autre chose que la hauteur H du dégorgeoir au-dessus du niveau LM : donc, le travail utile pendant une oscillation complète sera X , A . B . H, c\. conduit à une conclusion analogue. On raisonnerait de la même manière pour la pompe simplement aspirante. A cette définition do l’efTet utile produit dans les pompes, nous devons ajouter que quand l’eau doit s’écouler du dégorgeoir avec une grande vitesse, la quantité de force vive imprimée à l’eau à sa sortie, correspond à un travail qu’il faut considérer comme faisant partie de l’eflct utile; il est au contraire perdu quand cette vitesse est inutile.

On peut encore juger dans laquelle de ces trois pompes le travail est le plus inégal. S’il s’agit d'une pompe foulante, le piston en montant est pressé par le poids de toute la colonne d'eau comprise entre le dégorgeoir et le niveau LM ; le moteur a en outre le poids du piston à soulever. Dans la de>centc, ce dernier poids favorise le moteur qui n’a d’ailleurs à vaincre alors que les frottements; d’où il suit que le travail du moteur est fort inégal dans ce genre de pompe. Dans la pompe aspirante et foulante, le travail de la montée est égal à celui de la descente, lorsque y,=js„ ou lorsque Sy, —H,

ou lorsque y, = ^ ; cc qui indique que si la course moyenne

JIHS MACHIN tS i.T UtS ilOTt-XIlS.

du pislnn répond nu milieu do In uhnr|;o entière ou du In hauteur du dégorgeoir nu-desiun du iiiTcaii du réservoir, le travail devient Irèn-régulier. Enfin , dans la pompe aiiiiplcinent aspirante, la preision du moteur en descendant est nulle, ou égale aux résistances du Frnilenient, et en montant la pression à vaincre équivaut au poids do la colonne dont la hauteur est celle du dégorgeoir audessus du niveau LM ; ainsi l’action est fort irrégulière, et ce n’est que pendant la montée que s’cfFécluo le travail utile, lequel est toujours égal au poids d’un volume d’eau égal à celui d’uno course multipliée par la hauteur do la charge entière.

On régularise l’action des pompes aspirantes et des pompes fouliintes de deux nianièrcs. Tanlét on arme les balanciers de contrepoids dont le poids est la moitié do la résistance moyenne que lo piston doit vaincre en montant (3° partie, SI), et qui descendent ou montent en même tcmjis que le piston s’élève ou descend. Tantôt, pour les pompes aspirantes et foulantes, on se sert des réservoirs à air. L’eau , nu lieu de s'élever immédiatement dans le tuyau d’ascension, entre dans la capacité C ( fig. 460 ) , rempliu d’air, et prend un niveau In, tel que l’air pressé entre ce niveau et le sommet supérieur du vase fait ressort pour repousser cette oaii dans le tuyau latéral ad. Une soupape eu o empêche lu liquide arrive dans le réservoir C d’en descendre. Quand lo piston uiontu et ne refoule pas l’eau dans le réservoir C, le ressort de l’air comprimé fait que l’écoulement de l’eau par le tuyau ad est continu , au lieu qu’il serait intermittent sans ce réservoir. La pompe à incendie est établie d’après ce dernier système. Elle cunsisto en deux pompes aspirantes et foulantes ( fig. 461 ), qui refoulent leur eau dans un réservoir commun à air, d’où elle sort ensuite d’un jet continu, par un tuyau destiné à la conduire sur les points jugés convenables.

D’après ce qui précède, on voit que les pompes peuvent être placées loin du réservoir d’eau au moyen de tuyaux de communication, parce que la pression se transmet à toutes les distances. Eu général, les clapets doivent être placés aux endroits convenables pour empêcher l’eau dodescendre. Enfin, dans les meilleures pompes, lo travail utile est les | au plus du travail moteur à cause des fuites et résistances du piston , ouvertures des clapets, et a cause du l’inertiedu liquide qu’il faut vaincre. Il faut, d’ailleurs, éviter d'élever l’eau plus hqut qu’il n’est néce-isairc cl de lui donner une trop

grande riteue, d’où résulte une perte do force vire. Les étranglements des soupapes produisent aussi des chocs nuisibles, ainsi qu’on le fera voir quand on traitera de l’hydraulique.

100. Pn$$» hydraulique et siphon. — La presse hydraulique consiste en un piston A ( fig. 4G3 ) très-gros, mû dans un corps de pompe, et portant à sa partie supérieure un plateau servant à presser des substances. On fait arriver l’eau sous ce piston par un tuyau B, au moyen d'une pompe foulante et aspirante, semblable à celles qui ont été décrites ci-dessus ; mais son piston a est d’un diamètre fort petit. Quand la pression exercée sur le piston a fait équilibre à celle do A, les pressions totales sont eu raison inverse des aires r . ^ et r . r’ des surfaces du ces pistons. On est donc le maître de donner à volonté la pression maximum. On remarquera qu’ici le travail dépen.sé par le moteur est égal au travail utile plus au travail des frottements, et que ce dernier est très-considérable.

Quoique le siphon appartienne mniiis aux phénomènes do l’équilibre, qu’à ceux du mouvement, sa descriptioo se trouvera ici à sa place, à cause de sou analogie avec les pompes. Supposez un tube recourbé composé de deux branches verticales, plongeant chacune dans deux liquides dont les niveaux soient et L'Af' ( fig. 463 ). On conçoit quo le liquide se mettra de niveau dans l’intérieur de chaque branche avec le'^liqiiide dans lequel elles sont plongées respectivement on qu’il s’élèvera en ab du coté LM et en gh du côté L'M'. Imaginez qne dans ce tube recourbé on fasse le vide, non par le moyen d’un piston, mais en aspirant par l’extrémité i de la branche qui plonge dans le niveau le plus bas. Si la hauteur du sommet C au-dessus de LM est plus petite que celle de la pression atmosphérique, laquelle est du 10°*, 33 quand la colonne qui la mesure est de l’eau, ou de O™,?!} quand nette colonne est du mercure, le liquide dont le niveau est LM s’élèvera jusqu’en C, puis il retombera dans la branche descendante du côté du niveau inférieur, et l’écoulement continuera sans cesse. Afin d'expliquer ce fait qui, au premier aspect, parait paradoxal parsuite de l’ascension qu’est forcé de prendre le liquide de ab en C, voyons ce qui se passe en ce dernier point. La pression qui presse le liquide en ce point et qui le presse de gauche à droite, est due à la pression atmosphérique qui agit sur le niveau LM, diminuée de la charge du liquide depuis G jusqu’à ce niveau. Nommant II la hauteur d’eau qui représente la

preuion atmoiiphérique et h' la hauteur du sommet C an-deuus du nireau LSI, II — h' sera évidemment proportionnel à la pression qui pousse le fluide parvenu en C de gauche à droite. Hais de droite à gauche il est refoulé par la pression atmosphérique qui s’exerce sur le niveau inférieur L’M', et l’effet de celle-ci est diminué de la charge du liquide mesuré par la hauteur de C au-dessus de ce niveau, hauteur que je nomme h. Ainsi, le fluide est poussé en C de droite à gauche par une pression proporl tonnelle k H — A. Donc, enfin, la pression résultante qui tend à faire descendre de gauche à droite le liquide arrivé en C, sera égale à Inalifférence des pressions U — A et H — A', c’est-à-dire à A — A’. Si donc A est ^ que A', c’est-n-dire si le niveau L'M' est inférieur au niveau LSI, l'écoulement aura lieu. Il n'y aura pas de mouvement si les deux niveaux LSI et L'M' étaient ù meme hauteur, parce qu’en effet les pressions contraires s’entre-détruiraient. L’écoulemeut sera également iiupouible si le sommet C s’élève au-dessus du niveau supérieur LSI d’une quantité plus grande que la hauteur du liquide de mémo espèce qui mesure la pression atmosphérique.

Dans la pratique, au lieu d’opérer le vide par l'aspiration on la tucoion, on bouche les extrémités du siphon, et on remplit les deux branches d’eau, nu moyen d’une ouverture qu’on débouche en C et par laquelle l’air intérieur se dégage. Lorsque le tube est rempli, on bouche l’ouverture C et on débouche celles des extrémités ; l’écouleincnt se produit avec une vitesse que nous verrons plus

loin être égale à (A' — A). Le siphon ainsi manoeuvré est employé avec succès dans les travaux d’épuisement. *

aoovuiar au rLsuu coarxRGs dahs des vases, caradi, aiviiau.

101 . Pliénomèm de l’écoulement de l’ea» hors d’un vase, ■ — L’objet de ce chapitre est de rechercher les luis du mouvement des fluides j

Tf

TKOlSlbldE l'AllTIK.

nous nous occuperons d’nbord de celles qui sont relnlires au mou- Temenl de l’eau et des lk|uides en général. AliDC ( fig. 464 ) est un vase ou réservoir où l’eau occupe un niveau supérieur AB, et /dont le fond est horizontal. Si on fait une petite ouverture en ab sur une des jiaruis vertiealcs, la pression intérieure poussera le fluide au dehors du vase; cette pression étant d'autant plus forte que l’orifice ab est pratique plus has, il s’écoulera d’autant plus vite et en quantité d’autant plus grande que cet te ouverture se rapprochera du fond. La quantité d’eau écunléo dans l’unité de temps, dans une seconde, est ce qu’on nomme la dépente. L’eau en sortant forme nne gerhe continue qu’on appelle reine /luide, /!/e< ou jet; ce jet afTectela forme de la cunrhe que décrirait un corps lancé perpendiculairement à la paroi, et avec la vitesse que possède le liquide à l’orifice. C’est une parahole dont le sommet est en ab. Dans tous les points de cette parahole la pesanteur tend continuellement à augmenter la vitesse des molécules; mais en ab elle dépend seulement de ce qui se passe dans l’intérieur du réservoir.

Si l’orifice est pratiqué en o'4'au fond du vase ABDC, le jet est vertical. Si l’orifice est pratiquée)) a"b" ( fig. 465 ) contreune paroi horizontale prcssiio de has en haut par le liquide, le jet s’élève verticalement, et l’expérience dé))ionlre qu’il s'élève à la hauteur du niveau supérieur de l’eau dans le réservoir ; ce qui suppose (1'* partie, 64} que les molécules en a"b" ont une vitesse due à la hauteur de la charge d’eau correspondante, ou à la hauteur du niveau s)ipérieur au-dessus du centre de l’orifice. Mais on peut démontrer la chose spécialement par le principe du travail.

lOS. ViUtte de feau torlanl librement par un petit orifice mince.

Avant qu’on ne débouche l’orifice ab ( fig. 466 ), la pression intérieure exercée sur lui est due à la charge A du niveau supérieur AB au-dessus du centre de cet orifice. A la rigueur elle devrait être augmentée de la pression atmosphérique qui agit sur ce niveau, mais, comme celle-ci aségalement lieuau dehors de la paroi sur laquelle l’ouverture ab est pratiquée, la pression n’est en réalité due qu’a la charge A du liquide. Donc, au moment où l’ouverture est débouchée, le fluide, en vertu de cette pression , est poussé an dehors et se dirige de toutes parts en décrivant des courbes qui convergent vers cet orifice : ce mouvement se propage ainsi do proche tn proche. Quant à la vitesse ré) llo do sortie, cllç angtnenî))

MHS ce*»e et rnpidenient jusqu'à ce que le mouvement se soit étendu dans tout le vase et soit devenu uniforme en chaque point. C’est à cet instant que nous considérons le niouvenient du fluide, en supposant d’ailleurs, comme c’est le cas ordinaire des aj>plica» tions, qu’il arrive par la surface supérieure du réservoir, dans le vase, précisément autant d’eau qu’il en sort à chaque instant. Cela posé, le mouvement étant ainsi devenu permanent, il sera facile de voir que chaque molécule dont le poids est p, en descendant de k aura reçu, quelle que soit la courbe qu’elle décrive, do la gravite un travail p . h (2“ partie, 12). Si on appelle c la vitesse de celte molécule à son entrée sur la surface supérieure du réservoir et y

sa vitesse à la sortie de l’orifice , — ( A'* — c’ ) représentera V'ac-

croissement do force vive qu’aura reçu la molécule qu’ou considère pendant qu’elle a parcouru la hauteur à. La même chose pouvant se dire de toutes les autres molécules qui doivent arriver en même temps dans l’orifice et qui s’écoulent dans un temps donné, pendant une seconde, par exemple,, on reconnaît sans peine que,

si P est le poids de l’eau qui s’écoule dans une seconde, — [V'—v')

sera l’accroissement de force vive imprimée à ce poids d’eau, pendant qu’il aura parcouru la hauteur à, ou qu’il aura reçu de la gravité le travail i* . à. On aura donc, en vertu du principe des forces vives,

-^ ( f'» — c> ) = 2PA,

ou — t>’ = 2ÿà.

Si la vitesse v du fluide en entrant dans le vase est très-petite, ou si « = 0, il reste A'' = 2ÿA; d’où

. y = igh,

formule due à Torricelli, disciple de Galilée, laquelle indique que la vitesse du fluide, en s'échappant pdr l’orifice, est due à la hauteur du niveau supérieur au-dessus du centre de l’orifice. Cette hauteur s’appelle charge géniratrice. On voit encore que cette vitesse est celle qu’acquerrait un corps libre en tombant d’une hauteur égale à cette charge. On se rappellera enfin que;, ou la vitesse iropriince

4KS TROISIÈUE PARTIE.

par la grarité au bout de la première aeoonde, eil égala à 9™,800> Il exiate dea tablea à l’aide deaquellea on trouve la vitease due à une hauleur donnée, ou nne hauteur due à une vitesse donnée. Ce réaultat auppoae que la viteaae e eat fort petite; nous verrons plus loin ce qu’il convient de faire ( 3° partie, 103 } quand cette vitesse n’est pas négligeable.

108. Même écoulement tout des pressions quelconques, — On a supposé jusqn’ioi que la pression exercée sur la surface supérieure du réservoir, et qui se transmet de haut en bus jusqu’à la surface de l’orifice, était la pression atmosphérique,et qu’elle était détruite parcelle qui agit extérieurement à cet orifice contre la veine. Mais si ces deux pressions devenaient différentes, la vitesse de sortie serait évidemment altérée en conséquence. Que, par exemple, l’orifice plonge dans un autre bassin extérieur rempli d'eau et dont le uivean au-dessus du centre de cet orifice soit h' ( fig. 467 } , les molécules, à leur sortie, seront refoulées vers le réservoir supérieur avec une force due à h', et la charge génératrice de la vitesse ne sera plus que A — A'. Ou peut, en effet, admettre que lus molécules ne descendent plus que de la différence de hauteur comprise entre les deux niveaux. Si cette différence était nulle, il n’y aurait plus d’écoulement ; et, en général, on peut démontrer que la vitesse d’écoulement est toujours relative à la différence des pressions extérieures et intérieures de l’orifice.

Soit, en effet, un liquide quelconque ABDC ( fig. 468 ) enferniédans un vase et pressé à sa partie supérieure d’une manière quelconque, ou par un piston AB avec un effort égal à p sur l’unité de surface ; cherchons dans cette circonstance avec quelle vitesse le liquide s’échappera par l’orifice ab. La pression sur cet orifice, rapportée a l’unité de surface et qui favorise le mouvement, sera p, augmenté do la pression atmosphérique su|iérieure et de celle qui est due à la charge A du liquide aU-dessus de cet orifice. Si le fluidoyécoulc au dehors à l’air libre, la pression qui s’oppose à sou mouvement et qui est contraire à la précédente, sera égale A la pression atmosphérique. Donc, la pression résultante on génératrice, ou la différence dos deux genres de pressions précédents, équivaut bp augmente du poids de la charge h, et si je nomme x le poids de l’unité de volume du liquide, p xh sera la pression génératrice par unité de surface. Four évaluer cctle pression totale en charge dn

même liquide, il faut observer que la pression unitaire p du piston peut être remplacée par une colonne de liquide agissant au-dessus de ce piston, et qui aurait l’unité de surface pour base. Soit A' la bauteur d’une telle colonne, elle devra être telle qu’on ait rhl ; d’où

ce qui est facile à calculer. Ainsi, l’écoulement actuel revient au cas où la charge au-dessus de l’oriSce est A A', en sorte que la vitesse de sortie sera

( A -f A' ), ou y/ sÿ ^ A -f ^

pourvu que la vitesse en AB soit très-petite.

Nous pouvons vérifier la chose directement. Supposons que le piston, so mouvant parallèlement à lui-mème, ou avec une vitesse constante pour tous les points de sa surface, descende en BB' en un très-petit temps, et qu’il s’écoule le volume abb'a' pendant le même temps. Il est évident que si le liquide est incompressible, les deux volumes ABDC et A'B'DCabb’d seront égaux, et qu’en retranchant de chacun leur partie commune A'B’DC, on aura ABB'A" = abb'a'. De ce que le mouvement du piston s’opère parallèlement, le vnlumo ABB'A' sera exprimé, en nommante la surface du piston, par lo produit de A et du chemin AA' parcouru par ses divers points. De même, si on admet que vers l’orificc ab, le mouvement s’opère parallèlement à lui-mèine, 1e volume abb'a' iera un prisme et aura pour valeur le produit de a et du chemin aa', a représentant l’aire de la section ab. Ainsi, tant que le mouvement du liquide s’effectuera par tranches parallèles dans la section AB et dans la section ab, et quel que soit d’ailleurs le mouvement opéré dans les sections intermédiaires, on aura

A X a7' = O X Ôo .

D’ailleurs, les chemins AA' et aa', parcourus simultanément dans un temps très-petit par le piston et par le fluide sur la section ab, seront propbrtionnels aux vitesses e et f' qui ont lieu à la section AB et à la section ab : d’où l’on lire

i(iO

TliOISIEMt l’Ain lii.

Maintenant on doit faire attention que rnccroiaseineiit de la foruc vire de toute la masse du liquide, comprise entre les sections AB et ab pendant un temps très-petit, doit équivaloir au double du travail produit par le piston et de celui de la pesanteur de tonte la masse pendant le même petit temps. Nous allons chercher ces trois valeurs successivement.

L'accroissement de la force vive de tout le fluide compris entre les sections AB et ab est facile à obtenir. En elFct, quand le piston était en AB, la force vivo était celle que possède ABB'A’ plus colle de A'B'DC, Le mouvement restant permanent, la force vive de cette dernière partie demeure la même lorsque le piston passe en A' B’, et dans cette position la force vire totale est égale à la force vive de A’B'DC plus celle de abb'a'. Donc, l’accroissement de force vive acquis par tonte la masse fluide pendant le petit temps qu'on considère, est égal à la différence des forces vives de abb'a' et de ABB'A'. Ces deux masses étant ég.iles, si nous nommons q

leurs poids, leurs forces vives seront-?- et ?-o’. Ainsi, l’ac*

croisseinent cherché sera

Le travail du piston pendant le même petit temps est égal à

A y, P y. ÂÂ’.

Quant au travail de la pesanteur de la masse fluide totale, si G est son centre de gravité, quand elle occupe la position ABDC, et G' son centre de gravité quand elle occupe la position A'B'DCabb'a', le travail pn>duit pendant l’inlervAlle de ces deux positions équivaut nu produit du poids total par GG', ou à la différence du moment de pris par rapport à AB et du moment de ABDC

pris aussi par rapport à ce plan supérieur. Or, le premier moment est égal au moment de la partie commune A'B'DC plus le produit de la tranche abb'a' et de sa distance au pl,\n AB. De même, le moment de ABDC se compose du moment de la partie commune A'B'DC, augmenté du produit de la tranche ABB' A', multiplié par sa distance an plan AB. Donc, enfin, le travail cherché de la pesanteur est égal au produit du poids q de la tranche ABB A', on abb'a', multiplié par la distance h qui sépare ces deux tranches. Ce travail sera donc jA. On anra ainsi, on appliquant le principe des

. .DiflitioedJjy Ct)Oÿ[

forces Tires,

DES MACIIISES ET DES MOTF.DRS.

ou A"’ — c’ = 2g ^ ^ X + * ) •

Or, on a, en représentant par*- la densité du liquide sous le piston, ou le poids de l’unité de volume; on a, dis-je,

Faisant cette substitution dans l’égalité précédente, on trouvera l'- r’ = 2g + A );

et si e, vitesse du piston, est assez petite pour être négligée, on retombe sur l’égalité précédente '

Si, outre la pression atmosphérique, l’extérieur do la section ab avait été pressé en sens contraire du mouvement par une pression p'

pour Tunité de surface, il faudrait diminuer h de — ou p de p'. On

peut s’en rendre compte par un rnisuiincinent simple, en observant que la pression extérieure qui agit sur la section ab, contrairement au mouvement, est p' X a ; que son travail pendant le petit temps dans lequel ab s’est rendu en a'b' est égal à p' X » X comme le poids de oA6'a' est égal à g, ainsi que celui du ABffA', et que ce poids est aussi égal à r X o X oo'* o" trouve . . . .

a X uo' = —• Donc, le travail de cette pression contraire est X />'• Il faudra, dans l’égalité ci-dessus, le diviser par g, ce qui donnera — à retrancher de — ; de sorte que, dans ce dernier cas,

la vitesse de sortie devient

On doit maintenant bien eoncevoir comment on agirait dans tous les cas semblables, et nos raisonnements resteraient d’ailleurs les mêmes si le piston se mouvait horixontalement. h sera alors la charge verticale du fluide depuis le point supérieur jusqu’au centre de l’orifice d’écoulement. Si la vitesse v du piston était appréciable, il faudrait s’y prendre autrement pour avoir la vitesse de sortie f'.

Noua avons va ci-dessus qu’on avait ; donc

Soit posé 1 — ~ = K, on aura