LX C X

fl • ' - .

Si donc il n’y a pas d’étrangleraents, de condes brusques qui occasionnent des chocs, les résistances se réduiront à celle dont il s’agit et à la perte de force vive qui a lieu après la contraction en ab. On aura donc, en considérant a'b' comme orifice de sortie.

i T’ = iqH — il . K — in.i .

= igH — K .y^ —

inLC . y

ou | jf +

De là on tire aisément y, puis la dépense ay, qnand on connaîtra n et la valeur 1 JIT, qui , calculée comme précédemment, est environ 1,61S. Quant à n, les expériences apprennent qu’il est 0,0035 pour l’eau, et 0,00334 pour l’air et les gaz. On remarquera que s’il s’agit de l’écoulement de ces derniers, on doit remplacer

(8” partie, 105 et 106) la charge génératrice H par ? —, lors-

que lespressions extérieure et intérieure ne diffèrent pas entre elles T

d’un dixième, ou par si cette différence est plus grande ( T est le

travail de la dilatation du gaz sous l’unité de volume primitif en passant de la pression f à la pression />’}.

Soit D le diamètre du tuyau, xD sera le contour <7 de la section

transversale, et son aire o; en sorte que

C 4tZ) ^ 4 a xD' D

Si maintenant, dans la valeur de y, on fait ces diverses substitutions, on trouvera,

pour l’eau, y = 36,44 . y/

et, pour l’air, y = 37,48 . y/ ^ b8.8 T^P’

Ou [luurra même adopter la première formule pour l’air et]lei gas, parce que n est très-peu différent, pourvu toutefois qu’à l’égard de ees derniers on remplace H comme ou vient de le dire.

Enfin, si l’orifice de sortie a'h' ( fig. 490 } est plus petit que la section a du tuy.iu, V étant la vitesse intérieure de ce tuyau, aV n’en serait pas moins la dépense. Si on appelle V la vitesse de sortie, a' l’aire de dh' et m' son coefficient de contraction, on aura

aF = fddF’,

La force vive acquise par le fluide serait donc

tn'd^

au lieu de - X faudra donc, dans l’égalité précédente,

remplacer l'unité par — deviendrait

-t- if + ) = igU.

Lorsque d est très-petit par rapport à a, on fera m' =a 0,60. Si cet orifice est peu différent do a, ou si a est terminé par une buse ou tuyau additionnel ( fig. 401 ) , le coefficient tn variera de 0,82 à 0,96, comnie il n été dit ( 3* partie, 111 ).

Application. — .Les eaux qui arrivent de Scy n Metz, ponr alimenter les fontaines de cette ville, sont conduites par des tuyaux de 8000 mètres enriron de longueur et de 0"',08 de diamètrcj la hauteur du niveau du réservoir supérieur au-dessus du bassin de distribution dans la ville est supposée de 20 mètres. Cherchons la quanlitc d’eau fournie dans vingt-quatre heures. A cet effet, dans la furinulc

DH

nous poserons H = 20", L = 3000", D = 0,08 -, ce qui

ÏKOISIÈME l’AUTIE.

Lu Tiilume de la dcpciise par reconde sera , par conséquefll , 0,608 . 0,005 = 0“ '“'',0030-1. Dau» vingt-quatre heures il y « 86400"; ainsi In quantité d’eau fournie en vingt-quatre hi'urcs sera environ 0’"'“\00304 X 86400, ou 262'"'*^650.

rBÏSSIUS LXfcHceE PAR LES PLIIOES ES ROeVEaEaT CORTRE LES PARU» UES VASES Qll LES Ca.VTIEaaERT.

1 17. Mesui-e de la pression pour un vase de forme quelconque. — Nous avons jusqu’ici nniqiieincnt recherché la vitesse d’écouletnent et la dépciiso d’un fluide à la sortie des réservoirs ou des tuyaux de conduite. Il n’est pas moins intéressant, dans certains cas, desavoir déterminer la pression que les fluides exercent aux diflérents points d’un vase, afin de proportionner l'épaisseur des parois qui les contiennent à cette pression. Or, ce calcul est très-facile, comme un va le voir, pour toutes les sections où il est permis d’admettre que lo fluide se meut par filets parallèles et avec la meme vitesse dans tous les points de la section.

Soit jdBEFGHCD ( fig. 492 ) un vase do forme quelconque, contenant un fluide en mouvement qui s’écoule par un orifice inférieur «6, après avoir circulé dans le tuyau EUGF. Nous avuns vu

DES MACI^1^ES ET DES MUTEUBS.

préc«klemmcnt comment on pouvait calculer la viletüe et la tié- |iense qui se Fait en ab par chaque seconde. Nous nommerons F' cette vitesse dans la section contractée de ab, donnée par les formules, a l’aire de l’orifice de sortie, m le coefficient de la dépense, relatif à la contraction à la sortie, de sorte que la dépense véritable sera m . a . V. Cela posé, soit ed une section plane quelconque du vase, mais dans laquelle on suppose que les filets fluides se meurent parallèlement entre eux et à la paroi de l’enveloppe, laquelle sera à peu près cylindrique sur une certaine étendue. Appelons b l’aire de cette section quelconque cd, et v la vitesse moyenne du fluide <|ui y passe, et commune à tous les filets. Le produit b , v sera aussi

égal à la dépense maF, de sorte que v = ‘ ° ‘ Soit éga-

lement la pression moyenne surl’unité de surface de la section cd, et remarquons que la pression eflieclive sur le contour de cd sera un peu plus petite pour la position supérieure c, un peu plus grande pour la position inférieure d, si la section cd ii’est pas horizontale, attendu que la charge totale du fluide au-dessus de d, comptée du niveau supérieur ./B du réservoir, est un peu plus Forte pourdque pourc; mais nous négligerons la différence de niveau entre ces points dans la supposition qu’elle est très-petite |iar rapport à la charge totale qui leur correspond. Nous nommerons pareillement p' la pression pour l’unité de surface, exercée extéricurementet en sens contraire sur les tranches ab qui sortent parl’orifice. Enfin, nous désignerons par A' la hantenr du centre de gravité delà tranche infiniment mince cdc'd' au-dessus du centre do l’orificc ab, ou, plus exactement, au-dessus de sa section contractée, et, pour abréger, nous désignerons par q le poids de fluide écoulé à la Fuis par ab et par eddans le petit instant où les molécules de cd arrivent en cd', et celles de ab en a'b'.

T étant la densité ou le poids de l’unité de volume du fluide dans l’intérieur du réservoir, — sera Ia masse correspondante, cl on

7 = T X volume cdc'd' = r X A X cc*»

d'où

b . rc'

Raisonn.int d’nilleurs comme au n" 103, et considéraiit ce qui ie p.isse dans l’inlervnile de fluide compris entre cd et ab, on trourera que In force vivo acquise par cette portion de fluide est ... .

'L y-‘ — — e’; que le travail développé dans le sens du moiive- 3 9 ^

ment sur cd on b par In pression bp est

b . P X ce' = P X

que celui qui est développé en sens contraire par la pression extérieure ap' sera

p’ . a X bb' = p' X J,

et qu’enfin le travail développé par In gravité sur tout le fluide oompri,s entre cd et afr sera q . h’. On aura ainsi, par le principe des forces vives, l’égalité

et divisant par 2^^

Donc

Remarquez inainleiianl que est la hauteur due à la vitesse de sortie de l’orifleo ab, qui est censée avoir été calculée par nos formules précédentes; est la hauteur due à la vitesse dans la sccdg

lion considérée cd du vase, et qu’on sait aussi calculer, puisqu’on a V — ° ‘ Enfin — et d’après les principes d’hydro-

statique, représentent les hauteurs de colonnes verticales du fluide sous la densité intérieure r, qui produiraient par leurs poids les pressions p et p' sur l’unité de surface, ou, si l’on veut, ce sont les hauteurs de pression correspondantes. La dernière égalité signifie, par conséquent, que « la hauteur moyenne de pression du fluide sur

ItKS MACHINES ET DES MOTEURS.

• la section cd, que l'on considère, est égale d la hauteur due à la vi- « tesse de sortie, plus la hauteur de pression exercée à l’extérieur de U l’orifice, diminuée de la hauteur due à la vitesse dans celle même « section cd et de la hauteur de son centre de gravité au-dessus du U centre de l’orifice. »

Telle serait aussi la charge gcnérutrice eu vertu de laquelle le fluide s’écoulerait par un très-petit ^rifice pratiqué en cd. Mais il faut que cet orifice soit très-petit, pour que la dépense et la vitesse par l’autre orifice ab ne soient pas sensiblement altérées. S’il en était autrement, ou aurait recours au principe des forces vives pour évaluer chacun des écoulements simultanés et chaque vitesse de sortie en particulier.

118. Mesure de la pression quand le vase est très-grand par rapport à l’orifice. — Lorsque le fluide, avant d’arriver à l’orifice ah ( fig. 498 ) , n’éprouve aucune résistance quelconque, aucun choc, et que de plus la section supérieure et d’arrivée AB du fluide dans le vase est très-grande relativement à l’orifice ab ou a, nous savons que la vitesse de sortie est due à la charge totale H de

fluide sur ab, de sorte que ^ = U. Par conséquent, pour la pression autour de la section cd.

on aura.

H — h' étant ici la charge de fluide au-dcssiis de la section cd, on en conclut que u la hauteur de pression sur une section cd d’un paît reil vase est mesurée par la charge du fluide au-dessus de celte secm lion, plus la hauteur de pression exercée à l’extérieur de l’orifice de U sortie, diminuée de la hauteur due à la vitesse qui a lieu dans cette < section. »

119. Diversité des pressions dans un tuyau. — Soit cd ( fig. 494 ) une section transversale quelconque d’uu tuyau par lequel s’écoule un fluide. Imaginez qu’en cet endroit on insère la branche recourbée 2/1' d’un tube vertical lu, ouvert parlesdeiu boiits,ct que la pression exercée sur le sommet ouvert u suit égale bp' qui sera la pression atmosphérique, comme cela a lieu contre l’orifice de sortie du tuyau d’écoulement. Le fluide s’élèvera dans le tube vertical tu à une

hauteur Iz, telle que — Iz sera égal à la hauteur de ^reuiun

inlérieurc correspondante n la section cd ou à Donc, on aura

S’il 8c trouvait que l’aire de la section cd ou A fût telle

suit simplement égal à — 1- h', la hauteur tz du liquide dans

Ig

le tube serait nulle. Mais si Taire de la même section était telle que V' V'

fût moindre que 1- A', alors le fluide extérieur tendrait à

remonter dans le vase, la hauteur de la pression intérieure —

'orait iiit'érieure à celle de la pression extérieure—. Par cousc-

queut, si un établissait le tube vertical dans la position yz't', Textrémité en bas et plongée dans un fluide MN de même densité t, ce dernier reniuiitera dans ce tube au-dessus de son niveau en z.

tellement que la hauteur de la pression intérieure —, augmentée

de t'z', ferait équilibre à celle de la pression extérieure — , ou

qu’on aurait

Si, d’ailleurs, la hauteur t'z' était plus grande que la hauteur de jt' au-dessus du niveau mn du vase inférieur, le fluide de ce dernier serait en quelque sorte aspiré, et monterait continuellement avec une vitesse due à la différence t'z' — iV. Cette dernière conséquence n’est, nu reste, qu’approximative; car elle suppose que la section cd du tuyau puisse recevoir cet excès de fluide sans auginciiter de vitesse, et nécessairement il faut que sa vitesse o et celle de ToriKec s'augmentent; niodiflcalions qui influeront ctlcs-

nicmcs sur la pression — et par suite sur la hauteur t'z'.

1 30. PreuioH dans Us lut/aux cylindriques addilionneU. — Toutes ces circonstances se présentent dans le tuyau cylindrique additionnel horizontal ( fig. 495 ]. Ici A' est nul ; d’où

£ £2. El

*• r ig Sÿ’

Supposons qu’il s’agisse de la section contractée, et que vers cet endroit on insère le tube vertical s'I' plongé dans un fluide inférieur. Je dis que ce fluide est susceptible d’étre élevé ou aspiré par

la veine, ou que la hauteur de pression intérieure ^ est moindre

que la hauteur de pression extérieure-^. Car étant la vitesse

dans le tuyau cylindrique plein, et a étant sa section, et m'ie coefficient de la contraction ; m'a sera la section contractée, et si c est la vitesse de cette dernière section, on aura

m’av = oJ', ou v — — m

Mais, comme m' est fractionnaire, on voit que v est plus grand que

f', et, par suite, ■=— '> -s—. Ainsi — l’emimrte sur Cette Ig ^ Ig r ‘ x

théorie, donnée par M. Mavier, est confirmée par les expériences de

Venturi. Si nous considérons une section cd au delà de la section

contractée, on a 6 = a, v = F, A' = 0, et, par conséquent,

— = — . Ainsi, le fluide inférieur ne montera plus quand le tube

vertical x'f sera inséré à la section ed.

121. Pression dans les canaux découverts. — Si dans un tuyau fermé où la section est constante ainsi que la vitesse, la pression est la même partout et égale à la pression atmosphérique, on conçoit qu’il doit en être do meme dans un canal découvert où lu mouvement est uniforme. La pression serait égale partout à la pression atmosphérique; mais, comme dans ce qui précède nous avons fait abstraction de la hauteur du fluide dans chaque section, on voit que dans un canal découvert à régime réglé, la hauteur de pression en chaque point so mesure par la pression atmosphérique augmentée delà charge de fluide correspondante, ou de la distance

verticale du centre de gravité de cette icction au poiut le plus élevé do cette même section.

122. Observation générale sur les pressions d’un fluide, — Tous les principes exposés sur les pressions sont applicables aux fluides élastiques comme aux liquides, si la pression intérieure surpasse peu la pression extérieure ou d’un dixième environ. Lorsque cet excès sera devenu plus grand, un raisonnera sur la portion de fluide élastique comprise entre l’orifice et la section pour l.-iquelle on cherche la pression, absolument de la même manière qu’on en a agi au n° 105.

SCOUIEHENT DI l’eAII rSE LES CASEUX DICOCVEETS.

1 23. Mouvement de l’eau dans les canaux découverts, à pente uniforme et de grande longueur. — Les canaux découverts par lesquels les eaux sont conduites, ont un profil en forme de trapèxe ou de rectangle ( fig. 406 ) ; et leur fond, horixontal dans le sens de la largeur,, a, dans le sens de la longueur, une pente qn’on rend autant que possible uniforme. Il faut distinguer deux cas : tantôt un canal a une très-grande longueur et peu de pente; la vitesse y devient uniforme, de façon que les sections d’eau sont les mêmes dans tous les points du canal ; c’est ce qu’on nomme régime réglé. Tantôt le canal a une faible longueur, comme il arrive dans les coursiers des usines; le régime varie alors d’un point à l’autre;' des chocs, des pertes de force vive, des tourbillonnements se manifestent, et jl devient difficile de soumettre le mouvement du liquide au calcul, 11 faut donc ne pas confondre la circonstance où le canal a une longueur de dix à trente fois sa largeur, avec celle où cette longueur est cent fois la largeur; car, dans cettedernière, le régime est constant, et la vitesse se calcule ainsi qu'il suit :

Soit la vitesse moyenne et constante dans chaque section, C le cuiituur de la partie mouillée du prufil, a l’aire du profil transver-

lO.?

s.'il de l’enu, n la Fraction qui multiplie la valeur du travail dû à lu résistance des bords et du fond, L ( Hg. 497 ) la longueur du canal pour une hauteur de pente H, longueur qui se confond sensiblement avec la base, parce que la pente est déjà excessive ;

JJ

enfin -j- est la penle pour un mètre de longueur. Pour une tranche

quelconque, l’accroissement de force vive pendant son passage d’unei section à l’autre est évidemment nul, puisque la vitesse y reste la même. La quantité de travail qll, imprimée par la gravité, sera, par conséquent, détruite par le travail de la résistance du canal sur la longueur L qui correspond à la hauteur //, et on aura

d’où

ncL '

Si on remplace n par sa valeur 0,0035, et g par 9",809, on trouve

J- étant la pente du canal, on voit qne cette formule donnera la

vitesse quand la pente est donnée. Réciproquement, si on veut trouver la pente pour une vitesse donnée, on se servira de la formule ‘