I . CK - \ CK

mais il faudrait multiplier par 0,58 pour /f = 20 à 80 centimètres, par 0,60 pour ^ = 10 centimètres, par 0,63 pour 8 centimètres, et par 0,70 [lour H = \ cenliinètre (ce qui est à peu près conforme au tableau du n° 109 . Cependant la règle qui a été donnée au préalable est plus facile à retenir.

111. Dépense par une paroi épaisse, ou par un tuyau de très-petite longueur. — Toute la théorie exposée jusqu’ici est seulement relative au cas où l’orifice par lequel le fluide s’échappe est mince, ou à celui où le fluide sort librement, sans toucher les parois de l’orifice; en un mot il faut que la paroi ait une épaisseur qui ne dépasse pas une fois à une fois et demie la plus petite dimension de l'ouverture. Voyons maintenant ce qui arrive quand l’urifice est pratiqué en parois planes très-épaisses^ ou qu’il est prolongé par un bout de tuyau prismatique ou cylindrique ( fig. 481 ) d'une longueur égale à deux ou trois fois cette plus petite dimension de l’ouverture. Lescireonstanoes seront d’ailleurs supposées les mêmes, si ce n’est que l’eau est censée toucher exactement les bords ou cêtés du conduit dans tout son pourtour intérieur; c’est ce qu'on nomme écoulement d gueule bée. Les filets extérieurs suivent ici une marche parallèle. Les expériences n’ont été faites que pour les orifices de 1 à 20 centimètres sous de très-fortes charges; elles ont donné, moyennement, pour multiplicateur de la dépense, 0,815,

ponr des circonstances identiques à celles où , l’orifice étant en minces parois, on obtient a = 0,619. Nous Terrons plus loin (S‘ partie, 1 15} comment on peut trouver la valeur du multiplicateur pour les cas où a serait différent.

Supposons que le tuyau soit une bute ou tuyau .additionnel conique ou pyramidal. Si a'b'{ fif;. ■i82)estsemb1ableà l’orifice oA, que ses côtés soient les 0,8 ou les | de ceux deab, et que ces deux sections soient distantes entre elles d’une à deux fois la largeur ab, on prend ab' pour orifice dans le calcul de la dépense, et le multiplicateur 0,82, qui s’applique entièrement à la vitesse dans le cas des tuyaux cylindriques, s’élève ici à 0,95. Quand la forme de la buse diffère plus de la précédente, laquelle est a peu près celle de la veine cuntractée, le multiplicateur devient 0,90.

Le phénomène de l’écoulement à plein tuyau ( fig, 488 ) est dû à ce que le fluide, après s’étro contracté, se dilate, et rencontre les parois. On explique l’augmentation de la dépense en ce que les filets sortent parallèlement aux parois du tuyau, ou remplissent sa section. Hais la vitesse est réellement moindre que la vitesse théorique y; elle en est les 0,812 dans le cas ci-dessus des tuyaux ou buses cylindriques, et les 0,9 pour les buses coniques. La fbree vive acquise par l’eau à sa sortie du tuyau est simplement proportionnelle

à ( 0,812 y y’ ou y' pour les uns, et à (0,9}’^’ ou à 0,81 . y'

pour les autres. La perte de la force vive ou du travail de la gravité, ou le déchet dans la chute A, est par conséquent d’un tiers pour les tuyaux cylindriques et d’un citiquième pour les tuyaux coniques. De telles dispositions sont évidemment vicieuses, puisque la force vire est rendue moindre que celle qui est due à la chute ou que deux fois le produit de la dépense multipliée par A. Ce résultat, en apparence contraire aux principes ci-devant, est justifié en ce que In résistance le long du tuyau additionnel, et le choc des molécules qui afiltient du réservoir contre l’eau en avant de la section contractée font perdre une partie du travail moteur. Nous montrerons plus loin (3* partie, 115) comment on peut mesurer ces pertes. La même raison fait qu’à mesure que le tuyau s’allonge , la vitesse de sortie A' diminue ; car les résistances de ce tuyau augmentent.

112. Dépenu par utt canal découvert ietrèt~petitelong%teur. — Sou-

478 TROIPlfîME PARTIE.

TCiil il arrive que l’ouverlurc d’un orifice est prolongée du côté d’aval par des canaux additionnels découverts, nommés eomrners. L’orifice rectangulaireparlequell’eause rend dansun tel canal, est fermé ou ouvert au moyeu d’une vanne dont l’épaisseur est toujours fort petite. Ici la contraction s’opère complètement comme pour un orifice en mince paroi, l’eau est libre à sa surface supérieure quand elle est sortie. Le calcul s’établit comme si le canal n’existait pas ou était enlevé, et que le fluide tombât librement dans l’air ( fig. 484 ), pourvu cependant que la pente du canal soit asses forte pour laisser échapper librement le fluide à mesure qu’il s’écoule, ou que ce canal soit très-court.

Quand des obstacles s’opposent au libre écoulement dans le coursier, l’eau gonfle en avant de l’orifice, ou forme ce qu’on appelle uu remous ( fig. 48S ), qui souvent s’étend jusque près de l’orifice et couvre la veine contractée. La contraction n’est plus alors apparente, et il s’établit une pression extérieure contre l’orifice. La vitesse et la dépense sont à la fois altérées. Conformément à ce qui a été dit plus haut, il faudra dans le calcul de f' diminuer k de la charge moyenne immédiatement en avant de l’orifice, c’est-à-dire prendre

r = j/âÿ (A — A').

k' est la hauteur du remous au-dessus du centre de l’orifice de la vanne qui laisse passer l’eau dans le coursier ; k — A' est la différence du niveau supérieur au-dessus de la surface d’eau qui couvre la veine j puis on corrigera la dépense calculée en la multipliant par le ooeflicient pris dans la table du n" 109.

Dans tous les cas, la veine venant choquer le fluide an delà de la section contractée, c’est-à-dire à deux ou trois fois la largeur horilontale de l’orifice, la vitesse est altérée à l’endroit où elle choque le canal, et, comme pour les tuyaux fermés, elle est réduite à environ 0,8S de ce qu’indique le calcul. On l’obtient directement en chaque endroit, en prenant le profil de la surface dn fluide par des ordonnées rapportées à une horizontale supérieure , eu calculant l’aire de la section d’eau, et en divisant par cette aire la dépense calculée : ce dernier quotient donnera précisément la vitesse moyenne de l’eau en cet endroit.

tCOClUOtüT DES ILCIDU rit DES TOTAUX DS CORDCITB ET GARADX Dt-

COOTEETS.

1 13. Perle de forte vite d’un fluide tombant dans un vase en repos ou gui marche dans fa direction du mouvement du fluide, — Jusqu’ici nous avons principalement étudié le cas où le fluide s’écoule sans obstacle par un orifice pratiqué à la paroi mince d’un vase, ou dont ■ l’épaisseur n’est pas telle que le fluide rejoigne ou rencontre les parois de manière à être forcé de couler à plein tuyau ou à gueule bée. Nous avons aussi indiqué ce qni arrive quand le contraire a lieu et que le tuyau est fort court : la vitesse au sortir do tuyau a diminué parles chocs et par les frottements ; cette dernière eanse, peu influente pour une petite longueur de tuyau, amène une modification d’autant plus sensible, que le tuyau est plus long.

On a cherché à évaluer ces influences et à en tenir compte ; voici à quoi on est parvenu pour estimer les pertes de travail ou de force vive occasionnées par le choc et par les résistances qu’éprouve le fluide :

Soit ABDC ( fig. 480 ) un vase rempli de liquide jusqu’en AB.

, Imagines qu’un filet fluide KL, animé d’une vitesse en £ ou en AB, parvienne dans ce vase supposé an repos. Le fluide, ne pouvant s’échapper du vase, tourbillonne dans son intérieur, et , en vertu du frottement et du choc des molécules, il sera lui-même,

comme le vase, bientêt réduit an repos. Si Af = y est la masse

du fluide qui arrive dans un certain temps, dans l’unité de temps, par exemple, MF’' exprimera la force vive que le filet aura perdue pendant ce temps.

Supposons maintenant que le vase, au lieu d’être immobile, fuie devant la gerbe d’eau avec une vitesse et dans la direction dv F, la gerbe affluente atteindra le vase avec une vitesse relative F — F’, c’est-à-dire que ses molécules y entreront avec la vitesse F — F', et perdront cet excès de leur vitesse par les tourbillonnements et tes chocs •, par conséquent, la force vive M (F — F'f

8L-ra perdue dans l’unilé de temps et employée tout entière à Taincre les résistances a. |

On suppose ici qne le vase chemine dans la direction des filets ; c’est le cas pratique de presque toutes les applications. Cependant, on aurait pu le déduire immédiatement de ce qui a été dit, dans le Cours de la 1" année (161 et suivants), sur le choc de deux masses m et m' animées de vitesses dirigées dans le même sens et égales à P' ei y ; on a vu que la perte de force vive résultant du tnnt *

choc était égale a j t-(^ — Seulement ici la masse

fH ft%

choquante m de fluide, qui tombe dans chaque petit temps sur la masse totale in' du fluide Contenu dans le vase , est très-petite par rapport à m' ; do sorte que l’expression précédente, qui peut se mettre

If' p"Y

' , se réduit, en définitive.

sons cette antre forme m-

tn

à m {y — y)', et, par soife, à M .{V — V')' pour la perle pendant l’unité de temps.

114. Perte de force vice due aux étranglements. — On concevra aciuelleraent sans peine comment il est possible d’avoir égard à des pertes analogues dans le mouvement général des fluides. Supposons que ABCD ( fig. 487 ) soit un vase renfermant un liquide dont AB est le niveau, ab l’orifice de sortie, et que ce vase soit en outre traversé en A'V par une paroi solide ou diaphragme, percé aussi d’un orifice ah' dont l’aire est a', celle de ah étant a. Le fluide, obligé de passer par a'b', se contracte j puis il vient choquer les molécules en avant et perd de sa force vive une portion mesurée par l’excès de sa vitesse sur celle que reprennent les molécules un peu plus loin. Si ab est assez distant de a'b' pour que les tourbillonnements soient éteints en A" B", par exemple, ou pour que les filet* marchent parallèlement et avec la même vitesse en A"B", comme cela a lieu en AB et aux sections contractées de ab et de a'b', il sera facile de calculer les vitesses en ces différents endroits au moyen de l’une d’entre elles. Nous négligerons d’ailleurs encore la force vive du fluide en

Soit y la vitesse inconnue du fluide à la section contractée de l’orifice aè, celle qui correspond à la section contractée de o'i', et y la vitesse du fluide à la section A"y du vase, m la valeur du

multiplicateur de In dépense en ab, m le multiplicateur de In dépense Sn ab', inultiplicatenrs qui sont donnés par la table du n° 109; la dépense en ab sera égale à maV. Mais il doit passer In même quantité de fluide pnr In tranche et par In section contractée de db‘. Le fluide qui passe en /d'B'' sera mesuré par

surf. A"iï' X y" =

La dépense en a'V vaudra m’a'f^ . Done, on nura may — AV", et, par suite, V" =

De même, maV = mla'V, ou V ■= F.

La vitesse relative avec laquelle le fluide qui sort de a'b' vient choquer celui de A" B" est donc

maF maF

TT=*aa[— tt ^ •

i a \A ma J

La perte de force vive qui se fait au delà de a’ est donc la masse ^du fluide écoulé dans le petit instant que l’on considère multiplié

par {F' — F'y, ou par *»’o’ nomme A'

la quantité m’o* I — — 1 , facile à calculer, In perte de force

vive en question sera ^ , K . F', qui correspond à un travail perdu

représenté par K . F'. Le travail de la gravité qh, pro-

duit pendant la durée du petit temps , est donc diminué de cette dernière quantité de travail. Mais la force vive acquise pendant ce même petit temps est^ F'. On aura, par conséquent,

S. F' = iqh — i .S- . K . F'.

Divisant par q et multipliant pnr^ tous les termes de cette égalité, et réunissant dans un même membre tous les Icruics qui contiennent TStiTé ni atc. isd. 3<

48i TROISIÈME l’ARTIE.

/'■>, on Irciure

(I + AT) = ou

On Toil que la vitosse e«t ici moindre que ^~ïgh, ou que celle qui est due â la charge, cl qu’ainii elle est diminuée par l’étranglement intérieur a'b'.

116. Perte de force tive dan» le» tuyaus de petite longueur. — Appliquons ce calcul aux tuyanx additionnels coulant à gueule bée. Ici l’étranglement provient de la contraction intérieure dans le tuyau, s’il n'y a pas d’obstacles dans le réservoir, comme on le suppose. Le fluide, apres s’ètre contracté en m ( fig. 488 ), se dilate en a b'. Soit Fia vitesse moyenne eflcctive en a'b', dont l’aire est. égale à a. Les filets sortant parallèles par l’orifice extérieur o, la * dépense est

Quant à la vitesse F' dans la section contractée »i, elle peut se trouver, en observant que sia' est l’aire de l’orifice intérieur aè, et tn le coefficient de contraction relatif à cet orifice, la dépense est encore tna'F', D’où

oF = ma' F’, ou F' = — ^ F.

ma

La perte de force vive est