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(') ^ Cours de la année, auquel l'auteur reuToie scs lecteurs dans ce chapitre et dans les chapitres subséquents^ a été publié sous le litre do Mécanique Industrielle, exposant les différentes méthodes pour délerminer et mesurer les forces snatrices / Bruxelles, i9d9{ un velame îb-8*.

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TROISIÈME l'ARTIE.

Lorsque lu fluide est de la vapeur, on suppose qu’il n’y a point de condensation. Enfin, le poids du volume du fluide écoule par seconde sera aF' . ir. Si le poids du fluide est très-petit, on si h est

négligeable par rapport à — , on prendra

V = 2ÿ ^ — J ; c’est la règle proposée par Daniel

Bernonilli, mais elle est fautive lorsque/) surpasse p' de plus de

Tô

108. Éeoulemtnt dei gak quand lapreuion intirùure eit tentiblemenl plus grande que la pression extérieure, — Pour trouver la formule vraie dans le cas où la pression intérieure dans le réservoir surpasse sensiblement celle qui s’oppose à la sortie du fluide, on négligera à fortiori la charge k toujours très-petite, ou l’action de la gravité, ainsi que la vitesse t> de la tranche supérieure, en sorte que la force vive acquise pendant le très-petit temps de l’écoulement du volume idBff A' ( flg. A69 ) se réduira F' ; q représente encore le poids de ABff A, ou est égal à x . ABB'A'. Quant au volume sorti aWV, il ne peut plus être égal au volume ABB'A' ; mais il doit être avec ce dernier, d’après la loi de Mariette, dans le rapport inverse des pressions extérieure et intérieure p' ctp. On aura donc

volume ABBfA’ t volume ahh’à \\ p' p; d’où volume ahb'a' = ABB'A' V

Ainsi, pendant le petit temps où la force vive F^ s’acquiert , il

faut, outre les quantités de travail produites par chaque pression intérieure et extérieure p et p', considérer le travail favorable au mouvement du fluide et restitué par la dilatation du volume ABB'A' qui devient abb'a'.

La quantité de travail de la pression p sur la tranche AB est p A AA' = p X volume ABB'A'.

Qunntà celle dep' sur l’orifice ab = a, laquelle s’oppose au mou* Teraent, elle sera

La différence de ces quantités de travail étant évidemment nulle à cause de

P X = p' X obb'a',

la force vive — V’ est donc uniquement due .au travail communiqué par la dilatation du volume ABB'yf du gai qui passe de la pression P à la pression p'. Ce travail est évidemment proportionnel au volume primitif du gnz ; car il sera double, triple, etc,, selon que le volume primitif sera liii-mème double ou triple. Si donc je nomme P lu travail dû à la dilatation du même gax en tant que son volume primitif soit un mètre cube, le travail dû à la dilatation du volume primitif ABB' A' qui s’écoulera pendant le petit temps qu’on considère, sera représenté pur ABK A" X Mais

puisqu’on a g = s- . ABffA', on tire ABB" A' = — , et , par

suite,— . r pour la quantité de travail produite par la dilatation

do gaz. D’uû nous conclurous, en vertu du principe des forces vives.

Reste enfin à trouver T. Pour plus de simplicité, nous supposerons que le gaz dunt le volume primitif est l’unité, est renfermé dans un tuyau dunt la section aurait pour aire l’unité de surface, de manière qu’à l’état primitif ou sous la pression p, sa hauteur serait aussi égale à l’unité de longueur. Lorsque la pression est réduite à p', le volume est dilaté; et comme les volumes ou les hauteurs, parce que ces volumes sont censés avoir toujours la même base, sont en raison inverse des pressions, la hauteur du volume dilaté

TsiiTS us uii:, ISO. 30

est devenue ^ . Donc le chemin total parcouru en vertu de la dilatation est la di£Férence des deux hauteurs extrêmes, c’est-à-dire

—, — 1 ou - — r^- Partageons maintenant cet intervalle en P P

deux parties égales ; il est évident qu’au milieu de l’intervalle

dont il s’agit, la longueur du fluide sera 1 -}-

et qu’en nommant y la pression correspondante, on aura la proportion

y : p, ou y =^,-

si maintenant on observe que les trois pressions consécutives sont P, p’ Pt chemin constant parcouru dans l’inter-

valle qui sépare les instants où elles ont lieu successivement est

^ , on voit que l’estimation du travail total T est facile au

ip

moyen du théorème de Thomas Simpson j et qu’il est égal à

Par conséquent , nous aurons ici , pour la vitesse de sortie.

On remarquera, d’ailleurs, que la densité t qui entre sons le radical est celle qui a lien sous lu pression p dans l’intérieur du réservoir, et que celle du gaz au moment où il sort est celle qui correspond à la pression extérieure p'.

Celte dernière densité sera visiblement r . Par. conséquent ,

le poids de gaz écoulé dans une seconde aura pour expression

a . P'tr . —, sauf les corrections dues à la contraction 'dont il P

sera parlé plus loin

1 06. Applicationt numériquet à Vécouhment par nu orifict trit-

petit pratiqué dan» une paroi mince. — Nous allons offrir trois exemples numériques sur In recherche de la vitesse de sortie par un orifice très-petit pratiqué à paroi mince, soit que le fluide soit un liquide ou qu’il soit un gaz.

1° Supposons que de l’eau à sa surface supérieure soit pressée par un piston ou do tonte autre manière indépendamment de la pression atmosphérique, avec une pression de 0’‘,S0 par centimètre carré de surface ; que la hauteur du niveau supérieur de l’eau audessus du centre de l’orifice soit de A'" ; il s’agit de trouver la vitesse f' à l’orifice ; et on aura recours à la formule du n* 108,

Si la pression du piston est de 0^,20 par centimètre carré, la pression totale au-dessus du niveau de l’eau p sera égale à la pression atmosphérique augmentée de 0^,20. Mais la pression dcp'qui s’oppose à la sortie du liquide est aussi une pression atmosphérique. Ainsi, la pression résultante sera do 0^,20 par centimètre carré ou de 2000'* pour un mètre carré de surface, ou 10 000 centimètres carrés. On fera donc 2000'*. Quant à la densité ir, elle est

de lOOO**, poids du mètre cube d’eau. D’où^ ^ = 2“.

Nous avons dit que la hauteur A du niveau an-dessus du centre de l’orifice était de A“ ; d’où h = A**, elg = 9“,809. Faisant ces substitutions, on trouve

P' = i/ ig ( 3“ -f A" I = |/ 2y . 6™.

On voit que la vitesse de sortie est due à 6 mètres de hautenr. Pour avoir celte vitesse que les tables donneraient immédiatement, on remplacera, sous le radical, g par 9‘°,809 ; puis, extrayant la racine carrée du produit, on aura

y = |/2 X 8,809 X 6 = 10“,8A; telle sera la vitesse de sortie.

2° Supposons que l’air soit cbassé par un piston qui le presse avec une force mesurée par la pression de d'atmosphère. Ici

nous ne parlons pins de la hauteur de la charge du gaz , parce

qu’on doit en fnire abstraction, comme nous l’avons dit. La formule SC réduit alors à ,

Pour trouver la densité r, nous imaginerons que la température soit de 10 degrés centigrades. Si la pression du piston est de yj-

d’atinosphère, la pression totale/) de l’air dans l’intérieur du réservoir, qui se compose de la précédente et de la pression atmosphérique supérieure, sera égale à d’atinosphère.La hauteur en

centimètres d’une colonne de mercure qui représente la pression ntiiiosphérique, est de 76; donc la colonne qui représente celle

de yy d’atmosphère = 70 -{- yy = 88 centimètres. Faisant ,

dans la relation x =

1 + 0,0087S . Si ’ * ~ on aura, pour le poids du mètre cube de l’air dans l’intérieur du réservoir.

= 1^,87 environ.

D’ailleurs, p étant yy d’atmosphère, et la pression />' contraire au mouvement étant celle d’une atmosphère, p — p' sera de

d’atmosphère. Une pression atmosphérique se mesure par 1^,033 pour un centimètre carré do surface ou par 10 380^ pour un mètre

carré. Le onzième de cette quantité ou — jy — = 989^,10.

Nous ferons donc, dans la formule, p — />' = 939^,10, et X = 1,37. On aura, par conséquent.

V = = j/ . 686"*, 46 = in"" environ^

3* Si la pression intérieure excède la pression extérieure de plus do ^ et que ce soit de -^d’atmosphère, on verra que la densité

ÜLS MAUltNES £T DES MU'IEIRS.

xe»l de l'‘,60, en supposant toujours la température de 10*. On aura alors recours à la formule

dans laquelle on fera x = 1,50, P = •=• X 10380 = 12390^,

p' — 10330, et ÿ = 9,81; ce qui donne

Il est bon de remarquer que l’excès de pression intérieure p sur la pression extérieure p' s’obtient tout d’un coup par un roanoinèlrcà siphon efg ( fig. 470 ), contenant do l’eau ou du mercure, et ourert à ses extrémités e et g. La diOéreiice de hauteur du liquide danslesdeux branches deèsur test la colonne de pression résultante, de laquelle on déduit facilement p — p', et, par suite, p et p’, en observant que la pression d’une colonne d’eau, sur le mètre carré de surface, ayant un mètre de hauteur, est do 1000 kilogr., ut que celle d’une pareille colonne de mercure est de 13 608 kilogr.

107. Dépente hgpolhétigue par une paroi mince, et dépense effective. — La détermination de la vitesse de sortie par l'orifice d’un réservoir conduit à la solution d’une question intéressante; c'est celle qui a pour objet de trouver le volume ou le poids du fluide écoule dans un temps donné, dans 1", par exemple; c’est ce qu’on nomme la dépense. Ce calcul serait facile si on connaissait la longueur ( fig. 471 ) parcourue par la tranche supérieure AB pendant le temps qu’on considère, c’est-à-dire le Ja\\ime ABB'a'. Mais on ne peut pas toujours mesurer cette longueur. Or, nous pouvons trouver co volume par la vitesse du liquide ^ a sa sortie à l’orifice ah; car, cette vitesse étant supposée constante ou uniforme, les molécules de fluide qui sont en ab au commencement du temps pendant lequel on veut évaluer la dépense, seront en a' b’ au Imut d’une seconde, et è une distanceèè'=f',si on fait, comme on h; ‘ doit, abstraction de la gravité.Dono, le volume de fluideoèè'a', écoulé pendant l’unité de temps, est celui d’un prisme qui a pour, mesure le produit de y multiplié par la surface de la section ab de l’orifice, et si je nomme a l'aire de est orifice, nous aurons Z? =xo X

Cette dépense ainsi estimée, qu’on nomme dépense hypothétique, est-elle d’accord avec celle qu’on obtient par l’expérience et qu’on nomme dépense effective? on peut prévoir déjà que ces deux dépenses doivent différer entre elles en examinant les hypothèses sur lesquelles reposent nos calculs. Dans ces calculs, on suppose :

1° Que l’orifice ab est très-petit par rapport aux sections AB d’arrivée du fluide dans le vase, sans quoi les vitesses ne seraient pas les mêmes aux divers points de la veine à la sortie de ab, surtout lorsque cet orifice est pratiqué dans une paroi verticale, et la vitesse d’arrivée e ne serait pas négligeable ;

S° Qu’il n’y a dans le vase et au dehors ni obstacles, ni rétrécissement qui gênent l’écoulement, de façon que le mouvement est continu partout ;

8® Qu’il n’y a aucun frottement de l’eau contre les parois du ' vase; à la vérité, il est toujours très-faible, comme on le verra plus bas, quand la vitesse dans le vase n’est pas très-grande ;

4° Enfin, que le fluide arrive >à la surface du vase par filets parallèles amenés d'une même vitesse c, et que les filets sont également animés d’une même vitesse parallèle f' à l’orifice.

On remarquera que la dépense effective s’obtient par expérience en recueillant dans un vase l’eau qui s’écoule dans une ou trois minutes, et en divisant cette quantité par le nombre de secondes contenues dans le temps de l’observation. Hais il est impossible de mesurer directement la vitesse de sortie, parce qu’on ne distingue pas les molécules et qu’elles marchent trop vite. Toutefois, si le vase est uni, s’il n’a pas de rétrécissements ou d’étranglements, s’il est très-grand par rapport à l’aire de l’orifice pratiqué soit au fond soit aux parois verticales, si la paroi de l’orifico a peu d’épaisseur, si le fluide tombe librement dans l’air, alors le fluide ne sera gêné nnlle part, et la plupart des conditions précédentes seront remplies.

Si donc on prend, dans c^ circonstances, pour h, ou pour charge du fluide, la hauteur du niveau supérieur au-dessus du centre de l’orifice, on devra trouver, pour vitesse moyenne y de sortie, la même que celle qui a été trouvée ci-dessus.

108. Pkénomètte de la contraction, — L’expérience prouve néanmoins que les filets fluides ne sortent pas parallèlement de l’orifice ; la section de la veine n’est pas partout la même, et elle diminue à partir de l’orifice jusqu’à la distance a'b' comprise entre une demi-

DES UÂCUINËS ET DES UOTEÜAS. 471

foM et une foi* ta largeur la plus grande; o’eal là ce qu’on nomme conlractioH de la veine. Celte ooniraotion est visibleiuent due à ce que les filets s’infléchissent on changent de direction pour arriver de toutes parts de l'intérieur du réservoir à l’orifice; ce qui montre qu’elle ne sera pas la même dans toutes les circonslanoes. Elle sera moindre si l'intérieur du vase est disposé tellement que la déviation des filets soit faible par rapport à l’axe ZAf ( fig. 47â ), perpendiculaire à l'orifice. Ainsi, elle devra diminuer si l'orifice aà se rapproche soit de AD soit de BC, ou si les deux faces AD et BC se rapprochent entre elles.

Dans le cas où l’orifice est vertical ( fig. 472 ) , la contraction est moins sensible à mesure que le niveau supérieur AB s’approchera de l’orifice, ou que ce dernier ab se rapprochera du fond CD, Elle sera égalemetit plus faible, si la paroi deroriGce,ao lieu d’être plane, est convexe au dehors ( fig. 474 ) , puisqu’il y aura moins de molécules divisées latéralement ; et elle deviendra, au contraire, plus forte, quand la paroi de l’orifice est convexe vers le dedans ( fig. -*78 ).

La contraction est rendue la plus forte possible, lorsque l’orifice est reporté vers l’intérieur du vase ( fig. 476 ) par une sorte do tuyau EFGD, parallèle à l’axe de l’orifice et dont la section diffère peu de l’orifice.

Borda, célèbre académicien, o trouvé qu’alors la contraction réduisait la section des filets à moitié de celle de l’orifice ; et comme cette section des filets ne peut surpasser l’aire de l’orifice, la valeur du rapport entre ces deux sections est évidemment oomprise entre

1 et y. Prenant grossièrement la moyenne, ou 0,76, cette valeur

donnerait, à un huitième près, le rapport de la section contractée à celle de l’orifice.

109. UuitipUcateun de la dipensa à paroi mince. — L’expérience prouve encore que pour les orifices circulaires, la veine fluide oonser. vera sensiblement la même sectiou à partir de la section contractée ; que, si on prolonge l’orifice par un bout de tuyau ( fig. 477 ) ayant la forme de toute la partie qui se contracte ou se rétrécit, et qu’on pousse l’orifice à la dernière section du tuyau, la dépense donnée par le calcul pour ce nouveau vase, égale à très-peu de chose près celle qu’on obtient directement par le jaugeage cl qu’on

47S TRUISIÈHE PARTIK.

norame efFective. D’où il résulle qu’il suffirait généralement de remplacer l’orifice véritable par l’orifice contracté, ou de multiplier l’aire a du premier par le nombre qui indique la contraction de octie aire et qu’on appelle le coefficient de la contraction. D’ailleurs, l’observation des jets d’eau indique que ceux-ci s’élèvent aussi haut et décrivent la même conrbo qu’un corps qui s’échapperait de l’orifice avec la vitesse F', due à la pression du réservoir ; on a donc pu admettre que la vitesse dans la section contractée était effectivement celle que donne le calcul. Mais cette conséquence varie dans quelques cas, et ne se soutient pas toujours, parce qu’elle suppose qu’il n’y ait point de force vive ou de travail perdu dans le mouvement du fluide, ou que la vitesse F ne serait jamais susceptible de s’altérer. C’est pourquoi il ne conviendrait pas toujours de multiplier la dépense théorique aF par le rapport ci-dessus, de l’aire contractée à l’aire de l’orifice, et nous appellerons le véritable rapport do la dépense effective à la dépense du calcul aF, multiplicateur de cette dépense. Nous le désignerons par la lettre grecque a, de sorte que la véritable dépense seçi, en définitive, aaF. Reste à voir quelle est la valeur de a suivant les cas.

A cet égard il a été reconnu, par expérience, que le multiplicateur a reste le même à circonstances semblables, d’ailleurs, soit que l'orifice soit carré, rectangulaire, ou circulaire, ce qui comprend tous les cas de la pratique, pourvu qu’en comparant des orifices rectangulaires à des orifices circuUires, on compare leur plus petite ouverture à celle du diamètre de cefix-ci. a dépend donc principalement de cette plus petite ouverture des orifices rectangulaires, et des diamètres des orifices circulaires, à circonstances égales. Mais, si ces circonstances changent, si nutaniinent la charge du fluide est plus forte bu plus faible, a varie, et il varie aussi selon que l’orifice est plus près ou plus loin des côtés du réservoir ou du fond (3* partie, 108).

Cela posé, voici les valeurs de a, ou du multiplicateur de la dépense hypothétique aF, suivant les cas.

Üts MACHINES ET DES MUIEUHS

TABLEAU des valeurs de a pour les orifices en mince paroi et isolés complètement des faces du réservoir. •