FORCE CENTRIFUGE

68. Idée de la force centrifuge ; sa mesure pour un corps de petites dimensions qui tourne avec une vitesse constante. — Représentonsnous un corps de poids P ( fig. 87 ) attaché à un point fixe C par' une barre rigide AC, et imaginons qu’on lui imprime une vitesse quelconque dans une direction AT, perpendiculaire à la barre. Si ce corps était libre, il continuerait, en vertu de son inertie, son mouvement dans cette direction AT ei avec la même intensité de vitesse. Mais il n’en est point ainsi ; la rigidité do la barre le ramène sans cesse à la même distance du point fixe C et le force à décrire un cercle autour de ce centre. II y a donc, pendant ce mouvement obligé du corps, deux sections centrales exercées le long de la barre, l’une de la part de celle-ci contre le corps pour le retenir au centre C, et l’antre de la part du corps contre la barre qui tend à éloigner le corps de ce centre. Les deux forces sont visiblement

126 DEUXIÈME PAUTIE.

égales et contraires h cause du principe de l’action égale cl contraire à la réaction, La première est dite force centripède et la deuxième force centrifuge. Nous supposerons d’abord que les dimensions du corps, à l’égard de sa distance au centre fixe, soient asseï petites pour que ce corps soit regardé comme un point matériel animé d’une vitesse ; quant au cercle qu’il parcourt dans son mouvement, on peut lui substitues un polygone régulier .4BCDE.... ( fig. 88 ) d’un très-grand nombre de côtés égaux et dont les sommets sont appuyés à la circonférence. Cela posé, je dis d’abord que le point matériel décrira chacun des côtés de ce polygone avec la même vitesse, ou que la vitesse primitive E bo maintiendra lorsque le point passera d’un côté à l’autre.

A cet effet on observera que si le corps possède la vitesse V au moment où il arrive à l’extrémité B du côté AB, il est ensuite animé de deux vitesses simultanées en parcourant le côté adjacent BC. L’une de ces vitesses est la vitesse primitive BF = F, suivant le prolongement de AB. L'autre BU est le petit degré de vitesse communiqué par la force centrifuge dans la direction de BO, au bout du petit temps employé par le corps <i parcourir chaque côté élémentaire du polygone. Or, on a vu ( S” partie, 7 ) que quand un corps reçoit deux vitesses simultanées, sa vitesse résultante est la même que s’il les possédait successivement, et qu’elles fussent portées à la suite l’une de l’autre dans les directions qui leur sont propres. Ainsi, la résultante avec laquelle le côté BC est décrit, a lieu sur la direction de ce côté, et de plus elle est telle que FU', égale et parallèle à BU, appartient au parallélogramme UBFU’ dont BF ou F est la diagonale. D’ailleurs le rayon OB partage l’angle ABC en deux parties ABO et OBC qui sont égales. ABO = BFC comme angle correspondant. OBC =BUF cwwvao angles alternes-internes. Donc BFU' — BU' F. Par conséquent le triangle FBU' est isocèle, et ses deux côtés BF et BU' sont égaux ; ce qui indique que la vitesse conservée sur BC est la même que celle possédée par le corps sur le côté antérieur AB. D’où il résulte que la vitesse communiquée au point matériel ne s’altère pas dans son mouvement circulaire. La chose était facile à prévoir, parce que la force centrifuge est toujours dirigée perpendiculairement au mouvement, et qu’elle ne travaille pas ; elle ne peut donc détruire ni la force vive ni la vitesse du point matériel. Remarquons que UB, ou Flf , est précisément le petit degré de vitesse imprimé

ÉQUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE. U

pnr la force centrifuge F pendant le temps t employé à décrire chaque côté élémentaire du polygone, et que si on appelle M la masse du point matériel, la mesure de cette force (!'* partie, 74]

M V yir

sera F =a. . Tirons le rayon CO,' le triangle £OC est

semblable au triangle VBU' parce qu’ils sont isocèles, que l’angle OBC = BU y, et que l’angle ByU étant égal à BU y, on a risiblement BCO = ByU. Donc on aura la proportion

BO : Bc :: bu’ : vu’.

d’où

yir =

BC X bit BO

Bc^ y

en désignant par R le rayon BO du cercle et en se rappelant que BU' rient d’étro reconnu égal à la ritesse primitire y. D’ailleurs, le côté BC du polygone sera décrit par le corps pendant le petit temps t, et arec la ritesse y, et sa longueur doit être F X ^ ■

donc, on aura FU'— =— , et , par suite ,

ty R R •

Telle est l’expression de la force centrifuge. Son numérateur M y F‘‘ étant le produit de la masse du corps et du carré de sa ritesse, c’est-à-dire sa force rire, on ruit que la force centrifuge d’un corps de petites dimensions cemparaticement à sa distance au centre auteur duquel il tourne, est égale à la force vive imprimée à ce corps divisée par le rayon du cercle que décrit son centre de gravité. Supposons que le poids du corps soit de 100 kilogr, et qu'il décrire un cercle de 1“ de rayon arec une ritesse de 4“ comptée sur cette circonférence , on posera R = 1", P = 100 kilogr. ,

M =—= F = 4“, F' — 16, et l’on conclura g U,ot

F = X 1® = 180 hilogr. enriron.

Donc, le corps tend à tirer arec on effort de 160 kilogr. la barre rigide qui le retient dans son mourement circulaire.

69. Force centrifuge des corps à grandes dimensions. — Considérons maintenant une tranche fort mince ABCD{ fig. 89 ), tournant autour d’im poids O situé dans son plan, ou autour d’un n\o j)erpcndiculaire à ce plan, avec une vitesse angulaire F,, la vitesse angulaire d’une petite masse m de celte tranche sera r F, (2“ partie, 60), r étant sa distance au point O. La force vire de cette ineme masse sera mr* . f',’ . Quant à sa force centrifuge , elle sera

égale à —, ou mrF,’, et de plus elle sera dirigée selon le rayon

Om du cercle que cette masse décrit autour du centre coramon de rotation. Tirons par ce dernier point deux droites arbitraires et rectangulaires Ox ci Oy ; puis décomposant la formule centrifuge mr^i'en deux autres X et Y, dirigées suivant ces deux droites; ces composantes et leur résultante étant proportionnelles aux côtés, et la diagonale du rectangle Oqmp, on aura la proportion

Om Op MrF' A';

mrF,' y, Op .

— = Y,' . mOp, a cause de Om = r.

On aura également

Om ; Oq mrY,' 1 V = Y,‘‘m . oq.

Pour une autre petite masse m', sa force centrifuge, et les composantes A' et y' de cette force selon les droites Ox et Oy, seraient

m' r'Y,', y,’ . m' . Op, et V,' . m' . Oq', etc De celte manière

toutes les forces centrifuges sont réduites à deux groupes de forces respectivement situés sur les droites Ox et Oy et qui ont chacune pour résultante Y,' { m X Op m' y Op' -J- . . . . ) , et

( »» X ^9 “f" X Oq' ....). Remarquons que

«» X X op' -j- . . . . est la somme des moments de

chaque masse par rapport à Taxe Oy, et que cette somme est égale au produit de la masse totale IH multipliée par la distance Op ou x, du centre de gravité G à cet axe. Il en est de même à l’égard de tu X X Oq' -j- . . . . , somme qui est égale à M y y„

y, représentant la distance QO du centre de gravité à l’axe Ox. Ainsi les forces centrifuges se réduisent aux deux forces Y,'Mx, et entre elles et dont la résultante unique

ÉOUILinaE DES Kjacss et DYVAMIQDE. 129

est égale à

= /ô?' + Z7^ = MF,^ [/W^ = iVr,* X OG.

Donc la force centrifuge d'une tranche trè»-mince tournant autour d’un point situé dans son plan est égale au carré de la vitesse angulaire snuitiplié par le produit de sa masse et de la distance de son centre de gravité au point de rotation.

On Toil également que celte force est appliquée an centre do graTÎté de la tranche, car elle agit suivant la direction OG.

Supposons encore un corps (|ucIcom|iic ABC ( flg. 90 ), loornanl autour de l’axe LM. Décomposons ce corps en tranches très-minces perpendiculaires à celle ligne. Elles donneront lieu à autant deforces centrifuges appliquées aux centres de graviléC, G', G", .... de chaque tranche, et égales au carré de la vitesse angulaire du corps, multiplié par le produit de chaque masse et de la distance de son centre do gravité à l’axe. Toutes ces forces seront perpendiculaires à LM sans être généralement parallèles entre elles. Tantôt elles auront une résultante unique; tantôt elles se réduiront à deux forces; tantôt enfin leur résultante sera nulle, et dans ce dernier cas ces forces n’exerceraient aucun effort, aucune pression sur l’axe de rotation.

Si tous les centres de gravité G, G', G", .... sont sur une même droite AB { fig, 91 ), parallèle à l’axe de rotation , les distances de ces centres à Taxe LM sont les mêmes et égales à B. Les forces centrifuges deviennent parallèles et sont toutes situées dans un mémo • plan passant par AB et par LM ; leur résultante passe par le centre

de gravité de la masse entière et est égale a la somme

F,-B (df + Af' -f AT' + ). Or, df + dr + df' -I

est précisément cette masse totale : donc pour un corps dont toutes les tranches perpendiculaires à l’axe de rotation ont leur centre de gra vité sur une même parallèle à cet axe, la force centrifuge est la même que si toute la masse du corps était concetitrée à son centre de gravité. Celte simplification est particuiièrcraeut applicable à la sphère, nu cylindre, aux surfaces de révolution dont les axes sont parallèles a celui de rotation. Leur force centrifuge se réduit à celle de leur centre de gravité, en y concentrant leurs masses respectives.

. TstiTf. i>r aie. ISO. 9

70. Exemple de la force centrifuge. — I.a consiilér.Tlion de l.i force centrifuge explique une Foule de faili rapportés dans le Court de Mécanique de M. Dupin. Quand on fait faire le manège A un cheTal, l’instructeur, placé au centre C ( fig. 92 ) du cercle décrit par l’animal, retient ce dernier au moyen d’une longe attachée aubridon, afin de détruire autant que possible l’action de la force centrifuge. Elle est, comme on l’a vu (2* partie, 68), proportionnelle au poids du cheval et au carré de sa vitesse. L’effort du cheval sur sa longe devient ainsi quatre fois, neuf fois plus grand pour une vitesse double, triple. Cette même force exerce sur le cheval un effort horizontal qui tend .à le renverser en dehors du cercle. C’est afin de résister à cette action qu’il incline son corps en dedans. Cette inclinaison est telle que sa direction doit aeconfondre avec la résultante du poids du cheval et de la force centrifuge et passer au milieu de rintervallc de ses pieds. Si donc, sur la verticale et l’horizontale du centre de gravité G du cheval, on prend des parties GF et GP proportionnelles à la force centrifuge et au poids du cheval, et que Ton construise le rectangle FGPR, la diagonale GR donnera l’inclinaison cherchée. F el R exprimant la vitesse du cheval et le rayon du cercle, la force centrifuge