X . mO mO
cl, jiar suite,
pour In duree d’une oscillation complète.
D’après la formule ci-dessus on voit que celle durée esl indépen panle de l'ampliludc de roscillation, pourvu que celle-ci n’excède pas une certaine limite. Ainsi, en abandunnnnl à lui-tnème un pendule dévie d’une faible quanlité hors de la verticnle, les oscillations qu’il fera seront de même durée ou itochronet, et si on compte le nombre do celles qui auront eu lieu pendant un temps mesuré avec une bonne montre, pendant 10' ou 20', par exemple, on obtiendra la durée de chacune d’elles en divisant le temps de l’observation par le nombre des battements.
L’expérience ayant appris que le pendule qui à Paris bat les secondes a une longueur do O™, 994 ; veut-on connaître celle du pendule qui indique dans celte même ville une demi-seconde? on posera la proportion
ou, en élevant au carré,
1" ; (i)" ;; 0“-,994 ; »,• d’où » = = 0’",2488.
DEUXIÈME l’Ann E.
Sachant qu’à Paris la valeur de la gravité g est O"", 808795, on trouvera celle de Metz en y faisant osciller le pendule qui, à Paris, bat les secondes, et en estimant le temps de chaque oscillation ainsi qu’on vient de l’indiquer. Soieut 7* ce temps évalué en secondes et g' la valeur de la gravité à Metz ; on aura
d’où
Enfin, connaissant la longueur r du pendule qui bat les secondes à Metz, sur les bords de la Moselle, on trouvera encore la valeur do la gravité à la hauteur de celte rivière, au moyen de la relation
Cl'
i-detsns, 1" == r \/ —, oti, en élev.'inl .nu c.nrré,
lUi
Supposez qu'on s’élève sur le mont S.ninl-Qiicnlin avec le incinc pendule el qu’on y estime par l’observation le temps 7* de chaque oscillation, la relation
ir'r
donnera la valeur do la gravilé sur le sommet do celte montagne.
77. Pendule composé. — Les pendules ordinaires dont on se sert dans la pratique consistent, comme nous l’avons dit, en une lige et un corps pesant dont le système oscille au tour d’un axe horizontal ./é ; cl comme ce cas est le môme que celui d’un corps solide quelconque MJVO ( fig. 104 ) qui a un mouvement oscillatoire autour d’un axe horizontal yd, nous allons ohercher coinmeul la question, pour CO dernier inouveraenl plus général, est ramenée à celle d’un pendule simple. Appelons el A/ le poids cl la masse de ce corps, P , la vitesse angulaire acquise par ce corps dans l’intervalle où son centre de gravilé passe de la position initiale G où il était en repos, à la position quelconque G', D la distance AG de cc point à l’axe A, et y la hauteur PG' dont il est descendu quand il est arrivé à la position que l’on considère. Soit enfin / le moment d’inertie du corps par rapport a l’axe horiiontaly^ : ileslévidenl (2' partie, 60) qne I X force vive acquise par le corps ou bout de
l’intervalle GG', et que P X V> % X V, mesurera la quantité de travail de la pesanteur pendant ce même intervalle. On aura donc
IX P,' = ilVg.y.
Remarquons qne, pendant que le centre do gravite G décrit 1 arc GG', il s’en décrit un autre semblable par le point situé à Tunilédo distance de A sur AG, cl que la hauteur y, dont ce nouveau point descend par rapport à sa position initiale est telle que l’on a
Substituons A y sa valeur dans la relation précédente do la force Tsuvé DS atr„ isn.
TÎve ; noua aurons
d’où = — ÿ— X 2ÿÿ.-
Désignant par «, le petit arc décrit à l’unité de distance pendant le très-petit temps I à partir de l’instant où la ritesse angulaire est devenue Fi , on reconnaît sans peine que l’on peut raisonner sur les arcs décrits A cette distance comme snr ceux qui sont décrits à nne distance quelconque, et que l’on aura
d’où ‘'“Tv*
11 faut d’ailleurs faire altenlion que le temps t est aussi celui pendant lequel le corps passe d’une position quelconque à'une position très-voisine.
Remplaçant f',' par sa valeur trouvée plus haut — j — X
on trouve
et, par suite,
-J- X 2ÿyi
Af . D
yp =
2yy.
Si , comme dans le numéro précédent , nous considérons ce qui se passe A l’unité de distance de A, que C ( 6g. 108 ) soit la position initiale de l’arc décrit CJVB dont AM = r, est le rayon ou l’unité, et que MN toit le petit arc «, , 011 démontrera encore que,
PM n’étant autre chose que y,, sera égal ^ ^ X ^ ‘
On aura donc
ÉQUIMBUE DES EORCES ET DYNAMIQUE,
ou bien, à c.iuse de r, = 1 ,
ly M X O g '^mO-
Enfin, en prenant la somme de tous les petits temps t employés n parcourir tout l'arc compris depuis In position initiale jusqu’à In position verticale, on trouvera, pour cette somme,
Or, cette somme est la moitié de In durée T d’une oscillation entière; donc, on aura enfin
Telle sera la durée d’une oscillation complète du corps autour de pourvu toutefois qu’dlle soit très-petite.
78. Comparaison du pendule composé et du pendule simple. Centre d'oscillation. — Soit r la longueur du pendule simple dont la durée des oscillations est la même que uelle des oscillations du corps MNQ ; on aura (2* partie, 76), pour le pendule simple.
Observons que le moment d’inertie I du corps UNQ { fig. 104 ) , en appelant /, le moment d’inertie do ce môme corps par rapport i Taxe parallèle à l’axe et qui passe par le contre de gravité G, est, d’après ce qui a été démontré (2' partie, 64), égal à
et, par suite.
d’où l’on tire
Pnr coniéqucnt, on aura
r = !^-KP: + = /) +
mxd'
Prenant sur la ligne AG qui joint le centre de gravité G dn corps
à l’axe A, une partie AO égale à r ou à ^
-, on ob-
tiendra le point O qu’on nomme centre d’oicillation du corps par rapport A l’axe A. Si, à son tour, le point O devenait le point de suspension, je dis que le point A deviendra an contraire le centre d’oscillation. En effet, r' ( fig. 108 ) étant la distance du nouveau centre d’oscillation par rapport à O, et D' la distance OG du centre de gravité à ce dernier point, on aura alors
D’ailleurs />' ou
OG = AO — AG =a r — D
ce qui donne lieu aux deux valeurs
ly = r
D, et
Si on les substitue A Z>' et à
; dans celle de r', ou trouvera
Donc le centre d’oscillation se confond avec le point A.
CESrai DE FEECCSSIOS. CHOC o’DV coars ÇCt TOOISE AlITOCa d’dx axe.
79. Centre de percu$$ion, — Lorsqu’un corps /UNO ( fig. 106 ) . reçoit un mouvement de rotation autour de l’axe A, que nous supposons ici perpendiculaire an plan du tableau, chaque petite masse m de CO corps développe des forces d’inertie partielles perpendiculaires aux distances respectives de chacune d’elles à leur axe, et
ÉOUILIBRE DES FORCES ET DYNAMIQUE
dont rintensitéest mesurée par m . r clanl la distance do
eutte partie quelconque à l’axe, et c, le petit degré de ritesse angulaire imprimé au corps pendant le temps élémentaire t. Ou a rude plus (2° partie, 03 ) que la somme des moments de toutes ces forces par rapport à l'axe, était égale au produit du montent d’inertie I
du corps multiplié par le quotient y, ou à / X admet-
tantquela résultantoFdo toutes ccsforces (*) est égale au produit do la masse totale M du corps multiplié par la dislauoc D oa ^ G ùa
centre de gravité à l’axe, et par
plus la direction de cette résultante Af X X v perpendi-
(*) Si Ton décompose cUaque force d'inertie partielle m . r ~ en deui, Tune hori-
sontalcel l'autro verticale, cl qu'on nommo x et y l'alnciAM: et l'ordonnée de m par rapport à un plan vertical cl uo plan horiiooUl patsaiil par l'aio A » la premiCTC cumpu> •aole aéra cvideiiuncDt
et U deu&iènc,
t»i ÿ mvtÿ
mVfX / *
En appolanl x. et ÿt le» coordonuêe» du centre de gravite, la somme des composantes horizontales sera
^ («y + m'y -t- ‘ OB J Ml/,,
cl celle de» compoMnlct Terticales
y (wx m'x' . e . . ou -J» A/x,e D'où il suit que la résultante générale a pour valeur
Af pxTTTI* = y « X
et qu'elle fftit avec l'axe horizontal et l'axo vertical dci anjjles dont les codous sont rci>
ÿt X,
pectivement — et > en sorte qu'elle est perpendiculaire t la distance D du centre lie gravité A l'axe.
IliO DtUXlËMK PAIITIE.
culaire à cette dernière distance AG, on reconnaîtra que, si O est
son point d’application sur y/C, Fy^AO ou M y, D')(, ^ X ^0
n'est autre chose que le moment de cette résultante, lequel doit être égal à la somme des moments des forces d’inertie partielles on
à / X 'y- Donc, on aura
on
