CONSTANTES

107. Notions générales* Le cas le plus facile et le plus simple de

la communication du mouvement, est celui d'un corps qui est poussé à chaque instant par une force motrice constante , égale et directement contraire (66) à la résistance opposée, par l'inertie, dans la direction propre du mouvement. Or il est clair que, la pression étant la même, à chaque instant, l'accroissement ou le décroissent en t très-petit de la vitesse (53 .) sera aussi le même , ou constant pour le même corps. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, la vitesse, à partir d'un certain instant, sera augmentée ou diminuée de quantités proportionnelles au temps écoulé depuis cet instant: c'est ce qu'on appelle le mouvement uniformément varié en général ; mouvement qui est uniformément accéléré ou retardé, selon que la force motrice constante agit pour augmenter ou pour diminuer la vitesse du corps.

Si l'action de la force motrice constante a commencé avec le mouvement même du corps, c'est-à-dire à partir de l'instant où il était au repos, la vitesse totale acquise, au bout d'un temps quelconque mesuré depuis cet instant, sera proportionnelle à ce temps ; ou si l'on veut, elle sera double pour un temps double, triple pour un temps triple , etc. Si, au contraire , Faction de la force motrice ne commence qu'à partir d'un certain instant, ou que le corps ail déjà une vitesse acquise à cet instant; cette vitesse, qu'on nomme ordinairement la vitesse initiale du corps, aura, au bout d'un temps quelconque , augmenté ou diminué d'une quantité qui sera encore proportionnelle à ce temps, et qu'on pourra calculer quand on connaîtra la vitesse que la force motrice imprime ou détruit constamment, dans un certain temps, par exemple dans l'unité de temps, la seconde , etc. En effet , il ne s'agira que de multiplier le temps total écoulé, par la vitesse qui répond à cette unité de temps ; ajoutant ensuite la vitesse ainsi calculée à la vitesse initiale, ou l'en retranchant selon les cas, on aura la vitesse même du mouvement au bout du temps que l'on considère.

Mais, pour bien saisir l'objet de ces calculs, il est nécessaire de se rappeler que, dans le mouvement varié, la vitesse acquise à un certain instant, est mesurée (53) par le chemin que décrirait le corps, dans l'unité de temps et à compter de cet instant, si, la force motrice cessant tout à coup son action , le corps continuait à se mouvoir uniformément; ce qu'il ferait véritablement en vertu de son inertie (55) et du degré de vitesse qu'il possède déjà.

108, Du mouvement uniformément accéléré. Occupons-nous d'à-

bord du cas où le corps part du repos sous l'action de la force motrice constante, et proposons-nous de découvrir tontes les circonstances du mouvement de ce corps.

Nous pouvons encore représenter ici, par le dessin, la loi qui lie, aux temps, les vitesses acquises par le corps au bout de ces temps, en traçant (pi. I, %. 27) une ligne Oa'6'....A' dont les abscisses Oa, 06,... . OA, représentent les temps écoulés depuis l'origine du mouvement, et dont les ordonnées aa', bb' 9 ce'.*.. hK, représentent les vitesses acquises à la fin de ces temps respectifs.

Gela posé , puisque, dans le cas du mouvement uniformément accéléré, les vitesses aa' 9 bb', cc'...*hh', sont proportionnelles aux temps écoulés Oa, 0&, Oc... OA, il est clair que la ligne Oa'b'd ,...W est une ligne droite qui passe par l'origine des abscisses ; car le mobile est ici censé partir du repos à l'instant où la force motrice commence son action, de sorte que le temps et la vitesse sont nuls à la fois à cet instant. Supposez qu'on ait partagé Taxe OB des abscisses ou des temps en un grand nombre de parties égales très-petites, puis qu'on ait élevé les ordonnées correspondantes, et qu'enfin on ait mené, par les extrémités de ces ordonnées, des parallèles à l'axe des abscisses , on formera une suite de petits triangles Ooa', a'b'b", jb'c'c".... égaux et rectangles. Les, côtés aa', b'b" 9 c'e" .... de ces triangles marqueront les accroissements successifs de la vitesse, accroissements qui seront égaux comme les petits instants qui leur correspondent, Oa, ab,bc 9 ,„. conformément à la définition du mouvement uniformément accéléré.

Les intervalles de temps successifs Oa, ab, <bc... étant donc supposés extrêmement petits , on peut regarder le corps comme se mouvant, d'une manière sensiblement uniforme, pendant l'un quelconque cd = c'a*" de ces intervalles, et avec une vitesse moyenne égale à la demi-«omme de celles cc' 9 dd' qui répondent au commencement et à la fin de chacun d'eux. Or, dans le mouvement uniforme ( 48 ), l'espace décrit dans un temps quelconque est mesuré par le produit de la vitesse et de ce temps ; donc l'espace décrit ici, pendant le temps élémentaire cd , sera égal à cd multiplié par la vitesse moyenne { (ce' -\-dd'), qui correspond à ce temps élémentaire. Ce produit n'étant autre chose que la mesure de l'aire du petit trapèze cc'd'd, cette aire pourra ainsi représenter l'espace parcouru pendant le temps élémentaire cd $ pour un autre intervalle quelconque de égal au premier , l'espace décrit sera encore représenté par le trapèze dd'e'e; donc l'espace total décrit , pendant le temps

OA, par exemple, a sensiblement pour mesure la somme ou sorfcoe totale des trapèzes élémentaires aolb'b, bb'ç'c... gg'h'h, augmentée du petit triangle Oaa' qui mesure évidemment l'espace décrit dans le premier instant Oa; c est-à-dire la surface même du triangle correspondant OAA'. Donc enfin cette dernière surface est la mesure exacte et rigoureuse de l'espace décrit pendant le temps total OA, puisqu'on peut supposer que ce temps a été divisé en un nombre indéfini de parties égales et infiniment petites ; le raisonnement étant ici le même que celui qui a été mis en usage (73) pour trouver la mesure du travail quand l'effort est variable.

109. Lois du mouvement uniformément accéléré. Le chemin décrit au bout d'un temps quelconque, étant, pour le mouvement uniformément accéléré, représenté par la surface du triangle qui a pour base ce temps et pour hauteur la vitesse acquise au bout de ce même temps; on en peut déduire, de suite, plusieurs conséquences importantes, et qui permettent 'de calculer les circonstances de ce genre de mouvement*

D'abord, puisque la surface de tout triangle OAA' a pour mesure Ja moitié du rectangle de même baie et de même hauteur, et que ce dernier est aussi la mesure (48) du chemin qui serait décrit uni* formément pendant un temps égal à OA et avec la vitesse hh! acquise au bout de ce temps, on voit que ,

1° Dans le mouvement uniformément accéléré, le chemin décru, au bout d'un temps quelconque et à partir de l'origine du mouvement, est la moitié de celui que le mobile décrirait, dans un temps égal, s'il se mouvait uniformément avec la vitesse qu'il a acquise à la fin du premier temps.

Ensuite , puisque les chemins décrits , au bout de deux temps quelconques Ob, Oe, sont représentés par les triangles Obb', Os/; puisque ces triangles sont semblables, et que, d'après les principes démontrés en géométrie, leurs surfaces sont comme les carrés des côtés homologues, il en résulte encore que,

2° Dans le mouvement uniformément accéléré, les chemins décrits, au bout de deux temps quelconques et à compter de l'origine du mouvement, sont entre eux comme les carrés de ces temps.

9° Ces mêmes chemins sont aussi entre eux comme les carrés des vitesses acquises au bout des temps correspondants.